資源簡介

《橢圓》教學分析
一、本節知識結構框圖
二、教學重點與難點
重點：橢圓的幾何特征，橢圓的標準方程，橢圓的幾何性質.
難點：橢圓幾何特征的發現，橢圓標準方程的推導.
三、教科書編寫意圖與教學建議
本節包括橢圓的概念、標準方程與簡單的幾何性質，教科書通過創設情境，引導學生動手畫橢圓，觀察橢圓的幾何特征，從中抽象出橢圓的概念.通過思考欄目引導學生直觀感知橢圓的對稱性，并根據對稱性建立直角坐標系，再根據定義列出橢圓上的點所滿足的條件，通過化簡得出橢圓的標準方程.通過三道例題（例2、例3、例6）進一步揭示橢圓多種形成途徑與方式，深化學生對橢圓幾何特征的理解，并通過具體實例，使學生逐步掌握坐標法.
因為雙曲線、拋物線與橢圓是同構的，所以本節的內容在圓錐曲線中具有基礎和示范性作用，在雙曲線、拋物線中，從研究的內容、過程和方法等各方面都可以類比橢圓展開學習.
3.1.1橢圓的標準方程
1.橢圓的定義
橢圓雖然是生產生活中常見的曲線，但對橢圓幾何特征的探究與發現是個難點，因為很難由橢圓的形狀想到橢圓的定義.為此，教科書在用細繩畫圓的基礎上，通過分開細繩的兩端，畫出圖形，歸納圖形上點滿足的幾何條件：這個圖形上的點到兩個定點的距離的和是定值.進而將具有這種幾何特征的圖形定義為橢圓.教學時，應讓學生認真觀察畫圖的過程，抽象圖形的幾何特征，直觀感知橢圓的形狀.為選擇適當的平面直角坐標系、建立橢圓的標準方程、研究橢圓的幾何性質做好鋪墊.
2.橢圓的標準方程
橢圓標準方程的教學應重點關注以下幾點.
第一,以建立曲線方程的一般步驟為指導:
（1）建立適當的平面直角坐標系,用有序數對表示曲線上任意一點的坐標,這是用坐標法研究問題的前提與基礎;
（2）分析點在曲線上的條件（記為),寫出適合條件的點的集合,這是尋找、明確建立曲線方程的依據;
（3）把條件轉化為方程,這是把幾何問題轉化為代數問題的關鍵;
（4）化方程為最簡形式,為用方程研究曲線做好鋪墊;
（5）檢驗已化簡后的方程的解為坐標的點是否都在曲線上，這是保證方程與曲線等價性的需要.
教科書對橢圓標準方程的推導實際上就是按上述步驟進行的.所以，教學時應結合橢圓方程的推導過程滲透這五個步驟，必要時教師可以在推導的過程中加以說明.
第二，選取適當的平面直角坐標系.選取的坐標系不同，曲線方程的形式也不同.顯然，不同形式的方程在反映曲線幾何性質的直觀性上會有差異，因而坐標系是否建得“適當”，主要看所得的方程是否能直觀、明確地反映曲線的幾何性質.為了實現“適當”，我們需要事先對曲的幾何特征有盡量多的了解，并在后續步驟中充分利用這些特征，這也是教科書在建立直角坐標系、推導橢圓的方程之前，要求學生觀察畫出的橢圓形狀，思考如何建立坐標系的原因.教學時，應通過教科書中的“思考”：“觀察橢圓的形狀，你認為怎樣建立坐標系可能使所得的橢圓方程形式簡單？”引導學生展開充分的觀察、思考活動.
第三,選用適當的參數.例如,用表示定長和焦距而不用,是為了使焦點和長軸端點的坐標都不出現分數形式，以便運算化簡；把方程中的用表示,也因為是一個有明確幾何意義的量，也因為這樣可以使方程變得更加簡潔、美觀、對稱與和諧.教學時,應充分利用教科書中的“思考”:“觀察圖,你能從中找出表示,的線段嗎 ”讓學生認識到這是一組勾股數，懂得引進字母的合理性與必要性，理解.的幾何意義.
第四,方程的推導.由于初中對含有字母的表達式的運算要求不高,并且方程所含的字母多、項數多，如何化簡這個方程是一個難點.教學時，可以引導學生探索運算方法,強調根據代數式的特點，運用運算性質簡化運算、得出正確結果的重要性,在提高學生運算技能的過程中發展數學運算、邏輯推理等素養.
在給出“橢圓的標準方程”的概念前,應按教科書的安排，通過明確橢圓（曲線）與方程,的關系,滲透“曲線的方程”“方程的曲線”的概念,讓學生感受到“曲線就是方程,方程就是曲線,兩者之間可以互相表示”.
