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圓錐曲線的幾何性質
一、橢圓的幾何性質（以+=1（a﹥b﹥0）為例）
1、⊿ABF2的周長為4a(定值)
證明：由橢圓的定義
即
2、焦點⊿PF1F2中：
（1）S⊿PF1F2=
（2）（S⊿PF1F2）max= bc
（3）當P在短軸上時，∠F1PF2最大
證明：（1）在中
∵
∴
∴
∴
（2）（S⊿PF1F2）max =
（3
當=0時 有最小值 即∠F1PF2最大
3、 過點F1作⊿PF1F2的∠P的外角平分線的垂線，垂足為M ，則M 的軌跡是x2+y2=a2
證明：延長交于，連接
由已知有 為中點
∴ ==
所以M的軌跡方程為 。
4、以橢圓的任意焦半徑為直徑的圓，都與圓x2+y2=a2內切
證明：取的中點，連接。令圓的直徑，半徑為
∵ =
∴ 圓與圓內切
∴ 以橢圓的任意焦半徑為直徑的圓，都與圓x2+y2=a2內切。
5、任一焦點⊿PF1F2的內切圓圓心為I，連結PI延長交長軸于R，
則 ∣IR∣：∣IP∣=e
證明：證明：連接由三角形內角角平分線性質有
∵
∴
6、以任一焦點弦為直徑的圓與相應準線相離。
證明：令到準線的距離為
以為直徑的圓的圓心為到準線的距離為。
∵
∵
∵ ，∴，∴以任一焦點弦為直徑的圓與相應準線相離
7、A為橢圓內一定點，P在橢圓上，則：
（∣PA∣+∣PF2∣）max =2a+∣AF1∣
（∣PA∣+∣PF2∣）min =2a-∣AF1∣
證明：連接
∵
∵
∴
∴ （∣PA∣+∣PF2∣）max =2a+∣AF1∣
（∣PA∣+∣PF2∣）min =2a-∣AF1∣
8、A 為橢圓內一定點，P是橢圓上的動點，則
（∣PA∣+）min = A到右準線的距離
證明：設到右準線的距離d,由橢圓的第二定義有
∴（∣PA∣+）min = = A到右準線的距離.
9、焦點⊿PF1F2的旁心在直線 x=±a 上。
證明：令☉I與⊿PF1F2三邊所在的直線相切于M、N、A
∵ ，
∴
∵ ，∴ ，∵
∴ ，∵ ，∴
∴ 即為橢圓頂點。∴ 焦點⊿PF1F2的旁心在直線x=±a上。
10、P是橢圓上任意一點，PF2的延長線交右準線于E，K是準線
上另一任意點，連結PK交橢圓于Q，則KF2平分∠EF2Q
證明：令P,Q到準線的距離為
由三角形外角平分線性質定理有KF2平分∠EF2Q
11、
證明：令
當的斜率存在時，設直線方程為
∵
∴
∴
=
當的斜率存在時，，∴。
12、AB是橢圓的任意一弦，P是AB中點，
則（定值）
證明：令 ，
則
∵ ，
∵ ，，∴ ，∴ 。
13、橢圓的短軸端點為B1、B2，P是橢圓上任一點，連結B1P、B2P分別
交長軸于N、M兩點，則有∣OM∣*∣ON∣=a2
證明：
∴
∵ 由于、、共線
∴
∵ 由于、、N共線，
∴ ，∴
∵ ，∴ 。
14、橢圓的長軸端點為A1、A 2，P是橢圓上任一點，
連結A1P、A2P并延長，交一準線于N、M兩點，
則M、N與對應準線的焦點張角為900
證明：令，，
∴
∵ 由于、、共線 ，∴
∵ 由于共線 ，∴
∴ ，∵
∴ ，∵
∴ ，∴ M、N與對應準線的焦點張角為900
15、過橢圓準線上任一點作橢圓和切線，切點弦AB過
該準線對應的焦點。
證明：設，則的方程為
即 必過點
16、橢圓的光學性質：過一焦點的光線經橢圓反射后必過另一焦點。
證明：設，則過點的切線：，直線的法線交軸于
直線的法向量為：
∵
∴
同理 ，∵
同理，
∴ ，
∴ ，即過一焦點的光線經橢圓反射后必過另一焦點。
二、雙曲線的幾何性質（均以 為例）
（1）焦點三角形面積：
(2) 過作∠F1PF2的內角平行線的重線垂足M的軌跡是
