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《空間向量的應用》知識探究
探究點1直線的傾斜角與斜率
1.直線的傾斜角
定義:軸正向與直線向上方向之間所成的角叫直線的傾斜角.特別地,當直線與軸平行或重合時,我們規定它的傾斜角為0度.因此,傾斜角的取值范圍是:.
2.直線的斜率
(1)定義:傾斜角不是的直線,它的傾斜角的正切值叫做這條直線的斜率.直線的斜率常用表示.即
.斜率反映直線與軸的傾斜程度.當時,;當時,0;當時,不存在.
(2)過兩點的直線的斜率公式:.
要點辨析
1.過兩點的直線的斜率公式中注意下面四點
(1)當時,公式右邊無意義,直線的斜率不存在,傾斜角為.
(2)與的順序無關.
(3)以后求斜率可不通過傾斜角而由直線上兩點的坐標直接求得.
(4)求直線的傾斜角可由直線上兩點的坐標先求斜率得到.
2.直線的傾斜角就是軸正向與直線向上方向之間所成的角.
3.兩直線垂直,則兩直線斜率乘積為.
4.由斜率取值范圍確定直線傾斜角的范圍要利用正切函數的圖象,特別要注意傾斜角取值范圍的限制.
學科素養: 熟練利用圖象尋找兩直線的傾斜角的關系，體現邏輯推理、直觀想象的學科核心素養.
典例1[概括理解能力]若兩直線的傾斜角和斜率分別為和,則下列四個命題中正確的是( )
A.若,則兩直線的斜率:
B.若,則兩直線的斜率:
C.若兩直線的斜率:,則
D.若兩直線的斜率:,則
解析: 本題主要考查對直線的斜率與傾斜角之間的關系的理解、正切函數的單調性及其應用等知識的運用.
當時,滿足,但是兩直線的斜率;
當時,直線的斜率不存在,無法滿足;若直線的斜率,滿足,但是,不滿足;
若兩直線的斜率,結合正切函數的單調性可知.答案
探究點2 直線的方程
1.點斜式:,直線斜率為,且過點.
2.斜截式:,直線斜率為,直線在軸上的截距為.
3.兩點式:,即不包含平行于軸或軸的直線,當寫成的形式時,方程可以表示任何一條直線.
4.截距式:,其中直線與軸交于點,,與軸交于點,即與軸、軸的截距分別為.對于平行于坐標軸或者過原點的方程不能用截距式.
5.一般式:不全為0).
要點辨析
1.特殊的直線方程
(1)平行于軸的直線:(為常數);平行于軸的直線:(為常數).
(2)直線的點斜式方程,當直線的傾斜角為時,,直線的方程是;當直線的傾斜角為時,直線的斜率不存在,它的方程不能用點斜式表示.但因為上每一點的橫坐標都等于,所以它的方程是.
2.求直線方程的常用方法
(1)直接法:根據已知條件靈活選用直線方程的形式,寫出方程.
(2)待定系數法:先根據已知條件設出直線方程,再根據已知條件構造關于待定系數的方程(組)求系數,最后代入求出直線方程.
3.直線在軸上的截距是直線與軸交點的橫(縱)坐標,所以截距是一個實數,可正、可負,也可為0,而不是距離.
學科素養:根據具體要求，用不同形式的直線方程解決簡單問題，體現數學運算、直觀想象的核心素養.
典例2-1 [推測解釋能力]直線的方程為0,若滿足且,則直線不經過的象限是( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
解析: 本題主要考查直線的幾何要素,通過直線的斜率和截距推測直線的位置.
依題意可知該直線的斜率為軸上截距為0,所以該直線過一、二、三象限.答案
典例2-2 [分析計算能力]的三個頂點分別為,求:
(1)邊所在直線的方程;
(2)邊上中線所在直線的方程;
(3)邊的垂直平分線的方程.
解析: 解:(1)因為直線經過和兩點,所以由兩點式得的方程為,即.
(2)設邊的中點的坐標為,則.則邊的中線過點兩點,由截距式得所在直線的方程為,即.
(3)由(1)知,直線的斜率,則的垂直平分線的斜率.由(2)知,點的坐標為.由點斜式得直線的方程為,即.
點撥：本題考查直線方程的五種形式的靈活運用,關鍵在于求直線方程的方法的選取, 并進行分析計算即可求出方程.
探究點3 直線系方程
1.平行直線系
平行于已知直線是不全為0的常數)的直線系:(為常數).
2.過定點的直線系
(1)斜率為的直線系:,直線過定點;
(2)過兩條直線的交點的直線系方程為(為參數),其中直線不在直線系中.
3.垂直直線系
垂直于已知直線是不全為0的常數)的直線系:
要點辨析
對證明直線系過定點問題，常用方法有恒等式法和特殊直線法，恒等式法就是將直線方程化為關于參數的恒等形式，利用參數屬于R，則恒等式系數為0，列出關于x,y的方程組，通過解方程組，求出定點坐標；特殊直線法是取兩個特殊參數值，得到兩條特殊直線，通過解兩條特殊直線的交點坐標，并代入原直線系方程檢驗，即得定點.
學科素養: 由直線的方程結合圖形特點，推導出直線系方程，體現邏輯推理、數學運算的核心素養.
典例3、[概括理解能力]證明:直線是參數且過定點,求出定點坐標.
