資源簡介

5.4三角函數的圖象與性質
一、本節知識結構框圖
二、重點、難點
重點：正弦、余弦、正切函數的圖象及其主要性質（包括周期性、奇偶性、單調性、最值或值域）；研究函數圖象與性質的一般思路和方法.
難點：正弦函數的作圖；周期函數、（最小正）周期的意義.
三、教科書編寫意圖及教學建議
教科書從定義出發引導學生提出研究函數的一般思路和方法，并結合三角函數的特性（周期性）簡化對三角函數圖象與性質的研究過程.
研究函數的思路一般有兩種：一是根據定義畫函數圖象，再結合圖象研究性質；二是根據定義推導性質，再由性質畫圖象.在具體實踐中，往往需要將兩者有機地結合起來.教科書先從正弦函數入手，根據正弦的定義，借助單位圓畫出正弦曲線；再利用正弦函數與余弦函數的內在聯系，通過圖象的平移變換畫出余弦曲線；最后借助幾何直觀和代數運算研究正弦函數和余弦函數的性質.對于正切函數，教科書換一個角度研究其性質與圖象，讓學生了解研究函數的不同思路.
教科書通過例題，運用正弦、余弦與正切函數的圖象與性質對一些較簡單具體的函數進行研究，滲透了函數圖象的一些基本變換，利用轉化與化歸的思想方法討論了一些形如的函數的基本性質.
本節的關鍵是從三角函數的定義出發，借助單位圓把握三角函數的圖象和性質，既能在幾何直觀下研究三角函數的性質，也能通過三角函數的性質把握圖象的特征.利用信息技術更快捷、更準確地作出函數圖象，體現動態關聯的變化過程，幫助學生更好地理解三角函數的圖象與性質.
5.4.1 正弦函數、余弦函數的圖象
圖象是函數的直觀表示，也是函數性質的集中體現.對于畫正弦函數的圖象，教科書突出了單位圓的作用，充分利用了三角函數周期性的特點.教科書先從畫圖象上任意一點出發，明確作圖的原理；再畫出具有代表性的適當數量的點，初步感受圖象的特點；最后利用信息技術畫出足夠多的點，得到對圖象更直觀的認識.這種方式使得學生更清楚知識的發生發展、歸納概括的過程.
1.正弦函數的圖象
教科書一開始就提出問題：如何從定義出發研究這個三角函數？引導學生類比過去的學習經驗，提出從定義出發畫函數圖象、再借助圖象獲得性質的研究思路.
對正弦函數圖象的構造和認識過程是本節的一個重點，也是一個難點.教科書作了如下設計.
（1）突出正弦函數的周期性的特點
作為描述周期現象的重要函數模型，三角函數的周期性具有十分重要的地位和作用，它可以簡化三角函數的作圖過程，直觀想象三角函數圖象的整體圖形特征.根據周期性，可以將實數集范圍的作圖問題歸結為區間內的作圖問題.
對于周期性，在此只針對正弦函數，可以通過圓周運動周而復始的直觀形象和導公式的代數特征作感性認識，無需提出一般函數周期性的概念.
（2）畫出正弦函數圖象上的任意一點
圖象上任意一點的作法，蘊含了函數圖象整體的構成原理，教科書通過“思考”，明確借助單位圓畫出正弦函數圖象上任意一點的理論依據和實踐操作.
描點法是畫函數圖象的基本方法，根據以往畫函數圖象的經驗，自變量取值后常可借用計算器算出函數值，再在直角坐標系上描出相應的點進行連線，如此也能得到正弦曲線的大致形狀.為什么還要從定義出發利用單位圓去作圖呢？實際上，直接描點畫圖法不僅不夠精確，它也剝離了函數圖象與三角函數定義之間內在的邏輯聯系，使得函數圖象徒有其“形”而少其“魂”，不利于知識的整體性與聯系性，教學中應讓學生體會到利用定義法作圖的意義.
（3）選取上12個特殊的值進行描點
掌握了任意一點的作法原理后，通過選擇具體的、足夠多的點進行描點，是從感性認識的累積飛躍到理性認識不可缺少的步驟.這12個等分點的選取不僅操作簡便，而且包含了函數中的零點和最值點以及一些常用的特殊角，有利于對圖象特征的把握.獲得以上具體經驗后，學生可以初步想象圖象的大致形狀.
（4）借助信息技術描出任意多的點，并連續成線
利用信息技術的連續動畫功能，可以得到更多的圖象上的點，達到點動成線的直觀效果，使學生進一步理解任意一點與整體圖形之間的關系，理解圖象形成的內在道理.
