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2.3、 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的回復(fù)力和能量
O
Q
P
O
P
Q
F
F
Q
P
問(wèn)題:當(dāng)我們把彈簧振子的小球拉離平衡位置釋放后，小球就會(huì)在平衡位置附近做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。小球的受力滿足什么特點(diǎn)才會(huì)做這種運(yùn)動(dòng)呢？
根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律，可以作出以下判斷：做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)
的物體偏離平衡位置向一側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)，一定有一個(gè)力迫使物體的運(yùn)動(dòng)速度逐漸減小直到減為０，然后，物體在這個(gè)力的作用下，運(yùn)動(dòng)速度又由0逐漸增大并回到平衡位置；物體由于具有慣性，到達(dá)平衡位置后會(huì)繼續(xù)向另一側(cè)運(yùn)動(dòng)，這個(gè)力使它再一次回到平衡位置。正是在這個(gè)力的作用下，物體在平衡位置附近做往復(fù)運(yùn)動(dòng)。我們把這樣的力稱為回復(fù)力。
一、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的回復(fù)力
做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物體受到的回復(fù)力有什么特點(diǎn)？下面我們以水平方向彈簧振子做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)為例進(jìn)行分析
如圖2.3-1甲，當(dāng)小球在O點(diǎn)（平衡位置）時(shí)，所受的合力為０；在O點(diǎn)右側(cè)任意選擇一個(gè)位置P，無(wú)論小球向右運(yùn)動(dòng)還是向左運(yùn)動(dòng)，小球在P點(diǎn)相對(duì)平衡位置的位移都為x，受到的彈簧彈力如圖2.3-1乙所示。從圖中可以看出，迫使小球回到平衡位置的回復(fù)力應(yīng)該是由彈簧彈力提供的，回復(fù)力大小為F＝ kx（k為彈簧的勁度系數(shù)），方向指向平衡位置。
一、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的回復(fù)力
同樣的道理，當(dāng)小球在O點(diǎn)左側(cè)某一位置Q時(shí)，迫使小球回到平衡位置的回復(fù)力還是由彈簧彈力提供，大小仍為F＝ kx，方向指向平衡位置（如圖2.3-1丙所示）
從上面的分析可以看出，彈簧對(duì)小球的彈力是小球做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的回復(fù)力，這個(gè)力的大小與小球相對(duì)平衡位置的位移成正比，方向與位移方向相反，可表示為：
F＝－ kx，式中“－”號(hào)表示F與x反向
一、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的回復(fù)力
理論上可以證明，如果物體所受的力具有F＝－ kx的形式，物體就做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。
也就是說(shuō)：如果物體在運(yùn)動(dòng)方向上所受的力與它偏離平衡位置位移的大小成正比，并且總是指向平衡位置（即物體在運(yùn)動(dòng)方向上所受的力與位移方向相反），則質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)就是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)
1.定義:
2.特點(diǎn):
按力的作用效果命名
使振子回到平衡位置的力
3.回復(fù)力來(lái)源：
振動(dòng)方向上的合外力
如果質(zhì)點(diǎn)所受的回復(fù)力大小與它偏離平衡位置的位移大小成正比，回復(fù)力的方向與位移方向相反,則質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)就是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。
4.簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)特點(diǎn)
F回=–kx
5.簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)特點(diǎn)
一、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的回復(fù)力
（1）當(dāng)物體從最大位移處向平衡位置運(yùn)動(dòng)時(shí)，由于v與a的方向一致，物體做加速度越來(lái)越小的加速運(yùn)動(dòng)。
（2）當(dāng)物體從平衡位置向最大位移處運(yùn)動(dòng)時(shí)，由于v與a的方向相反，物體做加速度越來(lái)越大的減速運(yùn)動(dòng)。
6、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的加速度大小和方向都隨時(shí)間做周期性的變化，所以簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)是變加速運(yùn)動(dòng)
由F回=–kx知，
回復(fù)力產(chǎn)生的加速度為
二、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的能量
彈簧振子中小球振動(dòng)的過(guò)程中，彈簧的伸長(zhǎng)量或壓縮量在不斷變化，因而它的勢(shì)能在不斷變化，由于系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，故小球的動(dòng)能也在不斷變化，因而小球的速度在不斷變化；彈簧振子做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，其各個(gè)物理量變化具有什么規(guī)律呢？
1、 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)中各個(gè)物理量的變化規(guī)律
