資源簡(jiǎn)介

5.3誘導(dǎo)公式
一、本節(jié)知識(shí)結(jié)構(gòu)框圖
二、重點(diǎn)、難點(diǎn)
重點(diǎn)：利用圓的對(duì)稱性探究誘導(dǎo)公式，運(yùn)用誘導(dǎo)公式進(jìn)行簡(jiǎn)單三角函數(shù)式的求值、化簡(jiǎn)與恒等式的證明.
難點(diǎn)：發(fā)現(xiàn)圓的對(duì)稱性與三角函數(shù)之間的關(guān)系，建立聯(lián)系.
三、教科書編寫意圖及教學(xué)建議
任意角的三角函數(shù)的定義是借助單位圓得出的，三角函數(shù)的性質(zhì)是圓的幾何性質(zhì)的代數(shù)化.圓有豐富的性質(zhì)，對(duì)稱性是圓的重要性質(zhì)，用三角函數(shù)表示單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)，就可將這些對(duì)稱性表示為三角函數(shù)之間的關(guān)系.因此，用數(shù)形結(jié)合的思想，從單位圓上的點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)、坐標(biāo)軸、直線等的對(duì)稱性出發(fā)探究誘導(dǎo)公式，是一個(gè)自然的思路.
教科書中以“探究”為引導(dǎo)，依據(jù)單位圓的對(duì)稱性，讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)單位圓上的點(diǎn)分別關(guān)于原點(diǎn)、坐標(biāo)軸、直線對(duì)稱時(shí)，對(duì)應(yīng)的終邊與角的終邊之間的關(guān)系.進(jìn)而利用三角函數(shù)的定義，將這種對(duì)稱關(guān)系代數(shù)化，得到誘導(dǎo)公式.這樣使得誘導(dǎo)公式（數(shù)）與單位圓（形）緊密結(jié)合，成為一個(gè)整體，不僅大大簡(jiǎn)化了誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)過程，縮減了認(rèn)識(shí)、理解誘導(dǎo)公式的時(shí)間，而且還有利于學(xué)生對(duì)公式的記憶，減輕學(xué)生的記憶負(fù)擔(dān).
1.誘導(dǎo)公式二～公式四
這部分內(nèi)容教科書設(shè)置了一個(gè)“探究”、一個(gè)“思考”，目的是讓學(xué)生通過自主思維活動(dòng)，形成利用單位圓的對(duì)稱性探究三角函數(shù)性質(zhì)的思維方法，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)和證明誘導(dǎo)公式.
（1）誘導(dǎo)公式的探究
“探究1（1）”有著示范性，它承載著建立研究方法、培養(yǎng)用聯(lián)系的觀點(diǎn)看問題的習(xí)慣的重任.
教科書中的研究分三步進(jìn)行：
第一步，建立角之間的關(guān)系.根據(jù)任意角的終邊與單位圓的交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)，寫出以為終邊的角與角的關(guān)系.
第二步，建立坐標(biāo)之間的關(guān)系.根據(jù)圓的對(duì)稱性，寫出點(diǎn)與的坐標(biāo)之間的關(guān)系；利用三角函數(shù)的定義，用角表示點(diǎn)與的坐標(biāo).
第三步，根據(jù)等量代換，得到三角函數(shù)之間的關(guān)系，即誘導(dǎo)公式二.
其中第一步從形的角度入手研究；第二步將形的關(guān)系代數(shù)化，并從不同角度進(jìn)行表示，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想方法；第三步則體現(xiàn)了聯(lián)系性.這種研究思路，可以表示如下：
圓的對(duì)稱性—角與角的關(guān)系—坐標(biāo)間的關(guān)系—三角函數(shù)的關(guān)系.
教學(xué)時(shí)要用好教科書中的“探究”，緊扣其中的問題，引導(dǎo)學(xué)生的思維，發(fā)展學(xué)生的直觀想象素養(yǎng).
“探究1（2）”給學(xué)生留下了自主探究和推理論證的空間.教學(xué)時(shí)，可以引導(dǎo)學(xué)生，類比上述研究過程展開研究，進(jìn)一步領(lǐng)會(huì)研究方法.
邊空提示從旋轉(zhuǎn)的角度認(rèn)識(shí)圓的中心對(duì)稱性，二者本質(zhì)一致，為后續(xù)利用旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性探究?jī)山遣畹挠嘞易麂亯|.
誘導(dǎo)公式應(yīng)當(dāng)以單位圓為載體，在理解的基礎(chǔ)上記憶.注重誘導(dǎo)公式探究的過程，就能使學(xué)生建立各組公式與圖形的聯(lián)系，加深理解公式，學(xué)會(huì)利用單位圓幫助記憶.
