資源簡介

6.2平面向量的運算
一、本節知識結構框圖
二、重點、難點
重點：向量加、減運算的運算法則及其幾何意義，向量數乘運算的定義及其幾何意義，向量數量積的概念與運算律.
難點：對向量加法運算法則與向量減法定義的理解，對向量數量積的概念及運算律的理解，向量數量積的應用.
三、教科書編寫意圖及教學建議
對于“運算”學生并不陌生，他們已經學習了數的運算、代數式的運算、集合的運算等，針對每一種代數運算無外乎要研究運算的背景、意義、法則、性質、應用等，從而建立相應的運算體系.平面向量運算內容的編寫關注了以下兩個方面：一是引導學生從物理、幾何、代數三個角度理解向量運算；二是引導學生類比數的運算研究向量的運算.
向量運算的學習過程是培養學生邏輯推理、數學運算和直觀想象素養的重要載體，中學數學中的平面向量運算主要包括向量的線性運算和向量的數量積.向量的線性運算包括向量的加法、向量的減法、向量的數乘運算.在向量的加、減運算中，加法運算是基本運算，減法運算是向量加法運算的逆運算，它們有各自的幾何意義，并且可以互相統一；向量的數乘運算反映了一類向量——共線向量間的關系.
向量的概念源自物理學，所以向量運算也有相應的物理背景.本節引言首先從學生最為熟悉的數及其運算談起，數有了運算才威力無窮.類似地，引入向量后也要研究其運算.對于向量的加法運算，教科書通過類比數的加法，以位移的合成為背景引入向量加法的三角形法則，以力的合成為背景引入向量加法的平行四邊形法則.這樣做的主要目的是使加法運算的學習建立在物理背景之上，并關注學生對向量的和要從大小、方向兩個方面來規定的理解，體會向量運算與數的運算的區別與聯系，以幫助學生理解向量加法的本質.
對于向量的減法，類比數的減法，減去一個數等于加上這個數的相反數，教科書先引入了相反向量的概念，然后引入向量的減法：減去一個向量等于加上這個向量的相反向量.
對于向量的數乘，通過類比數的乘法，教科書從相同向量的連加入手引入了向量數乘運算.向量數乘運算的幾何意義明顯，通過這一幾何意義討論向量共線的條件，為后繼學習平面向量基本定理奠定基礎.
以物理中力所做的功為背景，教科書引入了向量的數量積.向量的數量積運算結果是實數，它不僅滿足交換律，而且對加法滿足分配律.向量數量積可以刻畫兩個向量的夾角和向量的長度（可以看成兩點間的距離），而距離和角又是刻畫幾何元素（點、線、面）之間度量關系的基本量，因此，向量數量積在解決平面幾何問題中發揮著獨到的作用.
綜上可知，與數的運算類比，借助物理背景引入向量的相關運算是學習向量運算的重要方法.教學中，要引導學生類比數的運算，借助物理背景，給學生發現和提出向量運算的機會，有意識地培養學生的創新能力.
6.2.1向量的加法運算
1.向量加法的定義
教科書從位移的合成與力的合成出發，引導學生考慮能否受它們的啟發引進向量的加法.具體地，教科書以學生熟悉的位移的合成為背景，設置了思考欄目.首先讓學生回憶并感知物理中位移的合成，它可以看作是向量加法的物理模型；進而類比數的加法，給出向量加法的三角形法則.在此基礎上，教科書給出向量加法的定義.
教科書進一步挖掘學生的已有認知，以力的合成為背景，設置了思考欄目.教學中，教師要讓學生回憶相關的物理知識，想到力的合成的平行四邊形法則，畫出力與的合力（圖6-3），進而誘發學生從向量的角度看力的合成，引出向量加法的平行四邊形法則.
既然向量加法有兩個法則，討論兩者是否一致順理成章.如圖6-4，由向量加法的三角形法則，.過點A作BC的平行線，過點C作AB的平行線，所作的兩條直線相交于點D，四邊形ABCD是平行四邊形.由平行四邊形的性質得AD=BC，所以.由向量加法的平行四邊形法則也可得出，所以向量加法的三角形法則與平行四邊形法則是一致的.
與數零的加法運算的規定類似，對任意向量與零向量相加，教科書中給出了相應的規定：.
2.例1的教學
例1是通過具體的例子幫助學生理解向量加法的概念，規范作兩個向量的和的方法.本例分別用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則作兩個向量的和.在向量加法的作圖中，要讓學生體會作法中任取一點O的依據——我們研究的向量是自由向量.教學中，教師還要引導學生體會對于向量的有關作圖，常常需要平移向量.運用向量加法的三角形法則作圖時，要“首尾相接，再首尾連”；運用向量加法的平行四邊形法則作圖時，則要強調兩個向量的起點相同.
