資源簡(jiǎn)介

《平面向量基本定理》知識(shí)解讀
1.定理
如果是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)，使.我們把叫作表示這一平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底.
2.定理的證明
平面向量基本定理包括兩個(gè)方面的內(nèi)容，一是存在性，即存在實(shí)數(shù)，使.
如圖，對(duì)于向量a和一個(gè)基底.首先將a，都平移到同一個(gè)起點(diǎn)O，且令，然后過(guò)點(diǎn)C分別作與所在直線的平行線，交，所在直線于M，N兩點(diǎn)，如圖，則有，，所以.
二是唯一性，即對(duì)任一向量a，存在唯一實(shí)數(shù)對(duì)，使.
事實(shí)上，若存在，且，，則，即.
因?yàn)榕c不共線，所以.
所以.
3.平面向量基本定理的應(yīng)用
平面向量基本定理是向量運(yùn)算代數(shù)化的基礎(chǔ)，要理解其實(shí)質(zhì)，對(duì)于基底的選取是任意的，只要是不共線的兩個(gè)向量都可以作為一組基底，因此常用基底表示向量，用來(lái)證明平面幾何中的線線平行、重合、相交，線段相等等問(wèn)題.
1 / 1
N
a
a
B
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OeA
M《平面向量基本定理及坐標(biāo)表示》能力探究
分析計(jì)算能力、觀察記憶能力 平面向量基本定理的應(yīng)用一待定系數(shù)法
1.用基底表示其他向量,主要是平面向量基本定理的應(yīng)用,其操作步驟如下:
(1)觀察待求向量所在的三角形或平行四邊形,利用三角形法則或平行四邊形法則先將待求向量表示成兩個(gè)向量（或多個(gè)）相關(guān)向量的和或差.
(2)再把向量分別進(jìn)行分解,直到用基底表示出向量.
(3)將代入第(1)步中的式子,從而完成了用基底表示其他向量.
2.待定系數(shù)法是利用平面向量基本定理進(jìn)行向量分解的唯一性的應(yīng)用,主要是根據(jù)題設(shè)條件,結(jié)合向量共線定理、向量的加減法及幾何意義將同一向量利用相同的基底表示成兩種不同的表達(dá)形式,即(不共線),再根據(jù)平面向量基本定理得出來(lái)求解.
典例1 [數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象]如圖,在中,,點(diǎn)是上的一點(diǎn),若,則實(shí)數(shù)的值為( )
A.1
B.
C.
D.3
解析:根據(jù)平面向量基本定理用基底表示向量進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算.根據(jù)題意,設(shè),將向量表示成,的一個(gè)線性組合,再結(jié)合題中向量的等式,建立關(guān)于,的方程組,解之即可得到實(shí)數(shù)的值.
設(shè),則,即
因?yàn)?故.
答案:C
簡(jiǎn)單問(wèn)題解決能力 共線問(wèn)題的證明與運(yùn)用
1.利用平面向量基本定理解決三點(diǎn)共線問(wèn)題
(1)若三點(diǎn)共線,則與共線,由向量共線的條件知存在實(shí)數(shù)使,即),所以.
(2)一個(gè)重要結(jié)論:坐標(biāo)平面內(nèi)的三點(diǎn)共線的充要條件是存在三個(gè)均不為零的實(shí)數(shù),使,且,反之亦成立.
2.利用平面向量共線的坐標(biāo)表示解決三點(diǎn)共線問(wèn)題
設(shè)要證三點(diǎn)共線只需證,因?yàn)?br/>,,所以只需證
.
(1)向量共線的充要條件中要注意當(dāng)兩向量共線時(shí),通常只有非零向量才能表示與其共線的其他向量,要注意待定系數(shù)法的運(yùn)用和方程思想.
(2)證明三點(diǎn)共線問(wèn)題,可用向量共線來(lái)解決,但應(yīng)注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系,當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí),才能得出三點(diǎn)共線.
