資源簡介

《2.1直線的傾斜角與斜率》教材分析
一、本節知識結構框圖
二、重點、難點
重點：直線的傾斜角和斜率的概念，過兩點的直線斜率公式.
難點：用直線的傾斜角和斜率刻畫直線的幾何特征，建立直線的傾斜角、斜率及直線上任意兩點縱橫坐標差商之間的關系.
三、教科書編寫意圖及教學建議
本節內容包括直線的傾斜角和斜率的概念，傾斜角與斜率之間的關系，過兩點的直線斜率公式的推導，以及運用直線的斜率判斷兩條直線平行或垂直的位置關系.
為了用代數方法研究直線的有關問題，教科書首先探索在平面直角坐標系中確定直線位置的幾何要素，然后用代數方法表示這些幾何要素.通過一點和一個方向可以確定一條直線，教科書引人傾斜角刻畫直線的傾斜程度（方向）；然后通過具體實例，由特殊到一般，通過向量法，用直線上兩點的坐標刻畫傾斜角；把傾斜角的正切值表示為這兩點縱坐標的差與橫坐標的差的商，進而引出直線的斜率的概念；推導過兩點的直線的斜率公式，以及直線的斜率與其方向向量的關系.由于直線的位置可以由點與斜率唯一確定，在點確定的前提下，可以由它們的斜率判斷兩條直線平行或垂直的位置關系.
教學時，要讓學生認識到對確定直線位置的幾何要素的刻畫是按照“方向→傾斜角→傾斜角的正切值→斜率→直線上任意兩點縱橫坐標的差商”過程展開的.這個過程是對“直線”這個幾何研究對象逐步代數化的過程，把“形”逐步轉化為“數”，用“數”表示“形”.這個過程是解析幾何研究幾何圖形的基本過程，它是不斷深化、不斷精致的過程.教科書正是按照這個過程展開本節的內容.
2.1.1傾斜角與斜率
為了用代數方法研究直線的有關問題，需要把直線代數化.也就是教科書中提到的“直線如何表示？”，這個表示指的就是代數化.何為代數化？如何代數化？
學生對于代數化并不陌生，如點與坐標的對應，函數的解析式與其圖象的關系，等等，其實用數、式子表示圖形就是代數化的一個側面.教學時，可以結合這些知識讓學生初步了解“代數化”的含義.解析幾何的學習，就是在點與坐標一一對應的基礎上，用代數方法刻畫直線的幾何特征，得到直線的斜率，進而建立直線的方程，把直線完全代數化，用方程研究與直線有關的問題.
教科書首先探索在平面直角坐標系中確定直線位置的幾何要素，然后用代數方法表示這些幾何要素.通過表示這些幾何要素，建立直線上點的坐標滿足的代數關系式，通過代數關系式研究直線.與歐氏幾何不同的是，現在教科書把直線這個幾何圖形作為一個研究對象，而在歐氏幾何中，直線是原始概念，對它的“定義”是描述性的.我們不研究它自身的幾何性質，只是由直線出發，得到射線、線段、角等幾何圖形.教學時，要引導學生認識解析幾何和歐氏幾何對同一個研究對象不同的研究方法.這種不同的研究方法，反映了解析幾何的特點：從圖形的幾何特征出發，建立圖形的代數表達，用代數方法研究圖形的幾何性質.
1.確定直線位置的幾何要素：點、方向
在平面直角坐標系中，點用有序數對表示.對于函數，解析式、表格、圖象都是它的表示形式，它是滿足某種對應關系的點的集合.學生對于解析式與圖象之間的關系有一定的認識，但對于如何表示平面直角坐標系中的圖形，如直線，從直線出發，建立直線上的點的坐標滿足的關系式，還沒有系統的認識.教學時，要引導學生回顧點與坐標的一一對應，函數解析式、表格與圖象之間的關系，通過上述具體事例，幫助學生認識“數”與“形”的結合.