3.共線向量的加法
共線向量的加法與實數的加法非常類似，教科書安排學生探究共線向量的加法符合學生的認知基礎，既讓學生體會向量的加法與數的加法的聯系與區別，也加強了學生對共線向量加法的理解.
當兩個向量共線時，
（1）如果其中有一個向量為零向量，不妨設，則，這與實數的加法類似；
（2）如果兩個向量均不為零，則它們可以看作在數軸上的兩個向量相加，其結果是一個向量，對應于數軸上的一條有向線段，而兩個數相加，其結果是一個數，對應于數軸上唯一的一個點.
容易看出，當向量共線時，以的終點作為的起點作出，就是連接的起點與的終點的向量（即首尾相接，再首尾相連），此時也符合向量加法的三角形法則.
教科書安排第9頁“探究”（2）的目的是幫助學生認識向量的三角不等式.在數的加法中，有，且當且僅當時等號成立.對于向量的加法來說，探討不等式是否還成立是十分必要的，這個三角不等式是歐氏空間中距離的一個重要性質.
學生借助例1及第9頁“探究”（1）的圖形直觀，不難得到下列結論.
①當不共線時，根據三角形兩邊的和大于第三邊，＜.
②如圖6-5，當方向相同時，＝.
如圖6-6，當方向相反時，＝-（或），其中當向量的長度大于向量的長度時，=-，當向量的長度大于向量的長度時，=-，
因而當共線時，.
由①②得，對于向量，.
教學中，可以借助信息技術來探究不等式，通過改變，的位置（共線、不共線和大小不同動態演示與的關系，從直觀上加強對兩個向量和的長度，與這兩個向量各自長度的和的關系的理解.
在第9頁“探究”（2）中，學生還可能發現一些類似的關系式.例如，當向量，不共線時，不等式-<成立等.由于本節課容量較大，有些相關問題課上可以讓學生發現和提出來，但不必作過多的討論，可以作為課后作業完成，或者等學習了向量的減法之后，再一并提出更多相關的問題加以討論.
4.向量加法的運算律
定義了一種運算，就要進一步認識它有怎樣的運算性質.定義了向量的加法后，一個自然的想法是要研究它有哪些運算規律.類比數的加法運算律，教科書提出探究向量的加法是否有交換律和結合律，這符合學生的認知基礎和探究欲望.在教學中，教師要善于引導學生從向量加法的定義與幾何意義出發，通過畫圖驗證向量加法的交換律和結合律.本探究要在學生獨立思考的基礎上，組織學生交流研討，分享探索運算律驗證思路的經驗，必要時用信息技術工具作圖，以幫助學生明確運算律的驗證思路，從而理解運算律.
需要說明的是，對于向量加法的結合律，教科書中給出的方法運用了向量加法的三角形法則，在實際教學過程中也可能有學生運用向量加法的平行四邊形法則，圖6-7中提供了一個驗證思路，供教師參考.教師還可以借助信息技術工具改變向量，，的位置，動態地幫助學生理解向量加法的結合律成立.
5.例2的教學
例2結合一個實際問題反映向量的加法在實際生活中的應用，這樣的問題在物理中已有涉及.這里的設計意圖是讓學生經歷將實際問題抽象為向量加法運算的過程，體會要解決的問題是向量的大小及方向（與某一方向的夾角的大小）.教學時，可以讓學生閱讀理解題意，分析解題思路，將實際問題用向量的圖形語言表征，從而與初中學習過的解直角三角形建立聯系.需要說明的是，雖然本章中最后一節安排了平面向量的應用，但在本節的教學中也要滲透相關的平面向量運算的簡單應用，目的是及時讓學生體會研究向量運算的意義，同時，培養學生運用所學知識解決問題的能力.
6.2.2向量的減法運算
1.類比數的減法運算定義向量的減法運算
對于向量的減法，可以直接從它是向量加法的逆運算的角度“直觀”地進行定義，也就是，如果x+=，那么x稱為與的差，記作-.這樣，在平面內任取一點O，作，，則就是-（圖6-8）.事實上，由向量加法的三角形法則易見，所以，-.
為了便于學生理解，類比數的減法可以看作“減去一個數等于加上這個數的相反數”，教科書先定義了相反向量，然后把-定義為+（-）.如圖6-9，在這種定義下，.而四邊形OCAB是平行四邊形，所以.由此可見，上述兩種定義向量減法的方式是等價的.
