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《共線向量與共面向量》知識解讀
(1)共線向量
①共線向量的定義:
共線向量(平行向量):如果表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合,那么這些向量叫作共線向量或平行向量.
知識剖析
a.0與空間任意向量a都是共線向量.
b.a與b共線時,表示a與b的有向線段所在直線可能是同一直線,也可能是平行直線.
c.共線向量不具有傳遞性,如a∥b,b∥c,那么a∥c不一定成立,因為當b=0時,雖然a∥b,b∥c,但a不一定與c共線.
②共線向量定理:對任意兩個空間向量a,b(b≠0),a∥b的充要條件是存在實數,使.
③共線向量定理的推論:
如下圖,l為經過已知點A且平行于已知非零向量a的直線,對空間任意一點O,點P在直線l上的充要條件是存在實數t,使①′,其中非零向量a叫作直線l的方向向量.
在l上取,則①′式可化為.
由此可見,可以利用向量之間的關系判斷空間任意三點是否共線,這與利用平面向量判斷平面內三點是否共線是一樣的.
事實上,,顯然.
故是P,A,B三點共線的充要條件.
知識剖析
①共線向量定理中的b≠0不可去掉,否則實數可能不唯一或不存在.
②共線向量定理包含兩個命題:
a.a∥b(b≠0)存在唯一的實數,使；
b.存在唯一的實數,使a∥b.
③若P,A,B三點共線,即,其中,則有,說明點P是線段AB的中點.
④共線向量定理可以作為判定線線平行的依據,但必須注意在向量a(或b)上存在一點不在向量b(或a)上.
(2)共面向量
①共面向量的定義:平行于同一個平面的向量,叫作共面向量.
②共面向量定理:如果兩個向量a,b不共線,那么向量p與向量a,b共面的充要條件是存在唯一的有序實數對(x,y),使.
③共面向量定理的推論:如圖,空間一點P位于平面ABC內的充要條件是存在有序實數對(x,y),使；
或對空間任意一點O,有.
事實上,,顯然,.
故是P,A,B,C四點共面的充要條件.
知識剖析
(1)任意兩個空間向量必共面,但任意三個空間向量不一定共面.
(2)空間任意直線由空間一點及直線的方向向量唯一確定.
(3)空間中任意平面由空間一點及兩個不共線向量唯一確定.
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