資源簡介

滬教版數(shù)學(xué)九（上）知識點
一、相似三角形 2
1. 圖形的相似 2
2. 相似三角形 5
二、銳角的三角比 11
1. 銳角的三角比 11
2. 解直角三角形 12
3. 解直角三角形的應(yīng)用 14
三、二次函數(shù) 16
1. 二次函數(shù)的相關(guān)概念 16
2. 圖像與性質(zhì) 16
3. 二次函數(shù)的應(yīng)用 20
相似三角形
圖形的相似
1．相似圖形
概念：形狀相同的圖形；
兩個圖形相似，其中一個圖形可以看做由另一個圖形放大或縮小得到．
2．相似多邊形
（1）概念
如果兩個邊數(shù)相同的多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例，那么這兩個多邊形叫做相似多邊形．
相似多邊形對應(yīng)邊的比叫做相似比（或相似系數(shù)）．
（2）相似多邊形的性質(zhì)
①相似多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例；
②相似多邊形周長的比、對應(yīng)對角線的比都等于相似比；
③相似多邊形中的對應(yīng)三角形相似，相似比等于相似多邊形的相似比；
④相似多邊形面積的比等于相似比的平方；
注：用相似多邊形定義判定特殊多邊形的相似情況：
①對應(yīng)角都相等的兩個多邊形不一定相似，如：矩形；
②對應(yīng)邊的比都相等的兩個多邊形不一定相似，如：菱形；
③邊數(shù)相等的正多邊形都相似，如：正方形，正五邊形．
3．比例線段
（1）比例線段的相關(guān)概念
①如果選用同一長度單位量得兩條線段a，b的長度分別為m，n，那么就說這兩條線段的比是或?qū)懗?
②在兩條線段的比中，a叫做比的前項，b叫做比的后項；
③在四條線段中，如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比，那么這四條線段叫做成比例線段，簡稱比例線段；
④若四條a，b，c，d滿足或，那么a，b，c，d叫做組成比例的項，線段a，d叫做比例外項，線段b，c叫做比例內(nèi)項，線段d叫做a，b，c的第四比例項；
⑤如果作為比例內(nèi)項的是兩條相同的線段，即或a：b=b：c，那么線段b叫做線段a，c的比例中項．
（2）比例的性質(zhì)
①基本性質(zhì) a：b=c：dad＝bc a：b=b：c=ac
②更比性質(zhì)（交換比例的內(nèi)項或外項）
　　　　　　　（交換內(nèi)項）
　（交換外項）
　　　　　　　（同時交換內(nèi)項和外項）
③反比性質(zhì)（交換比的前項、后項）
④合比性質(zhì)：
⑤等比性質(zhì)：
4．黃金分割
（1）把線段AB分成兩條線段，并且使是和的比例中項，
叫做把線段AB黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點，
其中，；
（2）黃金分割比：，，；
（3）黃金三角形：
頂角為108°的等腰三角形為黃金三角形，腰長和底邊之比為黃金分割比，
頂角為36°的等腰三角形為黃金三角形，底邊與腰長之比為黃金分割比．
5．平行線分線段成比例
兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例．
推論：
（1）平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應(yīng)線段成比例；
逆定理：如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應(yīng)線段成比例，
那么這條直線平行于三角形的第三邊；
（2）平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；
（3）如圖：a∥b∥c，直線l1與l2分別與直線a、b、c相交與點A、B、C
D、E、F，則有．
相似三角形
1．基本概念和定理
（1）概念
三個角分別相等，三條邊成比例的三角形叫做相似三角形；
相似用符號“∽”來表示，讀作“相似于”；
相似三角形對應(yīng)邊的比叫做相似比．
（2）基本定理
平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；
　 　　　　
用數(shù)學(xué)語言表述如下：
∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC ∵DE∥BC，∴△AED∽△ABC
相似三角形的等價關(guān)系：
（1）反身性：對于任一，都有；
（2）對稱性：若，則
（3）傳遞性：若，并且，則．
2．性質(zhì)和判定
（1）性質(zhì)
①相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例；
②相似三角形對應(yīng)高的比、對應(yīng)中線的比與對應(yīng)角平分線的比都等于相似比；