典例2 [數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理](2020·豫南九校第三次聯(lián)考)如圖所示,在中,點(diǎn)是的中點(diǎn),且,與相交于點(diǎn),設(shè),則( )
A.
B.
C.
D.
解析:本題考查向量共線定理和平面向量基本定理,結(jié)合向量的線性表示逐步推理得到答案.
由題意得.
已知三點(diǎn)共線,設(shè)存在實(shí)數(shù),滿足.已知三點(diǎn)共線,設(shè)存在實(shí)數(shù),滿足
所以
由為基底,得解得.
所以.
答案:A
簡(jiǎn)單問(wèn)題解決能力 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算及其應(yīng)用
1.通過(guò)建立平面直角坐標(biāo)系,可以將平面內(nèi)的任一向量用一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)來(lái)表示;反過(guò)來(lái),任一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)都表示一個(gè)向量.因此向量的坐標(biāo)表示實(shí)質(zhì)上是向量的代數(shù)表示,引入向量的坐標(biāo)表示后可使向量運(yùn)算代數(shù)化,將數(shù)和形結(jié)合起來(lái),從而將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題來(lái)解決.
2.由于平行四邊形的兩組對(duì)邊互相平行,也就是說(shuō)平行四邊形一組對(duì)邊構(gòu)成的兩個(gè)向量共線.如果將平行四邊形置于平面直角坐標(biāo)系中,那么就可運(yùn)用共線向量坐標(biāo)的條件,從而可解決相關(guān)問(wèn)題.
3.向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用加減、數(shù)乘運(yùn)算法則進(jìn)行的.若已知有向線段兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo),則應(yīng)先求出向量的坐標(biāo),再進(jìn)行坐標(biāo)運(yùn)算,解題過(guò)程中要注意方程思想的運(yùn)用及運(yùn)算法則的正確使用.
4.充分利用向量相等的條件建立方程或方程組求待定參數(shù)求一個(gè)向量的坐標(biāo),需求出向量的起點(diǎn)與終點(diǎn)的坐標(biāo).
典例3 [數(shù)學(xué)運(yùn)算]已知為正六邊形的兩條對(duì)角線,點(diǎn)分別在線段上,且使得如果三點(diǎn)共線,則的值為( )
A.
B.3
C.
D.
解析:本題考查向量共線定理,利用向量的坐標(biāo)表示,建立坐標(biāo)系得到各點(diǎn)坐標(biāo),將三點(diǎn)共線問(wèn)題轉(zhuǎn)化為再進(jìn)行向量坐標(biāo)運(yùn)算,從而解決問(wèn)題.
由題意,建立如圖所示的直角坐標(biāo)系,設(shè)正六邊形的邊長(zhǎng)為2,則,則.
因?yàn)?則,
所以
因?yàn)槿c(diǎn)共線,所以,即,所以
解得.
答案:C
4
分析計(jì)算能力、推測(cè)解釋能力 利用平面向量共線的坐標(biāo)表示求交點(diǎn)問(wèn)題
1.平面圖形有交點(diǎn),一定存在三點(diǎn)共線,從向量的角度上看就有兩個(gè)向量共線,再由向量共線定理可得出向量坐標(biāo)的方程(組),從而求出交點(diǎn)坐標(biāo).
2.利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求線段交點(diǎn)坐標(biāo)的一般方法
(1)設(shè)線段交于點(diǎn),并以為對(duì)角線作四邊形.
(2)在四邊形中尋找向量間的相等或共線關(guān)系.
(3)利用向量的坐標(biāo)表示這些關(guān)系,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程(組)問(wèn)題.
(4)解這個(gè)方程(組),可得到問(wèn)題的答案.
3.向量共線問(wèn)題常涉及的兩個(gè)方面
(1)已知兩個(gè)向量的坐標(biāo)或四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo),判定三點(diǎn)(或兩個(gè)向量)是否共線.
