資源簡介

《1.1空間向量及其運算》教材分析
一、本節知識結構框圖
二、重點、難點
重點：空間向量及其相關概念，空間向量的線性運算，空間向量的數量積.
難點：用向量方法解決立體幾何問題.
三、教科書編寫意圖及教學建議
本節包括空間向量及相關概念、空間向量的加減運算、空間向量的數乘運算、空間向量的數量積運算等內容.在用空間向量解決立體幾何問題的過程中，首先要用空間向量表示立體圖形中的幾何元素，然后利用空間向量的運算研究空間圖形之間的平行、垂直等位置關系以及距離、夾角等度量問題，最后再把空間向量運算的結果“翻譯”成相應的幾何結論.因此，空間向量的概念及其運算的內容是用空間向量解決立體幾何問題的基礎，也是本節教學的重點.
向量是具有大小和方向的量，這一概念既適用于平面，也適用于空間.實際上，平面向量都可以看作空間向量，空間向量的概念、表示與平面向量具有一致性.另外，由于任意兩個空間向量都可以平移到一個平面內，兩個空間向量的加法、數乘、數量積運算與平面向量也具有一致性.因此學習本節內容的主要方法是類比，即類比平面向量的相關概念學習空間向量的相關概念，類比平面向量的運算學習空間向量的運算，類比用平面向量解決平面幾何問題的方法利用空間向量解決簡單的立體幾何問題.教學中，要充分關注這種學習的可遷移性，鼓勵學生自主探究，在梳理平面向量及其運算的學習內容、過程和方法的基礎上，類比提出空間向量及其運算的學習內容、過程和方法，將平面向量及其運算推廣到空間.
在本節學習中，由于學生已有“立體幾何初步”的基礎，已有空間直線、平面平行、垂直等概念，將向量的概念、運算從平面推廣到空間對學生來說并不困難，但這一過程仍要一步步地進行.由于現在研究的范圍已由平面擴展到空間，而我們研究的是自由向量，一個向量可以確定空間的一個平移，兩個不平行向量確定的平面已經不只是一個平面，而是互相平行的“平面集”，這些都需要學生對向量有新的理解.另外，盡管在形式上空間向量的運算、運算律和平面向量一致，但在空間它們的幾何表示是不同的，因此需要學生在空間上進一步體會其運算法則、驗證其運算律，提高空間想象力，發展直觀想象的數學學科核心素養.
對于用空間向量解決立體幾何問題，教科書并不是在完整學習空間向量之后才集中安排，而是在全章進行了“先分散、后集中”的處理.在學習空間向量的概念及其運算時，教科書結合相關內容的學習，及時應用它們解決立體幾何問題，在本節，教科書在給出共線、共面向量的充要條件之后，安排了證明立體幾何中四點共面的問題；在數量積運算之后安排了證明直線與平面直垂直的判定定理以及其他一些簡單的立體幾何問題等.對于這些問題，盡管學生已經有了用平面向量解決平面幾何問題的一些經驗，但是由于初次接觸用空間向量解決立體幾何問題，圖形的維數增加了，也更加抽象了，學生對于如何用空間向量表示立體圖形中的相關元素，如何通過運算得出這些元素間的兒何關系還比較陌生，因此這是本節教學中的難點.教學中，要結合具體問題，引導學生類比利用平面向量解決平面幾何問題的“三步曲”的思路和方法，學習利用空間向量解決立體幾何問題，從中體會用空間向量解決立體幾何問題的基本思路和方法，發展數學運算、邏輯推理等數學學科核心素養.
1.1.2空間向量的數量積運算
教科書在本小節將平面向量的數量積運算推廣到空間.學習空間向量的數量積運算，包括空間向量的夾角、空間向量數量積運算的法則和運算律，空間向量的投影，并舉例說明向量數量積運算是立體幾何中證明直線和平面垂直、直線和直線垂直，求兩點間的距離或線段長度等問題的基本方法.本小節重點是向量數量積的計算方法及其應用，難點是如何將立體幾何問題轉化為向量的運算問題.
1.空間向量的數量積運算
由于任意兩個空間向量都可以通過平移轉化為同一平面內的向量，所以兩個空間向量的夾角、數量積的定義與平面向量的相應定義是一致的.
與平面向量的夾角一樣，兩個空間向量的夾角滿足
（1）；
（2）.
其中（2）也是以后立體幾何問題中求兩個向量夾角時常遇到的情況.
空間兩個向量數量積的意義與平面上兩個向量數量積的意義相同.教學時，除注意讓學生掌握一般的數量積運算的法則外，還要特別關注其中一些特殊情況，如
（1）；
（2）；
（3）當與同向時，；當與反向時，；
（4）
（5）
這些數量積的特殊性質在今后用空間向量解決立體幾何問題時經常用到.
2.空間向量的投影
與平面向量一樣，在學習了空間向量的數量積運算后，教科書安排了空間向量投影的內容.讓學生理解空間向量向另一個向量、一條直線和一個平面的投影，了解投影與數量積運算之間的關系，體會投影是構建高維空間與低維空間聯系的橋梁，發展直觀想象的數學學科核心素養.
由于任意兩個空間向量可以平移到同個平面內，因此向量向向量，以及向量向直線的投影與平面向量的相應投影是一致的，都得到與向量或直線平行的向量，而且，.向量向平面投影，得到的是與平面平行的向量，且，其中是向量所在直線和平面所成的角.
