資源簡介

《空間向量與立體幾何》總體設計
在必修課程學習平面向量的基礎上，本章將平面向量推廣到空間，學習空間向量及其運算、空間向量基本定理及空間向量運算的坐標表示，并運用空間向量研究立體幾何中圖形的位置關系和度量問題，包括用空間向量描述空間直線、平面間的平行、垂直關系，用空間向量解決空間距離、夾角問題等.本章的研究對象是幾何圖形，所用的研究方法是向量方法.通過本章學習，側重提升學生的直觀想象、數學運算、邏輯推理和數學抽象等數學學科核心素養.
一、本章學習目標
1.空間向量及其運算
(1)經歷由平面向量推廣到空間向量的過程，了解空間向量的概念.
(2)經歷由平面向量的運算及其法則推廣到空間向量的過程.
(3)掌握空間向量的線性運算和數量積運算.
(4)了解空間向量投影的概念以及投影向量的意義.
2.空間向量基本定理
(1)了解空間向量基本定理及其意義.
(2)掌握空間向量的正交分解.
3.空間向量及其運算的坐標表示
(1)在平面直角坐標系的基礎上，了解空間直角坐標系，感受建立空間直角坐標系的必要性，會用空間直角坐標系刻畫點的位置，探索并得出空間兩點間的距離公式.
(2)掌握空間向量的坐標表示.
(3)掌握空間向量的線性運算和數量積運算的坐標表示.
4.空間向量的應用
(1)能用向量語言描述直線和平面，理解直線的方向向量與平面的法向量.
(2)能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角以及垂直與平行關系.
(3)能用向量方法證明必修內容中有關直線、平面位置關系的判定定理.
(4)能用向量方法解決點到直線、點到平面、相互平行的直線、相互平行的平面的距離問題和簡單夾角問題，并能描述解決這一類問題的程序，體會向量方法在研究幾何問題中的作用.
二、本章知識結構框圖
三、內容安排
本章屬于《標準(2017年版)》中“幾何與代數”主線的內容.學生將在必修(第二冊)“平面向量”和“立體幾何初步”的基礎上學習空間向量及其運算、空間向量基本定理，并利用空間向量解決立體幾何問題.對于用空間向量解決立體幾何問題，教科書“先分散、后集中”，即在學習空間向量及其運算、空間向量基本定理時“隨學隨用、學以致用”，同時在解決立體幾何問題中鞏固空間向量的知識，最后再利用空間向量描述空間直線、平面間的平行、垂直關系用，用空間向量解決空間距離、夾角問題，讓學生進一步體會用空間向量解決立體幾何問題的思想和方法.
本章共分為四部分：空間向量及其運算、空間向量基本定理、空間向量及其運算的坐標表示、空間向量的應用.
“空間向量及其運算”是本章的基礎，主要包括空間向量的基本概念和基本運算.由于空間向量的概念和運算與平面向量的概念和運算具有一致性，因此，教科書注意引導學生與平面向量及其運算作類比，讓學生經歷向量由平面向空間推廣的過程.在展開空間向量及其運算內容時，教科書同步安排了利用空間向量解決相關的簡單立體幾何問題的實例.
“空間向量基本定理”揭示出空間任何一個向量都可以用三個不共面的向量唯一表示，因此空間中三個不共面的向量就構成了三維空間的一個“基底”，這為幾何問題代數化奠定了基礎.為了突出空間向量基本定理的基礎地位，教科書將這一內容單設一節.不僅學習空間向量基本定理，還應用向量方法解決立體幾何中的一些問題.這種安排不僅可以突出空間向量基本定理在本章內容中承上啟下的作用，而且可以使學生更好地掌握用空間向量解決立體幾何問題的基本方法---“基底法”，為后續學習空間向量及其運算的坐標表示奠定堅實基礎.
