資源簡介

5.6函數
一、本節知識結構框圖
二、重點、難點
重點：用函數模型來刻畫一般的勻速圓周運動；參數，，對函數圖象的影響，以及函數圖象的變換過程.
難點：數學建模的過程與方法，函數的圖象變換與其解析式變換之間的內在關系.
三、教科書編寫意圖及教學建議
在自然界、生活和生產實際及科學技術中，周期現象俯拾皆是.以單位圓上的勻速圓周運動引入函數，，它們是刻畫周期變化現象的基本數學模型.顯然，它們是“標準化”的結果，研究清楚它們的圖象與性質，就為研究其他周期變化現象作好了準備.而將單位圓上的運動進行擴展，自然是“一般的勻速圓周運動”，其擴充點有圓的半徑、起點位置、角速度等，而刻畫這些現象的數學模型就是函數，其中，，都有特定的實際意義.教科書從研究筒車的運動開始，經過數學建模，獲得函數；再通過對函數的研究獲得其圖象與性質等相關結論；最后利用這些結論可以研究生活中更廣泛的一些周期變化現象.
對于這部分內容，以往教科書往往側重研究“圖象變換”，即參數，，對函數圖象的影響.于是，教師在教學中就把注意力集中在三角函數圖象的平移和伸縮變換上，讓學生形式化地記住“左加右減，上加下減”等口訣，再進行大量解題訓練，而對這個函數的實際意義卻不加關注.
本節教科書編寫，定位于構建周期變化的函數模型，明確參數的實際意義，突出學習函數的必要性.教科書首先提出研究任意勻速圓周運動如何用數學模型刻畫的問題，引導從特殊到一般進行提問，滲透了數學源于生活的本質.這樣處理，既體現了研究函數的現實需要，讓學生體會到學習函數的必要性，同時也能很好地體現課改理念，加強數學與現實生活的聯系，接下來，在針對函數進行研究的過程中，通過一連串的“思考”與“探究”，引導學生觀察、歸納、抽象、概括、綜合、分析、聯想、總結，在理解函數的實際意義的基礎上，重點研究參數，，對函數圖象的影響，從而進一步把握此函數的圖象與性質，并在此過程中體會研究函數的一般思想和方法.
在教學中，可以借助信息技術模擬筒車運動過程實景，抽象出其中的幾何對象與幾何關系，并動態分析.由于本內容涉及多參數的函數圖象，需要分析圓周運動、解析式變換與圖象變換之間的多重關聯，有較大認知難度，利用信息技術進行直觀、動態、關聯地呈現，也可以有效地降低教學難點.
5.6.1勻速圓周運動的數學模型
教科書首先遵循從特殊到一般的推廣需要，提出“一般的勻速圓周運動”該用怎樣的數學模型刻畫的問題；然后以筒車這一實際背景為例，引導學生經歷數學建模的全過程.教學中可借助信息技術直觀呈現筒車運動的實際影像，將筒車上盛水筒的運動抽象成質點的勻速圓周運動，觀察運動中的相關要素，明確相關的常量和變量，尋求盛水筒距離水面的高度與時間的關系.
在建模過程中，需要學生將生活現象數學化，注意讓學生自主探尋運動變化中的常量和變量，以便更好地理解每一個字母的實際意義，通過對它們之間幾何關系或物理關系的分析，獲得函數關系，體會三角函數與圓周運動之間的內在聯系.
5.6.2函數的圖象
獲得函數模型的目的是可以更深入地研究筒車運動的變化規律，這就需要進一步研究函數的性質.此函數由參數，，所確定，知道了參數的變化對函數圖象的影響，就能把握這個函數的性質.
1.研究的基本思路
化歸是數學的重要思想方法，函數與函數都是勻速圓周運動的數學模型，具有一般與特殊的關系.教學中通過“思考”引導學生從已知出發探求未知，遵循從簡單到復雜、從特殊到一般的研究思路.
教科書結合函數的實際意義，從正弦函數出發進行研究，依次考察
，，對函數圖象的影響，最終整合為對函數的整體考察.
由于的變化涉及函數圖象的平移變換，學生已有一定的學習經驗，建議首先研究；的變化涉及圖形的伸縮變換，是一個學習難點，需要重點突破；在前面學習遷移下，的變化對圖象的影響可以交給學生進行自主探究.每一個參數的研究都要遵循從具體到抽象的思路，研究過程中結合簡車模型來理解各參數的實際意義.這里特別強調，以往教科書都是形式化地研究，，對函數圖象的影響，并以圖象變換的結果出現，本教科書改變了這種做法，注重以現實中圓周運動情境為背景，給出參數影響圖象的實際意義.
2.重視融合信息技術
借助信息技術可以直觀動態地呈現參數，，的實際意義及其對函數
圖象的影響，有助于學生更好地理解函數圖象與函數解析式和質點圓周運動的關聯性.我們認為，這個內容的教學應強調信息技術的使用.教師可事先提供互動性的實驗平臺，以便學生進行自主的實驗操作、觀察分析、思考探究.
制作互動實驗平臺的步驟如下（如圖5-7）：
（1）設置三個參數，，，在橫軸上取點代表質點運動的時間（可以取負值）.
（2）在橫軸上可取原點（或其他任一點）為圓心作以為半徑的圓，以起始角對應的點代表起點位置（即將點繞原點旋轉角后到達的位置），經過時間后，質點從起點出發繞點旋轉弧度后運動到點的位置，點的縱坐標就等于.
