資源簡介

《直線和圓的方程》總體設計
直線和圓是平面幾何中已經研究過的圖形，本章用解析幾何的方法進行再研究，可以使學生體會解析幾何方法的特點.本章首先在平面直角坐標系中，探索確定直線位置和圓的幾何要素；然后用代數方法刻畫直線的斜率、兩點間的距離.在此基礎上，建立直線和圓的方程；用方程研究兩條直線的位置關系、交點坐標、點到直線的距離以及直線與圓、圓與圓的位置關系；解決簡單的數學問題和實際問題，初步感悟平面解析幾何蘊含的數學思想.
以上是《標準（2017年版）》對本章內容的整體定位，也是本章編寫的指導思想.
一、本章學習目標
1.直線的方程
（1）在平面直角坐標系中，結合具體圖形，探索確定直線位置的幾何要素.
（2）理解直線的傾斜角和斜率的概念，經歷用代數方法刻畫直線斜率的過程，掌握過兩點的直線斜率的計算公式.
（3）能根據斜率判斷兩條直線平行或垂直.
（4）根據確定直線位置的幾何要素，探索并掌握直線方程的三種形式：點斜式、兩點式、一般式.
（5）能用解方程組的方法求兩條直線的交點坐標.
（6）探索并掌握平面上兩點間的距離公式、點到直線的距離公式，會求兩條平行直線間的距離.
2.圓的方程
（1）回顧確定圓的幾何要素，在平面直角坐標系中，探索并掌握圓的標準方程與一般方程.
（2）能根據給定直線、圓的方程，判斷直線與圓、圓與圓的位置關系.
（3）能用直線和圓的方程解決一些簡單的數學問題與實際問題.
二、本章知識結構框圖
三、內容安排
本章內容包括兩部分.第一部分是直線的方程，包括“2.1直線的傾斜角與斜率”“2.2直線的方程”“2.3直線的交點坐標與距離公式”3節；第二部分是圓的方程，包括“2.4圓的方程”“2.5直線與圓、圓與圓的位置關系”2節.
本章第1節“直線的傾斜角與斜率”，主要內容是直線的傾斜角和斜率的概念，傾斜角與斜率之間的關系，過兩點的直線斜率公式，以及運用直線的斜率判斷兩條直線平行或垂直的位置關系，為了用代數方法研究直線的有關問題，教科書首先探索在平面直角坐標系中確定直線位置的幾何要素，然后用代數方法表示這些幾何要素.通過一點和一個方向確定一條直線，引入直線傾斜角刻畫直線的傾斜程度（方向）；然后通過具體實例，由具體到一般，通過向量法，用直線上兩點的坐標刻畫傾斜角；把傾斜角的正切值表示為這兩點縱坐標的差與橫坐標的差的商，進而引出直線斜率的概念；建立過兩點的直線斜率公式，以及直線的斜率與其方向向量的關系.由于兩條直線平行或垂直取決于它們的方向，所以由它們斜率的關系可以判斷兩條直線平行或垂直的位置關系.
直線的方程是在直角坐標系中對直線的代數刻畫.第2節“直線的方程”包括直線的點斜式、兩點式和一般式方程，斜截式、截距式方程分別是點斜式、兩點式方程的特例.點斜式方程是其他所有方程的基礎，它是在經過兩點的直線斜率公式的基礎上，利用給定的點和斜率建立直線上任意一點所滿足的代數關系.它一方面表示直線上的點滿足這個關系式，另一方面表示滿足這個關系式的點都在這條直線上.兩點式方程是點斜式方程的“變式”表達或推論，兩者之間的橋梁是直線的斜率.而一般式方程揭示了任意一個二元一次方程表示一條直線，任意一條直線都可以用一個二元一次方程表示.點斜式方程、兩點式方程都可以化為一般式方程.
第3節“直線的交點坐標與距離公式”是運用直線的方程，判斷兩條直線的位置關系，求出兩條直線相交時交點的坐標；推導點到直線的距離公式、兩條平行直線間的距離公式.距離問題是歐氏幾何的基本問題之一，在歐氏幾何中，把兩點間線段的長度定義為距離.而兩點間的距離公式與過兩點的直線斜率公式是平面解析幾何中兩個最基本的公式.教科書用向量方法得出平面上兩點間的距離公式.對于點到直線的距離公式，教科書給出了兩種推導方法，兩種方法各有所長，在比較中可以體會坐標法與向量法的異同.而兩條平行線間的距離可以轉化為點到直線的距離求出，是點到直線的距離公式的“推論”.