兩點確定一條直線，是幾何學中的一個基本事實.兩點顯然是確定直線位置的幾何要素.兩點確定了，經過這兩點的直線也就唯一確定了.教學中可以提問學生，能直接用這兩個點的坐標刻畫這條直線嗎？當然無法直接建立任意兩點的坐標與直線幾何特征的關系，也就是說，無法用坐標直接表示這條直線.此時，需要我們“另辟蹊徑”，考慮確定直線位置的其他幾何要素.由于在平面直角坐標系中考慮問題，平面直角坐標系本身是一個工具，它有原點、軸、軸等要素.因此教科書在“思考”欄目中提出問題：“如何利用坐標系確定它的位置？”也就是如何利用坐標系中的這些要素確定直線的位置.
回顧以前的學習，無論是在平面向量，還是在空間向量中，我們都學習了直線的方向向量.除了點之外，方向是直線的一個重要屬性，也是確定直線位置的重要幾何要素.一點和一個方向也唯一確定一條直線.兩點確定一條直線可以歸結為一點和一個方向確定一條直線，因為在平面直角坐標系中，經過一點的直線有無數條，它們的區別在于其方向不同.
雖然這是兩種確定直線位置的幾何要素，但是教科書把這兩種方式統一起來.如教科書中的描述：設為直線上的任意兩點，則是這條直線的方向向量，這樣兩點確定一條直線可以歸結為一點和一個方向確定一條直線.
根據習慣，以及平面直角坐標系的定義，容易想到，當直線水平時，把直線的方向確定為與軸正向相同，更方便；同樣，當直線鉛直時，把直線的方向確定為與軸正向相同，更方便.當直線既不水平，又不鉛直時，可以定義直線向上的方向為這條直線的方向.這樣，在平面直角坐標系中，給定一點，再加上上述定義的直線的方向，這條直線就唯一確定了.
2.直線的傾斜角：定量刻畫直線的方向
直線的方向確定后，如何定量刻畫這個方向，是接下來要考慮的問題.此時教科書提出問題，當直線的方向不同時，如何表示這些直線的方向？
在平面直角坐標系中，任意一條直線必定和軸相交、平行或重合，因此這條直線和軸必定形成一個角.我們知道，在歐氏幾何中，無論是平行還是相交，兩條直線的位置關系都可以用角度來刻畫，這啟發我們用這條直線和軸形成的角表示這條直線的方向，加上這條直線經過一個定點，就可以在平面直角坐標系中刻畫一條直線的位置.定點和方向這兩個幾何要素缺一不可.教學時，可以讓學生思考，如果直線只有方向相同，是什么情況？如果直線只經過一個定點，又是什么情況？兩種情況下直線都不確定：第一種情況是一簇平行直線，第二種情況是一簇相交直線.
由于有必修第一冊“第五章 三角函數”中定義始邊固定，終邊變動的任意角的經驗，同時為了研究問題的方便，教科書用軸正向作為角的始邊，這條直線向上的方向作為角的終邊，即用軸正向與直線向上的方向之間所成的角定量刻畫這條直線的方向.這個角是存在的、確定的，而且是唯一的.教科書把這個角定義為直線的傾斜角.教學時，可以提出這樣的問題：“選取直線向下的方向與軸正向所成的角定量刻畫這條直線的方向可以嗎？有什么不方便？”通過回答上面的問題，進一步認識上述定義的簡潔性.
顯然，直線的傾斜角是對直線方向的定量刻畫，是對直線的傾斜程度的刻畫，是相對于軸正向位置的刻畫.根據直線傾斜角的定義，可以定義其范圍：當直線與軸平行或重合時，由于水平直線的方向向右，規定水平直線的傾斜角為.因此，直線的傾斜角的取值范圍為
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這樣，在平面直角坐標系中，如果直線的方向相同，那么它們的傾斜程度就相同，傾斜角就相等，也就是說，每一條直線都有唯一的傾斜角.教學時，可以向學生提出問題：“直線的傾斜角為180°可以嗎？說說你的理由.”通過這樣的問題，強化對傾斜角范圍的認識.
