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二項式定理應用常見類型及其解題方法
一、知識點回顧：
1．二項式定理：
，
2．基本概念：
①二項式展開式：右邊的多項式叫做的二項展開式。
②二項式系數:展開式中各項的系數.
③項數：共項，是關于與的齊次多項式
④通項：展開式中的第項叫做二項式展開式的通項。用表示。
3．注意關鍵點：
①項數：展開式中總共有項。
②順序：注意正確選擇,,其順序不能更改。與是不同的。
③指數：的指數從逐項減到，按降冪排列。的指數從逐項減到，按升冪排列。各項的次數和等于.
④系數：注意正確區分二項式系數與項的系數，二項式系數依次是項的系數是與的系數（包括二項式系數，包含符號）。
4．常用的結論：
令
令
5．性質：
①二項式系數的對稱性：與首末兩端“對距離”的兩個二項式系數相等，即，···
②二項式系數和：令,則二項式系數的和為，
變形式。
③奇數項的二項式系數和=偶數項的二項式系數和：
在二項式定理中，令，則，
從而得到：
④奇數項的系數和與偶數項的系數和：
⑤二項式系數的最大項：
如果二項式的冪指數是偶數時，則中間一項的二項式系數取得最大值。
如果二項式的冪指數是奇數時，則中間兩項的二項式系數,同時取得最大值。
⑥系數的最大項：
求展開式中最大的項，一般采用待定系數法。設展開式中各項系數分別
為，設第項系數最大，應有，從而解出來。
二、基本題型示例：
（一）、二項式定理的逆用問題
例1、
解：與已知的有一些差距，

例2、 的值等于（??? ）．
　　　　　　A．111105? B．111111 ? C．12345? D．99999
　　分析　由已知式子的結構，可構造二項式．
　　　　　原式．故選C．
練：
解：設，則
（二）、利用通項公式求的系數問題
例3、（l）若的展開式中，的系數是的系數的7倍，求；
??（2）已知的展開式中，的系數是的系數與的系數的等差中項，求；
??（3）已知的展開式中，二項式系數最大的項的值等于1120，求．
??? 解：（l）依題意，即，
　　　　由可整理，得，解得.
　　　　（2）依題意，
　　　　整理，得
　　　　∵?
　　　　∴? ，解得.
　　　　（3）依題意，整理，得，
　　　　兩邊取對數，得，解得或.
　　　　∴? ，或.
點評? 的展開式及其通項公式，是，，，四個基本量的統一體，已知與未知是相對的，運用方程的思想方法，應會求其中居于不同位置，具有不同意義的未知數．
練：展開式中，的系數等于?? ．
解：
??? 　　　　　　．
　　所求項的系數即為展開式中含項的系數是：
例4、在二項式的展開式中倒數第項的系數為，求含有的項的系數？
解：由條件知，即，，解得，由
，由題意，
則含有的項是第項,系數為。
練：求展開式中的系數？
解：，令,則
故的系數為。
（三）、利用通項公式求常數項問題
例5、求二項式的展開式中的常數項？
解：，令，得，所以
練：求二項式的展開式中的常數項？
解：，令，得，所以
練：若的二項展開式中第項為常數項，則
解：，令，得.
（四）、利用通項公式，再討論而確定有理數項問題
例6、求二項式展開式中的有理項？
解：，令,()得，
所以當時，，，
當時，，。
（五）、奇數項的二項式系數和與偶數項的二項式系數和的問題
例7、若展開式中偶數項系數和為，求.
解：設展開式中各項系數依次設為
,則有①，,則有②
將①-②得：
有題意得，，。
練：若的展開式中，所有的奇數項的系數和為，求它的中間項。
解：，，解得
所以中間兩個項分別為，，
（六）、最大系數，最大項問題
例8、已知，若展開式中第項，第項與第項的二項式系數成等差數列，求展開式中二項式系數最大項的系數是多少？
解：解出，當時，展開式中二項式系數最大的項是，當時，展開式中二項式系數最大的項是，。
練1、在的展開式中，二項式系數最大的項是多少？
解：二項式的冪指數是偶數，則中間一項的二項式系數最大，即，也就是第項。
練2、在的展開式中，只有第項的二項式最大，則展開式中的常數項是多少？
解：只有第項的二項式最大，則，即,所以展開式中常數項為第七項等于
練3、寫出在的展開式中，系數最大的項？系數最小的項？
解：因為二項式的冪指數是奇數，所以中間兩項()的二項式系數相等，且同時取得最大值，從而有的系數最小，系數最大。
練4、若展開式前三項的二項式系數和等于，求的展開式中系數最大的項？
解：由解出,假設項最大，
，化簡得到，又，，展開式中系數最大的項為,有
練5、在的展開式中系數最大的項是多少？
解：假設項最大，
，化簡得到，又，，展開式中系數最大的項為
（七）、非二項式結構式問題
例9、求當的展開式中的一次項的系數？
解法①：，，當且僅當時，的展開式中才有x的一次項，此時，所以得一次項為
它的系數為。
解法②：
故展開式中含的項為，故展開式中的系數為240.
練：求式子的常數項？
解：，設第項為常數項，則，得,, .
（八）、乘積式中二項式定理應用問題
例10、
解：
練：
解：
.
練：
解：
例11、（1）在的展開式中，若第3項與第6項系數相等，則
　　（2） 的展開式奇數項的二項式系數之和為128，則展開式中二項式系數最大項是???????? ．
　　分析：（1）由已知，所以．
　　　　　（2）由已知，而，
　　　　　∴
　　　　　展開式中二項式系數最大項是第5項．
（九）、構造法證明等式問題
例12、證明下列各式
(1).
(2).
證：(1)構造二項展開式 .
令得
即.
(2)構造恒等式 .
兩邊含項的系數相等，即
∵，
∴.
（十）、展開式中奇數項的系數和與偶數項的系數和問題
例13、解：
（十一）、賦值法應用問題
　例14、? （1）已知，
那么=_________.
? 　　　　（2）=___________.
分析　：（1）　令，得，
　　　　　令，得，
　　　　　∴．
　　（2）在二項展開式中，
　　　　　令，則左式，右式
　　　　　∴? .
　　 ? 點評? 這是一組求二項展開式的各項系數和的題目，求解的依據是
與. 這兩個等式都是恒等式，因此賦予字母，及以某些特定數值時，等式依然成立．
例15、設二項式的展開式的各項系數的和為，所有二項式系數的和為,若
,則等于多少？
解：若，有，，
令得，又,即解得，.
練：若的展開式中各項系數之和為，則展開式的常數項為多少？
解：令，則的展開式中各項系數之和為，所以，則展開式的常數項為.
練：解：

