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帶電粒子(帶電體)在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的綜合問(wèn)題
學(xué)習(xí)目標(biāo)：
1．會(huì)用等效法分析帶電粒子在電場(chǎng)和重力場(chǎng)中的圓周運(yùn)動(dòng)。
2．會(huì)用動(dòng)力學(xué)和能量觀點(diǎn)分析帶電粒子的力電綜合問(wèn)題。
突破點(diǎn)1、帶電粒子在交變電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)
例1．如圖(a)所示，兩平行正對(duì)的金屬板A、B間加有如圖(b)所示的交變電壓，一重力可忽略不計(jì)的帶正電粒子被固定在兩板的正中間P處。若在t0時(shí)刻釋放該粒子，粒子會(huì)時(shí)而向A板運(yùn)動(dòng)，時(shí)而向B板運(yùn)動(dòng)，并最終打在A板上，則t0可能屬于的時(shí)間段是(　　)　
A．0＜t0＜　　　 B．＜t0＜ C．＜t0＜T D．T＜t0＜
例2．(多選)如圖甲所示，長(zhǎng)為8d、間距為d的平行金屬板水平放置O點(diǎn)有一粒子源，能持續(xù)水平向右發(fā)射初速度為v0、電荷量為q(q>0)、質(zhì)量為m的粒子。在兩板間存在如圖乙所示的交變電場(chǎng)，取豎直向下為正方向，不計(jì)粒子重力，以下判斷正確的是(　　)　
A．粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最短時(shí)間為
B．射出粒子的最大動(dòng)能為mv02
C．t＝時(shí)刻進(jìn)入的粒子，從O′點(diǎn)射出
D．t＝時(shí)刻進(jìn)入的粒子，從O′點(diǎn)射出
突破2、電場(chǎng)中的力電綜合問(wèn)題
例3．一有界勻強(qiáng)電場(chǎng)如圖所示，場(chǎng)強(qiáng)方向?yàn)樗椒较?虛線為電場(chǎng)線)，一帶負(fù)電微粒以某一角度θ從電場(chǎng)的a點(diǎn)斜向上射入，沿直線運(yùn)動(dòng)到b點(diǎn)，則可知 (　　)
A．電場(chǎng)中a點(diǎn)的電勢(shì)低于b點(diǎn)的電勢(shì)
B．微粒在a點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能與電勢(shì)能之和與在b點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能與電勢(shì)能之和相等
C．微粒在a點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能小于在b點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能，在a點(diǎn)時(shí)的電勢(shì)能大于在b點(diǎn)時(shí)的電勢(shì)能
D．微粒在a點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能大于在b點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能，在a點(diǎn)時(shí)的電勢(shì)能小于在b點(diǎn)時(shí)的電勢(shì)能
例4．如圖所示，在水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)中，質(zhì)量為m的帶電小球，以初速度v從M點(diǎn)豎直向上運(yùn)動(dòng)，通過(guò)N點(diǎn)時(shí)，速度大小為2v，方向與電場(chǎng)方向相反，則小球從M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到N點(diǎn)的過(guò)程(　　)
A．動(dòng)能增加mv2　　　　　　 B．機(jī)械能增加2mv2