在解析幾何中，常把圖形看成點的軌跡.有了上述關于方向、傾斜角和傾斜程度的描述，教學時，可以提出下面的問題：直線可以看作點運動形成的軌跡，那么點如何運動才能形成直線？直線上點的規律是什么？不難得出，直線上的點滿足：經過其上任意兩點，直線的方向不變、傾斜程度不變、傾斜角不變.也就是說，當點運動形成直線時，直線的傾斜角始終保持不變，這就是點運動變化形成直線過程中的不變性.簡言之，經過直線上任意兩點的直線是重合的，是一條直線.這為從代數角度刻畫直線的傾斜角，進而給出斜率的概念奠定了基礎.
3.用傾斜角的正切值進一步量化直線的傾斜程度
雖然我們用傾斜角刻畫了直線的方向，但是傾斜角與直線上點的坐標尚未建立任何聯系.為此，教科書指出：“由兩點確定一條直線可知，直線由點唯一確定.所以，可以推斷，直線的傾斜角一定與兩點的坐標有內在聯系.”
直線由兩點唯一確定，兩點由它們的坐標唯一確定.如何建立直線的傾斜角與其上兩點坐標之間的聯系呢？教科書給出了一個“探究”，目的是通過三個循序漸進的問題，逐步引導學生用直線上兩點的坐標刻畫直線的傾斜角.教學時，結合以前學習的正切函數的概念，向量法求解正切函數的值，由正切函數的值得到傾斜角的值，容易解決這個問題.這個“探究”分為三個層次，第一個層次是由經過原點的直線上的另一個具體點（包括原點共兩個點）的坐標刻畫直線的傾斜角；第二個層次是由不經過原點的直線上兩個具體點的坐標刻畫直線的傾斜角；第三個層次是由經過直線上任意兩點的坐標刻畫直線的傾斜角.顯然，這三個問題的層次性很強，由特殊到一般，由具體到抽象，其中第一個問題是基礎，逐層遞進；由于平移后直線的傾斜角不變，后面兩個問題都可以轉化為第一個問題，即轉化為通過原點的直線.運用向量方法，結合正切函數的定義，可以得出結論.
兩個層次的問題，對于學生來說，雖然沒有難度，但學生需要認識問題的立意.問題的目的不僅僅是求個角度，而是通過直線上兩點的坐標定量刻畫這條直線的傾斜角，把直線的傾斜程度代數化.對于第三個層次，是一般化表示兩個點，需要分類討論，教科書用向量做工具，在具體例子的基礎上，一般化得出傾斜角的正切值與直線上任意兩點坐標之間的關系，也就是縱坐標與橫坐標的差商.用向量方法推導，推導過程和結論都具有一般性，即無論向量的方向如何，結論相同.
當直線與軸平行或重合時，直線的傾斜角為0°，兩點的縱坐標相等，此時仍然有.
4.用直線上任意兩點縱橫坐標的差商表示傾斜角的正切值：斜率
傾斜角的正切值顯然是定量刻畫直線的幾何特征---傾斜程度的量，而且可以用直線上任意兩點的坐標唯一表示.教科書把這個量定義為直線的斜率.傾斜角的正切值是對直線傾斜角的進一步刻畫，用坐標表示斜率是對傾斜角的完全代數刻畫.
上一版教科書中利用“坡度”這個直觀的生活實例，建立了傾斜角的正切值與與直線上任意兩點坐標之間的關系.可以說，兩種方式各有特點.現在教科書這種處理方式是從數學內部邏輯聯系的角度考慮，挖掘與已有知識的聯系，特別是與向量的聯系，建立角度與坐標兩者之間的邏輯關系.聯系的本質是：兩點和一點一個方向都能唯一確定一條直線，兩者具有內在一致性，可以利用方向向量，把這兩者之間的一致性表示出來.通過“坡度”的實例引出斜率的處理方式：鉛直高度與水平寬度兩個量的比刻畫傾斜程度（坡度），雖然可以為建立鉛直與水平兩個方向的“差商”提供經驗支持，但是具有明顯的不方便之處，當直線的傾斜角是鈍角時，按照生活常識其坡度仍然是正數.也就是說，傾斜角互補的兩條直線的坡度是一樣的.此時無法建立傾斜角與縱橫坐標差商之間一一對應的關系，不利于表達問題.教學時，結合“邊空”中的表述，讓學生思考這兩種方式的差異，體會數學自身邏輯表達的完備性，感受數學內部的力量.
