資源簡介

5.2三角函數(shù)的概念
一、本節(jié)知識結(jié)構(gòu)框圖
二、重點(diǎn)、難點(diǎn)
重點(diǎn)：任意角的正弦、余弦、正切的定義，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系.
難點(diǎn)：影響單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)變化的因素分析，三角函數(shù)的定義方式的理解，三角函數(shù)內(nèi)在聯(lián)系性的認(rèn)識.
三、教科書編寫意圖及教學(xué)建議
學(xué)生已經(jīng)學(xué)過銳角三角函數(shù)，它是用直角三角形邊長的比來刻畫的.銳角三角函數(shù)的引入與“解三角形”有直接關(guān)系.任意角的三角函數(shù)是刻畫周期變化現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型，它與“解三角形”已經(jīng)沒有什么關(guān)系了.因此，與學(xué)習(xí)其他基本初等函數(shù)一樣，學(xué)習(xí)任意角的三角函數(shù)，主要是理解三角函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)，并能用三角函數(shù)描述一些簡單的周期變化規(guī)律，解決簡單的實(shí)際問題.
三角函數(shù)的引入有兩種不同的路徑，一種是把任意角的三角函數(shù)看成是銳角三角函數(shù)的（形式）推廣，利用角的終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)比定義三角函數(shù)；另一種是直接從建立周期現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型出發(fā)，利用單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)定義三角函數(shù)，然后再建立與銳角三角函數(shù)的聯(lián)系.教科書采用第二種路徑，原因是三角函數(shù)是周期函數(shù)，與銳角三角函數(shù)沒有必然聯(lián)系.同時，直接從描述周期現(xiàn)象的需要出發(fā)，有利于學(xué)生把握三角函數(shù)的研究對象及其本質(zhì)，而且能更自然地借助單位圓抽象三角函數(shù)的定義，確定三角函數(shù)的研究內(nèi)容，探尋研究方法.特別是可以借助單位圓，從圓的性質(zhì)（特別是對稱性）得到三角函數(shù)研究內(nèi)容的啟發(fā)，并且能引導(dǎo)學(xué)生通過數(shù)形結(jié)合的方法展開研究，以及借助單位圓記憶三角函數(shù)的性質(zhì)和眾多三角公式，從而發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、直觀想象等素養(yǎng).
利用信息技術(shù)，可以很容易地建立單位圓上點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)、角、弧之間的聯(lián)系，并且可以在角的變化過程中進(jìn)行觀察，發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律性.所以，信息技術(shù)可以幫助學(xué)生更好地理解三角函數(shù)的本質(zhì).
5.2.1 三角函數(shù)的概念
首先，教科書明確了研究任務(wù)：單位圓上的點(diǎn)以為起點(diǎn)做逆時針方向旋轉(zhuǎn)，建立一個數(shù)學(xué)模型，刻畫點(diǎn)的位置變化情況.然后，分析點(diǎn)的坐標(biāo)與以為終邊的角之間的對應(yīng)關(guān)系.最后，明確了點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都是角的函數(shù)的基礎(chǔ)上，給出三角函數(shù)的定義，并引導(dǎo)學(xué)生用定義研究三角函數(shù)的定義域、函數(shù)值的符號、公式一以及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系.
本節(jié)的研究路徑是：明確研究對象—對應(yīng)關(guān)系的特點(diǎn)分析—定義—性質(zhì).
1.三角函數(shù)的研究對象
明確研究對象是后續(xù)一切學(xué)習(xí)活動的基礎(chǔ).前面已經(jīng)指出，三角函數(shù)的研究對象是周期現(xiàn)象，研究任務(wù)是建立一個函數(shù)來描述周期現(xiàn)象的變量關(guān)系，通過研究函數(shù)的性質(zhì)來發(fā)現(xiàn)周期現(xiàn)象的變化規(guī)律.教科書通過“周期現(xiàn)象—圓周運(yùn)動—單位圓上點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動”的分析，使研究對象簡單化、本質(zhì)化；通過分析單位圓上點(diǎn)在旋轉(zhuǎn)中各變量之間的相互關(guān)系，獲得對應(yīng)關(guān)系并抽象出三角函數(shù)概念.教學(xué)中可以讓學(xué)生思考：我們要研究的問題是什么？你認(rèn)為可以如何研究？在明確研究對象、內(nèi)容和思路的基礎(chǔ)上再展開具體學(xué)習(xí).