C．重力勢(shì)能增加mv2 D．電勢(shì)能增加2mv2
例5．(多選)如圖所示，半圓槽光滑、絕緣、固定，圓心是O，最低點(diǎn)是P，直徑MN水平。
a、b是兩個(gè)完全相同的帶正電小球(視為點(diǎn)電荷)，b固定在M點(diǎn)，a從N點(diǎn)靜止釋放，沿半圓槽運(yùn)動(dòng)經(jīng)過(guò)P點(diǎn)到達(dá)某點(diǎn)Q(圖中未畫出)時(shí)速度為零，則小球a(　　)
A．從N到Q的過(guò)程中，重力與庫(kù)侖力的合力先增大后減小
B．從N到P的過(guò)程中，速率先增大后減小
C．從N到Q的過(guò)程中，電勢(shì)能一直增加
D．從P到Q的過(guò)程中，動(dòng)能減少量小于電勢(shì)能增加量
突破點(diǎn)3、“等效法”在電場(chǎng)中的應(yīng)用
如圖所示，在豎直平面內(nèi)固定的圓形絕緣軌道的圓心為O、半徑為r、內(nèi)壁光滑，A、B兩點(diǎn)分別是圓軌道的最低點(diǎn)和最高點(diǎn)。該區(qū)間存在方向水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)，一質(zhì)量為m的帶電小球(可視為質(zhì)點(diǎn))恰好能靜止在C點(diǎn)。若在C點(diǎn)給小球一個(gè)初速度使它在軌道內(nèi)側(cè)恰好能做完整的圓周運(yùn)動(dòng)(小球的電荷量不變)。已知C、O、D在同一直線上，它們的連線與豎直方向的夾角
θ＝60°，重力加速度為g。求：
(1)小球所受的靜電力F的大小；
(2)小球做圓周運(yùn)動(dòng)，在D點(diǎn)的速度大小及在A點(diǎn)對(duì)軌道壓力的大小。
課后練習(xí)
1．如圖甲所示，兩極板間加上如圖乙所示的交變電壓。開(kāi)始A板的電勢(shì)比B板高，此時(shí)兩板中間原來(lái)靜止的電子在靜電力作用下開(kāi)始運(yùn)動(dòng)。設(shè)電子在運(yùn)動(dòng)中不與極板發(fā)生碰撞，向A板運(yùn)動(dòng)時(shí)為速度的正方向，則下列圖像中能正確反映電子速度變化規(guī)律的是(其中C、D兩項(xiàng)中的圖線按正弦函數(shù)規(guī)律變化)(　　)
2．如圖所示，在豎直向上的勻強(qiáng)電場(chǎng)中，一根不可伸長(zhǎng)的絕緣細(xì)繩的一端系著一個(gè)帶電小球，另一端固定于O點(diǎn)，小球在豎直平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，最高點(diǎn)為a，最低點(diǎn)為b。不計(jì)空氣阻力，則下列說(shuō)法正確的是(　　)
A．小球帶負(fù)電
B．靜電力與重力平衡
C．小球在從a點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到b點(diǎn)的過(guò)程中，電勢(shì)能減小
D．小球在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中機(jī)械能守恒
3．如圖所示，O、A、B、C為一粗糙絕緣水平面上的四點(diǎn)，不計(jì)空氣阻力，一電荷量為－Q的點(diǎn)電荷固定在O點(diǎn)，現(xiàn)有一質(zhì)量為m、電荷量為－q的小金屬塊(可視為質(zhì)點(diǎn))，從A點(diǎn)由靜止開(kāi)始沿它們的連線向右運(yùn)動(dòng)，到B點(diǎn)時(shí)速度最大，其大小為vm，小金屬塊最后停止在C點(diǎn)。已知小金屬塊與水平面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，A、B間距離為L(zhǎng)，靜電力常量為k，則(　　)
A．在點(diǎn)電荷－Q形成的電場(chǎng)中，A、B兩點(diǎn)間的電勢(shì)差UAB＝
B．在小金屬塊由A點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，電勢(shì)能先增大后減小