通常稱含有向量的等式為向量等式，在向量等式的兩邊都加上或減去一個相同的向量，等號仍成立，移項法則對向量等式也是適用的.對這些性質教科書未作專門介紹，實際上通過作圖很容易驗證，教學時，對這些內容可不作專門介紹，需要時能正確運用即可.
2.向量減法的幾何意義
對于向量減法的幾何意義，教科書設置了一個探究欄目.教學時，要引導學生動手操作，交流畫圖依據.先結合向量加法的平行四邊形法則，作出從同一點出發的兩個向量的差，進而得出-可以表示為從向量的終點指向向量的終點的向量.
3.例3、例4的教學
本小節中安排了兩個例題.例3是作出兩對向量的差向量.教學時，要引導學生結合向量減法的幾何意義，注意差向量的方向，它指向被減向量的終點.例4是借助向量的加、減運算的幾何意義來表示圖形中的其他向量，這是用向量解決幾何問題的基礎.教學中要注意這方面的訓練，特別要掌握本例中所求向量與已知向量的關系.
6.2.3向量的數乘運算
1.向量數乘運算的定義
為引入向量的數乘運算，教科書設置了探究欄目，引導學生作出幾個相同向量的和，得出和的長度與方向與原向量的長度與方向的關系.學生容易作出，也容易類比實數的累加將寫成3的形式，進而得出3的長度與方向與的長度與方向的關系.教學時，教師要重點關注學生對于（-）+（-）+（-）的大小和方向的理解，給學生充足的時間探究這個和的結果如何表示.教科書把（-）+（-）+（-）記作-3，可以類比式的運算（-a）+（-a）+（-a）= -3a 理解上述規定.教師引導學生結合圖6-10說明-3的方向與的方向相反，-3的長度是的長度的3倍.
一般地，向量數乘運算的結果是一個向量，它的長度與方向規定如下：
（1）；
（2）當>0時，的方向與的方向相同；當<0時，的方向與的方向相反.
當=0時，由（1）可知，，因而.
當=-1時，由（1）可知，.由（2）可知，（-1）的方向與的方向相反，因而（-1）=-.
由向量數乘運算的定義，學生對于零向量和相反向量會有一些新的認識，如零乘任何向量的結果為零向量，-1乘任何向量得到這個向量的相反向量.
教科書第14頁思考欄目設置的目的是鞏固向量數乘運算的定義.由向量數乘運算的定義得，向量的長度是向量的長度的3.5倍，向量的方向與向量的方向相同.
2.向量數乘運算的運算律
與學習向量的加法運算一樣，定義了向量數乘運算以后，考察它的運算律是一個自然的問題.教學時，要引導學生類比實數的乘法運算律，讓學生先猜想向量數乘有哪些運算律，并寫出來.學生可能寫不全，甚至寫出錯誤的結論，教師可以組織學生討論，引導學生一起進行驗證. 為了降低學生學習的難度，教科書沒有給出三個運算律的證明.對于基礎較好的學生，可以介紹證明方法，如運用相似三角形的判定與性質證明分配律.
向量運算律證明的依據是相等向量的定義，即要證明等式兩邊的向量長度相等，且方向相同.為了證明這些運算律在任何情況下都成立，還需對各種可能的情況進行討論，下面的證明供教師參考.
設為實數，，為向量，則
（1）； ①
（2）； ②
（3）； ③
證明：（1）當=0或=0或時，①式顯然成立.
當≠0，≠0且時，由向量數乘運算的定義，得
所以.
當同號時，①式兩邊向量的方向都與的方向相同；當異號時，①式兩邊向量的方向都與的方向相反.
因此，向量與有相等的長度和相同的方向，所以①式成立.
（2）當=0或=0或時，②式顯然成立.
當≠0，≠0且時，可分如下兩種情況：
當同號時，的方向與的方向相同，所以
即有.
由同號，知②式兩邊向量的方向或都與的方向相同，或都與的方向相反，即②式兩邊向量的方向相同.因此，與有相等的長度和相同的方向，所以②式成立.
如果異號，當時，②式兩邊向量的方向都與的方向相同；當時，②式兩邊向量的方向都與的方向相同.因此，與有相等的長度和相同的方向，所以②式成立.
（3）當，共線，或=0，=1時，③式顯然成立.
當，不共線，且λ≠0，λ≠1時，可分如下兩種情況：
當λ>0且λ≠1時，如圖6-11，在平面內任取一點，作.則，.
