資源簡(jiǎn)介

《直線和圓的方程》評(píng)價(jià)建議
一、本章學(xué)業(yè)要求
能夠根據(jù)具體問(wèn)題情境的特點(diǎn)，通過(guò)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，建立直線與圓的方程.
能夠根據(jù)直線與圓等相關(guān)幾何問(wèn)題和圖形的特點(diǎn)，用代數(shù)語(yǔ)言把幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化成為代數(shù)問(wèn)題；能夠根據(jù)對(duì)直線與圓問(wèn)題的分析，探索解決問(wèn)題的思路；能夠運(yùn)用代數(shù)方法解決問(wèn)題得到代數(shù)結(jié)論，給出代數(shù)結(jié)論的幾何解釋，解決直線與圓的問(wèn)題.
能夠運(yùn)用平面解析幾何思想解決一些簡(jiǎn)單的與直線、圓有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題.
重點(diǎn)提升直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).
二、本章評(píng)價(jià)建議
為落實(shí)本章的學(xué)業(yè)要求，以下從核心知識(shí)評(píng)價(jià)要求、思想方法評(píng)價(jià)要求和關(guān)鍵能力評(píng)價(jià)要求三個(gè)維度，提出具體的評(píng)價(jià)建議.
1.核心知識(shí)評(píng)價(jià)要求
依據(jù)夲章的學(xué)習(xí)目標(biāo)和學(xué)業(yè)要求，可列出本章13個(gè)核心知識(shí)，按照了解、理解、掌握的三個(gè)認(rèn)知層次，且高一級(jí)的層次要求包含低一級(jí)的層次要求.具體評(píng)價(jià)要求詳見(jiàn)表1.
表1
主題 知識(shí)單元 核心知識(shí) 評(píng)價(jià)要求 合計(jì)個(gè)數(shù)
了解 理解 掌握
幾何與代數(shù) 直線和圓的方程 直線的方程 直線的傾斜角與斜率 　 √ 　 4
過(guò)兩點(diǎn)的直線斜率的計(jì)算公式 　 　 √
兩條直線平行或垂直的判定 　 √ 　
直線方程的三種形式：點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式、一般式 　 　 √
兩條直線的交點(diǎn)及其坐標(biāo) 　 √ 　 4
兩點(diǎn)間的距離公式 　 　 √
點(diǎn)到直線的距離公式 　 　 √
兩條平行直線間的距離 　 √ 　
圓的方程 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 　 　 √ 5
圓的一般方程 　 　 √
直線與圓的位置關(guān)系 　 √ 　
圓與圓的位置關(guān)系 　 √ 　
直線與圓的簡(jiǎn)單應(yīng)用 √ 　 　
總計(jì)個(gè)數(shù) 1 6 6 13
對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)技能的評(píng)價(jià)，本章應(yīng)關(guān)注學(xué)生能否理解并運(yùn)用坐標(biāo)法思想和方法，比如能否建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，并在坐標(biāo)系下建立相關(guān)直線或圓的方程，通過(guò)研究幾何圖形的幾何位置關(guān)系（圖形特征），利用直線與圓的方程刻畫研究相關(guān)幾何問(wèn)題；能否熟練進(jìn)行代數(shù)方程的運(yùn)算得到代數(shù)結(jié)論，并將代數(shù)結(jié)論翻譯為幾何結(jié)論.
為此，我們對(duì)本章13個(gè)核心知識(shí)的評(píng)價(jià)要求，分別按照了解，理解和掌握三個(gè)層次的具體含義進(jìn)行了細(xì)化解析，使其對(duì)教學(xué)具有有效的評(píng)價(jià)和指導(dǎo)作用.
（1）理解直線的傾斜角與斜率：能解釋直線的傾斜角和斜率的概念，描述兩者之間的相互轉(zhuǎn)換關(guān)系，能說(shuō)明傾斜角是刻畫直線傾斜程度和確定直線的幾何要素，并能根據(jù)斜率（傾斜角）的范圍判斷傾斜角（斜率）的范圍；能根據(jù)傾斜角或斜率判斷兩條直線平行或垂直，并能用文字語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言敘述判定結(jié)論.
（2）掌握過(guò)兩點(diǎn)的直線斜率的計(jì)算公式：能推導(dǎo)得出過(guò)兩點(diǎn)的直線斜率的計(jì)算公式，并能靈活運(yùn)用斜率公式計(jì)算直線的斜率.
（3）理解兩條直線平行或垂直的判定：能描述如何利用斜率或方向向量判斷兩直線平行或垂直，能根據(jù)給定條件求出直線的斜率或方向向量，進(jìn)而判斷兩直線平行或垂直.