Q Q－O O O－P P
x
v
F、a
向左減小
向右增大
向右減小
動(dòng)能增大
勢(shì)能減小
向右增大
向右減小
向左增大
動(dòng)能減小
勢(shì)能增大
不變
向左最大
向右最大
0
0
向右最大
0
0
向右最大
向左最大
動(dòng)能最大
勢(shì)能為0
動(dòng)能為0
勢(shì)能最大
動(dòng)能為0
勢(shì)能最大
O
Q
P
O
P
Q
F
F
動(dòng)能
勢(shì)能
總機(jī)械能
2.簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的能量
某一簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的能量與振幅有關(guān)，振幅越大，振動(dòng)的能量越大
理論上可以證明，在彈簧振子運(yùn)動(dòng)的任意位置，系統(tǒng)的動(dòng)能與勢(shì)能之和都是一定的，遵守機(jī)械能守恒定律
O
Q
P
O
P
Q
F
F
沿水平方向振動(dòng)的彈簧振子的勢(shì)能為彈性勢(shì)能，其大小取決于彈簧的形變量。小球運(yùn)動(dòng)遠(yuǎn)離平衡位置時(shí)，勢(shì)能會(huì)增大。與此同時(shí)，小球的速度減小，動(dòng)能減小。小球到達(dá)最大位移時(shí)，動(dòng)能為０，勢(shì)能最大。小球通過(guò)平衡位置時(shí)，動(dòng)能最大，勢(shì)能為０。
2.簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的能量
O
Q
P
O
P
Q
F
F
沿當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到最大位移時(shí)，動(dòng)能為０，彈性勢(shì)能最大，系統(tǒng)的機(jī)械能等于最大彈性勢(shì)能。對(duì)于彈簧勁度系數(shù)和小球質(zhì)量都一定的系統(tǒng)，振幅越大，機(jī)械能越大。
實(shí)際的運(yùn)動(dòng)都有一定的能量損耗，所以簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)是一種理想化的模型
判斷物體是否做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的方法：
（1）根據(jù)物體的振動(dòng)圖像(或位移--時(shí)間函數(shù)關(guān)系式）去判斷
（2）根據(jù)回復(fù)力的規(guī)律F=-kx去判斷
思考題：豎直方向振動(dòng)的彈簧振子所做的振動(dòng)是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)嗎？
證明步驟：
1、找平衡位置
2、任意位置，找回復(fù)力大小
3、看回復(fù)力大小與位移大小的關(guān)系是否滿足F=kx
4、看回復(fù)力方向是否與位移方向相反
證明:豎直懸掛的彈簧振子做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)
證明:平衡位置時(shí)有:
mg=kx0
當(dāng)向下拉動(dòng)x長(zhǎng)度時(shí)，小球沿振動(dòng)方向上所受的合外力大小為：
F=k(x+x0)-mg
=kx
而回復(fù)力方向與位移X的方向相反:
故把方向代入后有
F=-kx
是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)
證明:平衡位置時(shí)有:
mg=kx0
當(dāng)向下拉動(dòng)x長(zhǎng)度時(shí)小球所受的回復(fù)力為
F=-k(x+x0)+mg
=-kx-kx0+mg
=-kx
(符合簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的公式)
B
1.做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物體，當(dāng)位移為負(fù)值時(shí)，以下說(shuō)法正確的是 （ ）
A．速度一定為正值，加速度一定為正值
B．速度不一定為正值，但加速度一定為正值
C．速度一定為負(fù)值，加速度一定為正值
D．速度不一定為負(fù)值，加速度一定為負(fù)值
2.做簡(jiǎn)諧振動(dòng)的物體，每次經(jīng)過(guò)同一點(diǎn)時(shí)，一定相同的物理量是（ ）
A、位移 B、速度 C、回復(fù)力
D、加速度 E、動(dòng)能
ACDE
BC
3．如圖是質(zhì)點(diǎn)做簡(jiǎn)諧振動(dòng)的圖象，由此可知（
A．t=0時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的位移、速度均為零
B．t=1s時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的位移為正向最大，速度為
零，加速度為負(fù)向最大
C．t=2s時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的位移為零，速度為負(fù)向最大
值，加速度為零
D．質(zhì)點(diǎn)的振幅為5cm，周期為2s
E. t=1s至2s間，質(zhì)點(diǎn)速度增加，回復(fù)力增加
C D
4.當(dāng)一彈簧振子在豎直方向上做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)時(shí)，下列說(shuō)法正確的（ ）
A．振子在振動(dòng)過(guò)程中，速度相同時(shí)，彈簧的長(zhǎng)
度一定相等
B．振子從最低點(diǎn)向平衡位置運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，彈簧
彈力始終做負(fù)功
C．振子在振動(dòng)過(guò)程中的回復(fù)力由彈簧的彈力和
振子的重力的合力提供
D．振子在振動(dòng)過(guò)程中，系統(tǒng)的機(jī)械能一定守恒
3、P、Q兩點(diǎn)的特點(diǎn)：
X、F、a最大，V最小為0
4、平衡位置的特點(diǎn)：
X、F、a最小為0，V最大
5、簡(jiǎn)諧振動(dòng)過(guò)程機(jī)械能守恒
結(jié)論：
1、振子向兩邊運(yùn)動(dòng)時(shí)做減速運(yùn)動(dòng)，向平衡位置運(yùn)動(dòng)時(shí)做加速運(yùn)動(dòng)
2、X、F、a的變化與速度V變化相反

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