資源簡介

遞推式求數列通項公式常見類型及解法
對于由遞推式所確定的數列通項公式問題，通常可通過對遞推式的變形轉化成等差數列或等比數列，也可以通過構8造把問題轉化。下面分類說明。
一、型
例1. 在數列{an}中，已知，求通項公式。
解：已知遞推式化為，即，
所以。
將以上個式子相加，得
，
所以。
二、型
例2. 求數列的通項公式。
解：當，
即
當，所以。
三、型
例3. 在數列中，，求。
解法1：設，對比，得。于是，得，以3為公比的等比數列。
所以有。
解法2：又已知遞推式，得
上述兩式相減，得，因此，數列是以為首項，以3為公比的等比數列。
所以，所以。
四、型
例4. 設數列，求通項公式。
解：設，則，，
所以，
即。
設這時，所以。
由于{bn}是以3為首項，以為公比的等比數列，所以有。
由此得：。
說明：通過引入一些尚待確定的系數轉化命題結構，經過變形與比較，把問題轉化成基本數列（等差或等比數列）。
五、型
例5. 已知b≠0，b≠±1，，寫出用n和b表示an的通項公式。
解：將已知遞推式兩邊乘以，得，又設，于是，原遞推式化為，仿類型三，可解得，故。
說明：對于遞推式，可兩邊除以，得，引入輔助數列，然后可歸結為類型三。
六、型
例6. 已知數列，求。
解：在兩邊減去。
所以為首項，以。
所以
令上式，再把這個等式累加，得
。所以 。
說明：可以變形為，就是
，則可從，解得，于是是公比為的等比數列，這樣就轉化為前面的類型五。
等差、等比數列是兩類最基本的數列，是數列部分的重點，自然也是高考考查的熱點，而考查的目的在于測試靈活運用知識的能力，這個“靈活”往往集中在“轉化”的水平上。
轉化的目的是化陌生為熟悉，當然首先是等差、等比數列，根據不同的遞推公式，采用相應的變形手段，達到轉化的目的。
構建新數列巧解遞推數列題
1 求通項
求通項是遞推數列競賽題的常見題型，這類問題可通過構建新數列進行代換，使遞推關系式簡化，這樣就把原數列變形轉化為等差數列、等比數列和線性數列等容易處理的數列，使問題由難變易，所用的即換元和化歸的思想。
例1、數列中，，。求。
分析 本題的難點是已知遞推關系式中的較難處理，可構建新數列，令，這樣就巧妙地去掉了根式，便于化簡變形。
解：構建新數列，使
則 ， ，即
化簡得
，即
數列 是以2為首項，為公比的等比數列。
即

2 證明不等式
這類題一般先通過構建新數列求出通項，然后證明不等式或者對遞推關系式先進行巧妙變形后再構建新數列，然后根據已經簡化的新數列滿足的關系式證明不等式。
例2、設， ，求證：。
分析 利用待證的不等式中含有及遞推關系式中含有這兩個信息，考慮進行三角代換，構建新數列，使，化簡遞推關系式。
證明：易知，構建新數列，使，
則
，又 ， ，從而
因此，新數列是以為首項，為公比的等比數列。
考慮到當時，有 。所以，
注：對型如 ，，都可采用三角代換。
3 證明是整數
這類題把遞推數列與數論知識結合在一起，我們可以根據題目中的信息，構建新數列，找到新的遞推關系式直接解決，或者再進行轉化，結合數論知識解決。
例3、設數列滿足，
求證： 。
分析 直接令，轉化為證明
證明：構建新數列，令
則 ，
代入 整理得
從而
于是

由已知，，，由上式可知，，，依次類推， ，即。
例4、設r為正整數，定義數列如下： ， 求證：。
分析 把條件變形為比較與 前的系數及與 的足碼，考慮到另一項為，等式兩邊同乘以，容易想到構新數列，使。
證明：由已知得
構建新數列，
則，




又
|
| ，從而 。
4 解決整除問題
一般通過構建新數列求出通項，再結合數論知識解決，也可用數學歸納法直接證明。
例5、設數列滿足，，對一切，有
，求所有被11整除的的一切n值。
分析 變形遞推關系式為，就容易想到怎樣構建新數列了。
解：由已知
構建新數列
則，


從而，，，當時，由于被11整除，因而也被11整除。
所以，所求n值為，8，及的一切自然數。
5 證明是完全平方數
這類題初看似乎難以入手，但如能通過構建新數列求出通項，問題也就迎刃而解了。
例6、設數列和滿足，，且

求證：是完全平方數。
分析 先用代入法消去和，得，如果等式中沒有常數項6，就可以利用特征根方法求通項，因此可令，易求得。
證明：由①式得， 代入②得
化為
構建新數列，，且，
由特征方程 得兩根
，
所以
當，1時，有
解得：
則

則
因為 為正偶數，所以，是完全平方數。
從上述各題構建新數列的過程中，可以看出對題設中遞推式的觀察、分析，并據其結構特點進行合理變形，是成功構建新數列的關鍵。構建新數列的目的是為了化繁為簡、化未知為已知、化不熟悉為熟悉，這也是解答數學問題的共性之所在。

展開更多......

收起↑