圓是本章研究的第二類圖形.雖然圓與直線是兩類圖形，但研究方法是一致的，即根據確定圓的幾何要素，建立圓的方程，運用圓的方程研究與圓有關的幾何性質.第4節“圓的方程”包括圓的標準方程、圓的一般方程兩部分內容，教科書從確定圓的幾何要素：圓心、半徑出發，根據兩點間的距離公式，得到圓的標準方程.把圓的標準方程展開，得到圓的一般方程.圓的標準方程和一般方程是圓的方程的兩種形式，它們各有自己的特點，而且兩者之間可以互化.
本章最后一節是“直線與圓、圓與圓的位置關系”.本節綜合運用直線和圓的方程研究直線與圓、圓與圓的位置關系，以及一些簡單的數學問題和實際間題.圖形之間的位置關系，既可以直觀定性描述，也可以嚴格定量刻畫.定量刻畫的方法既可以完全運用代數的方法，通過運算求解，得到圖形之間的位置關系；也可以綜合運用幾何方法和代數方法，這種綜合是充分借助圖形的幾何性質，一定程度上簡化代數運算，最后得到圖形之間的位置關系.
本章還安排了“方向向量與直線的參數方程”“笛卡兒與解析幾何”“坐標法與數學機械化”等選學內容，目的是拓展學生的知識面，讓學生從多種角度認識直線方程的表示形式，了解解析幾何產生的過程，以及我國數學家吳文俊先生運用坐標法進行幾何定理機器證明的杰出貢獻.
本章中，過兩點的直線斜率公式是建立直線方程的基礎，兩點間的距離公式是建立圓的標準方程的基礎，兩個公式是本章內容的基礎.在此基礎上建立的直線的方程、圓的方程，以及運用它們研究兩條直線的位置關系、交點坐標、點到直線的距離、直線與圓、圓與圓的位置關系等，它們是本章的重點.用向量方法推導點到直線的距離公式，以及對直線與直線的方程，圓與圓的方程之間關系的認識，學生理解可能會有一定的困難，它們是本章的難點.
本章研究直線、圓及其相關問題，用的是坐標法.坐標法是解析幾何最基本的研究方法，它建立了幾何與代數之間的聯系，體現了數形結合的思想.
四、課時安排
本章教學時間約需16課時，具體分配如下（僅供參考）
2.1直線的傾斜角與斜率 約2課時
2.2直線的方程 約3課時
2.3直線的交點坐標與距離公式 約4課時
2.4圓的方程 約2課時
2.5直線與圓、圓與圓的位置關系 約3課時
小結 約2課時
五、本章編寫思考
1.突出坐標法，讓學生初步感悟用坐標法研究幾何圖形性質的程序性和普適性
幾何圖形的性質主要指圖形的形狀、大小和位置關系等.研究幾何圖形的性質有很多方法.在以往的學習中，常常通過直觀感知、操作確認、思辨論證、度量計算等方法研究它們.這種借助圖形的直觀，在一些基本名詞（如點、直線、平面等）基礎上，以一些公理與公設為依據，運用同一律、矛盾律和排中律，以及大前提、小前提、結論的“三段論”式的邏輯規則，經過一定的推理，導出一系列命題的研究方法，常常稱為綜合法.本章采用了一種新方法---坐標法研究幾何圖形的性質.