“空間向量及其運算的坐標表示”主要包括空間直角坐標系和空間向量運算的坐標表示.其中，空間直角坐標系是空間向量運算坐標表示的基礎.對于空間直角坐標系的編排，基于使本章內容邏輯主線更加清晰的考慮，教科書選擇了利用空間任意給定的一點和一個單位正交基底建立空間直角坐標系的方法，這與原教科書從立體幾何知識出發建立空間直角坐標系相比有較大不同.由于空間向量運算的坐標表示與平面向量運算的坐標表示類似，因此，對于空間向量運算的坐標表示的編排，教科書采用類比方法，引導學生經歷由平面推廣到空間的過程.
“空間向量的應用”主要是利用向量方法解決簡單的立體幾何問題，包括用空間向量描述空間直線、平面間的平行、垂直關系，證明直線、平面位置關系的判定定理，用空間向量解決空間距離、夾角問題等，向量方法是這部分的重點.為了使學生掌握向量方法，教科書注意以典型的立體幾何問題為例，讓學生體會向量方法在解決立體幾何問題中的作用，并引導學生自己歸納用向量方法解決立體幾何問題的“三步曲”.同時，教科書還注意引導學生歸納向量法、綜合法與坐標法的特點，根據具體問題的特點選擇合適的方法.
為了拓展學生的知識面，本章還安排了“閱讀與思考 向量概念的推廣與應用”，把二維、三維向量推廣為高維向量，并通過例子說明高維向量的應用.學有余力的學生可以學習這個閱讀材料，將空間向量的有關性質推廣到維向量空間，并解決一些簡單的實際問題.
空間向量及其運算、空間向量基本定理、空間向量及其運算的坐標表示和立體幾何中的向量方法是本章的重點.用向量方法解決立體幾何中的問題，需要綜合運用向量知識和其他數學知識，通過建立立體圖形與空間向量之間的聯系，把立體幾何問題轉化為向量問題，這對學生的直觀想象、數學運算、邏輯推理等數學學科核心素養要求較高，是教學的難點.對于立體幾何中的向量方法，要讓學生在解決具體問題的基礎上，歸納概括出用空間向量解決立體幾何中的問題的“三步曲”，并在解決立體幾何中的問題時不斷體會、理解進而掌握向量方法，從而突破難點.
四、課時安排
本章教學時間約需14課時，具體分配如下(僅供參考)：
1.1空間向量及其運算 約2課時
1.2空間向量基本定理 約2課時
1.3空間向量及其運算的坐標表示 約2課時
1.4空間向量的應用 約6課時
小結 約2課時
五、本章編寫思考
1.關注內容的聯系性和整體性，構建本章的研究框架
與必修“平面向量及其應用”一樣，本章也是《標準(2017年版)》中“幾何與代數”主線的內容.空間向量既是代數研究的對象，也是幾何研究的對象，是溝通幾何與代數的橋梁.本章的內容安排充分考慮空間向量的這種聯系性，突出幾何直觀與代數運算之間的融合，通過形與數的結合，感悟數學知識之間的關聯，加強對數學整體性的理解.
與平面向量一樣，空間向量研究的“暗線”也是向量空間理論.
空間向量的概念來源于現實生活.在數學中，以位移、速度等為背景，抽象空間向量的概念，定義空間向量的加法、數乘等線性運算，并給出線性運算滿足的運算性質，這時空間中的向量所組成的集合就構成了一個實數域上的向量空間.進一步地，如果在這個向量空間里定義“數量積運算并給出其性質，那么這個向量空間就是一個有度量概念的歐氏向量空間.歐氏空間中空間向量的加法、數乘、數量積等運算建立了空間向量與立體幾何中的位置關系與度量問題之間的聯系.
一般地，在構建一個向量空間后，通常會研究這個向量空間的一般規律.具體到空間向量，就是研究空間向量基本定理.根據空間向量基本定理，這個向量空間可以由三個線性無關的向量生成，這為空間向量的運算化歸為數的運算奠定了基礎.這樣，空間任意一個向量都可以表示成三個不共面向量的線性運算，在用空間向量解決立體幾何問題的過程中，這種表示發揮了“基本”作用.
