資源簡介

6.1平面向量的概念
一、本節知識結構框圖
二、重點、難點
重點：向量的概念，向量的幾何表示，相等向量和共線向量的概念.
難點：向量的概念和共線向量的概念.
三、教科書編寫意圖及教學建議
本節主要通過物理中的位移、速度、力等抽象出數學中的向量，并類比實數的幾何表示，以及物理學中位移的表示方法，用有向線段表示向量，進而通過向量之間的關系來認識相等向量與共線向量.
6.1.1函數的概念
位移是既有大小又有方向的量，是物理學中的基本量之一，位移表示的兩個點之間的相對位置關系也是幾何研究的重要內容.物理學中用位移表示物體（質點）的位置變化，幾何中常用點表示位置，研究如何由一點的位置確定另一點的位置.位移簡明地表示了兩個點的位置之間的相對關系，它是向量的重要的物理模型.力和速度也是既有大小又有方向的量，是常見的物理量，也是向量的重要的物理模型.教科書以小船的位移和速度、重力、浮力作為引入向量的背景，建立學習向量的認知基礎，進而類比數量的抽象過程抽象概括出向量的概念，隨后，為了使學生更好地理解向量的意義，教科書釆用了與數量概念比較的方法，引導學生認識年齡、身高、長度、面積、體積、質量等量都是“只有大小，沒有方向”的數量，通過比較讓學生體會向量的“大小、方向”這兩個基本要素，并在邊空中提出問題，讓學生舉出物理學中向量和數量的其他一些實例，從而更好地理解向量的特征.
6.1.2函數的表示法
1.有向線段
實數與數軸上的點一一對應，數量可用數軸上的點表示，教科書通過類比實數在數軸上的表示，以及物理學用“帶有方向的線段”表示位移的方法，給出了向量的幾何表示——用有向線段表示向量.有向線段是數學概念，起點、方向、長度是有向線段的三要素.由于向量的基本要素是大小和方向，因而“用有向線段的方向表示向量的方向，用有向線段的長度表示向量的大小”是自然的想法，雖然位移有起始位置，力有作用點，但是舍去了與“起點”有關的物理屬性所抽象出的向量只有大小和方向.因此，用有向線段表示向量時，向量的方向與有向線段的指向有關，與起點的具體位置無關.教學中要讓學生體會用有向線段表示向量這種幾何直觀，以利于進步學習向量.
2.零向量與單位向量
教科書將“向量的大小”定義為向量的模，進而分別給出了零向量、單位向量的概念，教學中應當注意引導學生將向量的模與數量進行比較，數量有大小而沒有方向，其大小有正數、負數和0之分，既可進行運算，又可比較大小；向量的模是正數或0，由于向量和的方向不能比較大小，于是有意義，而沒有意義.
零向量與單位向量都是特殊的向量.教學中可以類比實數0和1，讓學生認識零向量與單位向量.隨著后續內容的學習，學生會進一步認識到零向量與單位向量在向量系中的地位和作用.例如，向量的減法運算就要用到零向量，平面向量的坐標表示中以分別與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量作為基底.
3.向量的兩種表示
教科書介紹了向量的兩種表示：有向線段表示和黑體字母表示，向量的有向線段表示為用向量處理幾何問題打下了基礎，用黑體字母表示向量在形式上更簡約，這兩種表示方法都需要學生熟練掌握.教科書用黑體字母表示向量，如，在手寫時可用表示.在用有向線段表示向量時，要提醒學生注意向量的方向是有向線段的起點A指向終點B，點A要寫在點B的前面.
4.例題
例1是一個簡單的問題.要求用向量表示位移并求兩點間的距離.畫出有向線段表示位移，目的在于從向量的角度認識位移，以正確理解向量概念及其幾何表示；兩點間的距離就是相應有向線段的長度，也就是相應向量的模.
6.1.3相等向量與共線向量
1.平行向量
從向量的基本要素出發進一步研究向量，如果只關注向量的方向，那么可以得到平行向量這重要概念，平行向量是指方向相同或相反的非零向量.教學中要讓學生全面認識平行向量，特別是方向相反的非零向量也是平行向量，要講清楚教科書中圖6.1-5的幾何意義.規定零向量與任意向量平行，與一般向量空間中有關性質（向量的線性相關性）一致.
2.相等向量
數學中，引進新的量后，就要界定它們之間的“相等”關系，這是研究新的量的基礎.如何定義“相等向量”呢？平行向量只關注向量的方向，如果既關注向量的方向，又關注向量的大小，那么把“長度相等且方向相同的向量”定義為相等向量是恰當自然的.相等向量是一類向量的集合，由相等向量的定義可以知道，對于一個向量，只要不改變它的大小和方向，將它平移后還是這個向量，這就是“向量完全由它的模和方向確定”的意義.因此，用有向線段表示向量時，可以任意選取有向線段的起點，也就是說高中數學中討論的向量是自由向量，這為用向量處理幾何問題帶來方便.教學時可以借助信息技術，通過向量的平移來讓學生直觀認識相等的向量與表示向量的有向線段的起點無關.可以讓學生思考“同一條有向線段可以表示怎樣一類相等的向量”與“同一個非零向量可以用怎樣一類有向線段表示”這兩個問題，也可以結合例題、習題體現上述問題的應用.
3.共線向量
共線向量也是研究向量的基礎.教科書通過對一組平行向量直觀作圖的過程給出了“任一組平行向量都可以平移到同一條直線上，因此，平行向量也叫做共線向量”的陳述.從邏輯線索上看，將平行向量平移到直線上后，由相等向量的定義，得到的仍然是，這表明了平行向量與共線向量是等價的，只是名稱的用詞具有相應的針對性.教學中，要使學生體會兩個共線向量并不一定要在同一條直線上，只要兩個向量是平行向量，也就是共線向量，反之也對.當然，在同一條直線上的一組向量也是平行向量.要避免向量的“平行”“共線”與平面幾何中直線的平行和線段的共線相混淆，讓學生認清平行向量與平行線、共線向量與共線線段的區別.
4.例題
例2是結合正六邊形的一些幾何性質，讓學生鞏固相等向量和共線向量的概念，正六邊形的邊長等于其外接圓半徑，它既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，具有豐富的幾何性質.教學時應引導學生利用正六邊形的性質結合圖形進行分析，還可以讓學生判斷向量與與是否相等，意在通過長度相等且方向相反的兩個向量不相等，讓學生從反面認識相等向量的概念，也為后繼引入相反向量的概念進行鋪墊.

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