資源簡介

1.4空間向量的應用
一、本節知識結構框圖
二、重點、難點
1.重點：空間圖形基本要素及其關系的向量表示，用向量方法解決空間圖形的位置關系和距離、夾角等度量問題.
2.難點：建立空間圖形基本要素與向量之間的關系，把立體幾何問題轉化為空間向量問題.
三、教科書編寫意圖及教學建議
本節核心內容是利用空間向量解決立體幾何問題的一般方法：先用空間向量表示點、直線和平面等基本要素，建立立體圖形與空間向量的聯系；然后進行空間向量的運算；最后把空間向量的運算結果“翻譯”成幾何結論.
教科書在1.4.1小節討論點、直線和平面的向量表示以及直線、平面的平行和垂直等位置關系的向量表示，在1.4.2小節討論空間距離和角度的向量表示，并通過例題歸納用向量方法解決立體幾何問題的“三步曲”.
空間中直線、平面的位置關系主要研究平行、垂直等，也就是“方向”問題，而向量表達了方向，于是利用向量及其運算可以解決方向的問題.空間中度量問題主要研究“距離”和“夾角”問題，距離和角度可以用向量的運算表達，于是利用向量的運算可以解決距離和夾角的問題.向量法為解決立體幾何問題提供了一種通法，這也是向量法的優勢所在.利用空間向量解決立體幾何問題的基礎是用空間向量表示點、直線和平面等基本要素，因此教科書特別關注了直線的方向向量和平面的法向量.由于學生并不習慣于用法向量等解決問題，因此教學中要給予重視.
1.4.1用空間向量研究直線、平面的位置關系
1.空間中點、直線和平面的向量表示
點、直線和平面是構成空間圖形的基本要素.無論是利用向量方法研究空間幾何元素之間的位置關系，還是度量問題，首先要把這些基本要素用向量表示出來.
（1）點是位置的抽象，給定起點，那么，空間一個向量的終點就和空間的一個位置對應，向量就是點的位置向量.
（2）直線由直線上一點及直線的方向向量唯一確定.我們熟知的“兩點確定一條直線”，可以劃歸為這種情形.事實上，由給定的兩點可以確定向量，那么直線就由點和方向向量唯一確定.
對于直線的向量表示，教科書給出了三種形式.
設是直線上的一點，是直線的方向向量，在直線上取，設是直線上的任意一點，則
①點在直線上的充要條件是存在實數，使得
，即.
②取定空間中的任意一點，點在直線上的充要條件是存在實數，使
.
③取定空間中的任意一點，點在直線上的充要條件是存在實數，使
.
注意到，可得，因此由①可得②.這就解決了教科書在“邊空”中提出的問題.
（3）一般來說，平面有兩種表示方法.一種是用平面內一個定點和這個平面內的兩條相交直線的方向向量和表示，這時，對于平面內的任意一點，存在唯一的實數和，使得，這是用平面內一點與這個平面內的兩個不共線的向量表示這個平面；進一步，取定空間任意一點，則存在唯一的實數，，使，這是用空間中任意一點與這個平面內的兩個不共線的向量表示這個平面.另一種是用平面內的一個定點和平面的一個法向量來表示，這時平面可以用集合來刻畫.
兩種表示法的目的都是建立平面與向量的聯系，用向量表示平面，為通過向量運算研究圖形的性質奠定基礎.兩種表示方法各有特點：一個是充分運用平面向量基本定理，通過向量的線性運算表示平面；另一個是借助平面的法向量，通過向量的數量積運算表示平面.解決具體問題時，兩種方法往往綜合使用.
綜上所述，用空間向量表示點、直線、平面時，首先要確定一個定點，然后用向量表示它們.教學時應讓學生了解“確定一個定點”是用空間向量表示點、直線、平面的基礎.
2.例1的教學
教科書安排例1的目的是給出求平面法向量的具體方法，同時為后續研究直線、平面間的位置關系和距離、夾角等度量問題做準備.需要注意的是，平面的法向量并不唯一，它們的模長可以不同，其方向相同或相反.與具體問題背景結合時，可以利用向量的“自由性”，根據問題的條件靈活確定表示法向量的有向線段；通過解方程組求法向量時，可以對參數適當取值，求出平面的一個法向量即可.
教學時，要注意結合本題引導學生歸納求解平面法向量一般步驟：
（1）根據立體幾何中直線與平面垂直的判定定理得到法向量；
（2）根據向量數量積運算的坐標表示得到兩個三元一次方程，聯立方程組；
（3）根據三元一次不定方程組，得到一個方向向量.