在用坐標法研究幾何圖形性質的過程中，常常把圖形看成點的集合或點運動形成的軌跡.點是構成圖形的基本元素，在平面直角坐標系中，用有序數對表示，一個有序數對表示唯一的一個點，也就是說，點與有序數對一一對應.直線和圓是平面上最簡單的非封閉圖形和“曲線型”封閉圖形.實際上，從更高的觀點（圖形分類）、更廣闊的角度（射影幾何）看，直線和圓是一類圖形：直線是半徑“無窮大”的圓，直線和圓上任意一點的曲率相同，只不過，直線上任意一點的曲率為0，圓上任意一點的曲率是其半徑的倒數.用點的坐標刻畫直線和圓的兒幾何特征，就得到它們的點滿足的規律，這個規律用代數表達式表示，就建立了直線和圓的方程.由直線（圓）上每一個點的坐標都滿足方程，以方程的解為坐標的點都在直線（圓）上，確立了直線（圓）與其方程之間的關系：直線（圓）可以由方程表示，相應的方程表示直線（圓）.從而，可以由直線和圓的方程研究與它們相關的幾何性質.這種研究幾何圖形性質的過程，教科書用一個非常形象的詞“三步曲”來概括：
第一步：建立適當的平面直角坐標系，用坐標和方程表示問題中的幾何元素，把平面幾何問題轉化為代數問題；
第二步：通過代數運算，解決代數問題；
第三步：把代數運算的結果“翻譯”成幾何結論.
“三步曲”說的是坐標法解決幾何問題的程序性.普適性是指一旦直線和圓的方程確定，那么它們的主要幾何性質，如距離、角度等原則上可以由它們的方程得到，而綜合法處理這些問題時有時需要很強的技巧，往往“就事論事”.
例如，“2.5直線與圓、圓與圓的位置關系”中的“例6已知圓的直徑，動點與點的距離是它與點的距離的倍，試探究點的軌跡，并判斷該軌跡與圓的位置關系.”（圖1）
這是典型的用坐標法通過求軌跡方程，“翻譯”軌跡方程，從而判斷動點軌跡形狀的問題.雖然直觀上可以判斷軌跡的形狀是條封閉的曲線，但很難想到是一個圓，更無法想到這個圓的圓心以及半徑長.坐標法為解決這類問題提供了普適的方法，而且這種方法完全是程序性的.用綜合法解決這一問題需要應用三角形內角、外角平分線以及圓周角的性質等內容，綜合性很強，有一定難度.
2.強調兩點間的距離公式、過兩點的直線斜率公式的基礎地位
距離和角度是歐氏幾何中兩個基本的度量.平面解析幾何的研究對象是平面幾何圖形，刻畫距離和角度是平面解析幾何的基本任務.兩點間的距離公式、過兩點的直線斜率公式是平面解析幾何中刻畫距離和角度的兩個基本公式，這兩個公式在平面解析幾何的學習中具有基礎地位，它們是幾何圖形代數化的起點和重要工具.
用坐標法刻畫兩點間的距離，本質上是把二維平面中線段的長度問題，轉化為一維數軸上線段的長度來解決.通過平面直角坐標系，把關于直角三角形的勾股定理用坐標表示，得到兩點間的距離公式.圓是到定點的距離等于定長的點的集合（軌跡）.動點在運動變化中，不變的是定長（半徑），這個定長就是兩點間的距離.刻畫這個距離的過程實際上就是建立圓的方程的過程.運動變化中的不變性，就是規律，這個規律就是圓的幾何特征：半徑保持不變.
以后學習橢圓、雙曲線、拋物線等圓錐曲線，建立它們的方程，關鍵也是利用兩點間的距離公式.
一點和一個方向可以唯一確定一條直線，而方向可以用角度刻畫.在平面直角坐標系中研究直線，直線的幾何特征是經過其上任意兩點，直線的傾斜角不變，這就是直線上的點在運動變化過程中保持不變的東西.而傾斜角無法直接用直線上任意兩點的坐標定量刻畫，這時需要轉化，傾斜角的正切值可以用直線上任意兩點的坐標定量刻畫.這種定量刻畫為研究直線帶來方便.教科書把直線傾斜角的正切值定義為直線的斜率.這樣，斜率完全刻畫了直線的幾何特征，并用表示這條直線的一個方向向量.
因為利用兩條直線斜率的關系可以判斷它們平行或垂直的位置關系，為了突出過兩點的直線斜率公式的基礎地位，教科書在建立直線方程之前先安排用它判斷兩條直線平行或垂直的問題.
3.突出點斜式方程在直線方程中的核心地位
推導過兩點的直線斜率公式本質上是建立直線的點斜式方程的過程，而點斜式方程是建立其他所有形式直線方程的基礎，其他形式的直線方程都可以作為點斜式方程的“變式”或推論.
