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《空間向量的應用》能力探究
分析計算能力 利用待定系數法求平面法向量的步驟
1.求平面的法向量時,要選取平面內兩不共線向量,如.
2.設平面的法向量為.
3.聯立方程組并求解.
4.所求出向量中的三個坐標不是具體的值而是比例關系,設定一個坐標為常數(常數不能為0)便可得到平面的一個法向量.
典例1、[數學運算、數學建模]已知的三個頂點的坐標分別為,試求出平面的一個法向量.
解析: 解:設平面的法向量為. .
則有即解得
令,則.故平面的一個法向量為.
點撥：求平面法向量關鍵是選取平面內不共線的兩個向量,然后建立方程組,計算求解.
推測解釋能力 利用空間向量證明平行關系
1.證明線線平行
要證明兩直線平行，可先求出兩直線的方向向量，然后證明兩直線的方向向量共線，從而證明兩直線平行.利用直線的方向向量證明直線與直線平行時，要注意向量所在的直線與所證直線無公共點.
2.證明線面平行
(1)利用共面向量法
證明直線的方向向量與平面內的兩個不共線向量是共面向量,即滿足,則共面,從而可證直線與平面平行.
(2)利用共線向量法
證明直線的方向向量與該平面內的某一向量共線,再結合線面平行的判定定理即可證明線面平行.利用直線的方向向量證明直線與平面平行時,注意向量所在直線與所證平面無公共點.
(3)利用法向量法
求出直線的方向向量與平面的法向量,證明方向向量與法向量垂直,從而證明直線與平面平行.
3.證明面面平行
(1)轉化為線面平行、線線平行,然后借助向量共線進行證明,利用直線的方向向量證明平行關系時,要注意兩平面沒有公共點.
(2)通過證明兩個平面的法向量平行證明.
典例2、[邏輯推理、直觀想象]四棱錐,四邊形是正方形,側棱垂直于底面,是的中點.證明:平面.
解析：證明：如圖所示,建立空間直角坐標系,是坐標原點,設.連接,交于點,連接,依題意得.
設平面的法向量為,
又,則有
即即令,
則所以,
故.
所以.又平面,所以平面.
點撥：證明線面平行,首先要分析出直線的方向向量和平面的法向量,再推理得到證明結果.
說明論證能力　利用空間向量證明垂直關系
1.證明線線垂直
（1）坐標法：建立空間直角坐標系，寫出相關點的坐標，求出兩直線方向向量的坐標，然后通過數量積的坐標運算法則證明數量積等于0，從而證明兩條直線的方向向量互相垂直.
（2）基向量法：利用空間向量的加法、減法、數乘運算及其運算律，結合圖形，將兩直線所在的向量用基向量表示，然后根據數量積的運算律證明兩直線所在的向量的數量積等于0，從而證明兩條直線的方向向量互相垂直.
2.證明線面垂直
（1）基向量法：選取基向量，用基向量表示直線所在的向量，在平面內找出兩個不共線的向量，也用基向量表示，然后根據數量積運算律分別證明直線所在向量與兩個不共線向量的數量積均為零，從而證得結論.
（2）坐標法：建立空間直角坐標系，求出直線方向向量的坐標以及平面內兩個不共線向量的坐標，然后根據數量積的坐標運算法則證明直線的方向向量與兩個不共線向量的數量積均為零，從而證得結論.
（3）法向量法：建立空間直角坐標系，求出直線方向向量的坐標以及平面法向量的坐標，然后說明直線方向向量與平面法向量共線，從而證得結論.
3.證明面面垂直
（1）利用兩個平面垂直的判定定理將面面垂直問題轉化為線面垂直進而轉化為線線垂直.
（2）直接求解兩個平面法向量，由兩個法向量垂直，得面面垂直.
典例3、[邏輯推理、數學建模]在四棱錐中,底面是正方形,底面,且是的中點.求證:平面平面.
點撥：證明面面垂直,首先建立合適的坐標系,再通過觀察,表示出各點坐標,向量坐標,可以轉化為線面垂直進行推測計算,也可以利用法向量互相垂直進行推理論證.證明:設,建立如圖所示的空間直角坐標系,
則,.
