資源簡介

5.1任意角和弧度制
一、本節知識結構框圖
二、重點、難點
重點：將到范圍的角擴充到任意角，弧度制，弧度與角度的互換.
難點：任意角概念的建構，弧度的概念，用集合表示終邊相同的角.
三、教科書編寫意圖及教學建議
周期性變化現象隨處可見，圓周運動是研究這種現象的變化規律的理想載體.教科書單刀直入地提出問題：如何刻畫圓周上一點的位置變化？通過分析，得出“可以借助角的大小變化刻畫”.容易發現，在點的運動過程中，角的范圍將超出
～，就有必要推廣角的概念.
利用幾何直觀有利于抽象概念的理解.教科書充分利用單位圓，引導學生了解任意角及弧度制概念，同時，還利用直角坐標系建立象限角的概念，使任意角的討論有了一個統一的“標準”.教學中，要特別注意利用單位圓、直角坐標系等工具，引導學生數形結合地認識與刻畫周期現象.
使用信息技術可以動態地表現角的終邊旋轉的過程，有利于學生觀察角的大小變化與終邊位置的關系，因此要注意用信息技術幫助學生了解任意角和弧度的概念.
5.1.1任意角
教科書首先通過實際問題（體操中的轉體、齒輪旋轉等）引出角的概念的推廣問題，引發學生的認知沖突，將角的范圍推廣到任意角，在直角坐標系中表示
角——象限角，并研究象限角的性質——終邊相同的角的代數特征.這樣可以使學生更好地理解引入任意角概念的必要性，建立“背景—定義—度量—運算—性質”的研究路徑.
1.任意角的概念
教科書通過問題，引導學生感受推廣角的概念的必要性，使他們認識到要準確地表達旋轉運動過程，需要同時說明旋轉量和旋轉方向.教學時，可以先讓學生思考“怎樣才能準確地描述旋轉現象”，引導學生體會僅用～的角已經難以回答當前的問題，進而引出學習課題：推廣角的范圍，如何推廣？
學生過去接觸的角都在～，關于角的認識已形成一定的思維定勢.為此，除了教科書中的例子，教學時還可以再舉一些實際例子，用以說明引入新概念的必要性和實際意義.同時，還可以借助信息技術，讓學生在動態的過程中體會：角是轉出來的，在角的終邊“任意”旋轉的過程中，角的范圍不能限于～；要準確地刻畫一個角，必須既要知道旋轉量，又要知道旋轉方向.
初中研究過平面圖形的旋轉，學生已經知道旋轉的“三要素”，這是對旋轉的定性刻畫，可以作為刻畫任意角的一個基礎.如何用量化的方法刻畫任意角呢？旋轉量的大小可以在初中學過的角度制基礎上進行推廣，這里的關鍵是用符號表示“方向”，逆時針方向為正、順時針方向為負.可類比正數、負數的規定，說明正角、負角是用來表示“具有相反意義的旋轉量”.如果一條射線沒有做任何旋轉（即旋轉量為0），那么說它形成了一個零角，零角無正負，就像實數0無正負一樣.
2.用符號代表方向的意義
任意角是“既有大小又有方向”的角，與向量有很大的可比性，所以我們先來看看用符號代表方向對于向量的意義.
用符號代表方向奠定了軸上向量數量化的基礎.由此，就可以實現用實數表示向量：
在軸（具有方向和長度單位的直線）上取一點為原點，得數軸，并設它的基向量為，則上任意一點與向量一一對應，而且.這里叫做向量的數量，實際上就是數軸上點的坐標，這就是用實數表示向量的方法.
接下來，我們可以把點在軸上的運動、軸上的向量加法、實數的代數和等統一起來：
在軸上，一個點從點運動到點，再從點運動到點，根據兩次運動的不同方向，可以區分出四種情況（圖5-3）：
圖5-3
但無論如何，從數量上看，最終結果都有.這一等式的代數意義實際上就是實數的代數和（表示了多次變化的結果），它給運算帶來了極大方便，我們不必要再區分各種情況了.