從空間向量基本定理出發，選定空間中的任意一個定點，并給定一個單位正交基底，分別過點作平行于向量的數軸，就可以建立由確定的空間直角坐標系.在解決立體幾何問題時，通過建立空間直角坐標系，可以把空間向量及其運算轉化為數及其運算，從而可以將幾何問題完全“代數化”，得到用空間向量解決立體幾何問題的“坐標法”.
立體幾何中的向量方法表現為如下的“三步曲”：為了用空間向量解決立體幾何問題，首先要把點、直線、平面等組成立體圖形的要素用向量表示，使其成為可以運算的對象，將幾何問題轉化為向量問題；進而利用空間向量的運算，研究空間直線、平面間的平行、垂直等位置關系以及距離、夾角等度量問題；最后再利用向量運算的幾何意義，將運算結果“翻譯”成相應的幾何結論，從而得到幾何問題的解決.
基于以上分析，教科書構建了“空間向量與立體幾何”的研究框架:
背景---空間向量的概念---空間向量的運算及其性質---空間向量基本定理、空間直角坐標系---空間向量及其運算的坐標表示---應用
2.類比平面向量研究空間向量的概念及其運算，關注其中維數帶來的變化
平面向量與空間向量都屬于向量，平面向量是二維向量，空間向量是三維向量，兩者有密切的聯系.空間向量是平面向量的推廣，兩者除維數不同外，在概念、運算及其幾何意義、坐標表示等方面具有一致性；平面向量基本定理與空間向量基本定理在形式上也具有一致性；利用空間向量解決立體幾何問題，是利用平面向量解決平面幾何問題的發展，主要變化是維數的增加，討論對象由二維圖形變為三維圖形，基本方法都是將幾何問題用向量形式表示，通過向量的運算，得出相應幾何結論.
由于平面向量和空間向量具有相同的線性運算性質，在構建空間向量及其線性運算的結構體系時，我們把空間向量及其線性運算的內容進行了集中處理，相關概念和線性運算性質通過類比平面向量的方式呈現.這樣，既使教科書在局部范圍內整體性更強，也使知識的縱向聯系更加緊密.
同樣，空間向量的坐標運算與平面向量的坐標運算具有類似的運算法則.如在平面上，；，.因此，教科書通過問題“有了空間向量的坐標表示，你能類比平面向量的坐標運算，得出空間向量運算的坐標表示并給出證明嗎？”引出空間向量運算的坐標表示.
空間向量與平面向量的差異主要由其維數引起，對此教科書也給予了充分關注.例如，在證明空間向量線性運算的結合律時，通過問題“證明結合律時，與證明平面向量的結合律有什么不同？”引導學生思考向量從平面推廣到空間時，研究對象維數的變化對運算律的證明帶來的影響.這樣處理，也使學生在平面向量的基礎上進一步深入理解空間向量.
3.關注空間向量與立體幾何知識間的聯系
空間向量體系的建立需要立體兒何的基本知識，反過來，立體幾何中的問題可以用向量方法解決.因此，我們說空間向量與立體幾何間有著天然的聯系.“空間向量與立體幾何”屬于“幾何與代數”內容主線，課程標準設計這條主線的一個基點是：讓學生知道如何用代數運算解決幾何問題，這是現代數學的重要研究手法.
例如，教科書在定義共面向量時，通過畫出向量與平面平行的立體圖形幫助學生建立概念；在研究如何確定點的坐標和向量的坐標時，注意引導學生借助幾何直觀進行研究，并根據直線和平面垂直的判定定理解釋其中的道理；等等.這些安排都凸顯教科書在構建向量體系時對立體幾何基本知識的重視.
又如，在空間向量的數量積運算后，教科書安排了證明直線與平面垂直的判定定理以及其他一些簡單的立體幾何問題；在空間向量基本定理后，安排了證明直線與直線垂直或平行以及求兩條直線所成角的余弦值等簡單立體幾何問題；在完成空間向量體系的構建后，安排了運用空間向量研究空間直線、平面的位置關系和距離、夾角等度量的問題，這些安排都體現了“讓學生知道如何用代數運算解決幾何問題”的設計意圖，為學生后續學習打下了基礎.