解析：解法1:(恒等式法)直線方程化為:,
解得
∴直線是參數且過定點.
∴直線是參數且過定點.
解法2:(特殊直線法)取得0,聯立解得,將代入檢驗滿足方程,
∴直線是參數且過定點.
點撥：本題是證明直線系過定點問題,可用恒等式法和特殊直線法.
探究點4 兩直線平行與垂直
1.當時,
(1).
(2).
(3)與重合.
(4)與相交.
2.一般地,當不全為不全為0時,
(1)或者
(2).
(3)與重合.
(4)與相交,此判斷方法適用所有直線.
要點辨析
1.注意:利用斜率判斷直線的平行與垂直時,要注意斜率的存在與否.
2.對于直線,也可以表示為方程組
此判斷方法排除中有等于零的情況,當中有等于零的時侯方程較簡單,兩條直線的位置關系更容易確定.在判斷兩直線的位置關系時,比例式與的關系容易記住,在解答選擇題、填空題時,建議多用比例式來解答.
學科素養：熟練掌握兩直線平行與垂直的判定方法，體現數學運算的學科核心素養.
典例4-1、[分析計算能力]已知兩直線和為何值時與滿足下列條件:(1)相交;(2)平行.
解析：解:(1)和相交,應滿足,得且.
當且時,和相交.
(2),應滿足得或,當時,兩直線重合.
只有當時,.
點撥：本題可以利用兩直線平行與垂直的判定方法來分析計算求值.
典例4-2、[分析計算能力]求兩條垂直直線和的交點坐標.
解析：解:由直線與互相垂直,得,所以.
當時,成為.
聯立兩條直線的方程,得到方程組
解方程組,得
所以,兩條直線相交于點.
點撥：本題可以利用兩直線垂直的判定方法和列方程組來計算出兩直線的交點坐標,考查學生的分析計算能力.
探究點5距離問題
1.兩點間距離公式:設是平面直角坐標系中的兩個點,則.
2.點到直線距離公式:一點到直線的距離.
3.兩平行直線距離公式
在任一直線上任取一點,再轉化為點到直線的距離進行求解.
對于來說:.
要點辨析
1.應用點到直線的距離公式應注意直線方程應為一般式,若給出其他形式應化為一般式.
2.利用點到直線距離公式求直線方程時,要考慮直線方程的斜率是否存在.
3.直接利用兩平行線間的距離公式,必須注意兩直線方程中的系數對應相等.
學科素養：掌握幾種距離公式，體現數學建模、邏輯推理、數學運算的學科核心素養.
典例5、[綜合問題解決能力]已知直線恒過定點.
(1)若直線經過點且與直線垂直,求直線的方程;
(2)若直線經過點且坐標原點到直線的距離等于3,求直線的方程.
解析：解:(1)直線可化為,
由可得所以點的坐標為.
設直線的方程為,
將點代入方程可得,所以直線的方程為,
(2)①當直線斜率不存在時,因為直線過點,所以直線方程為,
符合原點到直線的距離等于3;
②當直線斜率存在時,設直線方程為,
即.
因為原點到直線的距離為3,所以,
解得,
所以直線的方程為.
綜上,直線的方程為或.
點撥：本題可以利用點到直線的距離公式結合垂直的直線系方程和過定點的直線系方程、兩條直線的交點坐標的知識點進行綜合解題.
探究點6　共線問題
已知三點A,B,C，若直線AB,AC的斜率相同，則A,B,C三點共線.因此三點共線問題可以轉化為斜率相等問題，用于求證三點共線或由三點共線求參數.
要點辨析
判斷三點共線的方法：
對于給定坐標的三點，要判斷三點是否共線，先判斷任意兩點連線的斜率是否存在：
(1)若都不存在，則三點共線.
(2)若斜率存在，則任意兩點連線的斜率相等時，三點才共線.
注意：若三點共線，則任意兩點連線的斜率可能相等，也可能都不存在，解決這類問題時，首先要對斜率是否存在作出判斷，必要時分情況討論，然后下結論.
學科素養：解決三點共線問題，體現數學運算、邏輯推理的核心素養.
典例6、[分析計算能力]若三點共線,則實數__________.
解析：由題意得.
三點共線,,
,解得.答案
點撥：由三點共線構造兩條直線的斜率相等,問題便轉化為解方程.再經過計算即可求解.
探究點7 坐標法解決問題
坐標法解決問題的一般步驟：
（1）建立適當的平面直角坐標系.
（2）設出已知點的坐標，表示出未知點的坐標.
（3）利用已學的坐標公式列出方程(組),通過計算得出代數結論.
（4）反推回去,得到幾何問題的結論.
要點辨析
1.坐標法
坐標法又稱解析法，它是把幾何問題轉化為代數問題，通過建立適當的平面直角坐標系，加以分析研究解決問題的方法
2.坐標法的基本思路
學科素養：利用坐標法解題，體現直觀想象、邏輯推理的學科核心素養.
典例7、[說明論證能力]中,是邊上任意一點與不重合),且.求證:為等腰三角形.
點撥：利用坐標法解題,首先要建立合適的直角坐標系,用坐標表示有關的量,通過代數運算,把結果轉化成幾何關系.
證明：如圖,作,垂足為,以所在直線為軸,以所在直線為軸,建立直角坐標系.
設,0),
因為,
所以d),
即d).
又,故,
即.
所以,
即為等腰三角形.
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