顯然，用符號表示方向才有.這是一個“常識”，但非常值得重視，而且它很重要.它叫沙爾定理，沙爾（Michel Chasles，19世紀重要的法國數學家）稱之為“幾何學的基本定理”，其實質意義是讓幾何量帶上符號.正如偉大的數學家F 克萊因指出的：“對比把長度、面積、體積考慮為絕對值的普通初等幾何學，這樣做有極大的好處.初等幾何必須依照圖形呈現的情況而區分許多情況，而現在用幾個簡單的一般定理就可以概括.”
在角的擴充過程中，我們讓角帶上符號而成為任意角，正角的符號為“+”，負角的符號為“-”，于是有：設任意角的始邊、終邊分別為，，讓旋轉任意角到，則由旋轉到的角是.顯然，如果，不帶有符號，那么我們就必須考慮：在旋轉到時，是按順時針還是按逆時針？
由上所述可知，教科書對任意角加法的定義是基于用符號表示方向，其依據是沙爾定理，這是研究三角函數的基礎.
3.任意角的度量
關于度量，初中學過兩類，一是線段、平面圖形和空間圖形的大小度量，是十進制，其中線段的長度是基礎；二是“用角量角”的角度制，是六十進制.這里把角的范圍從～（不超過一個周角）擴展到任意角，如果記任意角，那么.為了定義三角函數的需要，還需要引入“用長度量角”的弧度制.
4．任意角的運算
角的范圍擴展到任意角后，角的運算的意義也隨之得到擴展.初中學過角的和、差和倍角，角的運算中不考慮方向，兩角差只考慮“大角減小角”.角的范圍擴充后，不僅可以“小角減大角”，而且對兩角和也賦予了全新的意義.教科書定義的兩個任意角，的和是
把角的終邊旋轉角，這時終邊所對應的角是.
這個規定既符合人的直覺，也與實數的運算法則一致，因此它是合理的.
首先，字母，表示任意角，它們是帶有符號的，當，的符號為正時，射線的旋轉方向為逆時針；符號為負時，射線的旋轉方向為順時針.為了方便，我們用，表示相應的旋轉量.
角“”是兩次連續旋轉的結果，可以分如下幾種情況：
（1），；（2），；（3），；
（4），.
下面我們根據任意角的概念做一個分析：
對于（1），角“”的旋轉方向為逆時針，旋轉量為.
對于（2），若，則角“”的旋轉方向為逆時針，旋轉量為；若，則角“”的旋轉方向為順時針，旋轉量為.
對于（3），若，則角“”的旋轉方向為逆時針，旋轉量為；若，則角“”的旋轉方向為順時針，旋轉量為.
對于（4），角“”的旋轉方向為順時針，旋轉量為.
于是有：同號兩角相加，取相同的方向，并把“絕對值”相加；“絕對值”不相等的異號兩角相加，取“絕對值”較大的角的方向，并用較大的“絕對值”減去較小的“絕對值”.
顯然，旋轉量相同，旋轉方向相反的兩個角相加得零角，我們稱這兩個角互為相反角，角的相反角記為.
一個角與零角相加仍得這個角.
綜上可知，兩角和的運算與實數的加法運算完全一致；同時，像實數減法的“減去一個數等于加上這個數的相反數”一樣，我們有，即“減去一個角等于加上這個角的相反角”.這樣，角的減法可以轉化為加法.從幾何角度看，就是一條射線繞端點旋轉任意角后再旋轉任意角，這時終邊所對應的角是.
5.象限角
引入象限角概念，使角放在一個統一的標準下進行討論，并進而可以利用任意角、直角坐標系刻畫周期性變化現象.
在學習象限角時，應強調角與直角坐標系的關系——角的頂點與原點重合，角的始邊與軸的非負半軸重合.在這個統一前提下，才能對象限角進行定義.終邊落在坐標軸上是一種“邊界”狀態，因此規定它不屬于任何一個象限更方便.