對于向量的投影向量，無論它是向量向另一個向量投影，向量向一條直線投影，還是向量向一個平面投影，都有向量與投影向量垂直.此時表示三個向量的有向線段構成一個直角三角形（圖1）.這樣，通過勾股定理，可以借助幾何直觀更好地理解向量投影的本質.本章后續用空間向量解決立體幾何問題，在求點到直線的距離、兩條平行直線之間的距離、平面外一點到平面的距離、兩個平行平面間的距離時，都要利用向量投影，也都要利用這一直角三角形.
3.空間向量數量積運算的運算律
與平面向量一樣，空間向量的數量積運算滿足如下運算律：
（1）；
（2）（交換律）
（3）（分配律）
對于（1）和（2），證明與平面向量相同.對于空間向量數量積的分配律（3），可以證明如下：
如圖2，設，，，則，分別將，，向投影，得到投影向量，則
.
設與方向相同的單位向量為，上式即為
，
兩邊同乘，得
，
即
，
即
，
從而
，
所以
，
即
.
以上證明中，表示的和向量時，采用的是三角形法則.若采用平行四邊形法則，證明與必修第二冊中證明平面向量數量積運算的分配律類似.
下面再提供一種空間向量數量積運算分配律的證明方法.
如圖3，設，，，為的中點，則.
根據平行四邊形對角線的平方和等于四邊的平方和（這個結論在“平面向量及其應用”中進行過證明），分別在和所確定的平面內使用這個結論，得
，
.
上面兩式相減，得
，
即
.
4.向量的數量積與數的乘法
與集合是一種不同于實數的特殊運算對象類似，向量也是一種不同于實數的運算對象.在定義向量的運算法則，探索其相應的運算律時，無論是對于平面向量還是空間向量，都可以類比數及其運算來學習.在本節中，學習了向量的數量積，自然會將它與數的乘法作類比，向量的數量積是否具有一些與數的乘法類似的性質呢？它們之間有什么共性和差異嗎？這也是教科書第7頁安排“思考”的目的.
對“思考”中的問題解答如下.
（1）對三個不為0的數若，則.而對于向量，若，不能得到.例如，如教科書中的圖1.1-2，向量與向量，都垂直，因此，而顯然，不相等.
（2）對三個不為0的數若，則（或）.而對于向量，若，則不能寫成（或）.向量沒有除法.
（3）對三個不為0的數，有.而對于向量，若不成立，也就是說，向量不可以“連乘”，向量的數量積不滿足“結合律”.例如，任意取三個不共面的向量，是一個數與向量作數乘，是一個數與向量作數乘，而不在同一個方向上，所以與不可能相等.
5.例2、例3的教學
向量的數量積運算涉及向量的模和向量的夾角，因此，利用向量的數量積運算，可以解決立體幾何問題中涉及距離、夾角的一些問題.教科書安排的例2，除鞏固空間向量的數量積運算外，也包括直接應用向量的數量積運算求線段的長度.教科書練習、習題中也包括一些求異面直線所成的角、線段的長度、兩點間的距離等問題，它們都可以應用空間向量的數量積運算加以解決.
至此，教科書已經把平面向量的線性運算和數量積運算推廣到了空間.與平面向量一樣，空間向量既是代數運算對象，也是幾何對象，其線性運算和數量積運算都具有鮮明的幾何背景，空間圖形的許多性質都可以用空間向量的線性運算及數量積運算表示出來.例如，應用向量的數量積可以證明兩條線段互相垂直，應用向量共線的充要條件可以證明兩條線段互相平行等.為此，按照教科書在本章“結合空間向量運算的學習適時安排用空間向量解決立體幾何問題”的整體安排，教科書在本節最后安排了例3，用向量方法證明直線與平面垂直的判定定理，讓學生進一步體會用空間向量解決立體幾何問題的一般過程.
直線與平面垂直的判定定理是學生在必修課程中學習的，那時并未給出證明，這個定理可以用綜合幾何方法證明如下.
已知：
求證：
證明：設g是平面內的任意一條直線.
（1）當，g都通過點B時（圖4），在上點的兩側分別取點，，使，則由已知條件可以推出都是線段的垂直平分線.
如果g與（或）重合，那么根據已知（或）,可推出.
如果g與都不重合，那么在平面內作一直線，與直線分別交于點連接.
因為，，，所以≌.
所以.進而有≌，所以.
所以g是的垂直平分線.于是.
（2）當，g不都通過點時，過點B作，，使∥，g'∥g.用（1）中的方法可證⊥g′，因而⊥g.
綜合（1）（2），無論，g是否通過點，總有⊥g.由于g是平面內的任一直線，因而.
在教科書例3用向量方法證明這個定理的過程中，利用向量共面的充要條件，將平面上的任意一條直線用已知的兩條相交直線表示，進而利用空間向量數量積運算的分配律，將直線和平面內任意一條直線垂直的問題轉化為直線和平面內已知的兩條相交直線垂直的問題，從而解決問題.從這個證明過程可以看出，向量運算簡化了定理的證明過程，體現了向量法的程序性和普適性.
除例1、例3外，教科書還安排了一些用空間向量解決立體幾何問題的習題.對于這些問題，教學時要注重引導學生分析題意，尋求解題思路.例如，可以依次提出以下問題引導學生思考：
（1）如何把已知的幾何元素轉化為向量表示？
（2）一些未知的幾何元素能否用已知向量表示？
（3）結論和已經表示出來的向量或其運算有何聯系？能否通過向量的運算獲得結論？
（4）如何將向量運算的結果“翻譯”為幾何結論？
通過梳理、總結以上解決問題的過程，可以讓學生體會用空間向量解決立體幾何問題的基本思考方法，為后續歸納用空間向量解決立體幾何問題的“三步曲”做準備.
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