資源簡介

《空間向量及其運(yùn)算》知識(shí)探究
探究點(diǎn)1空間向量的相關(guān)概念
1.空位向量:在空間,具有大小和方向的量叫做空間向量.
2.長度或模:空間向量的大小.
3.表示方法
（1）幾何表示法:空間向量用有向線段表示.
（2）字母表示法:用字母表示;若向量的起點(diǎn)是,終點(diǎn)是,也可記作:,其模記為或.
（3）坐標(biāo)表示法:建立空間坐標(biāo)系后,還可以用坐標(biāo)表示空間向量.
4.常見的特殊向量
（1）零向量：長度為0的向量叫做零向量，記為0.
（2）單位向量：模為1的向量叫做單位向量.
（3）相反向量：與向量a長度相等而方向相反的向量，叫做a的相反向量，記為-a.
（4）共線向量：如果表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，那么這些向量叫做共線向量或平行向量.
（5）方向向量：在直線l上取非零向量a，與向量a平行的非零向量稱為直線l的方向向量.
（6）相等向量：方向相同且模相等的向量叫做相等向量.
【要點(diǎn)辨析】
1.空間向量要緊緊抓住向量的兩個(gè)要素，即大小和方向.
2.注意一些特殊向量的特性
（1）零向量不是沒有方向，而是它的方向是任意的，且與任何向量都共線，這一點(diǎn)說明了共線向量不具備傳遞性.
（2）單位向量方向雖然不一定相同，但它們的長度都是1.
（3）兩個(gè)向量模相等，不一定是相等向量；反之，若兩個(gè)向量相等，則它們不僅模相等，方向也相同.若兩個(gè)向量模相等，方向相反，則它們?yōu)橄喾聪蛄?
學(xué)科素養(yǎng): 利用空間向量的定義及空間向量的線性運(yùn)算解決問題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).
典例1[概括理解能力]給出下列命題：
①若,則或;
②若向量是向量的相反向量,則;
③在正方體中,;
④若空間向量滿足,則.
其中正確命題的序號(hào)是___________.
解析:本題考查空間向量的相關(guān)概念和常見的特殊向量的定義,根據(jù)向量的概念,向量既有大小,又有方向,所以要從兩方面來判斷關(guān)于空間向量的有關(guān)概念的題目;模相等的向量,方向不一定相同或相反,而相反向量的模一定相等,空間向量是自由向量,所以只要模相等,方向在一條直線或平行就可以判斷兩個(gè)相等或相反.
對(duì)于①,向量與的方向不一定相同或相反,故①錯(cuò);
對(duì)于②,根據(jù)相反向量的定義知,故②正確;
對(duì)于③,根據(jù)相等向量的定義知,,故③正確;
對(duì)于④,根據(jù)相等向量的定義知正確.答案②③④.
探究點(diǎn)2 空間向量的線性運(yùn)算
1.向量的加法、減法運(yùn)算
空間向量的運(yùn)算 加法
減法
加法運(yùn)算律 ①交換律: ②結(jié)合律:
2.空間向量的數(shù)乘運(yùn)算
(1)定義:實(shí)數(shù)與空間向量的乘積仍然是一個(gè)向量,稱為向量的數(shù)乘運(yùn)算.
當(dāng)時(shí),與向量方向相同;當(dāng)時(shí),與向量方向相反; 的長度是的長度的倍.
(2)運(yùn)算律
①結(jié)合律:.
②分配律:.
【要點(diǎn)辨析】
1.空間向量加法、減法運(yùn)算的兩個(gè)技巧
（1）巧用相反向量：向量減法的三角形法則是解決空間向量加法、減法的關(guān)鍵，靈活運(yùn)用相反向量可使向量首尾相接.
（2）巧用平移：利用三角形法則和平行四邊形法則進(jìn)行向量加、減法運(yùn)算時(shí)，務(wù)必注意和向量、差向量的方向，必要時(shí)可采用空間向量的自由平移獲得運(yùn)算結(jié)果.
2.利用數(shù)乘運(yùn)算進(jìn)行向量表示的技巧
（1）數(shù)形結(jié)合：利用數(shù)乘運(yùn)算解題時(shí)，要結(jié)合具體圖形，利用三角形法則、平行四邊形法則，將目標(biāo)向量轉(zhuǎn)化為已知向量.