C．OB間的距離為
D．從B點(diǎn)到C點(diǎn)的過(guò)程中，小金屬塊的動(dòng)能全部轉(zhuǎn)化為電勢(shì)能
4．一勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度E隨時(shí)間t變化的圖像如圖所示，在該勻強(qiáng)電場(chǎng)中，有一個(gè)帶負(fù)電粒子于t＝0時(shí)刻由靜止釋放，若帶電粒子只受靜電力作用，則下列說(shuō)法中正確的是(假設(shè)帶電粒子不與板相碰)(　　)
A．帶電粒子只向一個(gè)方向運(yùn)動(dòng)
B．0～2 s內(nèi)，靜電力做功等于0
C．4 s末帶電粒子回到原出發(fā)點(diǎn)
D．2.5～4 s內(nèi)，靜電力做功等于0
5．(多選)如圖所示，絕緣輕桿的兩端固定帶有等量異號(hào)電荷的小球(不計(jì)重力)。開(kāi)始時(shí)，兩小球分別靜止在A、B位置。現(xiàn)外加一勻強(qiáng)電場(chǎng)E，在靜電力作用下，小球繞輕桿中點(diǎn)O轉(zhuǎn)到水平位置。取O點(diǎn)的電勢(shì)為0。下列說(shuō)法正確的有(　　)
A．電場(chǎng)E中A點(diǎn)電勢(shì)低于B點(diǎn)
B．轉(zhuǎn)動(dòng)中兩小球的電勢(shì)能始終相等
C．該過(guò)程靜電力對(duì)兩小球均做負(fù)功
D．該過(guò)程兩小球的總電勢(shì)能增加
6．如圖所示，豎直固定的光滑絕緣細(xì)桿上O點(diǎn)套有一個(gè)電荷量為－q(q>0)的小環(huán)，在桿的左側(cè)固定一個(gè)電荷量為Q(Q>0)的點(diǎn)電荷，桿上a、b兩點(diǎn)與Q正好構(gòu)成等邊三角形，c是ab的中點(diǎn)。將小環(huán)從O點(diǎn)無(wú)初速度釋放，通過(guò)a點(diǎn)的速率為v。若已知ab＝Oa＝l，靜電力常量為k，重力加速度為g，則(　　)
A．在a點(diǎn)，小環(huán)所受彈力大小為
B．在c點(diǎn)，小環(huán)的動(dòng)能最大
C．在c點(diǎn)，小環(huán)的電勢(shì)能最大
D．在b點(diǎn)，小環(huán)的速率為
7．(多選)A、B兩物體質(zhì)量均為m，其中A帶正電，電荷量為＋q，B不帶電，通過(guò)勁度系數(shù)為k的絕緣豎直輕質(zhì)彈簧相連放在水平面上，如圖所示，開(kāi)始時(shí)A、B都處于靜止?fàn)顟B(tài)。現(xiàn)在施加豎直向上的勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度E＝，式中g(shù)為重力加速度，若不計(jì)空氣阻力，不考慮A物體電荷量的變化，則以下判斷正確的是(　　)
A．剛施加電場(chǎng)的瞬間，A的加速度大小為2g
B．從施加電場(chǎng)開(kāi)始到B剛要離開(kāi)地面的過(guò)程中，A速度大小一直增大
C．從施加電場(chǎng)開(kāi)始到B剛要離開(kāi)地面的過(guò)程中，A的機(jī)械能增加量始終等于A電勢(shì)能的減少量
D．B剛要離開(kāi)地面時(shí)，A的速度大小為2g
帶電粒子(帶電體)在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的綜合問(wèn)題參考答案
例2．答案　B
解析：設(shè)粒子的速度方向、位移方向向右為正。依題意知，粒子的速度方向時(shí)而為正，時(shí)而為負(fù)，最終打在A板上時(shí)粒子的位移為負(fù)，速度方向?yàn)樨?fù)。分別作出t0＝0、、、時(shí)粒子運(yùn)動(dòng)的v—t圖像，如圖所示。由于v—t圖線與時(shí)間軸所圍面積表示粒子通過(guò)的位移，則由圖像知，
0＜t0＜與＜t0＜T時(shí)粒子在一個(gè)周期內(nèi)的總位移大于零，＜t0＜時(shí)粒子在一個(gè)周期內(nèi)的總位移小于零；t0＞T時(shí)情況類似。因粒子最終打在A板上，則要求粒子在每個(gè)周期內(nèi)的總位移應(yīng)小于零，對(duì)照各項(xiàng)可知，B正確。
