資源簡介

《橢圓的簡單幾何性質》課標解讀
教材分析
本節的主要內容是橢圓的簡單幾何性質（范圍、對稱性、頂點和離心率），屬于概念教學課，其中橢圓的對稱性長軸、短軸描述了橢圓的形狀特征，橢圓的范圍描述了橢圓的大小，橢圓的離心率是用數值刻畫橢圓扁平程度的量.
本節是在學習了橢圓的定義及其標準方程的基礎上，第一次系統地按照橢圓的標準方程來研究橢圓的簡單幾何性質，體會坐標法研究曲線幾何性質的基本思路與方法，感受通過代數運算研究曲線性質所具有的程序化、普適性特點，為后面研究雙曲線、拋物線的幾何性質提供方向，是高中數學的重要內容，也是升學考試中的重點與熱點內容，主要考查角度為橢圓離心率的求法，以及直線與橢圓的位置關系.
本節內容蘊含了豐富的數學思想方法，突出體現了數形結合、分類討論及類比推理的思想和用代數法研究曲線性質的數學方法.
本節的重點是根據橢圓的方程研究橢圓的幾何性質，會判斷直線與橢圓的位置關系；難點是離心率的認識與理解，運用直線與橢圓的位置關系解決相關的弦長、中點弦問題.
通過橢圓幾何性質的學習與應用，培養學生的數學抽象核心素養；借助離心率問題的求解，提升學生的直觀想象與邏輯推理核心素養；通過直線與橢圓位置關系的判斷，培養學生的邏輯推理核心素養；通過弦長、中點弦問題及橢圓綜合問題的學習，提升學生的邏輯推理、直觀想象及數學運算核心素養，因此學習這部分知識有著非常重要的意義.
學情分析
學生在初中曾學習過圓，也用代數方法研究過圓的一些性質，但真正系統地用代數方法研究曲線性質在這里還是第一次.
在學習本節內容之前，學生已經掌握了橢圓的定義及其標準方程，這為學生從橢圓圖形和橢圓標準方程的結構特征等多個角度研究橢圓的幾何性質奠定了基礎；類比直線方程和圓的方程能夠使學生得到橢圓標準方程的特點，體現了新舊知識的聯系與區別，符合學生的認知規律，同時為利用方程研究橢圓的幾何性質做好了準備；在冪函數和正切函數的性質與圖象的學習中，學生經歷了由函數解析式研究函數性質與圖象的學習過程，為學生利用橢圓的標準方程研究橢圓的幾何性質創造了經驗.
此外，學生學習解析幾何以來，結合方程較完整地研究曲線幾何性質尚屬首次，在思維轉換運用上學生可能不能迅速到位；離心率的概念有一定的抽象性，直接引入較生硬，學生理解時存在一定的難度；在處理直線與橢圓的位置關系問題時計算量會很大，學生可能會因為運算求解能力不強而出錯.
教學建議
1.在利用方程研究橢圓的性質之前，要注意多引導學生觀察橢圓，想一想哪些是值得研究的幾何性質以及如何研究，引導學生首先從整體上把握幾何圖形，這就是范圍、對稱性；其次是研究它的頂點（與坐標軸的交點）、扁平程度（離心率）等等，得到它的幾何性質，再利用代數法去驗證橢圓的幾何性質，逐漸讓學生掌握用代數方法研究幾何圖形.
2.為了有效提升學生通過方程研究曲線的能力，同時把用代數方法研究曲線性質的思路具體化，教學過程中可在如下幾個方面做具體引導：（1）曲線的范圍：方程中，的取值范圍；（2）曲線的對稱性：用代，或用代，或用與分別代與，看方程形式是否變化；（3）曲線的頂點：使方程中，取得最大值或最小值的點，或曲線與其對稱軸的交點；（4）曲線的形狀：方程中的參數及其相互關系.教學時教師可以根據學生的完成情況適當調節學習進度.
3.教學本節內容應充分發揮信息技術的作用，借助信息技術手段，以“幾何畫板”軟件為平臺，通過對橢圓的離心率的變化演示，觀察橢圓扁平程度的變化，幫助學生直觀認識圓錐曲線、理解橢圓的定義、把握橢圓的性質，讓學生體會運用“數形結合”的思想方法，建立起高中數學的兩條主線——代數主線和幾何主線間的密切聯系，加深學生對離心率的認識.
學科核心素養
目標與素養
1.通過對橢圓的幾何性質的探索，了解可以從數、形等多種途徑得出橢圓的幾何性質，達到直觀想象核心素養學業質量水平二的層次.
2.理解并掌握橢圓的簡單幾何性質，能利用幾何性質解決有關橢圓的長軸、短軸、離心率等問題，達到數學運算核心素養學業質量水平二的層次.
3.通過對直線與橢圓的位置關系等問題的探索，進步加深學生對橢圓的認識，達到邏輯推理、數學運算核心素養學業質量水平二的層次.
4.通過經歷一個完整的探究學習過程，體會解析幾何探究學習的基本規律，培養發現問題、探索問題、解決問題的能力，達到邏輯推理核心素養學業質量水平二的層次.
情境與問題
案例一通過提問的方式引導學生回顧橢圓的定義、標準方程，并畫出橢圓，進而引導學生類比利用直線的方程、圓的方程并借助橢圓的形狀研究其幾何性質，引出本節課題，探究新知.
案例二通過先介紹美國數學教育家莫里斯·克萊茵的話，再引導學生復習橢圓的定義及標準方程，并提出問題：除了用定義外，你能根據橢圓方程畫出它的簡圖嗎？指引學生自然地去探究橢圓的幾何性質，引出本節課題，探究新知.
內容與節點
本節內容是上節內容的延續，主要是研究橢圓的范圍、對稱性、頂點和離心率等簡單幾何性質，而涉及直線與圓錐曲線的位置關系的內容是本節乃至本章的重點.
過程與方法
利用曲線的方程來研究曲線性質的方法是學習解析幾何以來的第一次，通過初步嘗試，使學生經歷知識產生與形成的過程，不僅注意對研究結果的掌握和應用，更重視對研究方法的思想滲透及分析問題和解決問題能力的培養；以自主探究為主，通過體驗數學發現和創造的歷程，培養學生觀察、分析、邏輯推理、理性思維的能力，發展學生的直觀想象、數學運算與邏輯推理核心素養.
通過學習，使學生感受和認識到圓錐曲線在科學技術方面和現實生活中有著廣泛的應用，培養學生熱愛數學的情感，樹立學好數學、獻身科學、報效祖國的遠大理想.
教學重點難點
重點
利用橢圓標準方程的結構特征研究橢圓的幾何性質，并掌握直線與橢圓的位置關系.
難點
橢圓離心率的理解.
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