教科書169頁邊空中提出的問題，讓學生說說在直角坐標系內討論角的好處，是為了提醒學生，在同一“參照系”下，可以使角的討論得到簡化，由此還能使角的終邊位置“周而復始”的現象得到有效表示.
6.終邊相同的角
這是研究具有特殊關系的象限角，可以看成是在定義象限角概念之后研究它的性質.有了終邊相同的角的表示，就可以非常方便地得出三角函數的公式一.一般而言，概念明確了研究對象的內涵或組成要素，性質研究的主題之一是內涵或要素之間的關系.從概念出發研究性質是研究數學對象的基本之道.
對于教科書170頁的“探究”，我們知道，象限角的始邊相同，以射線為終邊的角有無數個，即這些角有“始邊、終邊都相同”的共同特征.這一定性特征如何量化？一般而言，具有相同特征的事物一定有內在聯系，數學要研究這種聯系在數、形上如何表達，特別是要追求精確的量化表示，從定性到定量是研究數學問題的基本策略.
發現聯系的方法：借助圖象，觀察幾個與終邊相同的角之間的數量關系，在“旋轉整數周”的幫助下，通過運算發現共同特征：終邊相同的角相差的整數倍，并得出表達式；再將推廣到一般角.這里用到數形結合、從特殊到一般、從具體到抽象、通過運算發現規律等，這是數學地探索事物性質的普遍方法.
教學時，可以利用信息技術，在直角坐標系畫出任意角，并測出角的大小，再觀察角的終邊旋轉整數周后，其大小與原角之間的關系，從而將數、形聯系起來，給出幾何意義的代數解釋.這里，從幾何角度看，“終邊旋轉整數周回到原來的位置”而形成“終邊相同的角”，用數量關系表示，就是“終邊相同的角相差的整數倍”，用符號形式表示就是“所有與角終邊相同的角，連同角在內，可構成一個集合”.
教學中應在教科書安排的“與終邊相同的角的表示”這個問題上多用些時間，讓學生進行操作與思考.應當引導學生認識：①；②是任意角；③終邊相同的角不一定相等，終邊相同的角有無限多個，它們相差的整數倍.
7.例題
例1實際上是利用終邊相同的角的表示，在～范圍內找出與已知角終邊相同的角，并由此判定其為第幾象限角，事實上這是判定一個角為第幾象限角的一般方法.本例為以后證明恒等式、化簡及利用誘導公式求三角函數的值等奠定基礎.可引導學生先估計大致是的幾倍，然后再具體求解.
例2是終邊在坐標軸上的角的表示.應引導學生體會用集合表示終邊相同的角時，表示方式不唯一，要注意采用簡約的形式.另外，分析終邊與軸的正半軸、負半軸分別重合的兩個角的集合的聯系，可以簡化集合的表示，實質是“終邊組成一條直線”的代數解釋“兩個集合中的元素相差的整數倍."
例3是讓學生表示終邊在已知直線的角，鞏固終邊相同的角的表示，例3與例2的本質是一樣的，所以教學時應引導學生分析它們的共性，在此基礎上還可以推廣到其他直線.為了使學生順利完成相應的集合運算，可以先讓學生用日常語言描述一下集合的特征.
5.1.2 弧度制
教科書首先通過類比引出用不同的單位制度量角的問題，在初中已有的弧長公式的基礎上，先討論弧長與弧所在圓的半徑的關系，給出用弧長與半徑的比值度量圓心角的弧度制；然后通過探究得到弧度與角度的換算方法，再通過具體例子，鞏固所學概念和公式，進一步認識引入弧度制的必要性；最后強調了引進弧度制后，角的集合與實數集形成-一對應關系，為學習任意角的三角函數奠定基礎，與以往教科書比較，這里加強了用初中已學的弧長與半徑的關系解釋弧度制定義的合理性.
