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二元目標函數取值范圍的求法
二元目標函數是指含有兩個變量的表達式，通常記為，有關二元目標函數的值域、最值問題是常見題型，要注意其中涉及的數學思想和方法。
一、消元法
例1． 若
分析：，利用條件，可對實施消元，使之轉化成為==，這樣原二元問題就轉化一元表達式的最大值，
∴，當原表達式有最大值。
注： 本題除了將二元問題化為一元問題后，還要注意對變量隱含條件的挖掘。一般說來，題目條件中有所求二元變量的等量關系，且能用其中一個去表示另外一個，通常都可以通過消元將二元問題轉化為一元問題處理。
二、換元法
例2．?已知,求的取值范圍。
分析：由聯想到同角三角關系中的，可采用三角換元去處理，
由得， 的取值范圍是。
注：三角換元是常用的一種換元方法，要選擇適當的三角函數，使代數問題三角化，充分利用三角函數的圖象和性質去處理，但換元時，要注意三角式和代數式的等價性。
常見的換元方法：
①若x2+y2=r2 令x=rcosα y=rsinα
②若 令x=acosα y=bsinα
三、重要不等式法（最值定理）
例3．已知a>0，b>0，a+2b=1，求的最小值。
分析：這是有關二元表達式的最值問題，考慮道題目中的條件，可直接利用基本不等式。
≥當且僅當，即時 ，。
注：利用最值定理求最值時要抓住（1）“一正，二定，三等”（2）連續使用同向不等式時要保證等號條件的一致性。本題最常見的錯誤解法是：由a+2b≥，a+2b=1得≤1，∴≤，∴≥，∴≥≥2×。其原因是兩次運用基本不等式的等號成立條件不一致。在a+2b≥中等號成立的條件是a=2b；在≥中，等號成立的條件是a=b，當時，a=b=0，這與已知條件矛盾。此外本題也可采用消元法，換元法去處理。
四、轉化法
例4． 已知
分析：，又可轉化成點（1，1）到直線上點的距離，由點到線的距離公式得的最小值為
例5．已知滿足，求。
分析：根據的結構特征，可聯想道點到線的距離公式，則原題可轉化為圓上一點到直線的距離的最小值，由圖形可知，該距離的最小值又可轉化為圓心到直線的距離與半徑的差，即:=
∴二元表達式的最小值為。此外本題也可采用換元法求解。
例6 若實數x、y滿足x2+y2－6x－4y+12=0，求的最大值及最小值.
分析： 點（x,y）滿足圓的方程，而正好看作是圓上的點與原點連線的斜率從而轉化為由動點（x,y）向圓所引的兩條切線的斜率.由已知得（x－3）2+(y－2)2=1，圓心（3，2），半徑為1
設y=kx,即kx－y=0由直線與圓相切，得，解得
的最大值為，最小值為。
此題也可通過作圖用兩角和差公式計算。
注：以上三題都是轉化法，利用數形結合思想中的 “形”中覓“數”，“數”上構“形”， 由所問的問題的表達式結構特征，轉化為幾何問題。
五、?線性規劃法
例7 已知滿足，求z=2x+y的最大值和最小值。
?分析： 先作出可行域，如圖所示中△ABC表示的區域，且求得、B（-1，-1）、C（2，-1）。作出直線l0：2x+y=0，再將直線l0平移，當l0的平行線l1過B點時，可使z=2x+y達到最小值，當l0的平 行線l2過C點時，可使z=2x+y達到最大值。zmin=2×（-1）+（-1）=-3，zmin=2×2+（-1）=3。
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注：線性規劃作為直線方程的延伸，為我們處理二元線性函數的最值提供了一個新的思路和方法。要注意理解與掌握。
總之，二元目標函數的值域，最值問題的處理應是在題中條件的基礎上，分析表達式的結構特征，合理選擇適當方法求解，通過有效的針對性訓練，掌握常見題型的思維方法，多總結，做到真正理解和掌握。

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