③相似三角形周長的比等于相似比；
④相似三角形面積的比等于相似比的平方．
（2）判定
三角形相似的判定方法：
定義法：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個三角形相似；
平行法：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；
判定定理1（AA）：如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似，簡述為兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似；
判定定理2(SAS)：如果一個三角形的兩條邊和另一個三角形的兩條邊對應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似；
簡述為兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似；
⑤ 判定定理3(SSS)：如果一個三角形的三條邊與另一個三角形的三條邊對應(yīng)成比例，那么這兩個三角形相似，簡述為三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似．
3．基本模型
（1）平行模型
①“A”字型
已知,則
對應(yīng)邊比：
②“８”字型
已知
則
對應(yīng)邊比：
（2）不平行模型
①反“A”字型
D在AC上：已知，則
對應(yīng)邊比：
共線邊乘積相等：
D與C重合 ：已知，則
對應(yīng)邊比：
共線邊乘積相等：
D在AC延長線上：已知，則
對應(yīng)邊比：
共線邊乘積相等：
特別地，子母特例——射影定理
已知,,則
結(jié)論：，，
②反“８”字型
已知，則
對應(yīng)邊比：
共線邊乘積相等：
引申：
證明：∵，∴
又∵，∴
對應(yīng)邊比：
共線邊乘積相等：
（3）一線三等角
①銳角（如右邊兩圖）
已知，則
對應(yīng)邊比：
交叉相乘：（注：橫×橫=豎×豎）
②直角
已知，則
對應(yīng)邊比：
交叉相乘：
③鈍角
已知，D為BC中點
則
對應(yīng)邊比：
交叉相乘：
銳角的三角比
一、銳角的三角比
1．銳角的三角比的定義
如圖，在中，
（1）正弦：我們把銳角的對邊與斜邊的比叫做的正弦值，記作；
（2）余弦：我們把銳角的鄰邊與斜邊的比叫做的余弦值，記作；
（3）正切：我們把銳角的對邊與鄰邊的比叫做的正切值，記作．
的正弦、余弦、正切都是的銳角三角比．
如圖，；；．
2．特殊銳角的三角比
3．銳角三角比的增減性
當(dāng)角度在之間變化時，
（1）正弦值隨著角度的增大（或減小）而增大（或減小）；
（2）余弦值隨著角度的增大（或減小）而減小（或增大）；
（3）正切值隨著角度的增大（或減小）而增大（或減小）．
二、解直角三角形
1．解直角三角形：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五個元素，即三條邊和兩個銳角，由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的過程，叫做解直角三角形．
2．對于如圖，五個元素之間的關(guān)系：
（1）三邊關(guān)系：；
（2）兩銳角之間的關(guān)系：；
（3）邊角之間的關(guān)系：
；；；；；．
3．其他關(guān)系
（1）若，則；；
證明：；；，同理可得；
（2）；
證明：；
（3）若，則；
證明：；；；
（4）；
證明：
三、解直角三角形的應(yīng)用
1．利用圖象解特殊角度的銳角三角函數(shù)
；
2．添加輔助線解直角三角形
求角的三角比，需要構(gòu)造直角三角形，過角的端點做垂線．
選點作垂線，過作對邊的垂線，或者作本身的垂線；
選點作垂線，過作對邊的垂線，或者作本身的垂線．
特殊角度：、、（直接做垂直），，，（延長做垂直）．
構(gòu)造直角三角形時，盡量不要破壞特殊的角度！
3．三角比的實際應(yīng)用
（1）坡比：（見下左圖）
（2）俯仰角：俯角（），仰角（）（見上右圖）
（3）實際應(yīng)用問題解題步驟：
①理解題意后標(biāo)注圖形，并構(gòu)造直角三角形；
②求出所在三角形中的所有角度，并標(biāo)注已知邊長；
③計算．
二次函數(shù)
一、二次函數(shù)的相關(guān)概念
1．二次函數(shù)的定義：一般地，形如（都是常數(shù),）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)．其中，是自變量，分別是函數(shù)解析式的二次項系數(shù)，一次項系數(shù)和常數(shù)項．
2．表達式（三種形式）
（1）一般式：；
（2）頂點式：；
（3）交點式：．
二、圖像與性質(zhì)
1．二次函數(shù)圖像的畫法：