（5）從區間到實數集的延伸
從區間的局部圖象到實數集上的整體圖象，是從有限到無限的推廣過程.教科書設置“思考”，引導學生進行邏輯推理和直觀想象.由公式一，函數，，且的圖象與，的圖象形狀完全一致.因此將函數，的圖象不斷向左、向右平移個單位長度，就可以得到正弦函數，的圖象.教學中可利用信息技術呈現整體圖象的生成過程.
（6）五點（作圖）法
對函數的研究，作出其簡圖往往起重要作用，因此有必要要求學生熟練掌握“五點法”作圖.在講解“五點法”時，教科書通過“思考”，引導學生觀察圖象中的關鍵點，進一步說明在掌握正弦曲線圖形特征的基礎上，只要一個周期中五個關鍵點確定好，圖象就能基本確定.在精度要求不高的情況下，這樣作圖更方便、有效，實際上這也是在解決具體問題過程中，借助圖象直觀分析問題、得到解題思路的有效方法.
2.余弦函數的圖象
正弦函數與余弦函數是一對密切關聯的函數，借助已知的正弦函數的圖象來畫余弦函數的圖象，可以加強對兩者聯系性的認識，也較好地體現了化歸思想.
為了給學生更大的探索空間，教科書通過一個“思考”和一個“探究”，引導學生探究正弦函數與余弦函數的聯系，即.在此基礎上，通過圖象變換得到余弦曲線.
由于學生在二次函數學習中接觸過圖象的平移，在學習指數函數、對數函數的圖象后也直觀感受過圖象平移，對于函數與圖象之間的平移變換有一定的學習經驗.教學時，教師還需引導學生發現圖象平移的本質，即若點
在函數的圖象上，則點一定在函數的圖象上，反之也對.這說明函數的圖象上的每一點都可以看作是函數的圖象上相應的某個點向左平移個單位后得到的.借助信息技術，可以動態直觀地呈現函數的圖象上的每個點的生成過程.
在獲得余弦曲線的圖象后，教科書通過類比，要求學生把握余弦函數的圖象特征，并用五點法進行作圖.
3.例題
例1通過畫兩個簡單函數的簡圖，加深對正弦曲線與余弦曲線圖形特征的認識，熟練掌握五點作圖法的操作步驟.通過“思考”，引導學生初步感知函數解析式的變換與圖象變換之間的內在聯系，為后續的三角函數的圖象變換作鋪墊.
5.4.2 正弦函數、余弦函數的性質
學生對函數性質的研究已有比較豐富的經驗，借助對圖象特征的觀察獲取函數的性質是一個基本方法.教科書通過“探究”，引導學生明確函數性質的研究內容，選擇適當的研究方法.
在三角函數的性質中，周期性是最特別和最重要的，只要認識一個周期上函數的性質，那么整個定義域上函數的性質就完全清楚了，因此教科書將周期性的研究放在了首位.另外奇偶性也可起到簡化研究函數性質的作用，同時周期性和奇偶性的綜合可以加深對正弦曲線和余弦曲線的對稱性的認識，因此教科書首先安排了這兩個性質.
單調性是函數的重要性質，利用三角函數的周期性，可以先從一個周期入手研究它的單調性.函數的最值是利用單調性推出的一個自然結果.上述所有性質也可以借助單位圓進行直觀想象，多角度的聯系有助于對知識的理解和掌握
1.周期性
教科書首先從觀察正弦曲線入手，發現圖象每隔個單位長度就會重復出現；再引導學生借助單位圓，從定義來說明，或從公式一入手進行分析，從函數解析式發現它的性質.在多角度的觀察、描述與思考中，提升學生的直觀想象和邏輯推理的素養.
獲得正弦函數的周期性后，可類比得到余弦函數的周期性，從中歸納出一般函數周期性的定義.在學習周期函數的概念時，要強調以下幾點：
（1）對周期函數定義的理解
教科書對周期函數的定義為“存在一個非零常數，使得每一個都有，且”.對于這個定義，不僅要抓住關系式的代數特征和幾何含義，還要特別關注“存在”和“每一個”的含義.理解定義時，可以通過具體例子進行正面解釋，也可以從定義的反面入手.
在已知（已得出）函數是周期函數的前提下，對于“一個數為函數的周期”的反面理解，只要函數定義域中有一個值，使得，則就不是函數的周期.例如，對于，我們在得到它是以為周期的周期函數后，一個自然的問題是：還有沒有其他的數是正弦函數的周期？如是否也是它的周期？可以得到，雖然對于常數，對自變量取時都有，但并非“每一個值”都成立，如自變量取時就有
，因此，不是正弦函數的周期.