練：
解：
（十二）、整除問題
　例16、 ?除以100的余數是???????? ．
　　分析：轉化為二項式的展開式求解．
　　　　　　　　．
　　上式中只有最后兩項不能被100整除．8281除以100的余數為81，所以除以100的余數為81．
例17、證明：能被64整除
證：
由于各項均能被64整除
（十三）、近似值問題
例18、的近似值（精確到0.001）是??????? ．
　　分析?
　　
（十四）、不等式證明問題
例19、若實數滿足，求證：
證：令,,則.
例20、已知等差數列及等比數列中，，且這兩個數列都是遞增的正項數列，求證：當時，
證：設 , 則,


利用二項式定理證明不等式，采用“對稱法”（例18）及“減項放縮法”（例19）較為普遍。
練;證明：
練：
三、知識鞏固：
1、(x－1)11展開式中x的偶次項系數之和是
解：設f(x)=(x-1)11, 偶次項系數之和是
2、 2、
解：4n
3、的展開式中的有理項是展開式的第 項
解：3,9,15,21
4、(2x-1)5展開式中各項系數絕對值之和是
解：(2x-1)5展開式中各項系數系數絕對值之和實為(2x+1)5展開式系數之和，故令x=1，則所求和為35
5、求(1+x+x2)(1-x)10展開式中x4的系數
解：,要得到含x4的項，必須第一個因式中的1與(1-x)9展開式中的項作積，第一個因式中的－x3與(1-x)9展開式中的項作積，故x4的系數是
6、求(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)10展開式中x3的系數
解：=，原式中x3實為這分子中的x4，則所求系數為
7、若展開式中，x的系數為21，問m、n為何值時，x2的系數最小？
解：由條件得m+n=21，x2的項為，則因n∈N，故當n=10或11時上式有最小值，也就是m=11和n=10，或m=10和n=11時，x2的系數最小
8、自然數n為偶數時，求證：

證明：原式=
9、求被9除的余數
解： ,
∵k∈Z,∴9k-1∈Z，∴被9除余8
10、在(x2+3x+2)5的展開式中，求x的系數
解：
在(x+1)5展開式中，常數項為1，含x的項為，在(2+x)5展開式中，常數項為25=32，含x的項為
∴展開式中含x的項為 ，此展開式中x的系數為240
11、求(2x+1)12展開式中系數最大的項
解：設Tr+1的系數最大，則Tr+1的系數不小于Tr與Tr+2的系數，即有


∴展開式中系數最大項為第5項，T5=

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