(2)已知向量共線求參數(shù),解題時(shí)要注意方程思想的運(yùn)用,向量共線、向量相等都可以作為列方程的依據(jù).證明或判斷三點(diǎn)共線、兩直線平行時(shí)要注意聯(lián)系平面幾何的相關(guān)知識(shí),由兩向量共起點(diǎn)或共終點(diǎn)確定三點(diǎn)共線,由兩向量無(wú)公共點(diǎn)確定兩直線平行.
典例4 [邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算]已知直角梯形中,,過(guò)點(diǎn)作,垂足為為的中點(diǎn),用向量的方法證明:
(1);
(2)三點(diǎn)共線.
解析:本題為了讓盡可能多的點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上,所以如圖建立坐標(biāo)系,保證盡可能多的線與坐標(biāo)軸平行,根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示作為解題依據(jù)即可解決問(wèn)題.
證明:如圖,以為原點(diǎn),所在直線為軸,所在直線為軸,建立平面直角坐標(biāo)系,令則.因?yàn)橐字倪呅螢檎叫?所以可求得各點(diǎn)坐標(biāo)分別為,.
(1)因?yàn)樗?所以.又與無(wú)公共點(diǎn),所以
(2)如圖,連接因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn),所以
所以
所以所以又與有公共點(diǎn)所以三點(diǎn)共線.
分析計(jì)算能力、說(shuō)明論證能力 向量夾角與向量垂直問(wèn)題
1.求兩個(gè)向量的夾角一般有兩種方法:
(1)直接運(yùn)用公式求解(為向量與向量的夾角).
(2)坐標(biāo)法:設(shè)為向量與的夾角,則.這兩方法需計(jì)算出這兩個(gè)向量的數(shù)量積以及這兩個(gè)向量的模.
2.(1)利用坐標(biāo)運(yùn)算證明兩個(gè)向量的垂直問(wèn)題,首先根據(jù)共線、夾角等條件計(jì)算出這兩個(gè)向量的坐標(biāo),然后根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式,計(jì)算出這兩個(gè)向量的數(shù)量積為0即可.
(2)已知兩個(gè)向量的垂直關(guān)系,求解相關(guān)參數(shù)的值,首先根據(jù)兩個(gè)向量垂直的充要條件,列出相應(yīng)的關(guān)系式,然后求解參數(shù)即可.
典例5 [數(shù)學(xué)運(yùn)筫](1)若向量則與的夾角等于( )
A.
B.
C.
D.
(2)設(shè)向量,若,則實(shí)數(shù)的值等于( )
A.
B.
C.
D.
解析:本題考查利用向量的坐標(biāo)求向量夾角,利用向量垂直充要條件的坐標(biāo)表示求值并進(jìn)行具體分析計(jì)算.
(1),設(shè)所求夾角為,則.因?yàn)?,所以.
(2)由,得.又由,得,解得.
答案:(1)C (2)C
綜合問(wèn)題解決能力 平面向量基本定理及坐標(biāo)表示的綜合應(yīng)用
1.利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決幾何問(wèn)題
(1)向量坐標(biāo)的線性運(yùn)算、向量共線的坐標(biāo)表示為解決平面幾何問(wèn)題提供了新的工具,將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化成向量問(wèn)題后,原問(wèn)題就變成了代數(shù)運(yùn)算的問(wèn)題,使抽象的問(wèn)題變得具體.
(2)向量共線在幾何中的應(yīng)用可分為兩個(gè)方面:
①已知兩向量共線,求點(diǎn)或向量的坐標(biāo).
②證明或判定三點(diǎn)共線、兩直線平行.
2.向量定比分點(diǎn)的坐標(biāo)表示問(wèn)題
若點(diǎn)滿足,設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),如圖所示,則,即所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.
3.有關(guān)向量坐標(biāo)的信息題
對(duì)于信息題的處理應(yīng)注意以下兩點(diǎn):
(1)要注意概念的內(nèi)涵與外延,認(rèn)真領(lǐng)會(huì)題中所給信息.
(2)注意題中的條件與結(jié)論,將所得到的信息應(yīng)用到題目中去,即解決實(shí)際問(wèn)題.
