資源簡(jiǎn)介

《橢圓》教學(xué)設(shè)計(jì)
一、單元內(nèi)容及其解析
1.內(nèi)容
橢圓的概念、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì).
本單元內(nèi)容結(jié)構(gòu)圖如下：
本單元建議教學(xué)用時(shí)為4課時(shí)，其中，章引言、橢圓的概念與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的建立，1課時(shí)；鞏固和深化橢圓的概念與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，1課時(shí)；探究橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，1課時(shí)；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)的綜合運(yùn)用，1課時(shí).
2.內(nèi)容解析
本單元的內(nèi)容是在學(xué)生學(xué)習(xí)直線和圓的方程的基礎(chǔ)上，先抽象橢圓的幾何特征，然后建立它的標(biāo)準(zhǔn)方程，再利用方程研究它的幾何性質(zhì)，并利用它們解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.從知識(shí)的前后聯(lián)系看，本單元是坐標(biāo)法的進(jìn)一步運(yùn)用，所要解決的仍然是解析幾何的“兩個(gè)基本問題”：建立曲的方程，通過方程研究曲線的幾何性質(zhì).
從本章知識(shí)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)看，橢圓、雙曲線、拋物線的研究背景、研究問題、研究方法具有高度的相似性，因而本單元的學(xué)習(xí)在全章的學(xué)習(xí)中具有基礎(chǔ)地位.在本單元，“橢圓的概念”部分先在問題“橢圓具有怎樣的幾何特性？”的引領(lǐng)下進(jìn)行畫圖操作，從中發(fā)現(xiàn)橢圓的幾何特征，進(jìn)而獲得橢圓的概念，明晰研究的基礎(chǔ)與出發(fā)點(diǎn).“橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程”部分，先根據(jù)橢圓的幾何特征建立坐標(biāo)系，然后通過代數(shù)運(yùn)算得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.“橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)”部分，在明確要研究的性質(zhì)的基礎(chǔ)上，通過橢圓的方程研究橢圓的范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率等.上述過程體現(xiàn)了研究圓錐曲線的一般思路和方法，包括如何發(fā)現(xiàn)曲線的幾何特征、如何建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系、如何簡(jiǎn)化與優(yōu)化方程、研究曲線的哪些性質(zhì)、如何運(yùn)用方程進(jìn)行研究等本單元最重要、最根本的數(shù)學(xué)思想方法是坐標(biāo)法.另外，在解決問題的過程中，數(shù)形結(jié)合類比、特殊化與一般化、轉(zhuǎn)化與化歸等也發(fā)揮著重要作用.
本單元的學(xué)習(xí)有助于學(xué)生學(xué)會(huì)合乎邏輯地、有條理地、嚴(yán)謹(jǐn)精確地思考和解決問題，有助于發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象等方面的素養(yǎng).
基于以上分析，確定本單元的教學(xué)重點(diǎn)：橢圓的概念、標(biāo)準(zhǔn)方程與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，研究橢圓的思路和方法.
二、單元目標(biāo)及其解析
（1）了解圓錐曲線的實(shí)際背景，例如，行星運(yùn)行軌跡、拋物運(yùn)動(dòng)軌跡、探照燈的鏡面，了解圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問題中的作用
（2）經(jīng)歷從具體情境中抽象出橢圓的過程，掌握橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程，掌握橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì).
（3）了解橢圓的簡(jiǎn)單應(yīng)用.
2.目標(biāo)解析
達(dá)成上述目標(biāo)的標(biāo)志是：
（1）能通過觀察用平面截圓錐認(rèn)識(shí)到：當(dāng)平面與圓錐的軸所成的角不同時(shí)，可以分別得到圓、橢圓、雙曲線和拋物線.能通過實(shí)例知道，圓錐曲線在生產(chǎn)、生活中有廣泛的應(yīng)用.
（2）能通過實(shí)際繪制橢圓的過程認(rèn)識(shí)橢圓的幾何特征，給出橢圓的定義.能通過建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系橢圓上的點(diǎn)滿足的幾何條件列出橢圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)滿足的方程，化簡(jiǎn)所列出的方程，得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.能在直觀認(rèn)識(shí)橢圓的圖形特點(diǎn)的基礎(chǔ)上，用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)出橢圓的范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率等簡(jiǎn)單幾何性質(zhì).能用橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)解決簡(jiǎn)單的問題.能通過橢圓與方程的學(xué)習(xí)，體會(huì)建立曲線的方程、用曲線的方程研究曲線的性質(zhì)的方法，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理素養(yǎng).
