資源簡介

《直線的方程---直線的兩點式方程》教材分析
一、本節知識結構框圖
二、重點、難點
重點：直線點斜式方程的建立.
難點：對二元一次方程表示一條直線，一條直線可以用二元一次方程表示的認識.
三、教科書編寫意圖及教學建議
直線的方程是對平面直角坐標系中直線的代數刻畫.點斜式方程是其他所有形式方程的基礎，實際上，它是經過兩點的直線斜率公式的一種“變式”表達，表達式是方程：一方面表示直線上點的坐標都滿足這個方程，另一方面表示滿足這個方程的點都在這條直線上.兩點式方程是點斜式方程的“變式”表達或推論，兩者之間的橋梁是直線的斜率；而一般式方程揭示的是任意一個二元一次方程表示一條直線，任意一條直線都可以用一個二元一次方程表示.點斜式方程、兩點式方程都可以化為一般式方程；在斜率存在的前提下，一般式方程也可以化為點斜式方程或兩點式方程.
上節教科書通過斜率對直線相對于軸的傾斜程度進行了代數刻畫，并運用斜率判斷直線平行或垂直的位置關系.解析幾何的核心是通過建立幾何對象的方程，通過方程研究幾何對象的性質.在平面直角坐標系中，給定一個點和斜率（或傾斜角），就能唯一確定一條直線，也就是說，這條直線上任意一點的坐標與點的坐標和斜率之間的關系是完全確定的.這個確定的關系式就是直線的方程.教科書循著這種思路建立直線的點斜式、兩點式方程.
2.2.2直線的兩點式方程
1.建立直線的兩點式方程
兩點確定一條直線，直線的方程由這兩點的坐標唯一確定.由此可以進行這樣的思考：已知直線經過兩點（其中），因為兩點確定一條直線，所以直線唯一確定.也就是說，對于直線上的任意一點，它與點的坐標，之間具有唯一確定的關系，這個唯一確定的關系就是直線的方程.教科書正是從這個“思考”展開本小節的內容.
通過上面的學習，容易發現，斜率在建立直線方程的過程中居于核心地位.在本小節中，斜率是搭建點斜式方程與兩點式方程之間的橋梁，兩點式方程是點斜式方程的“變式”或推論.變化的依據是兩點確定一條直線可以轉化為一點和斜率唯一確定一條直線，而斜率可以由過這兩個已知點的坐標求得.轉化的關鍵是建立直線上任意一點的坐標與兩個已知點的坐標，之間的關系，即用兩個已知點的坐標，表示任意一點的坐標，從而建立直線的兩點式方程.教學時，要引導學生分析兩點確定一條直線，與一點和斜率確定一條直線之間的聯系，把兩點確定一條直線轉化為一點和斜率確定一條直線.
直線的兩點式方程形式很美，但是不太好記憶.教學時不要求學生死記兩點式方程的形式，而是加強理解，在理解的基礎上記憶.明確斜率的“橋梁”作用：兩點式方程
，或
等號兩邊表達式中分子之比等于分母之比，也就是同一條直線的斜率相等.
2.截距式方程
教科書通過例3建立了兩點式方程的一個特例：截距式方程.在兩點式方程中，截距式方程是其特例，特殊在這兩點是直線與兩條坐標軸的交點，它在具體的問題中用途廣泛.截距式方程
的形式非常美，“點”非常特殊：直線與兩條坐標軸的交點，，可以在方程的形式中直接得到.確定兩點式方程時，我們常常采用截距式方程.教學時，需要注意的是，截距式方程等號右邊的數值是1，不是0.這類似橢圓的標準方程，雖然直線方程是一次式，橢圓方程是二次式，但的意義相似.后面學習橢圓的標準方程時，可以與直線的截距式方程進行類比.
直線的點斜式、斜截式、兩點式、截距式方程都有明確的幾何意義，都涉及確定直線位置的兩個基本要素：兩個點或一點和斜率.這些直線的方程，雖然形式不同，但是本質一致，它們都是對直線的代數刻畫.在對直線的代數刻畫中，斜率處于核心地位.點斜式方程是其他所有形式方程的基礎，其他所有形式的方程都是點斜式方程在一定條件下的“變式”或推論：如斜截式中的“截”就是直線與軸交點的縱坐標，截距式中的“截距”就是直線與兩坐標軸交點的橫縱坐標.
3.例4的教學
例4比較綜合，主要是兩點式方程的綜合應用.既需要根據兩點的坐標建立兩點式方程，也需要確定線段中點的坐標，由線段中點與三角形頂點建立三角形中線的方程.教學時，要把握圖形的幾何特征，用坐標和方程量化點和直線，把圖形的幾何特征轉化為代數表達.
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