至此，對直線幾何特征的刻畫告一段落.教學時，要引導學生回顧刻畫直線幾何特征的完整過程：方向→傾斜角→傾斜角的正切值→斜率→直線上任意兩點縱橫坐標的差商，感受在平面直角坐標系中如何刻畫直線的幾何特征，建立直線幾何特征的坐標表示，把直線代數化.
隨著后續的學習，學生會逐漸發現直線的斜率是非常重要的量.有了過兩點的直線的斜率公式后，可以用它判斷兩條直線平行或垂直，建立直線的方程，等等.
推導得出過兩點的直線的斜率公式后，教科書給出了“思考”問題：（1）由于，所以已知直線上兩點，運用上述公式計算直線的斜率時，與兩點的順序無關.（2）當直線平行于軸，或與軸重合時，上述公式不適用，因為分母為0，式子無意義.教學時，上述兩個問題都可以由學生自己思考完成.對于傾斜角為90°的直線，無法用斜率來刻畫它.教學時，要特別注意，傾斜角為90°的直線，由于斜率不存在，在用斜率討論問題時，要考慮斜率不存在的情況，此時要轉化為傾斜角為90°的情況進行討論.
教學時，讓學生結合正切函數的取值特點及單調性，回答當直線的傾斜角在其范圍內變化時，其斜率的變化情況.學生可能會有些陌生，此時教師要加強引導，回顧正切函數的取值特點及單調性.當傾斜角為銳角時，其斜率為正值，而且斜率隨著傾斜角的增大而增大；當傾斜角為鈍角時，其斜率為負值，斜率仍然是隨著傾斜角的增大而增大.除了90°之外，直線的傾斜角與它的斜率是一一對應的.教學時，切忌喧賓奪主，把正切函數的單調性作為教學的重點，而忽視本節主要內容：過兩點的直線斜率公式的推導.
5.建立直線的方向向量與斜率的關系
在斜率公式的建立過程中，我們用直線上兩點縱橫坐標的差商刻畫了直線的傾斜角，進而得到了直線傾斜角的正切值：斜率.而直線上兩點縱橫坐標的差也就是這條直線的方向向量的縱橫坐標.這說明利用直線的方向向量可以表示斜率；反之，也可以用斜率表示直線的方向向量.教學時，要引導學生回顧必修第二冊“第六章 平面向量及其應用”中，如何在平面直角坐標系中用坐標表示直線的方向向量.建立直線的方向向量與斜率的關系，可以多角度認識斜率和方向向量，斜率可以用縱橫坐標的差商表示，它是一個數；由于斜率與方向向量對應，而方向向量可以用坐標表示，它是一個有序數對，所以也可以用表示方向向量的坐標刻畫直線的斜率.
在用直線的斜率表示它的方向向量時，由于直線的方向向量不唯一，不同的方向向量可以用不同的坐標形式表示出來.這些表示形式上的不同，本質上是直線方向向量的模（長度）不同.為了考慮問題的方便，若直線的斜率為，我們常常用或表示直線的方向向量（其中）.盡管直線的方向向量有很多變式，但萬變不離其宗，變的是向量的模，不變的“宗”是直線斜率.
教學時，需要注意的是，直線的斜率是一個數，而其方向向量的坐標表示是一個有序數對，形式上雖然不一樣，但實質是一致的.
6.例1的教學
例1分為兩步，第一步是根據兩點的坐標，直接求經過兩點的直線的斜率，是過兩點的直線斜率公式的直接應用，目的是讓學生了解公式的結構；第二步由斜率的正負以及正切函數的取值規律，可以得到直線的傾斜角是銳角或鈍角，它是由斜率判斷傾斜角，目的是讓學生進一步認識傾斜角與斜率的關系.教學時，要適當復習正切函數的概念和性質，包括自變量的取值范圍，函數值的取值規律，區間上的單調性，等等.至于角度是用角度制，還是用弧度制，沒有特別的要求，兩種度量值都可以.
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