4.與向量坐標(biāo)運(yùn)算有關(guān)的探究問(wèn)題
求解此類問(wèn)題常借助坐標(biāo)運(yùn)算并假設(shè)“能”,進(jìn)而求解.有解則存在,無(wú)解則不存在.
典例6 [數(shù)學(xué)運(yùn)算]已知:
(1)求證:;
(2)若與的長(zhǎng)度相等(其中為非零實(shí)數(shù)),求的值.
解析:本題以三角函數(shù)為背景,利用向量坐標(biāo)解決三角函數(shù)綜合問(wèn)題.解決(1)利用向量垂直坐標(biāo)形式的充要條件證明;(2)利用長(zhǎng)度公式,得出的三角函數(shù)值.
(1)證法一:因?yàn)?br/>所以
又
所以
證法二:因?yàn)?br/>所以
所以
所以所以
(2)解:因?yàn)?br/>所以
注:同理可求又因?yàn)樗运?br/>因?yàn)樗杂忠驗(yàn)樗?br/>1 / 9《平面向量基本定理及坐標(biāo)表示》學(xué)科素養(yǎng)
師：平面向量基本定理的實(shí)質(zhì)是將已知向量向兩個(gè)基向量方向上的線性分解,它是正交分解和坐標(biāo)表示的基礎(chǔ),并且為“數(shù)”和“形”搭起了橋梁,在向量知識(shí)體系中處于核心地位；但是,如何分解及分解后的系數(shù)的取值范圍如何確定仍是教學(xué)中的難點(diǎn),也是近幾年高考的熱點(diǎn).下面我們針對(duì)平面向量基本定理中系數(shù)取值范圍進(jìn)行探究.
【多媒體展示】
利用平面向量基本定理解決實(shí)數(shù)取值范圍
例如圖,,以為鄰邊作一平行四邊形,將的邊所在直線畫(huà)出,將平面分成9個(gè)部分,對(duì)于平面上任一向量,由平面向量基本定理可得:存在唯一有序?qū)崝?shù)對(duì),使得
對(duì)點(diǎn)的位置與的取值進(jìn)行討論.
師：我們已經(jīng)知道,當(dāng),,三點(diǎn)共線時(shí),,那么當(dāng)點(diǎn)在平面內(nèi)任意一個(gè)位置,能得出,的什么樣范圍呢？.
【教師引導(dǎo)后,學(xué)生獨(dú)立思考,分組討論,按圖中的點(diǎn)、線及序號(hào)所標(biāo)記區(qū)域進(jìn)行探究,分小組進(jìn)行匯報(bào)探究結(jié)果,師生共同總結(jié)結(jié)論,教師展示多媒體】
【多媒體展示】
利用平面向量基本定理解決實(shí)數(shù)取值范圍
解:需要分12種情況進(jìn)行討論:
(1)若點(diǎn)與重合,則;
(2)若點(diǎn)與點(diǎn)重合,則;
(3)若點(diǎn)與點(diǎn)重合,則;
(4)若點(diǎn)與點(diǎn)重合,則;
(5)若點(diǎn)在直線上,則;
(6)若點(diǎn)在直線上,則;
(7)若點(diǎn)在直線上,則;
(8)若點(diǎn)在直線上,則;
(9)若點(diǎn)在直線上,則;
(10)若點(diǎn)在直線上,則;
(11)若點(diǎn)在①②③區(qū)域內(nèi),有若點(diǎn)在④⑤⑥)域上,有;若點(diǎn)在⑦⑧⑨域上,有;
(12)若點(diǎn)在③⑥⑨區(qū)域上,有;若點(diǎn)在②⑤⑧區(qū)域上,有;若點(diǎn)在①④⑦區(qū)域內(nèi),有.
師：平面向量基本定理實(shí)現(xiàn)了坐標(biāo)化處理幾何問(wèn)題,使得幾何問(wèn)題算法化.向量的坐標(biāo)法,為幾何問(wèn)題代數(shù)化、代數(shù)問(wèn)題直觀化提供了強(qiáng)有力的工具,同學(xué)們?cè)诮窈蠼鉀Q幾何問(wèn)題時(shí)要注意運(yùn)用,以便簡(jiǎn)化解題過(guò)程.