（4）掌握直線方程的三種形式（點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式、一般式）：能依據(jù)斜率公式導(dǎo)出直線的點(diǎn)斜式方程和兩點(diǎn)式方程；能利用直線的點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式方程及截距的概念，導(dǎo)出直線的斜截式、截距式方程；能描述點(diǎn)斜式和兩點(diǎn)式的適用范圍，并能依據(jù)不同條件合理選擇直線方程的形式求解；能根據(jù)直線特殊形式的方程歸納出直線的一般式方程，能討論特殊形式與一般式的關(guān)系，并能熟練地進(jìn)行兩者之間的互化.
（5）理解兩條直線的交點(diǎn)及其坐標(biāo)：能描述兩條直線交點(diǎn)（坐標(biāo)）的幾何（代數(shù)）含義，能用解方程組的方法求兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo).
（6）掌握兩點(diǎn)間的距離公式：能推導(dǎo)兩點(diǎn)間的距離公式，會(huì)分析公式中相關(guān)量的幾何意義，能根據(jù)給定的兩點(diǎn)坐標(biāo)熟練運(yùn)用公式求兩點(diǎn)間的距離.
（7）掌握點(diǎn)到直線的距離公式：會(huì)運(yùn)用多種方法推導(dǎo)點(diǎn)到直線的距離公式，明確使用公式的前提條件；能根據(jù)給定的點(diǎn)與直線熟練運(yùn)用公式求點(diǎn)到直線的距離.
（8）理解兩條平行直線間的距離：能將兩條平行直線間的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離，并會(huì)用點(diǎn)到直線距離公式導(dǎo)出兩條平行直線間的距離公式；能說(shuō)明應(yīng)用公式的前提條件，并能用公式求給定兩平行直線間的距離.
（9）掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程：能描述確定圓的幾何要素，能根據(jù)給定圓的幾何要素推導(dǎo)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，能分析圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中相關(guān)量的幾何意義，能根據(jù)給定的確定圓的幾何要素求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
（10）掌握?qǐng)A的一般方程：能描述圓的一般方程的方程結(jié)構(gòu)與代數(shù)意義，能熟練進(jìn)行圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程間的互化，能根據(jù)給定的確定圓的幾何要素求出圓的一般方程.
（11）理解直線與圓的位置關(guān)系：能用幾何方法和代數(shù)方法描述直線與圓的三種位置關(guān)系，能根據(jù)給定直線、圓的方程，通過(guò)研究聯(lián)立方程組解的情況或通過(guò)計(jì)算圓心到直線的距離判斷直線與圓的位置關(guān)系.
（12）理解圓與圓的位置關(guān)系：能描述圓與圓的位置關(guān)系，能根據(jù)給定兩圓的方程判斷兩個(gè)圓的位置關(guān)系.
（13）了解直線與圓的簡(jiǎn)單應(yīng)用：知道直線與圓在刻畫現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問(wèn)題中的作用，會(huì)用直線與圓的方程解決一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題和實(shí)際問(wèn)題.
2.思想方法評(píng)價(jià)要求
本章數(shù)學(xué)思想方法主要包括數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想以及特殊與一般思想等4種，具體評(píng)價(jià)要求詳見(jiàn)表2.
表2
思想方法 評(píng)價(jià)要求
數(shù)形結(jié)合 能以確定直線位置的幾何要素為基礎(chǔ)，通過(guò)分析直線與圓上點(diǎn)的幾何特征，建立直線與圓的方程；能從給定的直線或圓的方程說(shuō)出直線或圓的幾何特征，能揭示直線或圓上的點(diǎn)與對(duì)應(yīng)方程的解之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.
函數(shù)與方程 能用方程的語(yǔ)言與形式表達(dá)幾何圖形的幾何特征，能分析直線與圓的方程中的數(shù)量關(guān)系，能通過(guò)研究直線或圓的方程以及它們所組成的方程組解的情況得到直線與圓的位置關(guān)系或其他幾何問(wèn)題的結(jié)論.
化歸與轉(zhuǎn)化 能在平面直角坐標(biāo)系下將直線與直線的方程、圓與圓的方程熟練進(jìn)行轉(zhuǎn)化；能在具體問(wèn)題情境下，將幾何關(guān)系問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)形式，通過(guò)運(yùn)算得到代數(shù)結(jié)論后能將結(jié)論轉(zhuǎn)化為幾何結(jié)論；能將直線的點(diǎn)斜式方程、兩點(diǎn)式方程與一般式方程相互進(jìn)行轉(zhuǎn)化.
