資源簡介

《空間向量及其運算的坐標表示》知識探究
探究點1空間直角坐標系中點的表示
1.確定空間任一點的坐標:過作面的垂線,垂足為,在面中,過分別作軸、軸的垂線,垂足分別為,則.如圖.
2.空間直角坐標系中,坐標軸、坐標平面上的點的坐標以及對稱點的坐標特征：
(1)軸上的點坐標軸上的點坐標,軸上的點坐標.
(2)平面上點的坐標為平面上點的坐標為平面上點的坐標為.
(3)在空間直角坐標系中,點,則有點關于原點的對稱點是;點關于橫軸軸)的對稱點是;點關于縱軸(軸)的對稱點是;點關于豎軸(軸)的對稱點是;
(4)點關于坐標平面的對稱點是,;點關于坐標平面的對稱點是;點關于坐標平面的對稱點是.
(5)空間中兩點中點坐標公式:設是空間中任意兩點,其中點坐標公式為:.
學科素養: 理解空間直角坐標系下點的表示方式，體現直觀想象核心素養.
典例1-1[觀察記憶能力]在空間直角坐標系中,已知點.
(1)求點關于軸對稱的點的坐標;
(2)求點關于平面對稱的點的坐標;
(3)求點關于點對稱的點的坐標.
解析: 本題考查空間直角坐標系下對稱點的表示方法,確定已知點是關于坐標軸的對稱點還是關于坐標平面的對稱點,再利用位置關系解題.
解:(1)點關于軸對稱后,它在軸的分量不變,在軸,軸的分量變為原來的相反數,故對稱點坐標,.
(2)點關于平面對稱后,它在軸,軸的分量不變,在軸的分量變為原來的相反數,故對稱點坐標為.
(3)設對稱點為,則點為線段的中點,由中點坐標公式,得,所以的坐標為,.
典例1-2 [概括理解能力]如圖是一個正方體截下的一角,其中.建立如圖所示的空間直角坐標系,則的重心的坐標為_____________.
解析:本題考查對空間中點的坐標的理解,根據重心公式計算求解可得重心坐標.
由題意知.由重心坐標公式得點的坐標為.答案.
探究點2 空間直角坐標系與空間向量的坐標表示
1.建立空間直角坐標系的原則
建立適當的空間直角坐標系，以各點的坐標表示簡單方便為宜.
（1）讓盡可能多的點落在坐標軸或坐標平面上.
（2）充分利用幾何圖形的對稱性.
2.向量的坐標即終點坐標減去起點坐標對應的坐標.求點的坐標時，一定要注意向量的起點是否在原點，在原點時，向量的坐標與終點坐標相同；不在原點時，向量的坐標加上起點坐標才是終點坐標.另外，零向量記作0=(0,0,0).
要點辨析：
1.空間向量的坐標是一個有序數組,其坐標的順序與基底中的基向量的順序保持一致.
2.在空間直角坐標系中,每一點與一個有序實數組是一一對應的.
3.空間向量的坐標和點的坐標的關系
點在空間直角坐標系中的坐標為,那么向量的坐標也為.
學科素養: 掌握空間向量運算的坐標表示，體現數學運算、直觀想象核心素養.
典例2 [分析計算能力、觀察記憶能力]在直三棱柱中,為的中點,建立適當的空間直角坐標系,求的坐標.
解析: 先在空間幾何體中找到兩兩垂直的三條直線建立空間直角坐標系,再根據空間向量基本定理,將,用基底表示,簡單計算即得坐標.
解:由已知,從而建立以方向上的單位向量為正交基底的空間直角坐標系,如圖,則,
,
故的坐標為.
,故的坐標為.即.
探究點3空間向量運算的坐標表示
1.空間兩點的距離公式
若,,則.
2.空間向量的坐標運算
設
向量運算 坐標表示
加法
減法
數乘
數量積
共線
垂直
向量長度
向量夾角公式
學科素養: 掌握空間向量運算的坐標表示，體現數學運算核心素養.
典例3[分析計算能力、概括理解能力]已知向量,,求:
(1);(2);(3).
解析：本題考查空間向量的坐標運算,理解和掌握空間向量的坐標運算的公式是解題的關鍵.
解:(1);
(2);
；
(3).
2 / 5

展開更多......

收起↑