1.為什么要引入弧度制
第三章中學習了用集合語言和對應關系描述的函數定義，函數是兩個實數集之間的對應關系，而實數采用的進位制是十進制.為了研究周期性變化現象，我們需要建立任意角的三角函數.若沿用銳角三角函數的做法，角的度量采用六十進制的角度制，則與函數定義的要求不符.因此，我們需要引入新的度量制，它必須是十進制，它的單位應與實數的單位一致，從而使三角函數的自變量、函數值都是實數.
也許有人認為，把上述因素作為引入弧度制的理由并不充分，因為就像銳角三角函數一樣，在角度制下研究三角函數也是可以的.我們要指出的是：盡管在角度制下也可以定義三角函數概念，但在后續研究中，自變量與函數值的度量單位不統一會引起很多麻煩.另外，周期性變化現象中的自變量不一定是角，像簡諧振動、潮汐現象等的自變量是時間，所以，引進弧度制可以使三角函數在刻畫現實世界中的周期現象時變得更好用.在解決實際問題時，有時需要同時應用幾種不同類型的函數，有時需要進行自變量的值與函數值的運算，例如圓的漸開線的參數方程：
它實際上是由兩個函數和確定的，其中是圓的半徑，是圓心角.如果只有角度制，那么，的意義就不得而知了.事實上，隨著數學學習的不斷深入，弧度制的必要性會越來越顯著.例如微積分中的重要極限，如果自變量是六十進制的角度，那就沒有意義了.
總之，從滿足函數定義的要求、三角函數的可用性，以及有利于數學的后續發展需要等方面看，引入弧度制都有基本的重要性.
2.弧度制的引入
弧度制的本質是用線段長度度量角的大小，具體而言就是定義弧長等于半徑的圓心角的大小為1弧度.
教科書首先通過類比長度、質量的不同度量制，使學生體會一個量可以用不同的單位制來度量，而且不同的單位制各有優點；然后，利用初中學過的弧長公式，探索圓心角、所對弧長與半徑之間的關系，發現圓心角所對的弧長與半徑的比值隨的確定而唯一確定，從而使學生體會利用圓的弧長與半徑的關系度量圓心角的合理性；最后給出定義、幾何表示和代數表示.這里，弧度制的建構過程是
背景（引入弧度制的必要性、如何定義是合理的）—定義—表示.
其中，必要性只能有限涉及；合理性從“如此度量角的大小是唯一確定的”給出，這里可以提示學生注意數學中度量一個量的大小的方法；“表示”給出了幾何表示和代數表示，即借助單位圓給出1弧度角的大小示意圖，半徑為的圓中弧長為的弧所對的圓心角為弧度，則，的正負由角的終邊的旋轉方向決定.
3.弧度制的教學
理解1弧度的含義，即把握弧度制的單位，是了解弧度制并能進行弧度與角度換算的關鍵.在引進弧度制后，可以引導學生利用單位圓中的圓心角與所對弧的關系理解弧度制的本質.角的范圍推廣后，圓心角與弧的概念也隨之推廣：圓心角有正角、零角、負角，相應地，弧也就有正弧、零弧、負弧；圓心角、弧的正負與角的終邊的旋轉方向相對應，逆時針旋轉為正，順時針旋轉為負.在直角坐標系中，如果以單位圓與軸的交點（1，0）為起點，圓心角的終邊與單位圓的交點為終點，那么圓心角與弧是一一對應的.這樣，在單位圓中，用圓心角所對應弧的大小（注意，弧的大小的取值范圍是）刻畫角大小的完備性和純粹性兼備.
對于用等于半徑的弧所對的圓心角作為弧度制的度量單位的合理性，教學中可以利用信息技術幫助學生認識.如圖5-4（1），先用信息技術畫一個圓，并在圓上截取等于半徑，再作射線，便得到一個圓心角，這個角就是1弧度的角.按此方法再畫一個與上述圓半徑不同的圓（圖5-4（2）），同樣可得到另一個圓心角.測量，.