（2）例題與思考
例題教學(xué)中，不能滿足于完成求值、化簡(jiǎn)，要引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)利用誘導(dǎo)公式解題的基本步驟：先明確角所在的象限，再選擇恰當(dāng)?shù)恼T導(dǎo)公式，并按照一定的程序進(jìn)行運(yùn)算，求得運(yùn)算結(jié)果.通過完成“思考”，引導(dǎo)學(xué)生梳理求解過程，明確從任意角轉(zhuǎn)化為銳角（或零角）的程序，提高自覺地、理性地選擇運(yùn)算公式的能力.
在數(shù)學(xué)史上，求三角函數(shù)值曾經(jīng)是一個(gè)重要而困難的問題.數(shù)學(xué)家制作了銳角三角函數(shù)表，并通過公式一～公式四解決了問題.信息化的今天，利用誘導(dǎo)公式“求值”已不是重點(diǎn)，所以教學(xué)時(shí)應(yīng)該將重點(diǎn)放在研究誘導(dǎo)公式中所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想方法上.
2.誘導(dǎo)公式五～公式六
（1）誘導(dǎo)公式的探究
“探究2”與“探究1”相比，采用的研究方法一樣，不同之處在于對(duì)稱軸變?yōu)橹本€，增加了推導(dǎo)的難度，體現(xiàn)在如下兩個(gè)方面：
第一，終邊關(guān)于直線對(duì)稱的兩個(gè)角之間的關(guān)系.
角的終邊與角的終邊關(guān)于直線對(duì)稱，那么.這個(gè)結(jié)論需要分多種情況，窮舉證明.
第二，直角坐標(biāo)系中關(guān)于直線對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系.
點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，那么，.這個(gè)結(jié)論，需要學(xué)生證明之后才能應(yīng)用.教科書中限于篇幅，沒有給出證明，由于角是任取的，根據(jù)其終邊位置分類，至少要對(duì)8種情況進(jìn)行證明，其嚴(yán)謹(jǐn)簡(jiǎn)潔的證明需要在解析幾何中完成.因此，教科書的邊空中只要求就圖5.3-5所示的情況進(jìn)行證明，這個(gè)問題簡(jiǎn)單易證.
教科書的處理方式既不失嚴(yán)謹(jǐn)性，讓學(xué)生了解了這些結(jié)論的來源，又不至于喧賓奪主.教學(xué)時(shí)，按照教科書的處理方式，針對(duì)圖5.3-5進(jìn)行論證，并結(jié)合圖形作直觀分析即可.根據(jù)學(xué)生的實(shí)際，可以組織探究發(fā)現(xiàn)，也可以進(jìn)行講授.
“探究3”與前兩個(gè)探究相比，采用的研究方法一樣，對(duì)稱軸也是特殊的
直線——y軸，其推導(dǎo)簡(jiǎn)單易行.不同之處在于，教科書中選擇了點(diǎn)，而不是點(diǎn)，學(xué)生可能會(huì)感到突然.事實(shí)上，可以引導(dǎo)學(xué)生按照本節(jié)的方法，進(jìn)行更一般的探索發(fā)現(xiàn).探究1和探究2中對(duì)作了一次對(duì)稱變換，對(duì)于探究3可以通過對(duì)作兩次對(duì)稱變換解決.通過對(duì)比發(fā)現(xiàn)，教科書中探究3所用的方法，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美.
經(jīng)歷這樣開放的探究，也回答了教科書邊空中提出的問題：角的終邊首先關(guān)于直線作對(duì)稱，再關(guān)于軸作對(duì)稱，就得到角的終邊；或者角的終邊首先關(guān)于軸作對(duì)稱，再關(guān)于直線作對(duì)稱，也可以得到角的終邊.這兩種變換方式都是從軸對(duì)稱的角度回答的.還可以從旋轉(zhuǎn)對(duì)稱的角度回答：角的終邊旋轉(zhuǎn)角，就得到角的終邊.與教科書中的邊空相呼應(yīng)，為后續(xù)兩角差的余弦公式的推導(dǎo)作鋪墊.
（2）例題
此處安排了三道例題，分別是證明、化簡(jiǎn)、求值.如前所述，不論哪種類型的題目，都要注重?cái)?shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的培養(yǎng).在三道例題的求解過程中要進(jìn)一步鞏固和完善教科書中的流程圖.特別是例5的分析，旨在引導(dǎo)學(xué)生形成代數(shù)問題的程序化思維，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法.因此，在教學(xué)中要注重通過一道題形成解決一類問題的思維方法，即通性通法，不要刻意追求特殊技巧.
6組誘導(dǎo)公式，都反映了三角函數(shù)本身的性質(zhì)，也是研究三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的基礎(chǔ).它們之間有著內(nèi)在的聯(lián)系，后續(xù)將進(jìn)一步研究.

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