由作法知，有，，所以
，因此△AOB∽. 所以，因此在同一條直線上，與的方向也相同. 所以，所以.
當時，由圖6-12可類似證明. 所以③式也成立.
3.向量的加法、減法、數乘運算統稱為向量的線性運算.有了向量的線性運算，平面上的點（相對于一個定點）、線段（直線）就可以用向量表示，這就為向量法解決幾何問題奠定了基礎.線性運算的運算律包含了向量加法、向量數乘的運算律，教學時，要讓學生體會到這一點.
4.例5、例6的教學
例5要求學生運用向量數乘運算的運算律進行運算，掌握向量的線性運算.設置例6的目的，一方面是鞏固向量線性運算知識，另一方面是用向量表示幾何元素（點、線段等）.這是用向量方法證明幾何問題的重要步驟，解答該題時要用到平行四邊形的性質“平行四邊形的兩條對角線互相平分”.
5.向量共線定理
在學生對向量數乘運算已經有所了解的基礎上，教科書設置了探究欄目，目的是進一步認識向量數乘運算的結果與原向量之間的位置關系.教學時，教師要引導學生依據向量的數乘運算展開討論，發現并提出一些新問題，如對于向量，如果有一個實數λ，使，那么向量與共線嗎？為什么？反過來，已知向量，如果與向量共線，那么向量能用向量表示嗎？鼓勵學生嘗試用自己的語言表示共線向量定理，發展學生的思維能力，體會數學的研究思路.最后師生共同概括出向量共線定理：
向量與共線的充要條件是：存在唯一一個實數λ，使.
對于基礎較好的學生，教師可以引導學生用反證法證明定理中λ的值的唯一性：假設還存在另一個實數μ，使得，則，從而，由，得. 這與矛盾，所以.
教學時，要對向量共線定理中有關“充要條件”“存在”“唯一”等文字表述給予解釋，以幫助學生理解.同時，在教學中，教師還要揭示：數學中，人們總是追求用最少的量來表示一類問題.向量共線定理表明，對任意與非零向量共線的向量，都存在唯一一個實數λ，使.這實際上就是說，任何非零向量構成一維向量空間的一個基.這種研究方法具有普遍性，也為后繼學習平面向量基本定理奠定基礎.
6.例7、例8的教學
例7給出利用向量共線判定三點共線的方法，這是證明三點共線常用的方法.教學中可以先讓學生作圖，通過觀察圖形得到A，B，C三點共線的猜想，再將平面幾何中判斷三點共線的方法轉化為用向量共線證明三點共線.教學時，教師要啟發學生分析題意，厘清思路，鼓勵學生自行完成.另外，本題提供了一個很好的與信息技術整合的題材，教學中也可以通過信息技術工具作圖，進行動態演示，揭示，變化過程中，A，B，C三點始終在同一直線上的規律.
例8是向量共線的充要條件的一個應用，也體現向量線性運算與方程組的綜合應用.解題的關鍵是依據向量共線的充要條件，先列出向量的關系式，再轉化為解方程組求t.教學時，要引導學生進行解題后的反思，體會其中嚴密的邏輯推理過程，積累運用向量運算解決問題的經驗.
6.2.4向量的數量積
1.向量數量積的定義
為引入向量的數量積運算，教科書首先啟發學生思考：向量除了可以進行加、減運算以外，能否作乘法運算？如果能，運算如何規定？
教科書以物理中力做功為背景引入向量的數量積.一個物體在力的作用下產生位移（圖6-13），那么力所做的功其中θ是與的夾角.功W是一個數量，由向量，確定，其中涉及“長度”和“角”.因此，教科書先給出了向量的夾角的概念.教學時，注意讓學生討論兩個向量的夾角的取值范圍.受功由向量，確定的啟發，引進向量的數量積的定義.
向量的數量積是一種新的向量運算，與向量的加法、減法、數乘運算一樣，它也有明顯的物理意義、幾何意義，用途廣泛.但與向量的線性運算不同的是，它的運算結果不是向量而是數量，正是這個不同點溝通了向量運算與數量之間的關系.教學時，教師要強調：兩個非零向量的數量積是數量，而不是向量，它的值是兩個向量的長度與兩個向量夾角的余弦的乘積，其符號由夾角的余弦值決定；并且規定，零向量與任一非零向量的數量積為0.
2.例9、例10的教學
在例9中，給出的長度及與的夾角，就可以由向量數量積的定義求出.在例10中，給出的長度及與的數量積，由向量數量積的定義可以求出與b的夾角的余弦，進而求出與的夾角.
