資源簡介

《雙曲線》教學分析
一、本節知識結構框圖
二、重點、難點
重點：雙曲線的幾何特征，雙曲線的標準方程，以及它的簡單幾何性質.
難點：雙曲線的形成及其漸近線的發現.
三、教科書編寫意圖及教學建議
本節主要內容是雙曲線的概念和標準方程，以及它的簡單幾何性質.雙曲線的研究是完全類比橢圓的研究方法進行的，教學時應特別強調通過類比學習本節內容.
3.2.1雙曲線及其標準方程
1.類比橢圓的概念提出雙曲線的問題
研究了橢圓之后，一個自然的問題是：平面內與兩個定點的距離的差等于常數的點的軌跡是什么？它揭示了橢圓與雙曲線在概念內涵屬性上的異同，相同的是它們都是平面內與兩個定點的距離具有某種確定關系的點的軌跡，而且這種確定關系是通過代數運算得到的；不同的是所用的運算方法.
2.運用信息技術探索雙曲線的幾何特征
問題提出后，教科書通過“探究”，創設情境并運用信息技術探索雙曲線的圖形特征，進而抽象出雙曲線的概念.
實際上,這是一個將橢圓與雙曲線的定義統一在一起的幾何情何.情境中直線上的定長線段就是橢圓、雙曲線的一個幾何要素,兩個定點是它們的另一個幾何要素,直線上的動點與線段的位 關系的變化決定了軌跡的形狀.當點在線段上運動時,如果,那么兩圓相交,其交點的軌 是橢圓；如果,那么兩圓不相交,不存在交點軌跡.
在的條件下,一個自然的問題是:點在線段外運動,兩圓是否相交 如果相交,交點的軌跡是什么形狀 為此,運用信息技術工具，可以讓學生看到兩圓相交,而且交點的軌跡是不同于橢圓的曲線,它分左右兩支,而且是不封閉的曲線，這樣,教科書在直觀呈現雙曲線幾何特征的基礎上，水到渠成地抽象出雙曲線的概念.
教科書是從數學內部提出問題的,從“距離之和”到“距離之差”非常自然,但要象出雙曲線,卻需要很高水平的想象力.這時,發揮信息技術的作用是必須的.教學時,要用好教科書的這個情境,給學生充分的幾何直觀的同時，使學生認識橢圓、雙曲線之間的聯系與差異,提升發現和提出問題的能力.在利用信息技術探索雙曲線的圖形特征時,需要把幾何條件轉變為信息技術能夠實現的方式,這種方式需要根據幾何要素進行構造.這個過程體現了幾何條件的轉化.對于培養直觀想象、邏輯推理素養都有幫助.
3.雙曲線定義中的“非 常數”
對于雙曲線定義中的“非零常數(小于)”,學生容易忽略“非零”.教學時可以引導學生進一步思考:平面內與兩個定點的距離的差等于零的點的軌跡是什么 進而討論平面內與兩個定點的距離的差的絕對值不小于的點的軌跡.通過這兩個問題的討論,可以加深學生對雙曲線定義的認識.
4.雙曲線的標準方程
教科書通過類比橢圓標準方程的研究過程與方法,建立雙曲線的方程.教學中要在對比橢圓、雙曲線定義的基礎上,讓學生自主推導雙曲線的標準方程;并對橢圓、雙曲線的標準方程進行比較,分析它們的結構特點,發是不同點以及不同形式的標準方程.
（1）建立適當的平面直角坐標系
觀察發現雙曲線具有對稱性,與求橢圓方程的建系過程完全類似,建立以點和所在直線為軸,線段的垂直平分線為軸的平面直角坐標系.教學中應再次強調,把握所研究的幾何對象的基本特征（如對稱性、特殊的點等),對于合理建立坐標系、簡化代數運算、得出特征明顯的代數方程等都是非常重要的.
（2）寫出曲線上的點所滿足條件的集合
求曲線方程的實質是要找到曲線上的點所滿足的條件.一般情況下,可以由確定曲線的幾何條件得到.根據雙曲線的定義,雙曲線上的點滿足條件的集合是,.教學中可以讓學生類比橢圓標準方程的建立過程,認識把與兩個定點的距離的差的絕對值設為,可以為運算帶來方便，并且使標準方程的表達式簡潔.教學時還應讓學生認識它的幾何意義,以及它與橢圓長軸長的區別.
（3）根據點的坐標滿足條件的集合寫出方程
將中的等式解析化,也就是用坐標表示集合中的等式,得到關于的方程,記為.教學中應指明,坐標法的基礎是建立平面直角坐標系,然后由集合得到方程,把幾何條件代數化,從而獲得方程.