【設(shè)計(jì)意圖】
本內(nèi)容是在以平面向量基本定理為載體研究幾何問(wèn)題,讓學(xué)生自主探索,自主發(fā)現(xiàn)平行四邊形的不同區(qū)域內(nèi)影響實(shí)數(shù)的取值的不同,讓學(xué)生經(jīng)歷不斷完善思維的過(guò)程中,體會(huì)探究的樂(lè)趣,獲得認(rèn)識(shí)和研究數(shù)學(xué)新對(duì)象的基本思路和方法,進(jìn)而提升提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.
1 / 2《平面向量基本定理及坐標(biāo)表示》知識(shí)探究
探究點(diǎn)1 平面向量基本定理
平面向量基本定理:如果是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量,那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)使.我們把不共線向量叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底.
【要點(diǎn)辨析】
1.對(duì)基底的理解
(1)基底的特征
①基底是兩個(gè)不共線向量;②基底的選擇是不唯一的.平面內(nèi)兩個(gè)向量不共線是這兩個(gè)向量可以作為這個(gè)平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底的條件.
(2)零向量與任意向量共線,故不能作為基底中的向量.
(3)將兩個(gè)不共線的向量作為基底表示其他向量,基本方法有兩種:一種是運(yùn)用向量的線性運(yùn)算對(duì)待求向量不斷地進(jìn)行轉(zhuǎn)化,直至可以用基底表示為止;另一種是通過(guò)列向量方程或方程組,利用基底表示向量的唯一性求解.
2.準(zhǔn)確理解平面向量基本定理
(1)平面向量基本定理的實(shí)質(zhì)是向量的分解,即平面內(nèi)任一向量都可以沿兩個(gè)不共線的方向分解成兩個(gè)向量和的形式,且分解是唯一的.
(2)平面向量基本定理體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想,用向量解決幾何問(wèn)題時(shí),我們可以選擇適當(dāng)?shù)幕?將問(wèn)題中涉及的向量向基底化歸,使問(wèn)題得以解決.
學(xué)科素養(yǎng):熟練利用平面向量基本定理表示向量和求值,體現(xiàn)數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理核心素養(yǎng)
典例1 [說(shuō)明論證能力、分析計(jì)算能力]設(shè)是不共線的非零向量,且.
(1)求證:可以作為一組基底;
(2)用表示向量;
(3)若,求的值.
思路:將兩個(gè)不共線的向量作為基底表示其他向量,基本方法有兩種:一種是運(yùn)用向量的線性運(yùn)算對(duì)待求向量不斷地進(jìn)行轉(zhuǎn)化,直至可以用基底表示為止;另一種是通過(guò)列向量方程或方程組,利用基底表示向量的唯一性求解.本題利用第二種方法進(jìn)行說(shuō)明論證、分析計(jì)算解決問(wèn)題.
解析:(1)證明:假設(shè)共線,則且,
即,
得.因?yàn)椴还簿€,
所以解得,與假設(shè)矛盾,故不共線,則可以作為一組基底.
(2)解:設(shè),則
得,
得解得,所以.
(3)解:由
,得
解得,故
探究點(diǎn)2 利用平面向量基本定理求參數(shù)的值或取值范圍
1.利用平面向量基本定理求參數(shù)值的基本思路是利用定理的唯一性對(duì)某一向量用基底表示兩次,然后利用系數(shù)相等列方程(組)求解,即對(duì)于基底數(shù)相等列方程(組)求解,即對(duì)于基底,若且,則有
2.充分利用平面幾何知識(shí)對(duì)圖中的有關(guān)點(diǎn)進(jìn)行精確定位,往往可使問(wèn)題更便于解決.
