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圓錐曲線中的一類對稱問題
圓錐曲線上存在兩點關于直線對稱問題是高考中的一類熱點問題，該問題集直線與圓錐曲線位置關系，點與圓錐曲線的位置關系，中點弦，方程與不等式等數學知識于一體，經常在知識網絡交匯處、思想方法的交匯線和能力層次的交叉區設置問題，一般問題的綜合性較強，但難度不是很大，具有很好的選拔功能，對學生的知識和能力的考察情況也較好。下面本文就這一類問題的解決方法，結合下面的例題，談一下自己的看法。
例：已知橢圓，試確定的取值范圍，使得對于直線，橢圓上有不同的兩點關于這條直線對稱。
法一：利用判別式及韋達定理來求解
兩點關于直線對稱，對稱中體現的兩要點：垂直和兩點連線中點在對稱直線上，因此使用這種方法求解時,必須同時確保: ⑴垂直;⑵平分⑶存在,下面就說明三個確保的實施。
解:橢圓上存在兩點關于直線對稱
設直線為: (確保垂直).
則直線與橢圓有兩個不同的交點
(確保存在)
即： ①
兩點的中點的橫坐標為縱坐標為
則點在直線上,. (確保平分)
把上式代入①中,得：
法二：點差法
點差法是解決中點弦問題的一種常見方法，對稱問題符合點差法的應用條件，過程如下
解:設橢圓上關于對稱的兩點分別為，弦的中點為，代入橢圓方程后作差，得
①
由點在直線上，得 ②
由①②解得
因為點在橢圓的內部
所以
解得
法三：利用根的分布求解
上存在不同的兩點關于直線對稱，等價于上存在被垂直平分的弦，即等價于的適合條件的弦所在的直線方程，與曲線的方程組成的方程組在某確定的區間上有兩不同的解，因此可利用一元二次方程根的分布來求解，過程如下。
解：由解法二，知中點的坐標為，
所以直線的方程為
代入橢圓方程整理得
此方程在上有兩個不等實根
令，則
解得
法四： 平行弦中點軌跡法
尋求有關弦中點軌跡，通過軌跡曲線與圓錐曲線的位置關系，利用數形結合尋求參量范圍。
解：設橢圓上關于對稱的兩點分別為，弦的中點為，將坐標代入橢圓方程后作差，得
所以以為斜率的平行弦的中點軌跡是直線在橢圓內的一段，不包括端點。
將與橢圓聯立得兩交點
所以問題可以轉化為直線與線段 有交點。
易得的取值范圍是
以上方法在處理其它圓錐曲線時同樣適用，但在處理非封閉曲線時，應注意對是否存在的驗證。
以上是筆者對這類問題的一點拙見，方法總結未必全面，希望能給各位讀者帶來幫助，也希望各位讀者批評指正。

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