特殊與一般 能認(rèn)識(shí)直線的點(diǎn)斜式方程與兩點(diǎn)式方程是在特殊條件下的直線方程，能認(rèn)識(shí)直線的斜截式方程是特殊的點(diǎn)斜式方程，截距式方程是特殊的兩點(diǎn)式方程；能理解直線的一般式方程的代數(shù)意義；能將直線的各種形式方程進(jìn)行互化；能認(rèn)識(shí)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與圓的一般方程間的關(guān)系.
（1）要特別關(guān)注學(xué)生是否有運(yùn)用坐標(biāo)法思想的意識(shí)與能力，如在具體情境下學(xué)生能否想到運(yùn)用坐標(biāo)法研究解決問(wèn)題，能否建立合適的坐標(biāo)系，并根據(jù)相關(guān)曲線的幾何特征建立曲線的代數(shù)方程.
（2）要關(guān)注學(xué)生能否運(yùn)用直線與圓的方程刻畫具體情境中的幾何關(guān)系與問(wèn)題，能否運(yùn)用代數(shù)語(yǔ)言把幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，運(yùn)用代數(shù)方法得到結(jié)論，并給出代數(shù)結(jié)論的幾何解釋.如利用直線與圓的方程研究它們的位置關(guān)系和相關(guān)圖形的長(zhǎng)度、面積計(jì)算問(wèn)題.
（3）要關(guān)注學(xué)生能否借助信息技術(shù)理解本章的知識(shí)與方法.如能否借助科學(xué)計(jì)算器的運(yùn)算功能認(rèn)識(shí)曲線與方程的關(guān)系，能否借助信息技術(shù)探究滿足某種特殊條件的動(dòng)點(diǎn)軌跡問(wèn)題，能否充分發(fā)揮信息技術(shù)的作用，探究方程中參數(shù)的變化對(duì)方程所表示的曲線的影響，使學(xué)生進(jìn)一步理解線與方程的關(guān)系.
3.關(guān)鍵能力評(píng)價(jià)要求
本章的關(guān)鍵能力主要包括直觀想象能力、運(yùn)算求解能力、推理論證能力、抽象概括能力等，具體評(píng)價(jià)要求詳見(jiàn)表3.
表3
關(guān)鍵能力 評(píng)價(jià)要求
直觀想象 能通過(guò)觀察直線發(fā)現(xiàn)確定直線位置的幾何要素與直線的幾何特征，通過(guò)對(duì)圓的觀察發(fā)現(xiàn)確定圓的幾何要素與圓的幾何特征；能通過(guò)對(duì)直線方程的觀察感知直線的位置狀態(tài)，通過(guò)對(duì)圓的方程的觀察感知圓的位置與大小；能借助信息技術(shù)的動(dòng)態(tài)演示直觀感知方程中的參數(shù)對(duì)曲線形態(tài)的影響，形成數(shù)學(xué)直覺(jué)和數(shù)形結(jié)合的思想.
運(yùn)算求解 能根據(jù)幾何背景問(wèn)題的分析得到問(wèn)題解決方法，并能明確相應(yīng)代數(shù)方法的運(yùn)算流程；運(yùn)算過(guò)程中能清晰描述直線與圓的方程的幾何意義；能熟練地運(yùn)用待定系數(shù)法、消元法、換元法等進(jìn)行求解、化簡(jiǎn)和運(yùn)算，能靈活運(yùn)用函數(shù)與方程的思想和坐標(biāo)法解決與直線和圓有關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題和實(shí)際問(wèn)題.
推理論證 能通過(guò)類比、歸納、演繹等推理過(guò)程，認(rèn)清直線與圓的幾何特征；能結(jié)合具體圖形，推出直線與圓的幾何要素和位置關(guān)系.能運(yùn)用直線與圓的方程和幾何要素，對(duì)有關(guān)問(wèn)題進(jìn)行合乎邏輯的分析、推理和證明，并用數(shù)學(xué)符號(hào)準(zhǔn)確、規(guī)范地表述問(wèn)題，進(jìn)而解決問(wèn)題.
抽象概括 能在現(xiàn)實(shí)情境和數(shù)學(xué)情境中抽象概括出直線與圓的概念和位置關(guān)系；能利用特殊到一般、具體到抽象的方法得到直線與圓的方程；能用代數(shù)方法刻畫直線與圓的幾何性質(zhì)和位置關(guān)系；能將代數(shù)運(yùn)算結(jié)論轉(zhuǎn)化為幾何結(jié)論.
要特別關(guān)注學(xué)生能否通過(guò)幾何直觀發(fā)現(xiàn)確定直線位置和圓的幾何要素，發(fā)現(xiàn)并能描述直線和圓的幾何特征，如兩點(diǎn)確定一條直線、一點(diǎn)和一方向確定一條直線、圓心與半徑確定一個(gè)圓；能從觀察直線的點(diǎn)斜式方程、兩點(diǎn)式方程想象出方程表示的直線的位置狀態(tài)，能從觀察圓的方程想象出圓的位置與大小狀.