2.三角函數(shù)的定義
（1）首先需要說明，三角函數(shù)概念的建構(gòu)過程與前面各類基本初等函數(shù)概念的建構(gòu)過程都不一樣.冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)等是通過具體實(shí)例的共性歸納而抽象出來的，而三角函數(shù)概念是直接由單位圓上點(diǎn)的運(yùn)動規(guī)律的描述得到的.
建構(gòu)三角函數(shù)的概念，是一個數(shù)學(xué)化的過程，教科書先利用已有的函數(shù)研究經(jīng)驗(yàn)，在直角坐標(biāo)系中對問題進(jìn)行了重新敘述，即把問題歸結(jié)為點(diǎn)的坐標(biāo)與旋轉(zhuǎn)角之間對應(yīng)關(guān)系的探索.然后通過“探究”，引導(dǎo)學(xué)生從特殊到一般，對單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)與相應(yīng)的角之間的對應(yīng)關(guān)系展開研究，得出“點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都是角的函數(shù)”的結(jié)論，接著再給出三角函數(shù)的定義.這是一個在一般函數(shù)概念指導(dǎo)下的探究活動，其思路是先確認(rèn)“這樣的對應(yīng)關(guān)系是函數(shù)”，然后給出形式化定義.
上述處理方法與以往有較大的區(qū)別，為什么做出這樣的改變呢？
顯然，理解三角函數(shù)的定義，關(guān)鍵是明確它的對應(yīng)關(guān)系.用單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)表示任意角的三角函數(shù)，與學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)有較大的距離.前面學(xué)習(xí)的函數(shù)，其解析式都有明確的運(yùn)算含義.三角函數(shù)對應(yīng)關(guān)系則與眾不同，主要表現(xiàn)在不以“代數(shù)運(yùn)算”為媒介.以前遇到的，，，等，都有“運(yùn)算”的背景，而三角函數(shù)是“與，直接對應(yīng)”，無須計(jì)算.雖然，，都是實(shí)數(shù)，但實(shí)際上是“幾何元素之間的對應(yīng)”.所以在“對應(yīng)關(guān)系”的認(rèn)識上必須采取措施破除定勢，幫助學(xué)生搞清三角函數(shù)的“三要素”，特別是要先明確“給定一個角，如何得到對應(yīng)的函數(shù)值”的操作過程，然后再給定義.這是在一般函數(shù)概念引導(dǎo)下的“下位學(xué)習(xí)”，不僅使三角函數(shù)定義的引入水到渠成，而且由三角函數(shù)對應(yīng)關(guān)系的獨(dú)特性，可以使學(xué)生再一次認(rèn)識函數(shù)的本質(zhì).
教學(xué)時要根據(jù)教科書的安排，讓學(xué)生認(rèn)真完成“當(dāng)時，找出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)”并強(qiáng)調(diào)點(diǎn)的坐標(biāo)是唯一確定的，這實(shí)際上就是理解三角函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系的過程.在此基礎(chǔ)上，讓學(xué)生再確定幾個特殊角所對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，然后可以借助信息技術(shù)，讓學(xué)生觀察任意給定一個角，它的終邊與單位圓的交點(diǎn)的坐標(biāo)是否唯一，從而為理解三角函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系奠定基礎(chǔ).
關(guān)于定義本身，教學(xué)中應(yīng)當(dāng)向?qū)W生指出，是一個任意角，同時它也是一個實(shí)數(shù)（弧度數(shù)）；“它的終邊與單位圓交于點(diǎn)”實(shí)際上包含兩個對應(yīng)關(guān)系，即
實(shí)數(shù)（弧度）對應(yīng)于點(diǎn)的縱坐標(biāo)—正弦函數(shù)，
實(shí)數(shù)（弧度）對應(yīng)于點(diǎn)的橫坐標(biāo)—余弦函數(shù).
認(rèn)識清楚上述對應(yīng)關(guān)系是理解三角函數(shù)定義的關(guān)鍵.
這里，是一個整體，是正弦函數(shù)的一個記號，它的意義是“弧度的角的終邊與單位圓交點(diǎn)的縱坐標(biāo)”，就如表示以為底的對數(shù)一樣.離開自變量的“”“”“”等是沒有意義的.
（2）用單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)定義三角函數(shù)有許多優(yōu)點(diǎn).其中最主要的是使正弦函數(shù)、余弦函數(shù)從自變量（角的弧度數(shù)）到函數(shù)值（單位圓上點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)）之間的對應(yīng)關(guān)系更清楚、簡單，突出了三角函數(shù)的本質(zhì)，有利于學(xué)生利用已有的函數(shù)概念來理解三角函數(shù)；其次是使三角函數(shù)反映的數(shù)形關(guān)系更直接，為后面討論其他問題奠定基礎(chǔ).例如，更有利于我們數(shù)形結(jié)合地討論三角函數(shù)的定義域、函數(shù)值符號的變化規(guī)律、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式、周期性、單調(diào)性、最大值、最小值等.