例1．答案：AD
解析：由題圖可知，場(chǎng)強(qiáng)大小E＝，則粒子在電場(chǎng)中的加速度a＝＝，則粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最短時(shí)間滿足＝atmin2，解得tmin＝，選項(xiàng)A正確；能從板間射出的粒子在板間運(yùn)動(dòng)的時(shí)間均為t＝，則任意時(shí)刻射入的粒子若能射出電場(chǎng)，則射出電場(chǎng)時(shí)沿電場(chǎng)方向的速度均為0，可知射出電場(chǎng)時(shí)粒子的動(dòng)能均為mv02，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；t＝＝時(shí)刻進(jìn)入的粒子，在沿電場(chǎng)方向的運(yùn)動(dòng)：先向下加速，后向下減速速度到零；然后向上加速，再向上減速速度到零……如此反復(fù)，則最后從O′點(diǎn)射出時(shí)有沿電場(chǎng)方向向下的位移，則粒子將從O′點(diǎn)下方射出，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；t＝＝時(shí)刻進(jìn)入的粒子，在沿電場(chǎng)方向的運(yùn)動(dòng)：先向上加速，后向上減速速度到零；然后向下加速，再向下減速速度到零……如此反復(fù)，則最后從O′點(diǎn)射出時(shí)沿電場(chǎng)方向的位移為零，則粒子將從O′點(diǎn)射出，選項(xiàng)D正確。
例3．答案　D
解析：微粒沿直線運(yùn)動(dòng)到b點(diǎn)，微粒的合力方向與速度方向在同一直線上，重力方向豎直向下，則受到的靜電力方向水平向左，電場(chǎng)方向水平向右，則a點(diǎn)的電勢(shì)高于b點(diǎn)的電勢(shì)，故A錯(cuò)誤；根據(jù)能量守恒，微粒的重力勢(shì)能、動(dòng)能、電勢(shì)能總量不變，微粒從a點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到b點(diǎn)重力勢(shì)能增大，則動(dòng)能與電勢(shì)能之和減小，故B錯(cuò)誤；微粒從a點(diǎn)到b點(diǎn)，靜電力、重力均做負(fù)功，動(dòng)能減小，電勢(shì)能增大，故C錯(cuò)誤，D正確。
例4．答案：B
解析：小球動(dòng)能的增加量ΔEk＝m(2v)2－mv2＝mv2，A錯(cuò)誤；小球在豎直方向上的分運(yùn)動(dòng)為勻減速直線運(yùn)動(dòng)，到N點(diǎn)時(shí)豎直方向的速度為零，則M、N兩點(diǎn)之間高度差為h＝，小球重力勢(shì)能的增加量ΔEp＝mgh＝mv2，C錯(cuò)誤；靜電力對(duì)小球做正功，則小球的電勢(shì)能減少，由能量守恒定律可知，小球減小的電勢(shì)能等于重力勢(shì)能與動(dòng)能的增加量之和，則電勢(shì)能的減少量ΔE減＝mv2＋mv2＝2mv2，D錯(cuò)誤；由功能關(guān)系可知，除重力外的其他力對(duì)小球所做的功在數(shù)值上等于小球機(jī)械能的增加量，即2mv2，B正確。
例5．答案　BC
解析：重力不變，庫(kù)侖力一直增大且與重力夾角不斷減小，故合力一直增大，A錯(cuò)誤；支持力不做功，重力與庫(kù)侖力的合力先做正功，后做負(fù)功，故動(dòng)能先增大后減小，即速率先增大后減小，B正確；兩帶電小球間距離一直減小，電勢(shì)能一直增加，C正確；從P到Q，重力做負(fù)功，電場(chǎng)力做負(fù)功，動(dòng)能轉(zhuǎn)化為重力勢(shì)能和電勢(shì)能，動(dòng)能減小量大于電勢(shì)能增加量，D錯(cuò)誤。
例6．答案：(1)mg　(2)　9mg
解析：(1)小球在C點(diǎn)靜止，受力分析如圖所示：
由平衡條件得F＝mgtan 60° 解得F＝mg。