4.突出用向量方法解決立體幾何問題
向量方法是解決幾何問題的常用方法.平面幾何討論的是平面上的點、直線等元素，它們可以與平面向量建立聯系.由于平面向量可以表示平面上直線之間的平行、垂直關系以及兩條直線夾角的大小，因此許多平面幾何問題可以轉化為平面向量問題，通過平面向量的運算得出幾何結論.類似地，立體幾何所討論的是三維空間中的點、直線、平面等元素，由于它們可以與空間向量建立聯系，許多立體幾何問題可以轉化為空間向量問題，通過空間向量的運算得出幾何結論.解決這些問題，主要運用向量方法.
向量方法有別于綜合幾何方法.綜合幾何方法是借助圖形直觀，從公理、定義和定理等出發，通過邏輯推理解決幾何問題；而向量方法則是用向量表示幾何元素，通過向量運算得到幾何問題的解決.一般地，利用空間向量解決立體幾何問題，有如下的“三步曲”：
第一步，建立立體圖形與空間向量的聯系，用空間向量表示問題中涉及的點、直線、平面，把立體幾何問題轉化為向量問題；
第二步，通過向量運算，研究點、直線、平面之間的位置關系以及它們之間的距離和夾角等問題；
第三步，把向量運算的結果“翻譯”成相應的幾何結論.
這種利用向量方法解決立體幾何問題的“三步曲”，在解決幾何問題時具有程序性、普適性.
對于立體幾何中的向量方法，教科書采取了先分散后集中的方式，即在學生系統學習空間向量知識的同時，安排利用空間向量解決簡單的立體幾何問題，滲透向量方法；而在建立空間向量的體系后，則集中圍繞“使學生認識向量方法在解決立體幾何問題中的作用，體會向量方法的“三步曲”這個中心來設計，結合具體問題明確給出利用空間向量解決立體幾何問題的“三步曲”，安排用“三步曲”解決空間直線、平面的位置關系以及距離、夾角等度量問題的內容，進一步體會向量方法在解決立體幾何問題中的普適作用.
5.關注投影向量的意義及其在解決距離問題中的作用
空間向量投影是《標準(2017年版)》新增加的內容，課程標準對空間向量投影的概念及其應用都有明確的要求.我們在編寫教科書時，關注了課程標準的這一變化.
向量的投影是高維空間到低維子空間的一種線性變換，得到的投影向量是變換的結果，空間向量投影概念的建立對于學生利用投影向量研究立體幾何問題有重要意義.教科書在引入向量數量積后，類比在必修課程中學習過的平面向量投影的概念，利用幾何直觀給出了空間向量投影的概念.
距離是空間中的重要度量.本章涉及的距離問題主要有：兩點間的距離，點到直線的距離，平行線之間的距離，點到平面的距離，直線到平面的距離，平行平面之間的距離等.分析上述距離的內容，可以得到如下認識：
①除兩點間距離外，垂直反映了距離的本質，因此借助勾股定理可以直觀地研究距離問題.
②無論是對于平面還是直線，法向量都是反映垂直方向的最為直觀的表達形式，因此利用法向量可以刻畫表示“距離”的線段的方向.法向量的方向和法向量上投影向量的長度既體現了幾何直觀，又提供了代數定量刻畫，因此利用法向量和向量投影可以研究距離問題.
