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《空間向量的應(yīng)用》知識探究
探究點(diǎn)1空間中點(diǎn)的位置向量
1.空間中點(diǎn)的位置向量是空間中點(diǎn)的向量表示，是空間中點(diǎn)的另一種表示形式，即用向量語言表示空間中的點(diǎn).
2.用點(diǎn)的位置向量表示點(diǎn)時(shí)，基點(diǎn)可以任意選取，例如可選擇定點(diǎn)A作為基點(diǎn)，用表示點(diǎn)P的位置.
3.在確定好基點(diǎn)的情況下，點(diǎn)P的位置向量由點(diǎn)P的位置唯一確定.
4.在空間直角坐標(biāo)系下，如果選擇坐標(biāo)原點(diǎn)O作為基點(diǎn)，則空間中點(diǎn)P的位置向量的坐標(biāo)即為點(diǎn)P的坐標(biāo).
學(xué)科素養(yǎng): 理解空間中點(diǎn)的位置向量，體現(xiàn)直觀想象核心素養(yǎng).
典例1[分析計(jì)算能力]取點(diǎn)為基點(diǎn),點(diǎn)的位置向量的坐標(biāo)為____________.
解析: 本題考查空間中點(diǎn)的向量表示,首先明確基點(diǎn)坐標(biāo),然后按照向量的坐標(biāo)運(yùn)算,分析計(jì)算得到正確結(jié)果.設(shè)點(diǎn)的位置向量為.答案
探究點(diǎn)2 直線的方向向量和平面的法向量
1.直線的方向向量
(1)在空間中,一個向量成為直線的方向向量,必須具備兩個條件:
①不能為零向量;②表示方向向量的有向線段所在的直線與該直線平行或重合.
(2)直線的方向向量是空間中直線向量表示的關(guān)鍵量,空間任意直線由直線上一點(diǎn)及直線的方向向量唯一確定,也就是說,給定空間直線上一點(diǎn)和直線的方向向量,就可以確定唯一一條過點(diǎn)的直線.
(3)直線的方向向量有無數(shù)個,如果是直線的方向向量,則必是直線的方向向量.求一條直線的方向向量,可以在直線上取兩點(diǎn),則即為直線的一個方向向量.
2.平面的法向量
(1)平面的法向量為非零向量.
(2)平面的法向量與平面內(nèi)任一向量垂直,即平面的法向量與平面內(nèi)任一向量的數(shù)量積為0.
(3)平面的法向量有無數(shù)個,如果是平面的法向量,則必是平面的法向量.求一個平面的法向量,可以找共面于平面的兩個不共線向量,應(yīng)用,求得平面的一個法向量.
(4)確定平面有兩種方法,一是由一定點(diǎn)和兩個基向量確定;二是由一定點(diǎn)和一法向量確定.今后用得較多的是法向量.
學(xué)科素養(yǎng):正確理解方向向量和法向量，體現(xiàn)數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理核心素養(yǎng).
典例2 [概括理解能力、推測解釋能力-甘肅武威第十八中學(xué)高三測試)已知.
(1)寫出直線的一個方向向量;
(2)設(shè)平面經(jīng)過點(diǎn),且是平面內(nèi)的任意一點(diǎn),試寫出滿足的關(guān)系式.
解析: 解:(1)∵,即為直線的一個方向向量.
(2)∵為平面的一個法向量.
由題意得,又,.
點(diǎn)撥：本題考查對方向向量和法向量的理解,計(jì)算求出即為直線的一個方向向量;由可推理得到即為平面的一個法向量.
探究點(diǎn)3 對空間中直線與直線所成角的理解
空間中兩條直線所成角的取值范圍是，兩條異面直線所成角的范圍是,其余弦值一定為非負(fù)值，而對應(yīng)的方向向量的夾角可能為鈍角.
注意不要將兩異面直線所成的角與其方向向量的夾角等同，兩異面直線所成的角與其方向向量的夾角是相等或互補(bǔ)的關(guān)系.
學(xué)科素養(yǎng): 會用向量求異面直線所成角，體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng).
典例3 [簡單問題解決能力]在正方體中,分別是的中點(diǎn),則異面直線與所成角的大小是（ ）
A.
B.
C.
D.
解析: 本題考查異面直線夾角,利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求值.以為原點(diǎn),所在直線為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正方體棱長為1,則.答案
探究點(diǎn)4 對空間中直線與平面所成角的理解
設(shè)平面法向量為,直線的方向向量為,
用向量法求直線與平面所成的角,應(yīng)建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系,求出平面的法向量,由向量夾角公式,求出法向量與斜線的方向向量的夾角.若為銳角,則所求線面角為;若為鈍角,則所求線面角為.
直線與平面所成的角等于其方向向量與平面法向量所成銳角的余角,故,其取值范圍是.
學(xué)科素養(yǎng): 會用空間向量求線面角，體現(xiàn)數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).
典例4 [分析計(jì)算能力]已知向量分別是直線與平面的方向向量、法向量,若,則與所成的角為（ ）
A.
B.
C.
D.
解析: 設(shè)與所成的角為,則.答案.
點(diǎn)撥：本題考查線面角的運(yùn)算,通過公式分析計(jì)算求值.
探究點(diǎn)5 對空間中平面與平面所成角的理解
由于二面角的取值范圍是，而兩個面的法向量的方向無法從圖形上直觀確定，因此不能認(rèn)為二面角的大小就是其兩個面法向量夾角的大小，需要結(jié)合具體圖形判斷二面角是銳角還是鈍角，從而求得其大小.注意兩個平面間的夾角的范圍為，其余弦值一定為非負(fù)值.
學(xué)科素養(yǎng): 用向量求平面與平面所成角，體現(xiàn)數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).
典例5 [分析計(jì)算能力]已知平面的法向量,,平面的法向量,則平面與的夾角為__________.
解析: ∵平面與的夾角是.答案
點(diǎn)撥：本題考查求平面與平面之間的夾角,注意夾角角度的取值范圍為不大于,在空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算的基礎(chǔ)上計(jì)算求值.
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