方法一 連接,交于點,連接,則點的坐標為.易知,所以,所以.
又平面,所以平面.
又平面,所以平面平面.
方法二 設平面的法向量為.
易知,
所以即令,可得平面的一個法向量為.因為底面,
所以平面的一個法向量為.
因為,所以平面平面.
分析計算能力　求空間距離的方法
1.利用空間向量求點到直線的距離的一般步驟
(1)求直線的方向向量.
(2)計算所求點與直線上某一點所構成的向量在直線的方向向量上的投影向量的長度.
(3)利用勾股定理求解.另外,要注意平行直線間的距離與點到直線的距離之間的轉化.
2.求點到平面的距離的方法
(1)作圖法:作點到平面的垂線,點到垂足的距離即為點到平面的距離.
(2)等體積法:在三棱錐中用等體積法求解.
(3)向量法:①建系:建立恰當的空間直角坐標系.
②求點坐標:寫出(求出)相關點的坐標.
③求向量:求出相關向量的坐標內兩不共線向量,平面的法向量).
④求距離.
典例4、[數學運算、數學建模]已知在正方體中,分別是的中點,求點到的距離.
點撥：求點到直線的距離,首先建立合適的空間直角坐標系,在用坐標表示出點和線的向量的基礎上,計算出點在向量上的投影向量的長度,再根據勾股定理求解.
解:以點為原點,所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標系如圖所示,
設,則,
則.
,
,
在上的投影長為.
所以點到的距離.
簡單問題解決能力 利用空間向量求空間角
1.求異面直線所成角的步驟
(1)建立適當的空間直角坐標系.
(2)求出兩條異面直線的方向向量的坐標.
(3)利用向量的夾角公式求出兩直線方向向量的夾角.
(4)結合異面直線所成角的范圍得到兩異面直線所成角.
2.求直線與平面所成角的步驟
(1)建立空間直角坐標系.
(2)求直線的方向向量.
(3)求平面的法向量.
(4)設線面角為,則.
3.求二面角的步驟
向量法求兩個平面夾角的步驟:
步驟一:(1)求兩個平面的法向量;(2)求;(3)設兩個平面的夾角為,則.
步驟二:(1)找出兩個平面內與兩個平面交線垂直的異面直線;(2)求出直線的方向向量;(3)求;(4)設兩個平面的夾角為,則.
向量法求二面角的思路:
思路一:若分別是二面角的兩個面內與棱垂直的異面直線,則向量與的夾角就是二面角的平面角(如圖所示).
思路二:設分別是二面角的兩個半平面所在平面的法向量,則向量與的夾角或其補角就是二面角的平面角(如圖所示).
注意:二面角的取值范圍是,根據兩個半平面的法向量,利用公式求出,最終還需要根據圖形判斷為鈍角還是銳角,從而求出(或其三角函數值).
若是求兩個平面的夾角,則最終計算的余弦值一定取正,因為夾角為兩個平面形成的不大于的角.
典例5-1、[數學運算]在直三棱柱中,依次為的中點.求與平面所成角的正弦值.
點撥：求線面角,在正確建立空間直角坐標系的基礎上,用向量表示出直線的方向向量和平面的法向量,通過公式分析計算求解.
解:以為原點,建立如圖所示的空間直角坐標系,則,所以.
設平面的一個法向量為,
由得令可得.設與平面所成角為,
所以,
即與平面所成角的正弦值為.
典例5-2、[數學運算、直觀想象]正方形所在平面外一點平面,若,則平面與平面的夾角為（ ）
A.
B.
C.
D.
點撥：本題考查平面與平面之間的夾角計算,利用空間向量解決問題,計算得出兩個平面的法向量之后,代入公式計算求解,注意最后求得余弦值一定為非負值.
如圖所示,建立空間直角坐標系,設,則.于是,取的中點,則,易知是平面的法向量,是平面的法向量,
平面與平面的夾角為.答案B
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