（4）化簡方程
為用方程研究曲線的性質,需要化簡方程.教科書將等價變形為,然后類比橢圓標準方程的化簡過程,得到.教學中要通過讓學生自主解決教科書邊空中的問題:你能在軸上找一點,使得嗎 使學生認識的幾何意義,并要與橢圓標準方程進行對比,認識雙曲線中的與 圓中的之間的差異.
（5）“雙曲線的方程”與“方程的雙曲線"
與前面的學習一樣，在推導出方程后，教科書結合化簡過程,對雙曲線與方程之間的關系進行了討論.教學時應通過問題,讓學生再一次體會這種討論的必要性.
（6）焦點在軸、y軸上的雙曲線標準方程的比較
得到焦點在軸上的雙曲線的標準方程后,應讓學生按教科書中的“思考”,回答焦點在軸上的雙曲線的標準方程是什么.當學生類比焦點在軸上的橢圓的標準方程,回答后,可通過如下兩個方面對進行比較:
一是兩個焦點的位置（在軸上還是在軸上）與負號的位置,二是方程中與的對應位置,要使他們認識到:若項的系數是正數,則雙曲線的焦點在軸上;若項的系數是正數,則雙曲線的焦點在軸上.對于雙曲線,要強調不一定大于,因此不能像橢圓那樣通過比較分母的大小判斷焦點在哪一條坐標軸上.
5.橢圓、雙曲線標準方程的比較
獲得雙曲線的標準方程后，教師可指導學生將橢圓、雙曲線的標準方程列表進行對比，以弄清它們的區別與聯系.
6.例1、例2的教學
本小節安排了兩個例題.安排例1的目的是熟悉雙曲線的定義和標準方程，明確確定雙曲線的幾何要素，并會用待定系數法求雙曲線的標準方程，其中需要識別，熟練應用解決雙曲線的相關問題.
例2是雙曲線的實際應用，它可以使學生在例1的基礎上進一步熟悉雙曲線的定義，把握實際問題解決的過程.教學時，要讓學生在分析與解答中再次體會依據不同條件求曲線方程的方法.教科書在這道例題之后給出了利用雙曲線進行點的定位問題的一般性論述，教學時可以考慮設計一個具體問題，讓學生在課堂解決或作為作業.
7.關于第121頁的“探究”
這個“探究”與“橢圓”中的例3相呼應，那時斜率之積是一個負的常數，此時斜率之積是正的常數.“探究”結論的一般化表述是：如果動點與兩個定點所連直線的斜率之積是一個正數,那么動點的軌跡是雙曲線.
3.雙曲線的簡單幾何性質
1.如何研究雙曲線的幾何性質
教科書給出的“思考”提出了類比橢圓幾何性質的研究方法,對雙曲線,）的幾何性質進行研究.教學中,要讓學生通過類比,提出可以研究雙曲線的哪些性質,構建研究路徑,給出研究方法并自主探究得出結論.當然,對于雙曲線的漸近線問題,教師要加強引導.
2.雙曲線的范圍、對稱性、頂點
類比橢圓的范圍、對稱性、頂點的研究，通過方程研究雙曲線的范圍、對稱性、頂點.
（1）范圍
觀是雙曲線,可以直觀發現雙曲線上的點的橫坐標的范圍是或,縱坐標的范圍是.這是“形”的角度，接著從“數”的角度予以確認.根據方程,得到,從而,或.由的范圍，可以發現雙曲線不是封閉的曲線.
對于雙曲線的范圍,教學時要講清兩點,一是只有當時,方程(1)中的才有與之對應的值;二是對任意實數,方程中都有的值與之對應,且滿足.由上可知,位于兩條直線與之內的區域沒有雙曲線上的點,所以,雙曲線位于直線及其左側,以及直線及其右側的區域,并且兩支都向外無限延伸.
（2）對稱性
觀察雙曲線,從圖形直觀上可以發現雙曲線既關于坐標軸對稱,又關于原點對稱.教學時，應讓學生根據方程回答為什么雙曲線關于坐標軸、原點都對稱.此時,
可以完全類比 圓對稱性的研究過程:用代代分別代,方程的形式不變,從而說明雙曲線關于坐標軸、原點對稱.