3.平面向量基本定理是向量坐標(biāo)的理論基礎(chǔ),通過(guò)建立平面直角坐標(biāo)系,將點(diǎn)用坐標(biāo)表示,利用坐標(biāo)相等列方程,尋找變量的等量關(guān)系,進(jìn)而表示目標(biāo)函數(shù),轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題.
【要點(diǎn)辨析】
1.向量的坐標(biāo)運(yùn)算將向量與代數(shù)有機(jī)結(jié)合起來(lái),這就為向量和函數(shù)、方程、不等式的結(jié)合提供了前提,運(yùn)用向量的有關(guān)知識(shí)可以解決某些函數(shù)、方程、不等式問(wèn)題.
2.以向量為載體求相關(guān)變量的取值范圍,是向量與函數(shù)、不等式、三角函數(shù)等相結(jié)合的一類綜合問(wèn)題通過(guò)向量的坐標(biāo)運(yùn)算,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解不等式或求函數(shù)值域,是解決這類問(wèn)題的一般方法.
3.向量的兩個(gè)作用
(1)載體作用:關(guān)鍵是利用向量的意義、作用脫去“向量外衣”,轉(zhuǎn)化為我們熟悉的數(shù)學(xué)問(wèn)題.
(2)工具作用:利用向量可解決一些垂直、平行、夾角與距離問(wèn)題.
學(xué)科素養(yǎng):熟練利用平面向量基本定理求值或取值范圍,體現(xiàn)邏輯推理核心素養(yǎng)
典例2 [簡(jiǎn)單問(wèn)題解決能力]如圖(1),,點(diǎn)在由射線、線段及的延長(zhǎng)線圍成的區(qū)域內(nèi)(不含邊界)運(yùn)動(dòng),且,則的取值范圍是________.
當(dāng)時(shí),的取值范圍是__________.
解析:先思考的含義,事實(shí)上,如圖(2),由向量加法的平行四邊形法則可知,為平行四邊形的對(duì)角線,且該平行四邊形是以的反向延長(zhǎng)線上的線段和上的線段為兩鄰邊,所以的取值范圍是.
當(dāng),即時(shí),延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn),則點(diǎn)應(yīng)落在線段不包括點(diǎn))上,其中,所以的取值范圍是.
答案:
探究點(diǎn)3 利用平面向量基本定理求解平面幾何問(wèn)題
1.建立平面幾何與向量的聯(lián)系,用向量表示問(wèn)題中涉及的幾何元素,將平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題.
2.通過(guò)向量運(yùn)算,研究幾何元素的關(guān)系.
3.把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系,這三步曲給出了利用向量的代數(shù)運(yùn)算研究幾何問(wèn)題的基本思想.在解決平面幾何問(wèn)題時(shí),將平面問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題是關(guān)鍵.對(duì)具體問(wèn)題是選擇向量法還是向量的坐標(biāo)法是難點(diǎn).
【要點(diǎn)辨析】
用向量法解幾何問(wèn)題的一般思路:
用向量法解決幾何問(wèn)題時(shí),可以選擇適當(dāng)?shù)幕?將問(wèn)題中涉及的向量用基底表示,把幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題,通過(guò)向量運(yùn)算,再將向量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題,即:幾何→向量→幾何,其中平面向量基本定理是基礎(chǔ).
學(xué)科素養(yǎng):熟練利用平面向量基本定理求解平面幾何問(wèn)題,體現(xiàn)數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象的核心素養(yǎng)
典例3 [綜合問(wèn)題的解決能力]如圖,在中,是的中點(diǎn),點(diǎn)在上,且與相交于點(diǎn),求與.
解析:設(shè),則
根據(jù)和分別共線,推測(cè)存在實(shí)數(shù)使得根據(jù),計(jì)算即可.
解:設(shè)則和分別共線,存在實(shí)數(shù)使得.
故
而由平面向量基本定理,得
解得故.
探究點(diǎn)4 平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示
1.正交分解
把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量,叫做把向量作正交分解.
