資源簡介

V評價建議與測試題
一、本章學業要求
1.能夠理解三角函數的背景、概念和性質.
2.能夠運用三角恒等變換的基本公式進行三角恒等變換.
3.能夠通過構建三角函數模型解決簡單的實際問題.
4.能夠在本章的學習中，重點提升數學抽象、數學建模、數學運算、直觀想象和邏輯推理素養.
二、本章評價建議
為落實本章的學業要求，以下從核心知識評價要求、思想方法評價要求和關鍵能力評價要求三個維度提出具體的評價建議.
1.核心知識評價要求
依據本章的學習目標和學業要求，按照了解、理解、掌握的三個認知層次，且高一級的層次要求包含低一級的層次要求，可列出本章的12個核心知識.具體評價要求詳見表1.
表1
主題 知識單元 核心知識 評價要求
了解 理解 掌握
函 數 三 角 函 數 角與 弧度 任意角的概念和弧度制 √ 2
弧度與角度的互化 √
三角函數的概念和性質 任意角的正弦、余弦、正切的定義 √ 6
同角三角函數的基本關系式 √
誘導公式 √
周期函數的定義 √
三角函數，，的圖象和性質 √
函數的圖像和性質 √
三角恒等變換 兩角和與差的正弦、余弦、正切公式 √ 3
二倍角的正弦、余弦、正切公式 √
簡單的三角恒等變換 √
三角函數的應用 三角函數的簡單應用 √ 1
總計 2 8 2 12
對數學知識與技能的評價，本章應關注學生能否借助單位圓理解三角函數的定義、性質；能否利用單位圓的對稱性推導出誘導公式；能否在函數觀點下研究三角函數的圖象與性質；能否結合具體的情境理解函數及其中參數的實際意義；能否從單位圓的旋轉對稱性理解兩角差的余弦公式，并用聯系的觀點看待三角恒等變換的基本公式，及其與誘導公式之間的關系.
為此，我們將本章12個核心知識的評價要求，分別按照了解、理解和掌握三個層次的具體含義進行細化解析，以便有效地指導教學評價.
（1）了解任意角和弧度制的概念：能通過不同的分類方式初步認識任意角，能識別正角、負角、零角、象限角和終邊相同的角；能類比角度制的定義，解釋弧度制，體會引入弧度制的必要性.
（2）理解弧度與角度的互化：能進行弧度與角度之間的互化，能說明弧度制下的弧長、扇形面積等公式的簡潔性，進一步認識引入弧度制的意義.
（3）理解任意角的正弦、余弦、正切的定義：能借助于單位圓，在函數觀點下理解三角函數的定義，說出三角函數的幾何意義；能根據三角函數的定義確定三角函數的符號.
（4）理解同角三角函數的基本關系式：能借助單位圓，利用定義推導出同角三角函數的基本關系式，知道同角三角函數的基本關系也反映了三角函數的基本性質，并會運用它們進行簡單三角函數式的化簡、證明和求值等運算.
（5）理解誘導公式：知道誘導公式是圓的對稱性的代數化，它反映的是三角函數的對稱性；能借助單位圓的對稱性推導出誘導公式，并能運用誘導公式進行化簡、求值和證明.
（6）了解周期函數的定義：能說出周期函數的含義，能借助圖象解釋三角函數的周期性，會求正弦、余弦、正切函數的最小正周期，初步認識三角函數是刻畫周期變化現象的數學模型.
（7）理解三角函數，，的圖象和性質：能根據定義畫出正弦函數的圖象，并能根據余弦函數與正弦函數的關系畫出余弦函數的圖象；能根據正切函數的性質畫出正切函數的圖象；知道三角函數的圖象特征，并會用“五點法”畫出它們在一個周期內的簡圖.知道三角函數的周期性、單調性及最值、奇偶性（對稱性）等，能根據圖象描述正弦函數、余弦函數在上，正切函數在
上的性質，并能利用這些性質解決簡單的三角函數問題.
（8）理解函數的圖象和性質：知道函數的實際意義，會用振幅變換、周期變換和相位變換描述函數的圖象變化規律；會用“五點作圖法”畫其在一個周期內的圖象，會利用圖象變換由函數的圖象得到函數的圖象，并能描述參數，，的實際意義以及它們對函數圖象變化的影響.
（9）掌握兩角和與差的正弦、余弦、正切公式：知道兩角差的余弦公式是圓的旋轉對稱性的代數表示，并能利用兩角差的余弦公式推導出兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，能說出它們之間的關系，會用相關公式求值、化簡和證明.