誠如前面所述，直線的斜率完全刻畫了直線的幾何特征，但它還不是直線上的點滿足規律的一般表達.我們需要建立直線上任意一點中與之間的關系，這個關系是斜率公式的一個“變式”或推論.因為經過直線上任意兩點的直線是同一條直線，它們的斜率相等.由確定直線位置的幾何要素，一點和斜率唯一確定一條直線.教科書由此出發，把變形，得到過點，斜率為的直線的方程，也就是直線的點斜式方程.
直線的斜截式方程是點斜式方程的特例，它的形式與初中學習的一次函數解析式完全類似.在一次函數的學習中，我們只知道是常數，但是并沒有說明它們的幾何意義.現在教科書給出了的幾何意義：表示直線的斜率，表示直線在軸上的截距.
兩點式方程是點斜式方程的“變式”表達或推論，變化的依據是兩點確定一條直線可以轉化為一點和斜率唯一確定一條直線，而斜率可以由過這兩個已知點的坐標求得，轉化的關鍵是處理直線上任意一點的坐標與兩個已知點的坐標之間的關系，即用兩個已知點的坐標表示任意一點的坐標，從而建立直線的兩點式方程.在兩點式方程中，截距式方程是其特例，其特別之處在于這兩點是直線與兩條坐標軸的交點，它在具體問題中用途廣泛.
無論是點斜式方程、兩點式方程，其表達式都具有明顯的幾何意義，由方程的形式能夠直接發現直線所過定點、斜率，以及兩個已知點.另外，它們都是二元一次方程.為了在一般意義下研究直線的方程，教科書探討了二元一次方程的一般表達式與直線的關系.一方面，任意一個二元一次方程，當時，都可以寫成點斜式方程的形式；當時，表示垂直于軸的直線，從而任意一個二元一次方程都表示一條直線.另一方面，由于二元一次方程的每一組解都可以看成平面直角坐標系中一個點的坐標，所以這個方程的全體解組成的集合，就是坐標滿足二元一次方程的全體點的集合，這些點的集合組成一條直線.這樣，在平面直角坐標系中，任意一個二元一次方程表示直角坐標平面上一條確定的直線：反之，直角坐標平面上的任意一條直線可以用一個確定的二元一次方程表示.
4.充分發揮平面向量及其方法在研究幾何圖形性質方面的作用
向量既是代數研究對象，也是幾何研究對象，是溝通幾何與代數的橋梁.向量方法的運用突出了幾何直觀與代數運算之間的融合.向量是描述直線、曲線、平面、曲面以及高維空間數學問題的基本工具，是進一步學習和研究其他數學領域問題的基礎，在解決實際問題中發揮著重要作用.
本章通過直線的方向向量引入直線的傾斜角概念；通過向量方法由具體到一般討論直線上兩點的坐標與直線傾斜角的正切值之間的關系，進而得到過兩點的直線斜率公式；建立直線斜率與其方向向量，或（其中）之間的關系；運用直線的方向向量與斜率的關系推導兩條直線垂直與它們的斜率之積等于的關系；特別是運用向量方法推導點到直線的距離公式.在“探究與發現 方向向量與直線的參數方程”中，教科書通過直線的方向向量，建立了直線的參數方程，明確參數方程中參數的意義.
5.在強調坐標法特點的基礎上，充分利用圖形的幾何性質簡化運算
多邊形和圓是初中階段學習的兩類基本圖形，通過直線和圓的方程，原則上可以研究有關多邊形和圓的距離、角度等所有幾何性質方面的問題.但是，有時完全運用代數方法，通過代數運算，很難一路通暢地解決問題，這時需要充分利用圖形的幾何性質簡化運算.在用方程研究直線與圓、圓與圓的位置關系的有關問題中尤其如此.
在直線與圓的位置關系的研究中，教科書通過表示直線的二元一次方程與表示圓的二元二次方程聯立，通過方程組的解判斷它們之間的位置關系；也可以通過圓心到直線的距離判斷它們之間的位置關系.一個依據的是兩類圖形公共點的個數，另一個依據的是半徑與圓心到直線距離的大小關系，兩種方法殊途同歸，都可以判斷直線與圓的位置關系.只不過第一種方法需要用二次方程解決，第二種方法只需要運用一次方程，一次方程的運算量一般來說小于二次方程的運算量.在圓與圓的位置關系的研究中，利用圓的幾何性質的方法更加明顯，如圓心距、兩圓相交時兩圓圓心所在直線垂直平分兩園的公共弦，等等，利用這些性質都可以達到簡化運算的目的.
