資源簡介

《直線的方程---直線的一般式方程》教材分析
一、本節(jié)知識結(jié)構(gòu)框圖
二、重點(diǎn)、難點(diǎn)
重點(diǎn)：直線點(diǎn)斜式方程的建立.
難點(diǎn)：對二元一次方程表示一條直線，一條直線可以用二元一次方程表示的認(rèn)識.
三、教科書編寫意圖及教學(xué)建議
直線的方程是對平面直角坐標(biāo)系中直線的代數(shù)刻畫.點(diǎn)斜式方程是其他所有形式方程的基礎(chǔ)，實(shí)際上，它是經(jīng)過兩點(diǎn)的直線斜率公式的一種“變式”表達(dá)，表達(dá)式是方程：一方面表示直線上點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足這個(gè)方程，另一方面表示滿足這個(gè)方程的點(diǎn)都在這條直線上.兩點(diǎn)式方程是點(diǎn)斜式方程的“變式”表達(dá)或推論，兩者之間的橋梁是直線的斜率；而一般式方程揭示的是任意一個(gè)二元一次方程表示一條直線，任意一條直線都可以用一個(gè)二元一次方程表示.點(diǎn)斜式方程、兩點(diǎn)式方程都可以化為一般式方程；在斜率存在的前提下，一般式方程也可以化為點(diǎn)斜式方程或兩點(diǎn)式方程.
上節(jié)教科書通過斜率對直線相對于軸的傾斜程度進(jìn)行了代數(shù)刻畫，并運(yùn)用斜率判斷直線平行或垂直的位置關(guān)系.解析幾何的核心是通過建立幾何對象的方程，通過方程研究幾何對象的性質(zhì).在平面直角坐標(biāo)系中，給定一個(gè)點(diǎn)和斜率（或傾斜角），就能唯一確定一條直線，也就是說，這條直線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)和斜率之間的關(guān)系是完全確定的.這個(gè)確定的關(guān)系式就是直線的方程.教科書循著這種思路建立直線的點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式方程.
2.2.3直線的一般式方程
1.直線與二元一次方程的關(guān)系
相比直線的一般式方程，直線的點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式、截距式都是特殊形式的方程.從方程形式上看，它們都是關(guān)于的二元一次方程.基于這種認(rèn)識，教科書安排了“思考”：（1）平面直角坐標(biāo)系中的任意一條直線都可以用一個(gè)關(guān)于的二元一次方程表示嗎？（2）任意一個(gè)關(guān)于的二元一次方程都表示一條直線嗎？這個(gè)問題解決了，就建立了二元一次方程與直線的完全對應(yīng)，而這種對應(yīng)表明：“二元一次方程就是直線，直線就是二元一次方程”.
為了解決上述問題（1），需要把任意一條直線用二元一次方程表示.教科書對任意一條直線分斜率存在和不存在兩種情況分類討論，兩種情況都可以得到直線可以用二元一次方程表示.因此，平面直角坐標(biāo)系中任意一條直線都可以用一個(gè)關(guān)于的二元一次方程表示.
要解決問題（2），需要把“未知”的一般形式的二元一次方程轉(zhuǎn)化為“已知”的直線方程的某種特殊形式，這就需要對一般形式的二元一次方程進(jìn)行同解變形，看它能否轉(zhuǎn)化為已經(jīng)學(xué)過的點(diǎn)斜式（含斜截式）、兩點(diǎn)式（含截距式）方程.
如果能夠轉(zhuǎn)化，那就說明二元一次方程表示一條直線.轉(zhuǎn)化的方向清楚后，就要考慮的取值，特別是考慮取值為0的情況.很顯然，當(dāng)同時(shí)為0時(shí)，，此時(shí)不是方程，它沒有任何意義.所以，必須考慮中不同時(shí)為0的情況，教科書按照這種思路進(jìn)行方程同解變形的轉(zhuǎn)化.對于上述分類，是教學(xué)中的難點(diǎn)，一是分類問題始終是教學(xué)的難點(diǎn)，很多學(xué)生不了解確定“類”的依據(jù)是什么；二是涉及字母系數(shù)的二元一次方程比數(shù)字系數(shù)的二元一次方程抽象，同解變形更加形式化.這些都是教學(xué)中需要特別關(guān)注的.就來說，這個(gè)“類”就是區(qū)分的取值情況.
當(dāng)不為0時(shí)，可以把任意一個(gè)二元一次方程轉(zhuǎn)化為點(diǎn)斜式（斜截式）方程.很顯然，它表示經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)，斜率為定值的一條直線，也就是說它表示一條直線.當(dāng)為0時(shí)，方程表示一條垂直于軸的直線.這樣，可以知道關(guān)于的二元一次方程都表示一條直線.
綜上，可以說：“二元一次方程就是直線，直線就是二元一次方程. ”
由此，可以從幾何角度看一個(gè)二元一次方程，即一個(gè)二元一次方程表示一條直線，又二元一次方程的每一組解都可以看成平面直角坐標(biāo)系中一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，所以這個(gè)方程的全體解組成的集合，就是坐標(biāo)滿足二元一次方程的全體點(diǎn)的集合，這些點(diǎn)的集合構(gòu)成一條直線.
