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直線與圓的方程中的數(shù)學(xué)思想方法總結(jié)
一、運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想解題
例1設(shè)k，a是實(shí)數(shù)，要使關(guān)于x的方程 |2x-1|=k(x-a)+a 對于k的一切值都有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
解 在平面直角坐標(biāo)系中分別畫出 l1：y=|2x-1|和l2：y=k(x-a)+a的圖象(如圖)，其中l(wèi)2是過點(diǎn)M(a，a)且斜率為k 的直線系，l1是折線y=2x-1(x≥)和y=-2x+1(x<)．由圖形的直觀性可知要使原方程對于k的一切值都有解的幾何意義是直線l2繞點(diǎn)M(a，a)旋轉(zhuǎn)時都與折線l1相交，點(diǎn)M必須位于過C(，0)的兩條射線上或射線的上方．
∵ ∴≤a≤1．
例2 已知定點(diǎn)A(1，1)， B(3，3)，動點(diǎn)P在x軸上，若∠APB取得最大值，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是………………( )
A.這樣的點(diǎn)P不存在 B．(，O)
C．(，O) D．(，O)
分析 由A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)及位置特點(diǎn)，可以看出，動點(diǎn)P在x軸正半軸上的某個位置可能使么∠APB取最大值，此題若設(shè)P(x，O)，用到角公式表示出tanAPB，再求使之取得最大值時的P點(diǎn)坐標(biāo)顯然較繁．而利用平面幾何中的圓外角小于圓周角，設(shè)過AB且與x軸正半軸相切的圓與x軸的切點(diǎn)為P，(如圖)則P點(diǎn)即為所求的點(diǎn)，而|OP|2=|OA|·|OB|=·=6 ∴|0P|=，點(diǎn)P(，0)， 故選D．
二、運(yùn)用分類討論的思想解題
例3 求與點(diǎn)P(4，3)的距離為5，且在兩坐標(biāo)軸的截距相等的直線方程．
解 (1)若截距a≠O，可設(shè)直線方程為： +=1 即x+y-a=0
由已知：=5可得：a=7士3
(2)若截距a=O，由于OP所在的直線方程為 y=x，且|OP|=5
∴所求直線方程為y=-x
綜上，所求直線方程為 x-y-7-5=0或x+y-7+5=0或4x+3y=O
對含有參數(shù)的數(shù)學(xué)問題求解時要注意運(yùn)用分類討論的數(shù)學(xué)思想，正確、嚴(yán)密地求解．
例4 討論直線l：3x+4y+m=0與圓C：x2+y2-2x=O的位置關(guān)系．
分析 先求得圓C的圓心C(1，O)和半徑 r=1，再得圓心C到直線l的距離d=，最后按dr三種情況討論直線與圓相交、相切、相離時m的取值范圍．
解 當(dāng)d=<1，即-8 當(dāng)d==1，即m=-8或m=2時，直線與圓相切；
當(dāng)d=>1，即m<-8或m>2時，直線與圓相離．
三、運(yùn)用參數(shù)思想解題
例5 已知直線(a-2)y=(3a-1)x-1 (1)求證無論a為何值，直線總過第一象限．
(2)為使這直線不過第二象限，求a的范圍．
解 (1)將方程整理得為a(3x-y)+(-x+2y-1)=O對任意實(shí)數(shù)a，恒過直線3x-y=O與x-2y+1=0的交點(diǎn)(，)，
∴直線系恒過第一象限內(nèi)的定點(diǎn)(，)；
(2)當(dāng)a=2時，直線為x=不過第二象限；當(dāng)a≠2時，直線方程化為：y=x-，不過第二象限的充要條件為 或 a>2，總之，a≥2時直線不過第二象限．