對于“為周期函數”的反面理解，即為“任意一個非零常數，都不能使得恒成立”，換種說法：若對任意一個非零常數，在函數定義域中總能找到某個值，使得，則不是周期函數.這涉及對兩個量詞“任意”和“存在”的否定，在教學中要注意把握.
從周期函數的定義可以得到，周期可以是正數，也可以是負數，若是周期函數定義域中的任意一個實數，則也必須在函數的定義域中，可以推出的定義域一定既無上界也無下界.
（2）周期的不唯一性
如都是正弦函數的周期，這不僅可以從圖象上觀察得到，也可以利用公式一進行代數論證.對于一般的周期函數，如果是的一個周期，則對定義域內的每一個，都有，于是
.所以也是的周期.同理可證，，，…都是它的周期.事實上都是它的周期.我們還可以得到，也都是它的周期.
（3）最小正周期
最小正周期是最具代表性的一個周期，但它不一定存在.例如常函數（為常數），所有非零常數都是它的周期，顯然在非零實數組成的集合中并不存在最小的正數，所以常函數并不存在最小正周期.又如函數
任何一個非零有理數都是它的周期，但它也沒有最小正周期.
下面證明是正弦函數的最小正周期.
由于易證明是正弦函數的一個周期，下面只需證任何一個小于的正數都不是正弦函數的周期.
假設是正弦函數的周期，且.根據周期的定義，對任意的一個實數，都有.令，則，所以.
但當時，與矛盾.所以假設不成立，即在區間內不存在正弦函數的周期，所以，是正弦函數的最小正周期.
如果不特別說明，那么教科書中的周期一般指最小正周期.本章教學的重點是三角函數的周期性，對一般函數的周期性研究要適度.
（4）函數的周期
教科書首先通過例2，研究形如的一些具體函數的周期，使學生掌握變量代換的方法，將的周期化歸為函數的周期，進一步加深理解函數的周期的定義；再通過“思考”，歸納猜想形如的函數的周期只與的系數有關系，為后續對函數及其周期的“探究與發現”作好鋪墊.這里不要求學生必須探究出一般形式的函數
的周期與之間的確切關系.
2.奇偶性
函數的奇偶性的學習，可以通過直接觀察圖象的對稱性得到，也可根據誘導公式通過邏輯推理得出.
值得注意的是，由三角函數的周期性所產生的三角函數的豐富性質，實際上也是單位圓的豐富對稱性（關于任意一條直徑對稱、關于圓心對稱等）的解析表示.教學中可以鼓勵學生將其拓展到對一般對稱性的探究.
教科書引導學生思考函數的周期性和奇偶性對研究函數圖象和性質的作用，為今后通過性質研究函數圖象的思路作鋪墊.
關于周期性與奇偶性的結合對正弦曲線、余弦曲線的對稱性的影響，教學中要適時關注，可以引導學生在課外進行專題拓展探究.
3.單調性和最值
函數的單調性是函數的重要性質.由于三角函數的周期性，其單調性也與以前所學函數的單調性有較大的差異，學習中特別要注意圖形的直觀想象和對單調區間的歸納概括的過程.由于正弦函數與余弦函數的單調性研究過程相似，教學時應把重點放在正弦函數上，學生可以通過類比學習余弦函數的性質.
教科書通過對正弦函數的圖象的觀察分析，確定正弦函數在一個周期內的單調性和單調區間.教學中可以讓學生繼續分析其他周期上的單調區間及單調性，在此基礎上歸納概括出所有單調區間的一般形式，體會研究周期函數單調性的一般思路，即先選擇一個周期（如），寫出這一周期上的單調區間，再利用周期性在區間兩端加上周期的整數倍得到整個定義域上單調區間的一般形式.
對于單調性只需直觀判斷（無需證明），類比正弦函數的單調性，可以讓學生自主研究余弦函數的單調性.
正弦函數、余弦函數的最大值和最小值可以作為函數單調性和有界性的一個自然結果，由學生自己研究獲得.
教科書在最后設置了選學內容“探究與發現利用單位圓的性質研究正弦函數、余弦函數的性質”，這是對利用函數圖象研究函數性質的方法的補充，同時也為后續利用單位圓推導三角公式作鋪墊，也突出了單位圓在研究三角函數中的重要價值.
4.例題
（1）例2以形如和的具體函數為例研究函數的周期，使學生學會從和的周期出發，借助變量代換求解稍復雜的函數的周期，也為后面對函數的研究作鋪墊.