其中，在由三元一次不定方程組得到方向向量時，可以采用類似解二元一次方程組的方法，把其中一個未知數看作參數，然后用這個參數表示另外兩個未知數，最后給參數賦值時，盡量使三個未知數的值為整數，并且數不要太大.
3.空間中直線、平面的平行
因為空間向量可以表示空間中的點、直線、平面，所以自然地會聯想到利用空間向量及其運算可以表示“直線與直線”“直線與平面”和“平面與平面”之間的平行、垂直等位置關系，解決此問題的關鍵是轉化為研究直線的方向向量、平面的法向量之間的關系.教科書對空間中直線、平面的平行和垂直兩種位置關系分開研究，首先研究空間中直線、平面的平行.
教科書首先安排了一個“思考”：“由直線與直線、直線與平面或平面與平面的平行關系，可以得到直線的方向向量、平面的法向量間的什么關系？”對于此問題，教學中可以分步進行.
首先研究直線與直線平行.教學時可以先讓學生思考：由直線與直線平行，可以得到直線的方向向量間有什么關系？進而引導學生利用直線方向向量的定義得到下面的結論：如果兩條直線平行，那么它們的方向向量一定平行；反過來，如果兩條直線的方向向量平行，那么這兩條直線也平行.并進一步引導學生得到兩條直線平行的向量表達式，即設直線，的方向向量分別為，則
.
接下來，研究直線與平面平行、平面與平面平行.教學時，可以讓學生自己進行類似研究，從而得到直線與平面平行、平面與平面平行的向量表達式.由于空間向量是自由向量，直線與平面平行還可以用直線的方向向量與平面內兩個不共線的向量共面進行說明，教學時可以啟發學生對此進行研究.
4.例2、例3的教學
例2是用向量方法證明平面與平面平行的判定定理.教科書設置例2的目的是使學生體會利用法向量證明兩個平面平行的一般基本思路.教學時要注意直線的方向向量和平面的法向量的作用.首先把空間圖形的基本要素：直線、平面用直線的方向向量、平面的法向量表示，然后進行向量的線性運算和數量積運算，并把運算的結果翻譯為空間圖形的位置關系.在解決此問題的過程中，體會直線的方向向量、平面的法向量，以及向量運算在解決空間平行問題中的作用.
例3是用向量方法判斷直線與平面平行的問題.教科書設置例3的目的是使學生體會利用法向量和坐標法解決直線與平面平行問題的一般思路.本題也可以利用共面的充要條件求解：
設線段上存在滿足條件的點，則存在實數（），使得，所以
由直線平面，可知存在實數，使得，所以
所以，解得
所以，當，即為的中點時，//平面.
這種方法沒有運用平面的法向量，而是直接運用平行及共面關系，只涉及線性運算.但這種方法具有一定的技巧，在涉及平面的位置關系時，結合平面的法向量研究是普適性方法.
5.空間中直線、平面的垂直
對于空間中直線、平面垂直的向量表示，教科書首先安排了一個“思考”：“在直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關系中，直線的方向向量、平面的法向量之間有什么關系？”對于此問題，由于學生已經經歷了研究空間中直線、平面平行的過程，因此對直線與直線、直線與平面、平面與平面垂直關系的研究可以類似地進行，教學中應更多地讓學生自主探究，將研究直線、平面間的垂直關系轉化為研究直線的方向向量、平面的法向量之間的關系.然后借助圖形分別給出直線與直線、直線與平面、平面與平面垂直的向量表達式，進一步體會空間向量在研究直線、平面間位置關系中的作用.
教科書在第32頁的“邊空”提出問題：你同意“向量是軀體，運算是靈魂”“沒有運算的向量只能起路標的作用”的說法嗎？
這個同題是要引導學生關注向量的運算在解決幾何問題中的作用.有了向量的運算才能研究空間圖形的位置關系、度量問題.例如，直線與直線垂直可以用其方向向量的數量積為0表示，即.這樣我們就可以通過向量運算研究空間圖形的位置關系.因此我們說向量的作用是通過其運算來體現的，如果沒有運算，那么向量僅能表示空間中的點、直線和平面，只是“路標”，無法獲得空間圖形的幾何性質.
6.例4、例5的教學
教科書設置例4的目的是使學生體會“基底法”比“坐標法”更具有一般性.教學時要注意讓學生體會空間向量基本定理在證明中的作用，體會用空間向量解決問題的一般方法.
教科書設置例5的目的是使學生體會利用法向量證明平面與平面垂直的一般思路.教學時要注意突出直線的方向向量和平面的法向量的作用，即通過直線的方向向量和平面的法向量，把直線與直線、直線與平面、平面與平面的關系完全轉化為兩個向量之間的關系，通過向量的運算，得到空間圖形的位置關系.
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