三、本章命題建議
本章學(xué)業(yè)水平測(cè)試的命題，要以學(xué)業(yè)要求的達(dá)成為目標(biāo)，以核心知識(shí)為基礎(chǔ)，以問(wèn)題情境為載體，以思想方法為依托，以關(guān)鍵能力為特征，綜合體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的落實(shí).
1.本章學(xué)業(yè)水平測(cè)試的命題意圖
（1）重視對(duì)核心知識(shí)的評(píng)價(jià).以直線與圓的幾何特征、代數(shù)方程、直線與圓的位置關(guān)系的代數(shù)刻畫等知識(shí)為素材，突出評(píng)價(jià)學(xué)生對(duì)直線的方向表示，直線方程的不同形式，點(diǎn)與直線、直線與直線的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系，圓的方程，直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系等知識(shí)的掌握水平.
（2）重視對(duì)思想方法的評(píng)價(jià).以涉及點(diǎn)與直線、直線與直線、直線與圓的關(guān)系問(wèn)題為載體，突岀運(yùn)用坐標(biāo)法分析解決幾何問(wèn)題的基本思路與過(guò)程，注重結(jié)合具體問(wèn)題情境融入數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、化歸與轉(zhuǎn)化、特殊與一般等主要數(shù)學(xué)思想方法，淡化幾何技巧.
（3）重視對(duì)關(guān)鍵能力的評(píng)價(jià).以直線與圓的方程的應(yīng)用、坐標(biāo)法的應(yīng)用為主導(dǎo)，突出具體問(wèn)題情境中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的評(píng)價(jià).
2.本章學(xué)業(yè)水平測(cè)試題的雙向多維細(xì)目表
依據(jù)上述命題意圖，我們?cè)O(shè)計(jì)了本章學(xué)業(yè)水平測(cè)試題的雙向多維細(xì)目表（詳見(jiàn)表4），編制了套示范性學(xué)業(yè)水平測(cè)試題，并給出了參考答案，供教學(xué)時(shí)選用.
表4
題型 題號(hào) 問(wèn)題 情境 核心知識(shí) 評(píng)價(jià) 要求 思想 方法 關(guān)鍵 能力
選擇題 1 數(shù)學(xué)(A) 直線的傾斜角與斜率 理解 化歸與轉(zhuǎn)化 運(yùn)算求解
2 數(shù)學(xué)(B) 直線的一般式方程 掌握 函數(shù)與方程 推理論證
3 數(shù)學(xué)(B) 兩條直線平行或垂直的判定 理解 化歸與轉(zhuǎn)化 運(yùn)算求解
4 數(shù)學(xué)(A) 圓與圓的位置關(guān)系 理解 函數(shù)與方程 運(yùn)算求解
5 數(shù)學(xué)(B) 直線與圓的位置關(guān)系 理解 數(shù)形結(jié)合 推理論證
6 數(shù)學(xué)(B) 直線與圓的位置關(guān)系 理解 數(shù)形結(jié)合 直觀想象
7 數(shù)學(xué)(C) 直線與圓的位置關(guān)系 理解 數(shù)形結(jié)合 運(yùn)算求解
8 數(shù)學(xué)(C) 直線與圓的位置關(guān)系 理解 數(shù)形結(jié)合 運(yùn)算求解
填空題 9 數(shù)學(xué)(B) 直線的兩點(diǎn)式方程 掌握 特殊與一般 運(yùn)算求解
10 數(shù)學(xué)(B) 直線的傾斜角與斜率 理解 數(shù)形結(jié)合 直觀想象
11 數(shù)學(xué)(B) 直線與圓的位置關(guān)系 理解 數(shù)形結(jié)合 直觀想象
12 數(shù)學(xué)(C) 直線與圓的位置關(guān)系 理解 數(shù)形結(jié)合 推理論證
解答題 13 數(shù)學(xué)(A) 直線的點(diǎn)斜式方程 掌握 函數(shù)與方程 運(yùn)算求解
14 數(shù)學(xué)(B) 兩條直線的交點(diǎn)及其坐標(biāo) 理解 函數(shù)與方程 推理論證
15 數(shù)學(xué)(B) 圓的一般方程與標(biāo)準(zhǔn)方程 掌握 化歸與轉(zhuǎn)化 運(yùn)算求解
16 現(xiàn)實(shí)(C) 直線與圓的實(shí)際應(yīng)用 了解 化歸與轉(zhuǎn)化 運(yùn)算求解
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