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《直線的傾斜角斜率方程交點坐標與距離公式》能力探究
分析計算能力 求直線的斜率
1.斜率的概念:我們把一條直線的傾斜角的正切值叫做這條直線的斜率,即.
2.斜率取值范圍的兩種求法:
數形結合法 作出直線在平面直角坐標系中可能的位置，借助圖形，結合正切函數的單調性確定
函數圖象法 根據正切函數圖象，由傾斜角范圍求斜率范圍，反之亦可
典例1、[數學運算]已知直線過點,且與以為端點的線段有公共點,則直線的斜率的取值范圍是___________.
解析: 如圖,因為,,
所以直線的斜率,.答案
點撥：本題采用幾何法分析計算斜率的取值范圍.
分析計算能力 求直線方程的方法
1.一般地,直線中的系數確定直線的斜率.因此,利用平行直線系或垂直直線系直接設出直線方程,用待定系數法即可求解.
2.對于由直線的位置關系求參數的問題,有下列結論:設直線與的方程分別為不同時為0不同時為0),則或.
要點辨析
1.選擇直線方程時,應注意分類討論思想的應用,選用點斜式或斜截式時,先分類討論直線的斜率是否存在;選用截距式時,先分類討論在兩坐標軸上的截距是否存在或是否為0.
2.求直線方程時,如果沒有特別要求,求出的直線方程應化為一般式,且.
典例2、 [數學運算]求適合下列條件的直線方程:
(1)經過點,且在兩坐標軸上的截距相等;
(2)經過點,傾斜角等于直線的傾斜角的2倍;
(3)經過點,且與兩坐標軸圍成一個等腰直角三角形.
解析：解:(1)設直線在軸,軸上的截距均為,若,即過點和,所以的方程為,即.
若,設的方程為,
因為過點,所以,
所以,所以的方程為.
綜上可知,所求直線的方程為或.
(2)由已知設直線的傾斜角為,則所求直線的傾斜角為.因為,所以.
又直線經過點,因此所求直線方程為,即.
(3)由題意可知,所求直線的斜率為.
又過點,由點斜式得.
故所求直線的方程為或.
點撥：本題關聯三角函數中的二倍角公式分析求得斜率,再求直線方程.
綜合問題解決能力　與直線方程有關問題的常見類型及解題策略
1.求解與直線方程有關的最值問題.先設出直線方程，建立目標函數，再利用均值不等式求解最值.
2.求直線方程.弄清確定直線的兩個條件，由直線方程的幾種特殊形式直接寫出方程.
3.求參數值或范圍.注意點在直線上，則點的坐標適合直線的方程，再結合函數的單調性或均值不等式求解.
在解決與直線方程有關問題的過程中要注意：
（1）不要忽略直線方程成立的條件.
（2）不要忽略斜率不存在的情況.
（3）不要忽略兩直線重合的情形.
典例3、[邏輯推理]已知直線過點,且分別與軸的正半軸、軸的正半軸交于兩點,為坐標原點,當面積最小時,直線的方程為____________.
解析：設直線的方程為,則,當且僅當,即時,等號成立.故直線的方程為,即.答案
點撥：本題需將函數方程推理轉化為函數法和均值不等式法求最值,屬于綜合性問題.
概括理解能力　距離問題的常見題型及解題策略
1.求兩點間的距離關鍵是確定兩點的坐標，然后代入公式即可，一般用來判斷三角形的形狀等.
2.解決與點到直線的距離有關的問題應熟記點到直線的距離公式，若已知點到直線的距離求直線方程，一般考慮待定斜率法，此時必須討論斜率是否存在.
3.求兩條平行線間的距離要先將直線方程中x，y的對應項系數轉化成相等的形式，再利用距離公式求解.也可以轉化成點到直線的距離問題.
典例4、[數學運算]若分別為直線與上任意一點,則的最小值為_____________.
解析：因為,所以兩直線平行,
將直線化為,
由題意可知的最小值為這兩條平行直線間的距離,
即,所以的最小值為.答案
點撥：本題利用對兩平行線間距離公式的理解進行運算解題.
綜合問題解決能力 對稱問題
1.一個點關于另一個點對稱點的求解方法
若點和點關于點對稱,則由中點坐標公式得進而求解.
2.點關于直線對稱的解題方法
若兩點與關于直線對稱,則由方程組
可得到點關于直線l對稱的點P2,的坐標(x2, y2)().
3.線關于點對稱的求解方法
(1)在已知直線上取兩點,利用中點坐標公式求出它們關于已知點對稱的兩點坐標,再由兩點式求出直線方程.
(2)求出一個對稱點,再利用兩對稱直線平行,由點斜式得到所求直線方程.
(3)線關于點對稱的實質
“線關于點的對稱”其實質就是“點關于點的對稱”,只要在直線上取兩個點,求出其對稱點的坐標即可,可統稱為“中心對稱”.
典例5、[直觀想象]在等腰直角三角形中,,點是邊上異于的一點.光線從點出發,經,CA反射后又回到點(如圖).若光線經過的重心,則的長度為（ ）
A.2
B.1
C.
D.
解析：以所在直線為軸,所在直線為軸建立如圖所示的平面直角坐標系.
由題意可知,則直線的方程為,設,由對稱知識可得點關于所在直線的對稱點的坐標為,點關于軸的對稱點的坐標為,根據反射定律可知所在直線就是光線所在直線.由兩點坐標可得所在直線的方程為,設的重心為,易知.因為重心在光線上,所以有,即.所以或,因為,所以,即.答案D
點撥：本題屬于綜合問題,利用坐標法和點關于直線對稱的解題方法進行直觀想象求對稱點坐標.
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