（10）掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式：能利用兩角和的正弦、余弦、正切公式導出二倍角的正弦、余弦、正切公式，能說出它們之間的內在聯系，會用相關公式求值、化簡和證明.
（11）理解簡單的三角恒等變換：能運用三角公式進行簡單的三角恒等變換（包括導出積化和差、和差化積、半角公式，但對這三組公式不要求記憶）；能根據給定的三角函數式中角、三角函數名的不同，選擇合適的公式，進行合理的變形，研究三角函數的性質.
（12）理解三角函數的簡單應用：能認識三角函數模型是描述周期變化規律的重要數學模型；能結合具體的現實問題、科學問題情境，并根據三角函數的圖象和性質，建立三角函數模型解決一些簡單的實際問題.
2.思想方法評價要求
本章的數學思想方法主要包括數形結合的思想、函數與方程的思想、分類與整合的思想和化歸與轉化的思想等，具體評價更求詳見表2.
表2
思想方法 評價要求
數形結合 能利用單位圓，理解弧度制、三角函數的定義、同角三角函數的基本關系、誘導公式、兩角和與差的余弦公式；能用“五點法”繪制三角函數、 的圖象，并能根據圖象求出函數的解析式；能以三角函數的圖象為基礎，綜合應用函數有關知識研究三角函數的性質，體會函數圖象是研究函數性質的一種重要工具；能根據三角函數圖象得到其性質，同時也能在性質研究的基礎上畫出函數圖象；能結合圖象理解函數中參數的幾何意義，并確定參數的值；能由函數的圖象，經過恰當的變化得到函數的圖象.
函數與方程 能在函數定義的基礎上理解三角函數定義；能在函數理論的指導下，對三角函數展開研究；能建立實際問題的函數模型，并利用函數的知識解決實際問題；能在解決實際問題的過程中，進一步感受三角函數刻畫周期變化現象時的作用；在求解具體問題或推導公式時，注重應用列方程（組）的方法求解.
分類與整合 能根據角的終邊的位置分類，選擇適當的公式和化簡程序，求出適合的角；能根據三角函數的符號特征，分類求解三角函數值問題.
化歸與轉化 能通過換元將復雜的三角函數型問題轉化為基本的三角函數問題解決；能根據三角函數式中角與函數名的特征，選擇恰當的公式將之變形轉化；能靈活對待公式中角的關系，通過換元等方法將陌生問題轉化為熟悉的三角函數圖象和性質問題，并加以解決.
特殊與一般 能根據三角函數在一個周期內的圖象與性質解決三角函數的整體性問題；能根據參數取特殊值時的變化情況，把握一般的變化情況；能借助于特殊問題的研究，解決一類三角函數圖象變化規律問題.
（1）要特別關注學生能否運用數形結合、化歸與轉化的思想方法.如學生能否借助單位圓對三角函數進行研究，能否運用三角函數圖象認識函數性質，能否通過換元將新問題轉化為舊問題等.
（2）要關注學生能否借助信息技術理解本章的知識與方法.如能否借助信息技術的函數功能探求當參數變化時，函數圖象的變化規律等.
3.關鍵能力評價要求
本章的關鍵能力主要包括抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力、直觀想象能力和數學建模能力等5個，具體評價要求詳見表3.
表3
關鍵能力 評價要求
抽象概括 能在具體情境中抽象出三角函數的概念；能利用特殊到一般、具體到抽象的方法概括出三角函數的定義、圖象和性質之間的邏輯關系；能概括出函數的圖象特征，及其與正弦函數圖象之間的關系；能夠在熟悉的情境或新的情境中抽象出有關三角函數問題，并加以解決.
推理論證 能通過類比、歸納、演繹等推理過程，理解三角函數的定義、圖象與性質之間的邏輯關系；能綜合應用三角函數的圖象、性質進行分析、推理和論證；能準確、規范使用函數有關術語和數學符號進行表達，并能解決有關問題.
運算求解 能夠了解同角三角函數的關系式、誘導公式、和差角公式、二倍角公式等的運算特點，正確進行運算；能夠根據式中角和函數名的特征，選擇運算方法，設計運算程序，進行合理的三角恒等變換，解決問題；在解決三角函數圖象性質的問題中，能體會程序化的思想的意義和作用.
直觀想象 能借助三角函數的圖象特征，研究它們的基本性質和變化規律；能用三角函數描述和表達數學問題，啟迪解決些這問題的思路，體會數形結合.能根據問題情境，想象并構建相應的三角函數圖形，借助圖形提出問題，發現規律，并解決問題，體會數形結合的思想.