在求得橢圓的標準方程后，教科書設置了“思考"：“如果焦點,在軸上,且的坐標分別為的意義同上,那么橢圓的方程是什么 "由已有的經驗可以得到,此時橢圓的方程為.教學時，可以先讓學生猜想方程的形式，再進行推導驗證，這個“思考”應看成是讓學生熟練橢圓標準方程推導過程的機會.
第五,對橢圓標準方程的認識.應 住橢圓標準方程的結構特點,的幾何意義以及它們之間的關系式;明確在橢圓的兩種標準方程中,都有;強調橢圓的焦點始終在長軸上.
3.例1的教學
例1的目的是使學生鞏固橢圓的定義、標準方程以及之間的關系,可以讓學生獨立完成.
本例還可以用待定系數法,即根據條件設所求的方程為根據4，以及求解.
4.例2的教學
本例有三個作用:第一,又一次教給學生利用中間變量求點的軌跡的方法;第二,向學生說明,如果求得的點的軌跡的方程形式與橢圓的標準方程相同,那么這個軌跡是橢圓;第三,使學生知道，一個圓按某一個方向作伸縮變換可以得到橢圓.
在例2之后,教科書提出一個思考問題:你能從例2發現橢圓與圓之間的關系嗎 教學時,應通過這個問題,引導學生在自主探究的基礎上認識清楚：通過伸縮變換,我們既可以由圓得到橢圓,也可以由橢圓得到圓.
需要說明的是,當點是圓與軸的交點時,此時我們可以認為點與點重合,也就是橢圓過兩點.
5.例3的教學
例3的軌跡也是橢圓,由此可得橢圓的另一種生成方式,即如果一個動點與兩個定點連線的斜率之積是一個不為的負常數,那么它的軌跡是 圓.這里事實上也給出橢圓的一條性質:連接橢圓上的點（長軸的端點除外)與長軸的兩個端點的兩條直線的斜率之積為定值,是一個不變量.
需要注意的是,本題得到的軌跡是橢圓的一部分,需要去掉橢圓與軸的兩個交點.因為當動點到達定點或時,只存在一條連線.另外,教學時還可以引導學生思考如下問題：
（1）當一個動點與兩個定點連線的斜率之積是-1時，動點軌跡是什么？
（2）一個動點與兩個定點連線的斜率之積是一個正常數，那么動點軌跡又是什么？
問題（1）又一次讓學生發現橢圓與圓之間的聯系；問題（2）雖然是學習雙曲線才能解決的，但這里的引導可以提升學生發現和提出問題的能力.
3.1.2橢圓的簡單幾何性質
1.如何研究幾何圖形的性質
根據曲線的方程研究曲線的幾何性質，并正確地畫出它的圖形，是解析幾何的基本問題之根據曲線的條件求出方程，如果說是解析幾何的手段，那么根據曲線的方程研究它的性質、圖形可說是解析幾何的一個目的.
學生在初中曾學習過圓，也用代數方法研究過圓的一些性質，但真正系統地用代數方法研究曲線性質在這里還是第一次.本小節通過對橢圓標準方程的討論，一方面要使學生掌握橢圓的幾個幾何性質，掌握標準方程中的a，b以及c，e的幾何意義，a，b，c，e之間相互關系；另一方面要通過對橢圓的標準方程的討論來研究它的幾何性質，體會用坐標法研究曲線幾何性質的基本思路與方法，感受通過代數運算研究曲線性質所具有的程序化、普適性特點.
在利用方程研究橢圓的性質之前，可以引導學生觀察橢圓，想一想哪些是值得研究的橢圓性質，如何研究.引導學生首先從整體上把握幾何圖形，這就是范圍、對稱性；其次是研究它的頂點（與坐標軸的交點）、扁平程度（離心率），等等.逐漸讓學生掌握用代數方法研究幾何圖形.
為了有效提升學生通過方程研究曲線的能力，同時把用代數方法研究曲線性質的思路具體化，教科書在如下幾個方面作了具體引導：
曲線的范圍:方程中的取值范圍;
曲線的對稱性:用代,或用代,或用與分別代與,方程形式是否變化;
曲線的頂點:使方程中取得最大值或最小值的點,或曲線與其對稱軸的交點;曲線的形狀:方程中的參數及其相互關系.
2.橢圓的幾何性質
（1）范圍
確定了曲線的范圍,就對曲線有了大致的了解.用描點法畫曲線時,就不用考慮曲線范圍之外的點.
確定曲線的范圍就是確定方程中的取值范圍.對于橢圓,教科書中采用的方法是把方程變形為,利用得到關于的不等式,解出的取值范圍;類似地,求出的取值范圍.這種方法具有普遍性,是一種通法.
