資源簡介

《直線的方程---直線的點斜式方程》教材分析
一、本節知識結構框圖
二、重點、難點
重點：直線點斜式方程的建立.
難點：對二元一次方程表示一條直線，一條直線可以用二元一次方程表示的認識.
三、教科書編寫意圖及教學建議
直線的方程是對平面直角坐標系中直線的代數刻畫.點斜式方程是其他所有形式方程的基礎，實際上，它是經過兩點的直線斜率公式的一種“變式”表達，表達式是方程：一方面表示直線上點的坐標都滿足這個方程，另一方面表示滿足這個方程的點都在這條直線上.兩點式方程是點斜式方程的“變式”表達或推論，兩者之間的橋梁是直線的斜率；而一般式方程揭示的是任意一個二元一次方程表示一條直線，任意一條直線都可以用一個二元一次方程表示.點斜式方程、兩點式方程都可以化為一般式方程；在斜率存在的前提下，一般式方程也可以化為點斜式方程或兩點式方程.
上節教科書通過斜率對直線相對于軸的傾斜程度進行了代數刻畫，并運用斜率判斷直線平行或垂直的位置關系.解析幾何的核心是通過建立幾何對象的方程，通過方程研究幾何對象的性質.在平面直角坐標系中，給定一個點和斜率（或傾斜角），就能唯一確定一條直線，也就是說，這條直線上任意一點的坐標與點的坐標和斜率之間的關系是完全確定的.這個確定的關系式就是直線的方程.教科書循著這種思路建立直線的點斜式、兩點式方程.
2.2.1直線的點斜式方程
1.建立直線的點斜式方程
從幾何角度看，給定一點和傾斜角，則經過點，且傾斜角為的直線就唯一確定了，即任意一點是否在直線上，完全由和傾斜角確定：直線就是由滿足的傾斜角為的點所組成.從代數角度看，直線上點的坐標與點的坐標及之間有確定的關系，即.教學時，要引導學生分別從幾何角度、代數角度認識直線，也就是哪些是“形”，哪些是“數”，“形”與“數”的關系是什么.
直線的斜率完全刻畫了直線相對于軸的傾斜程度，但它還不是直線上點滿足規律的一般表達.我們需要建立直線上任意一點中與之間的關系，這個關系是斜率公式的一個“變式”，它把特殊的點轉化為一般的點，把特定的點轉化為任意的點.教學時，要強調建立直線上所有點的代數表達，突出直線上點的任意性.經驗表明，許多學生對“設是直線上的任意一點”的含義并不理解，教學時要注意根據上述分析加強引導.
因為經過直線上任意兩點的直線是同一條直線，所以它們的斜率相等.而過任意一點與點的直線的斜率，把變形，就得到過點，斜率為的直線的方程，這樣就建立了直線的點斜式方程.之所以稱其為點斜式，是因為直線由一點和斜率唯一確定.
由于點也在直線上，當然它的坐標滿足直線的方程，把它們代入方程后，兩邊都為0，顯然相等.這就是“邊空”中問題的答案.
由上不難看出，推導過任意兩點的直線斜率公式是建立直線點斜式方程的基礎.這也是教科書為什么先講直線的傾斜角與斜率，然后講直線的方程的緣由.因為沒有對直線幾何特征的代數刻畫，沒有斜率，我們無法建立直線的方程.
很顯然，點斜式方程的前提是斜率存在.如果斜率不存在，就無法用點斜式方程表示直線，如與軸平行或重合的直線方程的表示，實際上，此時的表示更為簡潔.
2.直線的方程與方程的直線的關系
一般地，解析幾何中研究的圖形稱為曲線，曲線用方程表示.曲線與方程的關系是解析幾何的基石.雖然教科書正文中沒有明確提出曲線與方程的關系，但是其思想滲透在相關內容中.教科書在得到關于直線的代數關系式后指出，直線上每一個點的坐標都滿足關系式；反過來，坐標滿足關系式的每一個點都在直線上.這就是曲線的方程、方程的曲線中所說的“純粹性”與“完備性”，也只有滿足了純粹性與完備性，我們才可以說，方程是直線的方程，直線是方程的直線.這樣，直線與方程就對一一應了，即方程就是直線，直線就是方程，通過方程得到的性質就是直線的性質.在具體的可題中，“直線的方程”和“方程的直線”可以不做嚴格區分，例如，可以說“直線”.
對“純粹性”與“完備性”的表述不是“繞口令”，它表達的是點、直線與坐標、方程之間的關系：點在直線上，坐標滿足方程；坐標滿足方程，點在直線上.教科書在后續講述圓、橢圓、雙曲線和拋物線的方程時，還會反復提及.教學時，我們需要逐步認識曲線與方程的關系，學生對于它的理解不是一蹴而就的.
3.例1的教學
例1是建立直線的點斜式方程，其中斜率由直線的傾斜角求得.雖然由一點和斜率（或傾斜角）可以唯一確定一條直線，但在實際操作畫這條直線時，很難做到.我們需要根據“點”和“斜率”先建立直線點斜式方程，然后把方程的一個解作為坐標確定另外一個點.兩點確定后直線就可以畫出了.教科書要求畫出這條直線的目的也在于此.
4.斜截式方程
斜截式方程是點斜式方程的一個特例，特別之處在于“截”.“截”是什么？“截”指的是截距，即直線與軸交點中的.教學時要提醒學生注意，截距不是距離，截距可正可負，甚至為0，而距離不能為負.斜截式方程仍是點斜式方程，只不過斜截式方程中的“點”為直線與軸的交點，這個點在軸上，比較特殊.
5.關于第61頁的“思考”
教科書安排第61頁“思考”的目的是引導學生建立直線的方程與一次函數之間的聯系.對于，從函數的角度看，它表示的是自變量與因變量之間的對應關系；而從直線方程的角度看，它表示的是平面直角坐標系中一條直線上點的坐標所滿足的代數關系.因此，一次函數和直線的斜截式方程比較，它們所討論的問題是不一樣的.但是，一次函數的解析式與直線的斜截式方程的形式一致，都是；一次函數的圖象是一條直線，與方程的直線重合.因此，我們可以利用直線方程的觀點解釋一次函數圖象的特點.一次函數及的圖象所對應的三條直線，它們的斜率不同，分別為；它們在軸上的截距也不同，分別為
6.例2的教學
斜截式方程中的幾何意義分別是直線的斜率，直線在軸上的截距.在此基礎上，我們容易得出例2的答案.教學時需要注意的是，只有斜率相等不能保證直線平行，還要說明它們過兩個不同的點，否則有可能重合.
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