（2）明確目標(biāo)：在化簡過程中要有目標(biāo)意識(shí)，巧妙運(yùn)用中點(diǎn)性質(zhì).
學(xué)科素養(yǎng): 利用空間向量的線性運(yùn)算解決問題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).
典例2 [分析計(jì)算能力](1)如圖所示,在正方體中,下列各式中運(yùn)算結(jié)果為向量的有（ ）
①;②;
③;④.
A.1個(gè)
B.2個(gè)
C.3個(gè)
D.4個(gè)
(2)已知空間四邊形,連接,設(shè)分別是的中點(diǎn),則等于（ ）
A.
B.3
C.3
D.
解析: 本題考查空間向量中,根據(jù)向量的三角形法則以及三角形中位線的性質(zhì),依次得出空間向量加法的運(yùn)算結(jié)果.
(1)對(duì)于①,(;
對(duì)于②,;
對(duì)于③,;
對(duì)于④,.答案D
答案B
探究點(diǎn)3 空間向量的共線問題
共線向量定理:對(duì)于空間任意兩個(gè)向量的充要條件是存在實(shí)數(shù)使.
【要點(diǎn)辨析】
證明空間三點(diǎn)共線的三種思路:對(duì)于空間三點(diǎn)可通過證明下列結(jié)論來證明三點(diǎn)共線.
(1)存在實(shí)數(shù),使成立.
(2)對(duì)空間任一點(diǎn),有.
(3)對(duì)空間任一點(diǎn),有.
學(xué)科素養(yǎng): 利用空間向量的共線向量定理解決問題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).
典例3 [分析計(jì)算能力]若非零空間向量不共線,則使與共線的的值為_______________.
解析: 本題考查空間向量中,根據(jù)空間向量的共線向量定理,找出唯一的實(shí)數(shù),計(jì)算得出值.
若與共線,則,
.答案
探究點(diǎn)4 空間向量的共面問題
1.共面向量:平行于同一個(gè)平面的向量叫做共面向量.
2.共面向量定理:若兩個(gè)向量不共線,則向量與向量共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì),使.
【要點(diǎn)辨析】
四點(diǎn)共面的結(jié)論:
(1)存在有序?qū)崝?shù)對(duì),使得,
(2)空間一點(diǎn)在平面內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)組使得(其中).
(3)四點(diǎn)中任意兩點(diǎn)的方向向量與另外兩點(diǎn)的方向向量共線,如.
學(xué)科素養(yǎng): 利用空間向量的共面向量定理解決問題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).
典例4 [分析計(jì)算能力]已知向量不共面,且,試判斷是否共面.
解析: 本題考查空間向量中,根據(jù)空間向量的共面向量定理解決問題,首先設(shè),然后用分別表示出,通過系數(shù)相等算出.
解:設(shè),即.
因?yàn)椴还裁?所以,
而此方程組無解,所以不能用表示,即不共面.
探究點(diǎn)5 空間向量的數(shù)量積運(yùn)算
1.（1）夾角的定義
已知兩個(gè)非零向量與,在空間任取一點(diǎn),作,則叫做向量與的夾角,記作.
（2）范圍:空間向量的夾角范圍是.
2.（1）空間向量的數(shù)量積定義:已知兩個(gè)非零向量,則叫做的數(shù)量積,記作,即.
（2）數(shù)量積的運(yùn)算律
數(shù)乘向量與數(shù)量積的結(jié)合律
交換律
分配律
【要點(diǎn)辨析】
1.兩個(gè)向量的數(shù)量積是數(shù)量，而不是向量，它可以是正數(shù)、負(fù)數(shù)或零.
2.向量數(shù)量積的運(yùn)算不滿足消去律、作商和乘法的結(jié)合律.
3.可利用數(shù)量積證明垂直，計(jì)算夾角，計(jì)算距離.
學(xué)科素養(yǎng): 利用空間向量的數(shù)量積解決問題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).
典例5 [分析計(jì)算能力] 如圖所示，在一個(gè)直二面角-AB-3的棱上有兩點(diǎn)A，B，AC，BD分別是這個(gè)二面角的兩個(gè)面內(nèi)垂直于AB的線段，且AB=4，AC=6，BD=8，則CD的長為__________.
解析:本題考查空間向量中,根據(jù)空間向量的數(shù)量積解決問題,首先,將用其他向量表示出來,然后利用模的算法計(jì)算的模.,
.答案
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