例6 過點(diǎn)P(2，1)作直線l，與x軸、y軸正半軸分別交于A、B兩點(diǎn)，| PA|·| PB|的最小值及此時l的方程．
分析 本題除了用斜率、角度作為參數(shù)外，我們再給出以直線的參數(shù)方程來求解的方法．
解 設(shè)直線AB的傾斜角為(<<), 則直線AB的參數(shù)方程為
令x=O，則得B點(diǎn)所對應(yīng)的參數(shù)t=-，
令y=O，則得A點(diǎn)所對應(yīng)的參數(shù)t=-
∴|PA|·|PB|=|-|·|-|=
當(dāng)a=時|PA|·|PB|有最小值4，此時直線l的方程為
即
四、運(yùn)用待定系數(shù)法的思想解題
例7 已知直線l在x軸上的截距比在y軸上的截距大1，且過一定點(diǎn)P(6，-2)，求直線的方程．
解法一 設(shè)直線l的方程為+=1． ①
∵直線l過點(diǎn)(6，-2)， ∴-=1． ②
又∵a=b+1．代入②整理得b2-3b+2=O，解之b1=1，b2=2，∴a1=2，a2=3．代入①得所求的直線方程為x+2y-2=O或2x+3y-6=O．
解法二 設(shè)所求直線l的斜率為k，又直線l過定點(diǎn)P(6，-2)，于是直線l的方程是y+2=k·(x-6)，即+=1.依題意知+6k+2=1,∴k=-或k=-.∴直線l的方程是y+2=-(x-6)或y+2=-(x-6)，即x+2y-2=O或2x+3y-6=O．
例8 已知△ABC中，A點(diǎn)坐標(biāo)為(1，2)， AB邊和AC邊上的中線方程分別為5x-3y-3=O和7x-3y-5=O，求BC邊所在直線方程．
分析 欲求BC邊的方程，沒有直接的已知條件，可設(shè)B(x1，y1)，C(x2，y2)，然后用兩點(diǎn)式得方程．
解 設(shè)C(x1,y1)，AB中點(diǎn)坐標(biāo)為(，)則
解得：x1=3，y1=4，∴C(3，4)
說明 此題由代點(diǎn)法，結(jié)合解方程組比直接由已知方程求交點(diǎn)要簡單得多，同理可求得 B(-1，-4)，由兩點(diǎn)式得直線BC方程為2x-y-2=0
五、運(yùn)用化歸的思想解題
例9 求函數(shù)y=+的最小值．
分析 此函數(shù)的定義域?yàn)镽，如果從代數(shù)的角度考慮，確實(shí)比較復(fù)雜；如果借助于兩點(diǎn)間的距離公式，轉(zhuǎn)化為幾何問題，則是非常的容易．
解 y=+=+
令A(yù)(O，1)，B(2，2)，P(x，O)，則問題轉(zhuǎn)化為：在x軸上求一點(diǎn)P(x，O)，使得|PA|+|PB|取得最小值．
∵A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為A’(O，-1)，
∴(|PA|+|PB|)min=|A’B|===．
六、運(yùn)用函數(shù)、方程、不等式思想解題
例10 兩條平行直線分別過點(diǎn)P(-2，-2)，Q(1，3)，它們之間的距離為d，如果這條直線各自繞點(diǎn)P、Q旋轉(zhuǎn)并互相保持平行．
(1)求d的變化范圍．
(2)用d表示這兩條直線的斜率．
(3)當(dāng)d取最大值時，求這兩條直線的方程．
解 當(dāng)過P、Q的兩條直線的斜率為O時， d=5；當(dāng)這兩直線斜率不存在，即與x軸垂直時， d=3． 設(shè)l1：y+2=k(x+2)；l2：y-3=k(x-1)
(1)由平行線間的距離公式得d=
即(d2-9)k2+30k+d2-25=O ……① 由△=900-4(d2-9)(d2-25)≥O，得O (2)由①得k=(d≠3)
(3)當(dāng)d=時,k=-
∴l(xiāng)1：y+2=-(x+2)， l2：y-3=-(x-1)
說明 此題的(1)(3)也可利用數(shù)形結(jié)合的方法來求解．

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