2.坐標(biāo)表示
在直角坐標(biāo)系內(nèi),我們分別取與軸、軸方向相同的兩個(gè)單位向量作為基底.任作一個(gè)向量,由平面向量基本定理可知,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù),使得.我們把叫做向量的(直角)坐標(biāo),記作.①
其中,叫做在軸上的坐標(biāo),叫做在軸上的坐標(biāo),①式叫做向量的坐標(biāo)表示.與相等的向量的坐標(biāo)也為.
特別地,.
【要點(diǎn)辨析】
平面向量坐標(biāo)表示的幾個(gè)注意點(diǎn):
(1)是根據(jù)平面向量基本定理得出來(lái)的,因此的值是唯一確定的.
(2)向量的坐標(biāo)表示是繼向量的幾何表示、字母表示后的又一表示方法,向量的坐標(biāo)表示實(shí)際上是向量的代數(shù)表示.
(3)注意書(shū)寫(xiě)格式,在向量的坐標(biāo)表示中含有等號(hào),即不能寫(xiě)成.
(4)幾個(gè)特殊向量的坐標(biāo): .
(5)由向量的坐標(biāo)定義知,兩個(gè)向量相等等價(jià)于它們的坐標(biāo)相等,即且,其中.
學(xué)科素養(yǎng):熟練利用平面向量的基本定理求解平面幾何問(wèn)題,體現(xiàn)數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理核心素養(yǎng)
典例4 [分析計(jì)算能力、推測(cè)解譯能力]如圖,在直角坐標(biāo)系中,四邊形為平行四邊形.
(1)求向量的坐標(biāo);
(2)求向量的坐標(biāo).
解析:本題以幾何圖形為背景,考查平面向量的正交分解與坐標(biāo)表示.(1)作軸于,分析條件,可計(jì)算的值,從而可求,通過(guò),可求點(diǎn),根據(jù),可得.(2)由(1)可知的坐標(biāo),易求的坐標(biāo).
解:(1)作軸于點(diǎn),
則.
∴,故.
∵,
∴.又,
∴,
即.
.
探究點(diǎn)5 平面向量加、減運(yùn)算的坐標(biāo)表示
1.若,則.
兩個(gè)向量和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差.
2.若,則.
一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去始點(diǎn)坐標(biāo)
【要點(diǎn)辨析】
1.點(diǎn)的坐標(biāo)與向量的坐標(biāo)相關(guān)注意點(diǎn)
(1)點(diǎn)的坐標(biāo)與向量的坐標(biāo)的區(qū)別與聯(lián)系:點(diǎn)的坐標(biāo)反映的是點(diǎn)的位置,而向量的坐標(biāo)反映的是向量的大小和方向,其僅僅由大小和方向決定,與位置無(wú)關(guān),只有起點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí),向量的坐標(biāo)與終點(diǎn)的坐標(biāo)才相等.
(2)在平面直角坐標(biāo)系下有雙重意義,它既可以表示一個(gè)固定的點(diǎn),又可以表示一個(gè)向量,為加以區(qū)分,常說(shuō)點(diǎn)或向量.
2.由點(diǎn)的坐標(biāo)求向量的注意點(diǎn)
(1)向量的坐標(biāo)只與起點(diǎn)、終點(diǎn)的相對(duì)位置有關(guān),而與它們的具體位置無(wú)關(guān).
(2)當(dāng)向量確定以后,向量的坐標(biāo)就是唯一確定的,因此向量在平移前后,其坐標(biāo)不變.
(3)在求一個(gè)向量的坐標(biāo)時(shí),可以先求出這個(gè)向量的起點(diǎn)坐標(biāo)和終點(diǎn)坐標(biāo),再用終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)即可得到該向量的坐標(biāo).
(4)求一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí),可以轉(zhuǎn)化為求該點(diǎn)相對(duì)于坐標(biāo)原點(diǎn)的位置向量的坐標(biāo).
學(xué)科素養(yǎng): 熟練利用平面向量的加、減運(yùn)算的坐標(biāo)表示求向量的坐標(biāo),體現(xiàn)數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)典例5 [分析計(jì)等能力](1)在平行四邊形中,,為對(duì)角線,若,則( )
A.