(3) 以焦半徑為直徑作圓長的焦半徑為直徑作圓與內切，小的圓與外切。
(4)以焦點為直徑作圓與該焦點對應準線相交
(5)焦點⊿PF1F2的內切圓心橫生標為±a即與實軸的切點一定是實軸端點
（6）焦點弦為直徑的圓被相應準線截得圓弧所對的圓心角為定值∠MCN＝2arccos
(7) A為雙曲線內一定點P為雙曲線上動點=+＝－2a
(8) 如圖：A為雙曲線內一定點，P是雙曲線上的動點，＋等于A到右準線的距離
（9）焦點到漸近線的距離等于b
(10)雙曲線上的任上點到兩漸近線的距離之積等于定值
（11）P是弦AB中點K．K＝定值
（12）P為雙線上任一點過P點作兩漸近線的平行線與漸近線圍成的平行四邊形面積等于定值ab
(13) 過P的切線平分∠F1PF2（光學性質）即經過一焦點的光線被雙曲線反射，反射光線的下長線過另一焦點
（14）雙曲線與漸近線把平面分成5部分
雙曲線上的點
漸近線上的點
區域①的點
區域②的點
區域③的點
過漸近線上的點（除中心）只能作一條切線，過中心無切線，沒有與兩支都相切的切線過區域①的點作切線分別在兩支上，過區域③的點作切線切點在同一支上，過區域②的點沒切線，雙曲線的切線斜率，區域①、②的點可作弦的中點，中心是任意過中心的弦的中點，漸近線上（除中心），雙曲線上，區域③的點不可能是弦中點。
（15）直線L與雙曲線的漸近線
交于A、B兩點，與雙曲線交于C、D兩點，則AC=BD
三、拋物線的幾何性質
均以拋物線為例
(1) 如圖：A為拋物線內一定點，P是拋物線上的動點，
＋等于A到準線的距離。
(2) 過拋物線焦點F作弦AB，其中A（x1,y1）,B（x2,y2）則有：
①
②
③
④
⑤
⑥以AB為直徑的圓與準線相切
（3）過拋物線頂點作任意互相垂直的弦
OA、OB，則弦AB必過定點（2p,0）；反之亦成立，
即過定點（2p,0）作直線交拋物線于A、B兩點，
則有OA垂直OB
（4）過拋物線焦點F作直線交拋物線于P、Q兩點，弦PQ的垂直平分線交拋物線的對稱軸于R，則
（5）過拋物線H上任一點P（X0,Y0）的切線方程為
(3)
B
A
P
F2
A
F11
x
x
y
P
y
F
X=-P/2
（2）
y
x
M
P
F2
F1
F2
F1
D
M
③
②
①
P
F22
F1
o
y
P
F2
F1
（1）
x
o
y
x
x
y
P
F2
F1
(5)
x
y
P
F2
F1
I
B
(4)
x
y
A
F2
F1
N
M
A
C
(6)
x
y
B
F2
F1
(7)
x
y
P
F2
F1
A
B
A
(8)
x
y
P
F2
F1
(9)
x
y
P
F2
F1
A
(10)
x
y
P
F2
F1
B
B
A
(15)
x
y
y
F2
F1
F1
F2
P
y
x
(11)
A
B
O
（13）
y
x
M
P
F2
F1
1
2
③
①
(14)
x
y
②
F2
F1
P
F2
F1
o
x
C
N
O
M
(12)
x
y
o
F1
F2
P
x
y
o
F1
F2
P
III
R
y
x
o
F1
F2
A
B
x
y
o
F1
F2
P
P
A·
x
y
o
F
A·
x
y
o
F1
F2
P
NII
A2
I
M
x
y
o
F1
F2
E
K
Q
P
x
y
o
F
B
A
x
y
o
F
B
A
P
x
y
o
N
M
B2
P
B1
x
y
o
F
N
A2
P
A1
M
y
x
o
M1
F2
A
B
y
x
o
F1
F2
P
l
m
B
A
B
A
x
y
F
X=-P/2
x
y
Q
P
x
y
F
R
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