①一般方法：列表、描點、連線；
②簡易畫法：五點定形法．
2．二次函數(shù)圖像與性質(zhì)：
函數(shù) 二次函數(shù)（都是常數(shù)，）
圖像
開口方向 向上 向下
對稱軸 直線 直線
頂點坐標(biāo)
增減性 在對稱軸的左側(cè)，即當(dāng)時，y隨x的增大而減小； 在對稱軸的右側(cè)，即當(dāng)時，y隨x的增大而增大． 在對稱軸的左側(cè)，即當(dāng)時，y隨x的增大而增大； 在對稱軸的右側(cè)，即當(dāng)時，y隨x的增大而減小．
最大/小值 拋物線有最低點， 當(dāng)時，y有最小值， 拋物線有最高點， 當(dāng)時，y有最大值，
3．頂點式：
(1)頂點式是一般式通過配方得來的：得到
(2)對稱軸：直線，頂點坐標(biāo)：
4．交點式：
(1)交點式可以通過一般式因式分解得到，題目中明確了二次函數(shù)與x軸交點，用交點式求解析式最合適．
(2)對稱軸：直線，頂點坐標(biāo)：
5．二次函數(shù)圖像的特征與符號之間的關(guān)系
符號 字母 字母的符號 圖像的特征
開口向上
開口向下
(a，b同號) 對稱軸在y軸左側(cè)
(a，b異號) 對稱軸在y軸右側(cè)
圖像過原點
與y軸正半軸相交
與y軸負半軸相交
注意：特殊關(guān)系：
①當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；
②當(dāng)對稱軸為直線，則．
6．函數(shù)的平移：
步驟：化成頂點式，
若向左平移n個單位，則平移之后的解析式為，
若再向下平移m個單位，則平移之后的解析式為 ．
平移口訣：左加右減自變量，上加下減常數(shù)項．
7．函數(shù)的對稱：
(1)關(guān)于軸對稱：：得到
注：關(guān)于軸對稱,的符號均相反．
(2)關(guān)于軸對稱：：
注：關(guān)于軸對稱，的符號不變，的符號相反．
(3)關(guān)于原點對稱：;:
注：關(guān)于原點對稱：的符號相反，的符號不變．
(4)關(guān)于頂點對稱：首先化成頂點式，其次
即．
三、二次函數(shù)的應(yīng)用
1．二次函數(shù)與一元二次方程
(1)函數(shù)，當(dāng)時，得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函數(shù)的圖像與x軸交點的橫坐標(biāo)，因此二次函數(shù)圖像與x軸的交點情況決定一元二次方程根的情況．
①當(dāng)二次函數(shù)的圖像與軸有兩個交點，，則方程有兩個不相等實根；
②當(dāng)二次函數(shù)的圖像與軸有且只有一個交點，，則方程有兩個相等實根；
③當(dāng)二次函數(shù)的圖像與軸沒有交點，，則方程沒有實根．
2．二次函數(shù)與不等式
函數(shù)，當(dāng)即時，代表函數(shù)在x軸上方的圖像，圖像所對應(yīng)的x的取值范圍即為所求，當(dāng)即時，代表函數(shù)在x軸下方的圖像，圖像所對應(yīng)的x的取值范圍即為所求．
(1)與常數(shù)函數(shù)：，，即在直線上方所對應(yīng)的x的取值范圍．
(2)與一次函數(shù)比較：，，若，則先求出兩個函數(shù)的交點，比較函數(shù)圖像的位置，從而求出對應(yīng)的取值范圍．
(3)與二次函數(shù)比較：，，若，則先求出兩個二次函數(shù)的交點，比較函數(shù)圖像的位置，從而求出對應(yīng)的取值范圍．
3．二次函數(shù)與幾何
(1)將軍飲馬：利用二次函數(shù)對稱性作點的對稱點，利用兩點之間線段最短解決問題．
(2)面積類：分析條件合理切割面積（鉛垂高，水平寬），列出面積關(guān)系式，
利用二次函數(shù)性質(zhì)求面積最值問題．
(3)三角形：
①等腰三角形:設(shè)動點的坐標(biāo)；根據(jù)兩點之間距離公式表示出長度；
分類討論列方程求解；驗證舍掉不符合題意的點．
②直角三角形：設(shè)動點的坐標(biāo)；根據(jù)兩點之間距離公式表示出長度；
分類討論根據(jù)勾股定理列出方程求解；驗證舍掉不符合題意的點．
(4)平行四邊形存在性問題：
①寫出四個點的坐標(biāo)（已知求未知設(shè)）；
②取一定點A，按AB、AC、AD分別為一條對角線進行分類討論；
③根據(jù)平行四邊形對角線互相平分及中點坐標(biāo)公式列式計算，檢驗結(jié)果．
4．二次函數(shù)與實際應(yīng)用
(1)坐標(biāo)系類：合理建立坐標(biāo)系，把題目信息條件轉(zhuǎn)換成坐標(biāo)，求出解析式，繼而解決問題．
(2)求值類：列出關(guān)系式（注意隱含的取值范圍限定），
利用函數(shù)的對稱軸和最值等求值方法解決實際問題．
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