（3）在建立三角函數(shù)的概念后，教科書通過探究欄目提出問題，讓學(xué)生思考任意角的三角函數(shù)與銳角三角函數(shù)之間的關(guān)聯(lián).事實(shí)上，如圖5-5，在中，，.由銳角三角函數(shù)的定義，有.
圖5-5
把放在直角坐標(biāo)系中，使銳角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，與軸的正半軸重合.在上取，使，作，交于，則根據(jù)任意角的三角函數(shù)定義，有.
因?yàn)椋裕?dāng)時，按銳角三角函數(shù)定義求得的銳角的正弦，與按本節(jié)的三角函數(shù)定義求得的的正弦相等.對于余弦、正切也有相同的結(jié)論.
3.三角函數(shù)的定義域和函數(shù)值的符號規(guī)律
通過探究欄目，教科書讓學(xué)生根據(jù)定義得出三角函數(shù)的定義域和函數(shù)值的符號規(guī)律.這個“探究”不難，可以由學(xué)生獨(dú)立完成.教學(xué)中只要提醒學(xué)生注意角的終邊與軸重合時，終邊上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0，因此，正切函數(shù)的定義域不包括終邊與軸重合的角.而對于三角函數(shù)值的符號，只要根據(jù)定義以及單位圓上點(diǎn)的位置（在哪個象限），就可以容易地得出判斷.教學(xué)時，應(yīng)當(dāng)先對函數(shù)值的正負(fù)進(jìn)行討論，然后再將三個函數(shù)在各象限的符號填入圖5.2-6中，并提醒學(xué)生把圖5.2-6與三角函數(shù)的定義聯(lián)系起來.
三角函數(shù)值的符號規(guī)律是三角函數(shù)的一條性質(zhì).在求一個角的三角函數(shù)值時，常常要根據(jù)這條性質(zhì)，先確定符號再求絕對值，有時還要根據(jù)條件對三角函數(shù)值的符號進(jìn)行討論.
4.公式一
從研究一個數(shù)學(xué)對象的基本套路出發(fā)，給出三角函數(shù)的定義及其符號表示后，接著要從定義出發(fā)研究它的基本性質(zhì).三角函數(shù)的性質(zhì)，除了單調(diào)性、奇偶性、最大值、最小值等以外，“與眾不同”的是它的周期性，由此而使三角函數(shù)具有更豐富的性質(zhì).其中，三角函數(shù)取值的規(guī)律性、各三角函數(shù)的相互聯(lián)系性就是值得研究的性質(zhì).這就是三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式所反映的性質(zhì).
公式一的本質(zhì)是函數(shù)值重復(fù)出現(xiàn)，它是“單位圓上任意一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)整數(shù)周就回到原來的位置”的代數(shù)表示，可以直接由三角函數(shù)的定義得到，不存在理解的困難.關(guān)鍵是如何讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題，也就是要“讓學(xué)生想到那里去”，教學(xué)時要注意從研究方法的高度進(jìn)行引導(dǎo).例如，可以提出如下問題：
（1）前面研究了三角函數(shù)值的符號規(guī)律，你認(rèn)為接著可以研究什么問題？（可以研究取值的規(guī)律）
2）三角函數(shù)的取值規(guī)律中，你認(rèn)為有哪些特殊情況值得研究？（相等、互為相反數(shù)等）
（3）從三角函數(shù)的定義出發(fā)，你能發(fā)現(xiàn)什么時候三角函數(shù)取值相等嗎？（由定義容易得到“終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等”，再將它符號化就得到公式一）
上述問題串不僅引導(dǎo)學(xué)生得到公式一，而且可以讓學(xué)生進(jìn)一步思考，還有哪些時候出現(xiàn)函數(shù)值相等或互為相反數(shù)？這樣，后續(xù)其他誘導(dǎo)公式的引入也就水到渠成了.
利用公式一，可以把求任意角的三角函數(shù)值，轉(zhuǎn)化為求0～內(nèi)角的三角函數(shù)值.更重要的是，公式一從代數(shù)的角度揭示了三角函數(shù)值的周期變化規(guī)律，即“角的終邊每繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，函數(shù)值重復(fù)出現(xiàn)”，這體現(xiàn)了幾何與代數(shù)的融合.為此，教科書在“邊空”中作出了提示，教學(xué)時也要提醒學(xué)生關(guān)注這種數(shù)形對應(yīng).