不等式組的解集表示的是區域.對于區域,直觀的理解是平面的一部分.上述區域是平面內四個不等式表示的區域的交集,即直線,所圍成的矩形區域.
（2）對稱性
對稱性是圖形的重要性質.圖形是點的集合,圖形對稱性的本質是圖形上點的對稱性,因此圖形的對稱性問題可以轉化為圖形上點的對稱性問題.在討論橢圓的對稱性之前,可先復習圖形對稱的概念和關于軸、y軸、原點對稱的點的坐標之間的關系,明確“以代,方程不變,則曲線關于軸對稱;以代,方程不變,則曲線關于軸對稱;同時以代,以代,方程不變,則曲線關于原點對稱”.以-代,方程不變,說明當在曲線上時,也在曲線上,而與關于軸對稱,因此曲線關于軸對稱.其他以此類推.
需要注意的是,如果一個圖形具有關于軸對稱、關于軸對稱、關于原點對稱三種中的任意兩種，那么它必然具有第三種對稱.
（3）頂點
橢圓與它的對稱軸的交點叫做橢圓的頂點.教科書通過“思考”，引導學生觀察圖形，思考橢圓上的哪些點比較特殊，為什么，如何得到這些點的坐標.教學時可以利用這個欄目，讓學生獨立思考、獲得結論.
（4）離心率
離心率是刻畫圓錐曲線形狀的重要量,橢圓離心率的教學應圍繞“如何刻畫橢圓的扁平程度”這個問題進行.
由可知,橢圓的形狀由三個量中的任意兩個量唯一確定.由橢圓的概念,是確定橢圓的基本量,是衍生出來的量.盡管與都能刻畫橢圓的形狀,但刻畫橢圓的扁平程度能更好地揭示橢圓的本質屬性:在橢圓的長軸長不變的前提下，兩個焦點離中心的遠近程度.實際上,回到教科書畫橢圓的方法,在保持繩長不變的情況下, 短或拉長兩個焦點之間的距離,我們能直觀感知橢圓扁平程度的變化.教學時,應通過信息技術讓學生充分感知離心率是對橢圓扁平程度的刻畫.
教科書在“邊空”中給了一個問題:你能運用三角函數的知識解釋,為什么越大, 圓越扁平 越小,橢圓越接近于圓嗎 事實上,如圖,在中,越大,越小,橢圓越扁 越小,越大,橢圓越圓.
另外,還需要注意,按教科書的界定,因為橢圓的標準方程中有的限制條件,因此圓不是橢圓.也就是說橢圓的離心率滿足不等式.
3.例題的教
例4是為鞏固橢圓的簡單幾何性質而設置的，教學中應要求學生明確a，b，c，e的幾何意義及其相互關系.需要注意的是，盡管教科書沒有要求畫圖，但應引導和督促學生養成畫圖的慣，通過圖形直觀發現它們之間的關系.
例5反映了橢圓在實際生活中的運用.教學時，應說明橢圓在生產、生活中具有廣泛的應用.由于實際問題的背景與數據往往較為復雜，應注意培養學生認真閱讀題目的習慣和嚴謹、認真、善于運算的習慣.如果學生提出通過把點B的坐標代入方程求解，應在肯定其思維合理性的基礎上，提醒學生思考有沒有其他方法解決問題.
例6是通過具體例子讓學生感受橢圓的另外一種定義方式，一般而言，圓錐曲線的統一定義不做要求，所以教學時不要把這個題目推廣到一般情形，但對于學有余力的學生，可以作為拓展性任務進行探究性學習.
例7以直線與橢圓的位置關系為背景.安排例7的目的，一是為了學生認識直線與橢圓有幾種位置關系；二是讓學生對相交、相切、相離這三種位置關系有進一步的認識；三是讓學生更好地掌握運用方程研究曲線問題的基本思路與方法.
在上述例題的教學中，應著力培養學生的直觀想象、數學運算、邏輯推理等素養.
4.關于信息技術的運用
在本節的教學中，應充分發揮信息技術的作用，借助信息技術工具幫助學生直觀認識圓錐曲線、理解橢圓的定義、把握橢圓的性質.例如，演示用平面截圓錐的過程，尤其是平面與圓錐的軸的夾角變化時，截口曲線的變化（包括橢圓扁平程度與雙曲線開口大小的變化）；給出不同的定點和定長,利用信息技術工具探究到兩個定點的距離之和為定長的點的軌跡;顯示球在陽光照射下的投影,尤其是球與地面相切的切點的變化過程；離心率的變化對 圓形狀的影響；把例2中的由改為其他數；例3中的斜率之積由改為其他們數,結果又會怎樣;等等.
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