B.
C.
D.
(2)已知,若,則( )
A.
B.
C.
D.
答案:(1)D (2)D
解析:(1),
.
(2)由題意得,
∴,
∴
∴
思路:本題考查向量加法、減法的坐標(biāo)運(yùn)算,掌握向量的坐標(biāo)運(yùn)算的方法是分析計(jì)算本題的關(guān)鍵.
探究點(diǎn)6 平面向量數(shù)乘運(yùn)算的坐標(biāo)表示
,即.這就是說(shuō),實(shí)數(shù)與向量的數(shù)量積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來(lái)向量的相應(yīng)坐標(biāo).
【要點(diǎn)辨析】
兩向量共線的幾種不同的表示方法:
已知,且.
(1).這是幾何運(yùn)算,體現(xiàn)了向量與向量的長(zhǎng)度及方向之間的關(guān)系.
(2).
這是代數(shù)運(yùn)算,用它解決平面向量共線問(wèn)題的優(yōu)點(diǎn)在于不需要引入?yún)?shù)“”,從而減少了未知數(shù)的個(gè)數(shù),而且使問(wèn)題的解決具有代數(shù)化的特點(diǎn)、程序化的特征.
(3)當(dāng)時(shí),即兩個(gè)向量的相應(yīng)坐標(biāo)成比例.
這種形式不易出現(xiàn)搭配錯(cuò)誤.
(4)公式?jīng)]有的限制,便于應(yīng)用;公式必有的限制,但便于記憶,所以我們可以記比例式,但在解題時(shí)改寫(xiě)成乘積的形式.
學(xué)科素養(yǎng):熟練利用平面向量的數(shù)乘運(yùn)算的坐標(biāo)表示求值,體現(xiàn)邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)
典例6 [分析計(jì)算能力、推測(cè)解釋能力]已知兩個(gè)向量,當(dāng)實(shí)數(shù)取何值時(shí),向量與平行
思路:本題通過(guò)利用向量共線的充要條件、向量共線的坐標(biāo)表示,推測(cè)解釋、計(jì)算結(jié)果.
解析:解法一:當(dāng)與平行時(shí),必存在唯一的實(shí)數(shù),使,
即即又因?yàn)橄蛄坎黄叫杏谙蛄?所以要使成立,則解得所以當(dāng)時(shí),與平行.
解法二:因?yàn)樗砸古c平行,則解得
探究點(diǎn)7 平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示
已知兩個(gè)非零向量
【要點(diǎn)辨析】
1.平面向量數(shù)量積的定義及其坐標(biāo)表示,為我們提供了數(shù)量積運(yùn)算的兩種不同的途徑.準(zhǔn)確地把握這兩種途徑,根據(jù)不同的條件選擇不同的途徑,可以優(yōu)化解題過(guò)程.同時(shí),平面向量數(shù)量積的兩種形式溝通了“數(shù)”與“形”轉(zhuǎn)化的橋梁,成為解決距離、角度、垂直等有關(guān)問(wèn)題的有力工具.
2.事實(shí)上應(yīng)用平面向量的數(shù)量積公式解答某些平面向量問(wèn)題時(shí),向量夾角問(wèn)題常隱藏了許多陷阱與誤區(qū),常常會(huì)出現(xiàn)因模糊“兩向量的夾角的概念”和忽視“兩向量夾角的范圍”而導(dǎo)致出錯(cuò)的情況,稍不注意就會(huì)帶來(lái)失誤與錯(cuò)誤,需要格外注意.
學(xué)科素養(yǎng):熟練利用平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算表示求值，體現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)
典例7 [分析計(jì)算能力、概括理解能力]設(shè)向量,如果向量與平行,那么與的數(shù)量積等于
A.
B.
C.
D.
解析:本題通過(guò)兩向量的平行,根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示,分析計(jì)算向量數(shù)量積.
,
由題意與平行,
得,
解得,所以,
所以.
答案:D
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