5.關(guān)于去掉單位圓中的三角函數(shù)線的說明
與以往教科書不同，本套教科書根據(jù)《標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》的設(shè)置，去掉了正弦線、余弦線，原因是借助單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)定義三角函數(shù)后，已經(jīng)沒有必要再用有向線段表示三角函數(shù)值了.實(shí)際上，正弦線、余弦線分別是正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的一種幾何表示，它們是與單位圓有關(guān)的平行于坐標(biāo)軸的有向線段.一條線段有兩個端點(diǎn)，如果規(guī)定其中一個端點(diǎn)為起點(diǎn)，另一個為終點(diǎn)，這條線段就被看作帶有方向，于是把它叫做有向線段.當(dāng)有向線段與數(shù)軸平行時，就根據(jù)此線段的方向（從起點(diǎn)到終點(diǎn)）與數(shù)軸的方向相同或相反，分別把它的長度加上正號或負(fù)號，這樣所得的數(shù)，就是此有向線段的數(shù)值，它是一個實(shí)數(shù).顯然，因?yàn)椤皢挝粓A上點(diǎn)的坐標(biāo)就是三角函數(shù)”，所以正弦線的值與正弦函數(shù)值完全一致，余弦線的值與余弦函數(shù)值也完全一致，所以就沒有必要引入正弦線和余弦線了。
因?yàn)樽髡泻瘮?shù)圖象的需要，所以正切線將在討論正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象時引入.
6.例題
例1是根據(jù)定義求一個角的三角函數(shù)值.需要先求出這個角的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)，再由定義得解.這道題的目的是鞏固任意角三角函數(shù)的定義.
例2實(shí)際上是三角函數(shù)的“坐標(biāo)比”定義.通過這道題的解答，可以使學(xué)生認(rèn)識到，只要知道角的終邊上的任意一點(diǎn)，就可以得出相應(yīng)的三角函數(shù)值.于是，我們也可以用角的終邊上任一點(diǎn)的坐標(biāo)比來定義三角函數(shù)，這與利用單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)定義三角函數(shù)是等價的.教學(xué)中應(yīng)側(cè)重引導(dǎo)學(xué)生思考這種等價性的原因，并讓學(xué)生自己給出新的定義；
如圖5-6，設(shè)是一個任意角，是終邊上任意一點(diǎn)，點(diǎn)與原點(diǎn)的距離，那么：
（1）叫做的正弦，即；
（2）叫做的余弦，即；
（3）叫做的正切，即.
圖5-6
教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生分析這些函數(shù)值不會隨點(diǎn)的改變而改變的原因.
例3和例4的目的都是鞏固和加深對三角函數(shù)值的符號規(guī)律的認(rèn)識.其中，例3的條件以一個不等式組出現(xiàn)，并結(jié)合了常用邏輯用語中的充要條件.教學(xué)時要讓學(xué)生先把問題的條件、結(jié)論弄清楚，然后再給出證明.這一問題的解決可以訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)語言表達(dá)能力.
例5是求三角函數(shù)值，由于還未學(xué)習(xí)其他誘導(dǎo)公式，這里僅限于能運(yùn)用公式一把求這些角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為求銳角的三角函數(shù)值.這類題目雖然可以用計(jì)算器直接求出結(jié)果，但本題的目的是熟練運(yùn)用公式一，所以應(yīng)要求學(xué)生運(yùn)用公式一先轉(zhuǎn)化成銳角三角函數(shù)，然后再利用計(jì)算器求值.
5.2.2 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系
從定義出發(fā)，用聯(lián)系的觀點(diǎn)提出問題，獲得研究思路，這是數(shù)學(xué)研究中的常用思想.由三角函數(shù)的定義可知，三角函數(shù)的基本性質(zhì)就是圓的幾何性質(zhì)的直接反映.因此，與圓的幾何性質(zhì)建立聯(lián)系，為發(fā)現(xiàn)三角函數(shù)的性質(zhì)提供思路，是研究三角函數(shù)的重要思想方法.教科書在本小節(jié)開頭設(shè)置“探究”的目的，正是為了引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系圓的基本性質(zhì)，把單位圓的一些幾何關(guān)系用坐標(biāo)表示出來，進(jìn)而獲得一些三角函數(shù)的基本關(guān)系.
另外，公式一表明，終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等.因?yàn)槿齻€三角函數(shù)的值都是由角的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)所唯一確定的，所以它們之間一定有內(nèi)在聯(lián)系，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式就是這種內(nèi)在聯(lián)系的反映.