（3）能通過將關(guān)于橢圓的實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于橢圓的數(shù)學(xué)問題，運(yùn)用橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)解決關(guān)于橢圓的數(shù)學(xué)問題，從而解決關(guān)于橢圓的實(shí)際問題，發(fā)展數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).能類比用直線的方程與圓的方程研究直線與圓的位置關(guān)系，用直線的方程與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程研究直線與橢圓的位置關(guān)系，知道直線與橢圓的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)與直線的方程與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程組成的方程組的解的個(gè)數(shù)的關(guān)系，進(jìn)一步體會(huì)用方程研究曲線的方法.
三、單元教學(xué)問題診斷分析
學(xué)生對(duì)坐標(biāo)法已有初步的認(rèn)識(shí)，通過直線和圓的方程的學(xué)習(xí)，對(duì)用坐標(biāo)法研究曲線的基本思路與方法已有了解，但還不善于自覺運(yùn)用坐標(biāo)法，在學(xué)習(xí)中可能會(huì)遇到如下難點(diǎn).
難點(diǎn)一：如何抽象出橢圓的幾何特征.在畫橢圓的過程中，筆尖將細(xì)繩分為兩段，它們都不是定長(zhǎng)，但它們的總長(zhǎng)是這根細(xì)繩的長(zhǎng)（定長(zhǎng)），進(jìn)而抽象出動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件是動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之和為定長(zhǎng)
難點(diǎn)二：如何建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系.對(duì)此，教學(xué)中應(yīng)明確“適當(dāng)”的“標(biāo)準(zhǔn)”是所得方程簡(jiǎn)單，能較好地反映曲線的性質(zhì)；“適當(dāng)”的方法是盡可能使曲線關(guān)于原點(diǎn)和坐標(biāo)軸對(duì)稱.觀察橢圓知，它具有對(duì)稱性，并且過兩定點(diǎn)的直線就是它的對(duì)稱軸，在此基礎(chǔ)上建立“適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系”.
難點(diǎn)三：如何化簡(jiǎn)由橢圓的幾何特征直接得到的方程.化簡(jiǎn)這個(gè)方程需要兩次兩邊平方，并且涉及的字母多，對(duì)學(xué)生的運(yùn)算能力要求較高.對(duì)此，應(yīng)強(qiáng)化思維的“預(yù)測(cè)功能”：如果兩邊直接平方，后續(xù)的運(yùn)算會(huì)怎樣；如果先移項(xiàng)后兩邊平方，后續(xù)的運(yùn)算又會(huì)怎樣.
難點(diǎn)四：如何通過橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程研究橢圓的幾何性質(zhì).學(xué)生通過方程研究曲線自身的幾何性質(zhì)還是第一次.學(xué)生在研究什么、如何研究這兩個(gè)問題上仍然有困難.對(duì)此，應(yīng)通過直觀感知，提出研究問題、猜想初步結(jié)論，然后再通過方程驗(yàn)證猜想；應(yīng)讓學(xué)生充分感受如何基于方程、基于邏輯推理得出曲線的性質(zhì)，感受方程的代數(shù)特征與曲線的幾何特征的內(nèi)在一致性.
難點(diǎn)五：用什么樣的量刻畫橢圓的扁平程度.教學(xué)中讓學(xué)生認(rèn)識(shí)與都能刻畫橢圓的扁平程度；通過分析a，b，c的幾何意義及產(chǎn)生順序，以及這兩個(gè)式子哪個(gè)更能揭示橢圓的本質(zhì)，確定選用.
四、教學(xué)支持條件分析
在本單元的教學(xué)中，應(yīng)充分發(fā)揮信息技術(shù)的作用，包括演示用平面截圓錐得到圓錐曲線的過程，演示橢圓的離心率對(duì)橢圓的扁平程度的刻畫等.
五、課時(shí)教學(xué)過程設(shè)計(jì)
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