數學建模 能閱讀、理解問題情境，合理確定正弦型函數中參數的取值，通過對已知材料的分析、整理，能清晰、準確地表達數學建模的過程和結果，并能創造性地解決與物理、地理等學科有著緊密聯系的具有周期性變化特征的實際問題.
（1）要特別關注學生能否形成由具體到抽象的思維品質.如學生能否根據三角函數的概念、圖象和性質，領悟由特殊到一般、由具體到抽象的認知規律.對于三角函數的有關概念和性質，要讓學生充分經歷觀察、操作、類比、推理、歸納、交流的全過程，不應單純評價對概念與性質的記憶，而應注重對數學本質的理解和思想方法的把握，結合具體問題進行評價，避免片面強調機械模仿、死記硬背和復雜技巧.
（2）要特別關注學生能否提升數學建模素養.如能否理解三角函數這個重要的數學模型，并在具體問題中，認識函數中參數的實際意義；注重學生學習過程中的閱讀與理解、表達與交流的能力是否有提高，是否掌握了讀模、識模、建模、解模的全過程.特別要注意將數學建模滲透在全章的學習過程之中，可以通過典型例子規范學生的建模過程，通過測試檢驗學生掌握情況，為學生以后進一步提升數學建模素養打好基礎.
三、本章命題建議
本章學業水平測試的命題，要以學業要求的達成為目標，以核心知識為基礎、以問題情境為載體、以思想方法為依托、以關鍵能力為特征，綜合體現數學核心素養的落實.
1.本章學業水平測試的命題意圖
（1）以三角函數的知識為素材，突出評價函數的周期性、單調性、奇偶性、對稱性，函數的最大（小）值等基本性質.本章充分應用了單位圓對三角函數進行研究，因此在評價時要注意評價學生能否自覺地建立坐標系研究刻畫實際問題，是否有對單位圓進行進一步探究發現的意識.要盡量地創設數學、物理或者其他實際應用的情境，評價學生是否能在實際情境中理解三角函數這個模型.
（2）本章中公式較多，在評價時要規避繁難的公式應用題目，要將之定位在服務于三角函數圖象與性質的研究.以三角函數的圖象為載體，突出研究函數性質的通性通法，注重結合具體問題情境融入數學思想方法，淡化特殊技巧.
（3）以三角函數的簡單應用為特征，突出問題情境中要蘊含數學關鍵能力的評價，并將三角函數的核心知識、思想方法和實際應用有機地結合，重在評價學生綜合運用本章知識建立三角函數模型、解決實際問題的能力.
2.本章學業水平測試題的雙向多維細目表
依據上述要求，我們設計了本章學業水平測試題的雙向多維細目表（詳見表4），編制了一套示范性學業水平測試題，并給出了參考答案，以供教學時選用.
表4
題型 題號 問題情境 核心知識 評價要求 思想方法 關鍵能力
選 擇 題 1 數學（A） 誘導公式 理解 化歸與轉化 運算求解
2 數學（A） 正弦函數的最值 理解 化歸與轉化 運算求解
3 數學（A） 函數的周期性 了解 化歸與轉化 運算求解
4 數學（B） 正弦函數的圖象和性質 理解 數形結合 推理論證
5 數學（B） 三角函數的定義 理解 數形結合 直觀想象
6 數學（B） 函數的圖象和性質 理解 數形結合 推理論證
7 數學（B） 函數的圖象和性質 理解 數形結合 直觀想象
8 數學（B） 正弦函數的單調性 了解 化歸與轉化 運算求解
9 數學（B） 同角三角函數的基本關系式 理解 化歸與轉化 運算求解
10 數學（C） 三角函數的簡單應用 理解 特殊與一般 抽象概括
填 空 題 11 數學（A） 弧度制 了解 化歸與轉化 運算求解
12 數學（A） 弧度與角度的互化 理解 化歸與轉化 運算求解
13 數學（B） 簡單的三角恒等變換 理解 化歸與轉化 運算求解
14 數學（C） 簡單三角恒等變換 理解 化歸與轉化 運算求解
15 數學（C） 函數的圖象和性質 理解 數形結合 幾何直觀
解 答 題 16 數學（A） 正弦函數的圖象 理解 數形結合 直觀想象
17 數學（B） 三角函數的定義，三角恒等變換 理解 數形結合 運算求解
18 數學（B） 三角恒等變換 理解 化歸與轉化 運算求解
19 數學（C） 三角函數的簡單應用 理解 數形結合 數學建模
20 數學（C） 二倍角的余弦公式，余弦函數與二次函數的性質 掌握 函數與方程 推理論證

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