1.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式
（1）教科書首先關(guān)注了如何引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題.實(shí)際上，這里的發(fā)現(xiàn)和提出問題與象限角中發(fā)現(xiàn)和提出“終邊相同的角的表示”、公式一是非常類似的.教學(xué)時要注意引導(dǎo)學(xué)生體會這里的問題是如何發(fā)現(xiàn)的.
（2）在“探究”的引導(dǎo)下，以單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)的意義為基礎(chǔ)，在單位圓中構(gòu)造出直角三角形，是得到同角三角函數(shù)基本關(guān)系的關(guān)鍵.教學(xué)中可以引導(dǎo)學(xué)生先畫出教科書中的圖5.2-7，然后啟發(fā)他們思考其中的幾何關(guān)系.應(yīng)當(dāng)說，有了圖5.2-7，由勾股定理得到同角三角函數(shù)的“平方關(guān)系”是容易的.另外，教科書根據(jù)三角函數(shù)的定義得出了“商的關(guān)系”，教學(xué)時也可以引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造圖形解釋關(guān)系式.總之，討論同角三角函數(shù)的基本關(guān)系時，數(shù)形結(jié)合思想起著非常重要的作用.
這里，“同角”有兩層含義，一是角相同，二是對任意一個角（在使得函數(shù)有意義的前提下）關(guān)系式都成立.
（3）是的簡寫，讀作“的平方”，不能將寫成，前者是的正弦的平方，后者是的平方的正弦，兩者是不同的.教學(xué)時應(yīng)使學(xué)生弄清它們的區(qū)別，并能正確書寫.
（4）公式，的應(yīng)用極為廣泛，它們可以有許多等價形式，例如，
，；
，；
，.
2.例題
（1）例6是根據(jù)一個角的某個三角函數(shù)值求其余兩個函數(shù)值，目的是讓學(xué)生進(jìn)一步熟悉同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式.解決這類問題時，要先判斷角是第幾象限的，進(jìn)而確定所求三角函數(shù)值的符號，然后再具體求解.
①如果已知某個三角函數(shù)值，且角所在的象限是確定的，那么只有一種結(jié)果.例如，已知，并且是第三象限角，求，的值.
②如果只給了某個三角函數(shù)值，那么要按角所在的象限進(jìn)行討論，分別寫出答案，這時一般有兩組結(jié)果.例6就是這種情況.
對于例6的結(jié)果，要讓學(xué)生知道，中的負(fù)號來自是第四象限角，這時取負(fù)值，取正值，所以取負(fù)值.可能有的學(xué)生會認(rèn)為，“因?yàn)槭堑谒南笙藿牵浴保@就錯了.
另外，，的結(jié)果都要用分情況敘述的形式表達(dá)出來，而不要用
， （*）
的書寫形式，這是因?yàn)椋≌∝?fù)受著限制，不是無條件的，這不同于“由可以推出”這種情形.再說，采用了（*）式后，，的取值可以有“，”“，”“，”“，”四種搭配方式，這樣就會產(chǎn)生四種不同結(jié)果.
（2）例7是恒等式的證明，目的是讓學(xué)生通過三角恒等式的證明進(jìn)一步理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系.證明恒等式常用以下方法：從一邊開始證明它等于另一邊（如例7的證法1），一般由繁到簡，通過恒等變形得到另一個式子，從而推出原式成立；也可考慮選取與原式等價的式子（如例7的證法2），通過等價轉(zhuǎn)化推出原式成立.
顯然，第一種方法的依據(jù)是相等關(guān)系的傳遞性“，，則”；第二種方法的依據(jù)是等價轉(zhuǎn)化思想，即“等價于，所以的充要條件是”.這樣就產(chǎn)生了兩種思維過程，并對應(yīng)著兩種證明方法.假設(shè)要證明的式子是，那么：
綜合法：先證，再證與等價，由此可知（如例7的證法2）.
分析法：要證，只要證（與它等價的）.由可知.
注意，等價轉(zhuǎn)化可以使用綜合法或分析法；反過來，使用分析法或綜合法時，卻不一定要求等價轉(zhuǎn)化.對于初學(xué)三角恒等式證明的學(xué)生，運(yùn)用等價轉(zhuǎn)化可以使他們的思路更清楚一些.
值得注意的是，用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系證明三角恒等式的要求已經(jīng)降低，像“已知，求的其他三角函數(shù)值”之類的題目都不作要求.教學(xué)中不必作太多的拓展、補(bǔ)充.

展開更多......

收起↑