圖5-4
另外，分別在圖5-4的兩個圓內取兩個同樣大小的圓心角，可測得它們所對的弧與各自半徑的比值相等.這就說明，當圓心角一定時，它所對弧長與半徑的比值是一定的，與所取圓的半徑大小無關.因此，用圓心角所對弧長與半徑的比值來度量這個圓心角是合理的.這樣，教學時就可以引入單位圓，讓學生直觀地認識到，在單位圓中可以用大小為1的弧所對的圓心角作為角的度量單位.
引入弧度制后，應與角度制進行對比，使學生明確：第一，弧度制以線段長度來度量角，角度制是“以角量角”；第二，弧度制是十進制，角度制是六十進制；第三，1弧度是等于半徑長的弧所對的圓心角的大小，而的角是周角的；第四，無論是以“弧度”還是以“度”為單位，角的大小都是一個與半徑大小無關的定值，由此借助單位圓理解角的度量制很方便；等等.
教學中要注意防止出現角的兩種度量制混用的現象.寫出與角終邊相同的角（連同角在內）時，要根據角的單位來決定后一項的單位.也就是說，兩項所采用的單位制必須一致，寫成或是不規范的.
4.弧度與角度的換算
（1）換算問題的提出
關于單位換算，學生在義務教育階段學過同一度量制下兩種單位的換算，例如米、厘米、毫米之間的換算，平方米、平方厘米的換算，克、千克、噸的換算，度、分、秒的換算等；兩種不同度量制的換算，只學過公頃與平方米的換算.弧度與角度的換算是兩種不同度量制之間的換算，教科書通過探究欄目提出問題：“角度制、弧度制都是角的度量制，它們之間應該可以換算.如何換算呢？”教學時要提醒學生注意這里的問題是如何發現的.實際上這是在告訴學生，同一個數學對象從不同角度去刻畫它，所得到的結論一定有內在聯系，發現這種內在聯系是數學研究的一個基本任務.
（2）探究換算公式，關鍵是找到聯系兩種度量制的橋梁.教學時可以問學生：“你認為聯系兩種度量制的橋梁是什么？”因為單位圓的周長是，所以周角的弧度數是；學生已知周角的度數是360，于是就有 rad.接下來只要單位化就可以得出換算公式了，這里可以利用計算器.
教學時可以引導學生通過寫出，，，，，，，等特殊角的弧度數，來熟悉度角度與弧度的換算公式，并要讓學生記住.當然，記住 rad是最重要的.
（3）角的度量制，除了角度制、弧度制外，軍事上還常用密位制.密位制的單位是“密位".1密位就是圓周的所對的圓心角（或這條?。┑拇笮?因為
密位，所以
密位，1密位.
密位的寫法是在百位上的數與十位上的數之間畫一條短線，例如7密位寫成
0-07，讀作“零，零七”，478密位寫成4-78，讀作“四，七八”，密位不屬于我國法定計量單位，所以不必在課內介紹.
5.例題
（1）例1和例2都是角度與弧度的換算.教學時要提醒學生注意，“度”的單位“”“”“”不能省略，“孤度”的單位“rad”先不要省略，并且不要用“rad”的中文名稱“弧度”作為單位寫在數據的后面.
這兩道例題在角度與弧度轉化之后，都使用計算器進行了計算.在學生熟悉了弧度與角度的換算后，一般可以讓學生直接用計算器來完成換算.
例2后面列出的對應表，不僅要求學生會換算，而且要讓學生記住這些特殊角的度數與弧度數的對應值.
（2）例3表明，弧度制下的扇形弧長、面積公式非常簡單，這是引人弧度制帶來的一個便利.教學中可以讓學生思考：“為什么在弧度制下這些公式簡化了？”實際上，角度制下角的度量制是六十進制，與長度、面積的度量進位制不一樣，于是在公式中要有“換算因子”.而弧度制下角度與長度、面積一樣，都是十進制，就可以去掉這個“換算因子”了.

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