（2）例2后的“探究與發現”則是對例2的推廣，從具體的例子出發，分級遞進地進行抽象，先從具體函數抽象為一般的函數，研究其周期性，再從這些特殊類型的函數抽象為一般的周期函數進行研究.
一般地，若是以為周期的函數，則對于函數，若設
，必有
，即.因此函數（即）是以為周期的函數.
（3）例3求解的基本依據是正弦函數、余弦函數的最大（小）值.對于形如
的函數，一般通過變量代換化歸為的形式，然后進行求解.這種通過變量代換實現化歸的思想方法也適用于研究此類函數的其他性質.解題過程中，要注意參數的正負對結果的影響.
（4）例4是利用正弦函數和余弦函數的單調性比較兩個函數值的大小.解決此類問題的關鍵是構造適當的函數，并利用誘導公式將它們轉化到函數的同一個單調區間上進行研究.也可借助單位圓，利用三角函數值對應坐標的幾何意義進行直觀比較，本例有助于學生加強知識間的聯系，理解定義的核心作用.
（5）例5主要通過化歸并利用正弦函數的單調性進行求解.由于本題規定了自變量的取值區間，通過變量代換，可等價轉化為在相應區間上的單調性問題，再借助正弦函數在相應區間上的圖象直觀判斷獲得結論.其后的“思考”主要是為了使學生對于復合函數的單調性問題有一個完整的認識，分析的思路是一致的.
令，，則，.由于是的減函數，要使增加時也增加，則只有減小時增加，因此，的減區間才對應原函數的增區間.
因為，的單調遞減區間是，，且由，或，得，或.所以，函數，的單調遞增區間是和.
5.4.3正切函數的性質與圖象
通過前面的學習，學生對研究三角函數的性質有了一定的經驗積累，教科書一開始設置“思考”，用兩個問題引導學生對函數性質的研究經驗進行概括總結，并嘗試用不同的方法進行創造性的實踐.
歸納起來可以有兩種思路：一是先根據三角函數的定義，借助單位圓直接畫出函數的圖象，再利用圖象直觀研究函數的性質；二是以定義為出發點，先研究函數的部分性質，再結合定義和這些性質研究函數的圖象，然后借助圖象的觀察進一步獲得函數的其他性質.了解這些思路可以更有效地研究函數的圖象與性質，全面深人地理解數形結合的思想.
由于一個角的正切值是這個角的終邊與單位圓交點的坐標比值，難以直接利用正切值的幾何意義對正切函數進行幾何作圖，對正切函數圖象與正切定義之間的內在聯系在理解上有一定的難度.為突破這一難點，教科書采用了第二種思路.對于正切函數的性質和圖象，教科書呈現了如下的研究過程.
1.從研究周期性和奇偶性入手
根據誘導公式，先從代數角度獲得正切函數的周期性和奇偶性，然后根據周期性和奇偶性，將正切函數在整個定義域的圖象和性質問題歸結為區間上的圖象與性質.
2.函數，的圖象
教科書借助單位圓，尋求時正切值的幾何意義（即正切線），再在區間上取點（如將區間6等分，得到自變量的取值為0，，，，，）從而畫出正切函數圖象上相應的特殊點，并用光滑曲線進行連接.教學時，應注意引導學生分析自變量從0趨向于時，正切值的變化趨勢，從而準確把握正切函數圖象的形狀特征.
3.利用奇偶性和周期性畫出正切曲線
從區間上的局部圖象，拓展到整個定義域上的圖象，既需要函數周期性和奇偶性的代數推理，也需要對圖形特征的直觀想象.
利用正切的幾何意義畫圖，可以強化幾何直觀，突顯正切函數的定義與函數圖象之間的內在聯系.這里只需借助坐標的幾何意義，無需明確提出正切線的概念.
正切函數的圖象被與軸平行的一系列直線，所隔開并無限逼近，關于這一事實，學生在認識上可能有困難.因此，教學時需緊緊圍繞正切的定義并借助信息技術進行直觀而細致的分析：首先是理解正切的定義域
對于圖象的幾何意義；然后借助信息技術從幾何直觀、數值變化等多角度感受在區間上，當時，的事實.
4.單調性
在觀察圖象的基礎上，讓學生自己歸納概括出正切函數單調區間的一般形式，并寫出函數的值域.
5.應用
例6研究了形如的具體函數的定義域、周期及單調性等性質，采用變量代換（令）的方法可以將函數的性質轉化為正切函數的性質處理.

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