資源簡介

《空間向量及其運算的坐標表示》能力探究
分析計算能力 利用坐標證明共線、共面問題
1.共線向量
(1) 定義: 如果表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合, 那么這些向量叫做共線向量或平行向量,記作:.
(2)共線向量定理:對任意兩個空間向量的充要條件是存在實數,使.
若,則
.
在空間直角坐標系下，兩向量的共線問題，可利用向量的共線定理，通過列方程求解：
2.共面向量
（1）定義：平行于同一個平面的向量，叫做共面向量.
（2）共面向量定理：如果兩個向量a,b不共線，那么向量p與向量a,b共面的充要條件是存在唯一的有序實數對(x,y)，使p=xa+yb.
①在向量坐標運算中，要注意方程思想的應用，若本題方程組無解，則表示a,b,c不共面.
②在空間直角坐標系下，兩向量的共線，三向量的共面問題，均可靈活應用共線，共面的基本定理，利用向量坐標通過方程求解.規定：0與任意空間向量平行或垂直.
典例1-1、[數學抽象、數學運算]若,如果與為共線向量,則（ ）
A.
B.
C.
D.
解析: 本題考查共線向量的定義,利用共線向量的條件,推出比例關系計算求解出結果.
∵與共線,故有.答案
典例1-2、[數學運算]已知,,若三向量共面,則實數等于（ ）
A.
B.
C.
D.
解析：本題考查共面向量的定義,根據三向量共面的充要條件,利用向量的坐標運算,最終計算求解出答案.由三向量共面,設,
則即解得答案：D
概括理解能力 空間向量坐標運算的規律及注意點
1.由點的坐標求向量坐標
空間向量的坐標可由其兩個端點的坐標確定.
2.直接計算問題
首先將空間向量用坐標表示出來，然后代入公式計算.
3.由條件求向量或點的坐標
把向量坐標形式設出來，通過解方程（組），求出其坐標.
典例2、[數學運算]已知,,則_________,_________,_________.
解析：本題考查空間向量坐標運算,根據已知的向量的加減運算可計算得出向量,再利用數量積的坐標運算計算求解可得.
,.
答案： 4
簡單問題解決能力 利用空間向量求夾角、求距離
1.利用空間向量求夾角
若設,則.
(1)夾角公式可以根據數量積的定義推出
,
其中夾角的范圍是.
(2).
(3)用此公式求異面直線所成角等角度時,要注意所求角度與的關系(相等,互余,互補).
2.利用空間向量求距離
設是空間中任意兩點,
則;若已知點,則點到原點的距離是.
3.利用空間向量的坐標求解夾角、距離的步驟
(1)建系:根據題目中的幾何圖形建立恰當的空間直角坐標系.
(2)求坐標:①求出相關點的坐標;②寫出向量的坐標.
(3)轉化:依據題意轉化為夾角與距離問題,在根據相應公式計算.
典例3、[數學建模、數學運算]如圖,在三棱柱中,平面平面,,且,求異面直線與所成角的余弦值.
解析：本題利用空間向量求夾角,要建立空間直角坐標系分析表示向量求出夾角.
解:建立如圖所示的空間直角坐標系,則,,
∴異面直線與所成角的余弦值為.
說明論證能力 利用空間向量判定平行、垂直
1.空間向量平行和垂直的條件
若,則
①,,
②.
2.向量平行與垂直問題的三種題型
(1)空間向量平行與垂直的判斷,利用空間向量平行與垂直的條件進行判斷.
(2)利用平行與垂直求參數或其他問題,即平行與垂直的應用,解題時要注意:①適當引入參數(比如向量平行,可設),建立關于參數的方程;②最好選擇坐標形式,以達到簡化運算的目的.
(3)利用向量坐標處理空間中的平行與垂直:①向量化:即將空間中的垂直與平行轉化為向量的垂直與平行;②向量關系代數化:即寫出向量的坐標;③求解:利用向量的坐標運算列出關系式求解.
典例4、[數學建模]如圖(1),在正方體中,為的中點.
求證:(1);
(2).
解析：向量的數量積,表示,也表示它們所在的直線互相垂直,這是向量中一個最重要的結論,我們還可以利用這一結論來證明線面、面面垂直.
證明:以為原點,所在的直線分別為軸、軸、z軸建立如圖(2)所示的空間直角坐標系.設正方體的棱長為1,則.
(1),∴,∴∴.
(2),∴.∴.
5 / 5

展開更多......

收起↑