平面直角坐標(biāo)系是把二元一次方程和直線聯(lián)系起來的橋梁.在平面直角坐標(biāo)系中，任意一個(gè)二元一次方程表示直角坐標(biāo)平面上一條確定的直線；反之，直角坐標(biāo)平面上的任意一條直線都可以用一個(gè)確定的二元一次方程表示.兩者之間的這種關(guān)系，為研究二元一次方程和直線都帶來方便.
教學(xué)中，對直線與二元一次方程關(guān)系的研究，往往流于形式，教學(xué)時(shí)“快速通過”.產(chǎn)生這種情況的原因無外乎兩個(gè)方面：一是教師對其價(jià)值的認(rèn)識不足，不清楚為什么反復(fù)說兩者之間的關(guān)系；二是對其理解有限，想當(dāng)然認(rèn)為兩者之間的關(guān)系，認(rèn)為不需要證明.為了克服上述問題，教師需要認(rèn)真理解上述對它們之間關(guān)系的解讀.以及為什么要進(jìn)行一般式與點(diǎn)斜式方程之間的轉(zhuǎn)化.
2.關(guān)于第65頁的“探究”
顯然，與坐標(biāo)軸平行或重合的直線都是特殊的直線.容易知道，平行于軸的直線，縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)取全體實(shí)數(shù)，所以；當(dāng)時(shí)，與軸重合，同樣，當(dāng)時(shí)，直線平行于軸；當(dāng)時(shí)，與軸重合.這個(gè)“探究”的目的是進(jìn)一步加深對“二元一次方程表示直線，直線可元一次方程表示”的認(rèn)識.只不過，這里的直線或二元一次方程都非常特殊.這些特殊的情形都可以納入到一般形式的二元一次方程中.一般包含特殊，特殊可以納人一般.教學(xué)時(shí)，要特別關(guān)注這些特殊情形，不要忽略.
3.例5、例6的教學(xué)
例5、例6都是關(guān)于直線的一般式方程與點(diǎn)斜式（含斜截式）、兩點(diǎn)式（含截距式）方程的互相轉(zhuǎn)化.這種轉(zhuǎn)化都是方程的同解變形，轉(zhuǎn)化的方向是“湊”成相應(yīng)的方程形式.這種變形是數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的重要體現(xiàn)，變形時(shí)一定要明確轉(zhuǎn)化的方向，確定轉(zhuǎn)化的步驟.由于直線方程是一次式，只涉及兩個(gè)未知數(shù)，代數(shù)式的恒等變形不是難點(diǎn).
在解決問題時(shí)，我們經(jīng)常需要確定直線在坐標(biāo)系中的位置.確定的方式很多，一般是選取兩點(diǎn).教學(xué)時(shí)，可以讓學(xué)生思考：兩點(diǎn)如何選？選在哪兒？實(shí)際上，選取的依據(jù)往往是是否方便，運(yùn)算是否簡單.一般來說，選取坐標(biāo)軸上的點(diǎn)更方便，運(yùn)算也更簡單.由此常常根據(jù)直線的方程分別令，得到直線與兩條坐標(biāo)軸的交點(diǎn).兩點(diǎn)確定一條直線，把直線畫出來.
4.關(guān)于“探究與發(fā)現(xiàn) 方向向量與直線的參數(shù)方程”
為了加強(qiáng)知識的聯(lián)系，特別是為了體現(xiàn)向量的廣泛應(yīng)用性，教科書安排了選學(xué)材料“探究與發(fā)現(xiàn) 方向向量與直線的參數(shù)方程”.
直線的參數(shù)方程與直線的方向向量有著緊密的聯(lián)系.由于一個(gè)定點(diǎn)、一個(gè)方向唯一確定一條直線，而向量可以將方向進(jìn)行代數(shù)表示.所有直線可以由一個(gè)定點(diǎn)和這條直線的方向向量唯一確定，這與直線的點(diǎn)斜式方程本質(zhì)上是一致的.
在過兩點(diǎn)的直線斜率公式的推導(dǎo)中，以及獲得過兩點(diǎn)的直線斜率公式后，教科書建立了直線的斜率與其方向向量之間的關(guān)系.同樣，教科書根據(jù)向量共線的條件，建立了直線的方向向量與過點(diǎn)的直線上任意一點(diǎn)的關(guān)系
其中實(shí)數(shù)是對應(yīng)點(diǎn)的參變數(shù)，簡稱參數(shù)，上述方程稱為直線的參數(shù)方程.如果把直線的方向向量看作勻速直線運(yùn)動的速度，那么直線參數(shù)方程的運(yùn)動學(xué)意義就非常明顯：定量地刻畫了物體在時(shí)刻時(shí)的位置，刻畫了物體經(jīng)過時(shí)間后的位移.
在運(yùn)動學(xué)中，我們常常用參數(shù)方程刻畫物體的運(yùn)動狀態(tài)，因?yàn)閰?shù)的物理意義或幾何意義非常明確，常常是時(shí)間、距離或角度.在以往的解析幾何中，參數(shù)方程是非常重要的內(nèi)容，很多曲線的幾何特征用參數(shù)方程表示更直觀、形象，更容易表達(dá)曲線是動點(diǎn)運(yùn)動形成的軌跡.限于當(dāng)前的內(nèi)容和要求，教科書在正文中不再講述參數(shù)方程.教學(xué)時(shí)，不要再拓展參數(shù)方程的內(nèi)容.
在直線的參數(shù)方程中，的幾何意義是這條直線的方向向量.
1 / 5

展開更多......

收起↑