（3）頂點
觀察雙曲線,從圖形直觀上可以發現雙曲線與軸有兩個交點和,與軸沒有公共點.這與橢圓不同.教學時，應讓學生根據方程說明雙曲線與軸有兩個交點,與軸沒有公共點.對于教科書為什么把兩點畫在軸上,并把線段稱為雙曲線的虛軸,學生會有疑問.教學時可以通過教科書之前安排的邊空問題“你能在軸上找一點,使得嗎 "啟發學生，線段有明顯的幾何意義,即是直角三角形,且,并且在緊接著的漸近線的研究中就要用到它.
3.漸近線
對圓雙曲線來說,漸近線是雙曲線特有的性質.利用雙曲線的漸近線來畫雙曲線特別方便,只要作出雙曲線的兩個頂點和兩條漸近線,就能較為精確地畫出它的圖形.
在學習雙曲線的漸近線前,教科書設置了一個“探究",要求在雙曲線位于第一
象限的曲線上畫一點,測量點的橫坐標及它到直線的距離,向右拖動點，觀察與的大小關系,你發現了什么 這個“探究”目的在于讓學生通過操作，直觀感受,在向右拖動點時(無限)增大),逐漸減小，（無限）趨向于零.教科書指出：可以看到,雙曲線的各支向外延伸時,與兩條直線逐新接近,我們把這兩條直線叫做雙曲線的新近線.也就是說,雙曲線與它的漸近線無限接近,但永不相交.
這里沒有給出雙曲線的新近線嚴格定義,只是一種描述.對于“無限接近”也只能是直觀感受,操作確認.
教科書在本節末的“探究與發現”欄目中,解釋了為什么是雙曲線的漸近線.供學生閱讀參考,以便完善對雙曲線漸近線的正確認識.
4.離心率
首先，教科書給出“思考”,要求學生探索雙曲線的離心率刻畫了雙曲線的什么幾何特征.雙曲線的離心率同樣用表示.在橢圓中,;而在雙曲線中,.類比橢圓的離心率,我們猜想雙曲線的離心率刻畫的也是某種“扁平程度".由可知,當逐新增大時，逐漸增大,即雙曲線的新近線的斜率逐漸增大,此時雙曲線的“張口”逐新增大,反之也成立.此時的“扁平程度”描述的是雙曲線的“張口大小”.因此,雙曲線的離心率刻畫了雙曲線的“張口”大小.
由上可知,兩者均能刻畫雙曲線的“張口”大小,從三角函數的角度看,,其中是直線的傾斜角,這也同時回答了教科書邊空中所提的問題“用雙曲線漸近線的斜率能刻畫雙曲線的'張口'大小嗎 它與用離心率刻的‘張口’大小有什么聯系和區別 ”另外,教學時還可通過信息技術工具的演示,增強學生對“雙曲線的離心率是如何影響雙曲線‘張口’大小的認識.
5.例3~例6的教學
教科書安排例3的目的是鞏固對雙曲線中的幾何要素及其幾何性質的認識.在得到雙曲線的標準方程后，先確定實半軸長和虛半軸長，然后確定焦點的坐標，進而確定離心率、漸近線關鍵是a，b，c的確定，并認識它們的幾何意義，以及三者之間的關系.教學時，可以畫出草圖，結合圖形，直觀認識雙曲線中的幾何要素，以及這些要素之間的關系，獲得相應的幾何性質.
例4綜合運用待定系數法和雙曲線的幾何性質求雙曲線的標準方程，基礎是建立適當的坐標系，獲得“數”與“形”的對應，即坐標與點，方程與曲線的對應.其中B，C兩點縱坐標的表以及相關方程組的求解，需要引導學生正確消元，進而獲得問題的解決.
與“3.1橢圓”中的例6類似，例5通過具體例子讓學生感受雙曲線的另一種定義方式將其一般化是橢圓、雙曲線以及下面學習的拋物線等圓錐曲線的統一定義.本節習題的“綜合運用”中給了一個題目，是對本例的一般化.教學時，可以根據學生的實際情況，結合本例的解決，提出完成這個題目的要求，使學生對“統一定義”有一定的了解，為拋物線的引入做一定的鋪墊.
與“3.1橢圓”中的例7類似，例6是關于雙曲線與直線的位置關系的問題.教科書通過解方程組確定雙曲線與直線的交點坐標，進而求出由兩個交點確定的線段的長度.教學時，要與橢圓中的例7類比，讓學生體會解決直線與圓錐曲線相交問題時常用的方法.
本節例題圍繞雙曲線的定義、標準方程、簡單幾何性質等知識，突出了用方程研究雙曲線幾何性質的特點，讓學生認識求曲線方程的一般方法，如待定系數法等.同時，讓學生通過解決實際問題體會雙曲線的應用價值.
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