在直線與圓的位置關系、圓與圓的位置關系的研究中，教科書還重點關注了相切這一特殊的位置關系.相切常常與優化問題有關，很多優化問題可以轉化為相切問題，如最短距離、最大角度，等等.
六、本章教學建議
1.在建立直線的方程、圓的方程的過程中認識曲線與方程之間的關系
一般地，在解析幾何中把研究的圖形稱為曲線，曲線用方程表示，曲線與方程之間一一對應的關系是解析幾何的基石.雖然教科書正文中沒有明確提出曲線與方程的關系，但是兩者的對應關系在直線的點斜式方程、圓的標準方程的建立過程中都有所體現.如用過兩點的直線斜率公式得到關于直線的代數關系式后，教科書指出，直線上每一個點的坐標都滿足關系式；反過來，坐標滿足關系式的每一個點都在直線上.同樣，用兩點間的距離公式得到關于圓的代數關系式后，教科書指出，若點在圓上，則點的坐標滿足方程；反過來，若點的坐標滿足方程，就說明點與圓心間的距離為，即點在圓上.
從大的范圍看，曲線與方程之間的一一對應反映了數量關系與空間形式之間的關系，有了這種關系，就可以用方程表示曲線，對曲線進行“運算”；建立方程的幾何直觀表達，把方程“形象化”，進一步體會數形結合的思想.
2.關注直線、圓的方程的一般形式與特殊形式的互相轉化，提高數學運算等素養
直線和圓的方程形式多種多樣，但直線的方程都是二元一次方程，圓的方程都是二元二次方程，它們都是關于的二元方程.在直線各種形式的方程中，當斜率存在或表達式有意義時，一般式方程與其他形式的方程可以互化.一般式方程幾何意義不明顯，其他形式的方程正如其名稱一樣，具有明顯的幾何特征，它們反映了確定直線位置的幾何要素.轉化的目的是發現確定直線位置的幾何要素：一點和斜率，或兩個點；認識方程表示一條直線，是直線方程的一般形式.
圓的一般方程中，的系數相等，不含二次項.由于方程可化為，當時，它表示以為圓心，為半徑的圓.圓的一般方程與標準方程雖然形式不同，但本質上是一致的，兩者之間可以互相轉化.由圓的標準方程可以直接得到圓心的位置和圓的半徑，而圓的一般方程無法直接得到其圓心位置和半徑，要得到其圓心位置和半徑，需要把圓的一般方程轉化為準方程.圓的一般方程代數特征明顯，但是圓的兩個典型幾何特征：圓心、半徑無法直接體現.在圓的標準方程和一般方程的轉化中，涉及配方等二次式的恒等變形，這對數學運算提出了較高的要求，而代數式的恒等變形，是數學運算能力的重要表現.
3.注意復習平面幾何、三角函數、平面向量等知識
解析幾何的內容比較綜合，它通過方程的運算和幾何圖形性質的研究發展學生數學運算、直觀想象、邏輯推理等素養，需要綜合運用平面幾何、三角函數、平面向量等知識.
多邊形和圓是義務教育階段學習的兩類基本圖形，對這兩類圖形的研究，當時是從圖形的形出發，建立圖形的概念，運用直觀感知、操作確認、思辨論證、度量計算等方法，獲得這些圖形的性質，即組成這些圖形的要素之間的關系，如線段的大小、平行或垂直關系，等等.解析幾何的研究對象與平面幾何完全一樣，都是幾何圖形.因此在本章教學和學習中，需要復習多邊形、圓這兩類圖形的知識，其中三角形的高、中線、角平分線、三邊的垂直平分線，三角形的外接圓、內切圓，垂徑定理，圓的切線等知識是復習的重點.