3.向量的投影
為了理解向量數量積的定義和幾何意義，研究向量數量積的運算律，教科書引入了向量投影及投影向量的概念.需要注意的是，向量在向量上的投影向量，不是線段的長度，它是與向量平行的向量.教學時，教師可以讓學生說出向量在向量上的投影向量是什么，并通過圖形加以直觀解釋.
教科書第18頁的探究欄目設置的目的，是想引導學生進一步探討向量在向量上的投影向量與e（與b方向相同的單位向量），，之間的關系（圖6-14），以加深對投影向量的理解，進而會求一個向量在另一個向量上的投影向量.
教學時，要讓學生體會分類討論、數形結合是研究投影向量等問題的重要數學思想.讓學生分向量的夾角θ為銳角、直角、鈍角以及θ=0，θ=π等情況進行討論，得出如下關系成立：.
在討論向量在向量上的投影向量與e（與b方向相同的單位向量），a，θ的之間的關系時，可以發現，如果兩個向量平行或垂直，向量a在向量b上的投影向量具有特殊性，由此需要討論此時向量a與向量b數量積有怎樣的特殊性.教學中，教師要讓學生嘗試發現相關的特殊結論，培養學生數形結合及一般到特殊的思維方法.這是教科書安排第19頁探究欄目的目的.
4.向量數量積的性質
向量的數量積的運算結果是實數，可以用它來更加簡潔地表述幾何中的許多結果.例如，
（1）（長度，由此可以導出兩點間的距離公式）；
（2）（直線垂直的條件）.
對于教科書中給出的平面向量數量積的四條性質，教師要強調各自的作用，如或是求向量的長度的工具，應用非常廣泛.向量的數量積與數a，b的乘積ab（或a·b）不同，所以書寫時一定要把它們嚴格區分開，以免影響后面的學習.另外，還應要求學生會證明這些性質，培養他們的推理能力.
向量的數量積是學生沒有遇到過的一種新的運算，與數的乘法有聯系，但也有很大的區別.教科書第19頁邊空中的問題，是讓學生思考向量運算與實數運算的一個不同之處.教學中，要讓學生先獨立思考，并從數量積的定義中想清楚：當時，由a·b=0，不能推出b一定是零向量.這是因為任一與a垂直的非零向量b，都滿足a·b=0.
5.向量數量積運算的運算律
與引進向量的線性運算時的做法一致，引進向量的數量積以后，考察這種運算的運算律是非常自然的.教科書通過 “探究”，讓學生類比數的乘法運算律探索向量數量積的運算律.教科書就分配律給出了詳細證明，向量投影在證明過程中起到了關鍵作用.教學中，應當先讓學生獨立完成三個運算律的證明，然后教師做適當點撥和評價.
關于運算的證明，關鍵是要引導學生得出向量在向量上的投影向量等于向量，在向量上的投影向量的和.為了說明這一點，如圖6-15（1）（2），關鍵在于證明，由圖容易得出，利用這一等式學生能方便地證明結論.在這個運算律的證明中難點是構造圖形，教師在教學中可以先讓學生動手畫草圖，再借助信息技術工具畫出不同情形的輔助圖形，幫助學生直觀認識投影向量間的關系.
6.教科書第21頁的思考欄目
對于向量的數量積運算，學生容易受實數乘法運算性質的“負遷移”的影響，可能出現一些錯誤，教師要盡可能地引導學生舉一些反例，糾正錯誤.為此，教科書安排了一個思考欄目，教學時要引導學生借助畫圖、舉反例來澄清認識，體會向量運算與實數運算的差異.下面的解釋供參考：
對于實數a，b，c有（a·b）c=a（b·c），但對于向量，未必成立.這是因為表示一個與共線的向量，而表示一個與共線的向量，而與不一定共線，所以未必成立.
學生對向量數量積的認識是逐步加深的，必要時，教師可以提醒學生畫圖或列表對比實數的乘法與向量的數量積運算的不同之處，或者再舉一些反例強化學生的認識.例如，已知實數a，b，c（b≠0），則.但對向量的數量積，該推理不正確，即由，不一定能推出.由圖6-16很容易看出，雖然，但.
7.例11、例12和例13的教學
為了鞏固對向量數量積的定義及其運算律的理解，教科書設置了例11，例12和例13.在例11中，應用向量數量積的分配律推導出了和，這些結論與實數中的結論類似.例12是向量數量積及其運算律的綜合應用，正確利用向量數量積的運算律是解題的關鍵.解答例13的關鍵是用向量的數量積表示向量與互相垂直，進而利用向量數量積的運算律進行化簡，得到一個關于k的方程.
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