由此可見，投影向量的兒何意義和代數表示，不僅為研究立體幾何的距離問題提供了便利，而且還提供了研究距離的方法.在研究距離問題時，參考向量、它的投影向量、二者的差構成直角三角形.這樣，利用勾股定理，結合空間向量的運算，距離問題也就迎刃而解.例如，教科書在利用空間向量研究點到直線的距離時，就采用了如下投影向量和勾股定理相結合的方式：
如圖1，為直線外的一點，為直線的單位方向向量.設，則向量在直線上的投影向量的長.在中，由勾股定理，得
在本章中，教科書注意盡可能地使用投影向量研究立體幾何中的距離問題，在“1.4.2用空間向量研究距離、夾角問題”中，教科書采取了如下的對“距離”的研究順序：
首先，通過問題“已知直線的單位方向向量為，是直線上的定點，是直線外一點.如何利用這些條件求點到直線的距離？”引出對點到直線的距離的研究，進而利用投影向量得到求點到直線的距離的公式.這也為下一章利用投影向量，結合坐標法獲得解析幾何中的點到直線的距離公式進行了鋪墊.
接下來，通過問題“類比點到直線的距離的求法，如何求兩條平行直線之間的距離？”引導學生自己研究兩條平行直線之間的距離.
進而，利用投影向量研究點到平面的距離，并滲透利用法向量和投影向量研究距離問題的一般方法：
第一步，確定法向量；
第二步，選擇參考向量(如圖2，向量即為參考向量)；
第三步，確定參考向量到法向量的投影向量；
第四步，利用向量運算求投影向量的長度.
最后，結合例題、習題，解決直線到平面、平行平面間的距離問題(都可以轉化為點到平面的距離).
6.關注用空間向量研究空間中直線、平面間的夾角問題
與距離類似，角度是立體幾何中的另一個重要的度量.空間直線、平面間的夾角問題，包括直線與直線所成的角、直線與平面所成的角、平面與平面所成的角，而直線、平面又都可以利用它的方向向量或法向量來刻畫，因而空間直線、平面間的夾角問題就轉化為求直線的方向向量、平面的法向量間的夾角問題，進而可以利用空間向量的數量積運算加以解決.
對于空間直線、平面間的夾角問題，教科書進行了系統考慮和處理.
學生在必修課程“立體幾何初步”的學習中，已經知道如何用綜合幾何的方法求兩條異面直線所成的角，即通過平移把兩條異面直線轉化為相交直線，再構造三角形來計算，因此教科書在解決“夾角”問題時，首先安排了一道求兩條異面直線夾角的余弦值的問題.有了向量工具，兩條直線的方向能用它們的方向向量表達，利用向量方法就能得到這兩條異面直線的夾角，而不需要平移，從而既體現“角”的本質，也簡化求解過程；同時為研究直線與平面所成的角，以及平面與平面的夾角奠定基礎.
接下來，教科書通過歸納得出利用向量方法求空間兩條異面直線夾角的計算方法，即把兩條異面直線所成的角，轉化為求兩條異面直線的方向向量的夾角.類似地，求直線與平面所成的角，可以轉化為求直線的方向向量與平面的法向量的夾角；求平面與平面的夾角，可以轉化為求這兩個平面的法向量的夾角或其補角，并給出其一般計算公式.最后，教科書通過求直線、平面間的夾角(或其余弦值)的例題和習題，使學生進一步掌握解決立體幾何中角度問題的向量方法，體會向量法在解決立體幾何問題中的作用.
六、本章教學建議
1.通過問題引導學習，獲得“四基”、提升數學核心素養
為了使學生得到思維方法上的訓練，教科書根據知識的發生發展過程，利用“觀察”“思考”“探究”等欄目提岀冋題，引導學生層層深入地進行思考.在教學前，教師應深人理解教科書構建的問題鏈，并在此基礎上進行教學設計.