另外，解析幾何與義務教育階段學面幾何的研究方法不一樣，解析幾何是在平面直角坐標系中研究圖形，通過點與有序數對的對應，建立曲線的方程，通過方程定量地研究曲線的性質.如在平面幾何中，只知道兩條相交直線相交，但是不知道具體在何處相交；而在平面直角坐標系中，可以完全量化這個交點，得到交點的坐標，進而確定交點的位置.從這個側面說明，通過解析幾何的學習，可以進一步加深和鞏固對于多邊形、圓兩類基本圖形的認識，兩者是相輔相成的.
本章中角度也是重要的研究問題，角度常常涉及三角函數，如用直線傾斜角的正切值定義直線的斜率.另外，在本章，建立直線的方程，推導點到直線的距離公式時，反復運用直線的方向向量、平面向量的投影、數量積運算，等等，這些都涉及向量的知識.因此，三角函數、向量等知識是本章學習的基礎，也需要不斷復習鞏固.
4.既重視幾何圖形的代數表達，也關注代數表達式的幾何直觀
數形結合一方面是幾何圖形的代數表達，另一方面是代數表達式的幾何直觀.它們是數形結合的兩個方面，兩者都不可或缺.如教科書中的問題：
（1）已知為任意實數，當變化時，方程表示什么圖形？圖形有何特點？
從式子的特點不難看出，當時，方程恒成立，而使同時成立的是這兩個方程表示的直線的交點坐標，這樣上述方程的幾何意義就很明顯了：經過直線的交點的所有直線.
（2）已知.求證：
，
并求使等式成立的條件；說明上述不等式的幾何意義.
同樣，由代數表達式
①
容易想到，是平面直角坐標系中的四個定點，它們可以表示邊長為1的正方形的四個頂點；由于，所以是這個正方形內的任意一點，上式表示該點與正方形四個頂點的距離之和大于或等于的點的特征.從幾何圖形上看，當點是這個正方形的中心時，①式中的等號成立；當點不是這個正方形的中心時，由三角形中兩邊之和大于第三邊可得，①式中的“”號成立.
上述兩個問題說的是代數表達式的幾何直觀，這是數形結合的重要方面，在處理某些代數問題時，利用幾何直觀，發揮圖形的功能，有助于代數問題的解決.
5.充分體會運用坐標法、向量法證明點到直線的距離公式時的差異
點到直線的距離公式是平面解析幾何中非常重要的一個公式，它是直線方程的一個直接應用.推導這個公式有多種方法.教科書完整地給出了兩種方法，一種方法是把點到直線的距離轉化為兩點間的距離，由兩點間的距離公式得到結論，這種方法思路自然但運算復雜.另一種方法是運用向量的投影和數量積運算進行推導，雖然運算量不大，但是需要有一定的整體觀和構造技巧，包括與已知直線垂直的單位向量的選擇，以及由向量及其投影的模表示點到直線的距離.如圖2，它從點與直線上的任意一點構成的向量（參考向量）出發，通過構造與直線垂直的單位向量，得到向量在上的投影向量，把點到直線的距離轉化為投影向量的模，即，進而求得點到直線的距離.
這兩種方法的差異是顯而易見的：
第一種方法是典型的坐標法.它是解析幾何研究問題最基礎、最常用的方法，即把點到直線的距離問題轉化為已知點與交點之間的距離，交點的坐標可以由兩條直線的方程得到，表示點到直線的距離的線段所在直線的方程可以由點斜式得到，其斜率可以由與它垂直的直線的斜率的負倒數求得.它完全通過代數運算，中間過程都是帶字母系數的表達式，形式很復雜，得到最終結果需要較強的數學運算能力，這對提升學生的數學運算素養是有利的.
第二種方法是典型的向量法.用投影向量的模表示點到直線的距離，把求距離轉化為向量數量積的運算，而且把點到直線的距離這個點與已知直線上的點的距離的最小值，用已知點與已知直線上任意一點構成的向量在與已知直線垂直的單位向量上的投影向量的模表示.這種方法構造性強，需要較高的思維水平以及對向量的深入認識，但是運算較為簡便.這種用一般化的向量（參考向量）處理最特殊的距離（點到直線的距離）的思路給了解決此類問題的通性通法.在“空間向量與立體幾何”一章中，我們有過類似的方法.
總之，兩種方法各有特點，在解決問題的過程中體現了知識之間不同的聯系方式.
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