（3）以為橫坐標，以點的縱坐標為縱坐標，畫點，運動點，則點的軌跡就是函數的圖象.
圖5-7
學生可以任意輸入參數，，的值，側重兩個角度的觀察與分析：一是從圓周運動的實際意義看質點的運動變化，二是從相應函數圖象上點的坐標變化看圖象的變換.
3.探索對，圖象的影響
教學中，可以讓學生開展用信息技術進行數學實驗的探究活動.
取參數的初始值，，，此時動點在單位圓上從點出發以單位速度轉動，經過時間后動點到達的點的縱坐標，由此得到正弦函數的圖象.在此基礎上，學生可自由改變的值來觀察分析圓周運動以及函數圖象上點的變化.
若使，相應的數據和圖形都會自運動關聯地變化.從圓周運動的實際意義分析，此時動點在單位圓上從點出發以單位速度轉動，動點轉到任意一點所需的時間總比從點出發以相同速度轉動到點所需的時間少.再從函數圖象上點的生成角度分析，若點是函數圖象上的一點，那么點就是函數圖象上的點（這從解析式的聯系上也比較容易得到驗證），即把函數圖象上的所有點向左平移個單位，就得到函數的圖象.
獲得經驗后，再嘗試取其他值（如，，等），觀察參數對函數圖象的影響.進一步地，還可使的值連續變化，以便動態直觀地觀察函數圖象的整體變化過程，進而獲得圖象平移的直觀印象，從而得到對函數圖象影響的一般規律.
雖然學生有平移的直觀體驗，但教師還需要進一步引導學生剖析圖象平移的本質.圖象平移實質上是圖象上任意一點的平移，而點的平移實質上又是點的坐標的一種變換，坐標的變換最終反映在函數解析式的變化上，結合物理意義（是初相）看函數圖象上的點與函數圖象上的點之間的對應關系，實質上是質點運動的位置與時間之間的內在關系，這種關系的代數表達就是坐標變換公式.在自主實驗基礎上，經過討論交流，歸納概括出參數對函數圖象影響的一般化結論.
4.探索對的圖象的影響
通過對的研究，學生基本了解此類問題研究的基本思路和方法，教學中可以鼓勵學生在互動實驗平臺上自主探究對的圖象的影響.
將上述平臺中的參數重取初始值，回歸到已經研究過的函數及其圖象.如使，，，此時初始曲線為函數的圖象.
相對固定，的值，僅改變的值，進行實驗.若使，則相關的圖形與數據會自動改變.此時，質點以點為起點（），經過時間后，繞點旋轉弧度后運動到點的位置，其縱坐標就等于，此時點的軌跡就是函數的圖象.觀察所得圖象與的圖象之間的關系.
從圓周運動的角度看，兩個質點在同一圓周上從同一點出發，分別以和的速度運動，則它們到達同一位置時，對應的時間始終是對應的時間的倍.
體現在函數的對應關系上，如果點是函數圖象上的一點，那么點就是函數圖象上的點（從函數解析式中也容易得到驗證），即把函數圖象上的所有點的縱坐標保持不變，橫坐標縮短為原來的一半，就得到函數的圖象.
繼續讓學生改變的值（如，3，等），觀察函數的圖象與的圖象之間的關系.
通過一定量的積累后，形成圖象伸縮變換的感性認識，再進一步從物理意義、幾何關系、函數關系、點的坐標關系等多角度進行剖析.在此基礎上，再將上述結論一般化，得到函數的圖象與的圖象之間的關系.
教學中，要重視學生從具體到抽象的自主探究過程，并引導學生從多角度探尋圖象變換的本質.
5.探索對的圖象的影響
教科書以具體的例子繼續探究的圖象與函數的圖象之間的關系.研究方法完全一致，可由學生自主探究.
6.畫函數的圖象
通過以上的實驗探究，了解參數，，對函數圖象的影響，教科書通過“思考”要求學生總結、提煉出圖象變換規律，進而說明由正弦函數的圖象通過圖象變換得到圖象的過程與方法：從正弦曲線出發，先進行相位變換，再進行周期變換，然后進行振幅變換.
事實上這三種變換的先后順序并無特別規定，也可先進行周期變換，再進行相位變換，然后進行振幅變換.例如，要得到的圖象，可以按如下步驟完成：
（1）把正弦曲線上的所有點的橫坐標縮短為原來的倍（縱坐標不變），得到函數的圖象；
（2）把曲線上的所有點向左平移個單位，得到函數（即）的圖象；
（3）將曲線上的所有點的縱坐標伸長為原來的2倍（橫坐標不變），得到函數的圖象.
教學中要提醒學生注意比較不同變換順序之間的異同.
教科書對變換過程的小結用表格留空的形式給出，目的是引導學生自主概括出圖象變換的操作程序，并鼓勵學生提出不同思路.
7.例題
例1通過具體的函數，復習鞏固正弦型函數的物理意義，明確函數的圖象特征，再把握其中的關鍵點進行描點作圖，要求學生掌握“五點法”作圖.
例2以摩天輪為實際背景，鞏固數學建模的過程與方法，同時也與5.6.1小節開篇的筒車問題相呼應.例2第（3）小題求函數的最值，需要三角恒等變換等知識的綜合應用，可以使學生進一步體會轉化的思想.

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