例如，在用空間向量研究直線、平面的位置關系的學習中，教科書圍繞空間中點、直線和平面的向量表示，通過空間向量的運算，以“思考”欄目為載體，構建了這樣一條問題鏈：
(1)以“思考 如何用向量表示空間中的一個點？”引導學生思考空間中點的向量表示；
(2)以“思考 我們知道，空間中給定一個點和一個方向就能唯一確定一條直線.如何用向量表示直線？”引導學生思考空間中直線的向量表示;
(3)以“思考 一個定點和兩個定方向能否確定一個平面？進一步，一個定點和一個定方向能否確定一個平面？如果能確定，如何用向量表示這個平面？”引導學生思考空間中平面的向量表示；
(4)以“思考 由直線與直線、直線與平面或平面與平面的平行關系，可以得到直線的方向向量、平面的法向量間的什么關系？”為引導，研究空間中直線、平面的平行；
(5)以“思考 類似空間中直線、平面平行的向量表示，在直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關系中，直線的方向向量、平面的法向量之間有什么關系？”為引導，研究空間中直線、平面的垂直.
上述欄目設計體現了“問題引導學習”的理念，逐步把學生的思維活動引向深入，幫助學生在獲得“四基”的過程中，逐步提高“四能”，發展數學實踐能力及創新意識，培育科學精神，促進學生學會學習.因此，教師要注意依托教科書中的問題鏈做好教學設計.
2.加強立體幾何中向量方法的教學
由于學生在必修課程中已經系統地學習過立體幾何知識，因此本章對于立體幾何知識沒有作系統安排，而是通過解決一些立體幾何具體問題，體現空間向量在解決立體幾何問題中的應用，加強對立體幾何中向量方法的一般性認識.因此，本章的教學，特別是“空間向量的應用”的教學，應注意把具體的立體幾何問題作為學習向量方法的載體，通過問題的解決加深對向量法和立體幾何內容的理解.當前，教學中普遍存在著把向量方法等同于坐標法的現象，究其原因，主要是沒有體會向量方法的特點.加強向量方法，應該強調綜合運用向量及其運算解決幾何問題.這里，一個是要注意使用“向量回路”、數乘向量、數量積等解決問題(平行、垂直、長度、角度等問題)，另一個是要強調空間向量基本定理的核心地位.
“空間向量的應用”的主題是立體幾何中的向量方法，教科書通過例題體現這一主題.教學時要注意結合例題，使學生對向量方法的認識逐步深化；結合習題進一步掌握向量方法；并通過引導學生自己歸納概括向量方法，提高他們的抽象概括能力.
3.通過具體問題加深對向量運算作用的理解
向量是軀體，運算是靈魂.向量是既有大小又有方向的量，規定了向量的運算法則后，向量才顯示其威力.為了使學生體會向量運算的作用，本章中提出了如下問題：你同意“向量是軀體，運算是靈魂”“沒有運算的向量只能起路標的作用”的說法嗎？
教科書安排這個問題的目的是要引導學生結合幾何問題，關注向量運算在分析和解決問題中的作用.通過向量及其運算，不僅能表示空間中的點、直線和平面等基本元素，而且能使空間基本元素的位置關系、大小度量得到表達.例如，直線與直線垂直可以與向量的數量積運算建立對應關系，即
(直線，的方向向量分別為，).
這樣我們可以進一步通過向量運算研究立體兒何中的位置關系或度量問題.因此，我們說向量的主要作用要通過其運算來實現.
4.注意通過具體例子使學生體會維數增加對向量推廣帶來的影響
在教科書編寫時，我們關注了維數增加對向量推廣帶來的影響.例如，在類比平面向量給出空間向量的線性運算滿足的運算律時，教科書提出了如下問題：“你能證明這些運算律嗎？證明結合律時，與證明平面向量的結合律有什么不同？”在教學時，教師可以類比平面向量加法結合律的證明，讓學生體會維數增加對運算律的證明帶來的影響.
具體地，可以首先回顧平面向量加法結合律的證明：
如圖3，因為
所以
這就證明了平面向量的加法結合律.
在上面回顧平面向量的加法結合律證明的基礎上，教師可以引導學生用類比的方法證明空間向量的加法結合律，類比時要注意引導學生關注向量從二維推廣到三維時向量的幾何意義的變化.在三維空間，由于維數的增加，三個向量，，存在共面和不共面的情況，因此要分類討論，共面的情況可以轉化為圖3的情況，不共面的情況則如圖4所示.
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