(2)小球在光滑軌道內(nèi)側(cè)恰好做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，在D點(diǎn)小球速度最小，對(duì)軌道的壓力為零，
則＝m 解得小球在D點(diǎn)的速度vD＝
小球由軌道上A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)的過(guò)程，根據(jù)動(dòng)能定理得
－mgr(1＋cos θ)－Fr sin θ＝mvD2－mvA2
解得小球在A點(diǎn)的速度vA＝2
小球在A點(diǎn)，根據(jù)牛頓第二定律得FNA－mg＝m 解得FNA＝9mg
根據(jù)牛頓第三定律得，小球在A點(diǎn)對(duì)軌道的壓力大小
FNA′＝9mg。
1．答案：A
解析：電子在交變電場(chǎng)中所受靜電力恒定，加速度大小不變，C、D兩項(xiàng)錯(cuò)誤；從0時(shí)刻開(kāi)始，電子向A板做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，T后電子所受靜電力反向，電子向A板做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，直到t＝T時(shí)刻速度變?yōu)榱悖笾貜?fù)上述運(yùn)動(dòng)，A項(xiàng)正確，B項(xiàng)錯(cuò)誤。
2．答案：B
解析：由于小球在豎直平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，所以重力與靜電力的合力為0，即靜電力與重力平衡，則靜電力方向豎直向上，小球帶正電，A錯(cuò)誤，B正確；從a→b，靜電力做負(fù)功，電勢(shì)能增大，C錯(cuò)誤；由于有靜電力做功，機(jī)械能不守恒，D錯(cuò)誤。
3答案：C
解析：小金屬塊從A點(diǎn)到B點(diǎn)過(guò)程，由動(dòng)能定理得－qUAB－μmgL＝mvm2－0，得A、B兩點(diǎn)間的電勢(shì)差UAB＝－，故A錯(cuò)誤；小金屬塊由A點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，庫(kù)侖力一直做正功，電勢(shì)能一直減小，故B錯(cuò)誤；由題意知，A點(diǎn)到B點(diǎn)過(guò)程，小金屬塊做加速運(yùn)動(dòng)，B點(diǎn)到C點(diǎn)過(guò)程，小金屬塊做減速運(yùn)動(dòng)，在B點(diǎn)小金屬塊所受的滑動(dòng)摩擦力與庫(kù)侖力平衡，則有μmg＝k，得r＝，故C正確；從B點(diǎn)到C點(diǎn)的過(guò)程中，小金屬塊的動(dòng)能和減少的電勢(shì)能全部轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，故D錯(cuò)誤。
4．答案：D
解析：畫出帶電粒子速度v隨時(shí)間t變化的圖像如圖所示，v-t圖線與時(shí)間軸所圍“面積”表示位移，可見(jiàn)帶電粒子不是只向一個(gè)方向運(yùn)動(dòng)，4s末帶電粒子不能回到原出發(fā)點(diǎn)，A、C錯(cuò)誤；2s末速度不為0，可見(jiàn)0～2s內(nèi)靜電力做的功不等于0，B錯(cuò)誤；2.5s末和4s末，速度的大小、方向都相同，則2.5～4s內(nèi)，靜電力做功等于0，D正確。
5．答案：AB
解析：沿電場(chǎng)線的方向是電勢(shì)降落的方向，可知A點(diǎn)的電勢(shì)低于B點(diǎn)，A正確；O點(diǎn)的電勢(shì)為零，由對(duì)稱性可知，兩小球所在位置的電勢(shì)值總是一對(duì)相反數(shù)，且A點(diǎn)處的電勢(shì)為負(fù)值，B點(diǎn)處的電勢(shì)為正值，故轉(zhuǎn)動(dòng)中兩小球的電勢(shì)能始終相等，B正確；該過(guò)程靜電力對(duì)兩小球均做正功，兩小球的總電勢(shì)能減少，C、D錯(cuò)誤。
6．答案：D
解析：在a點(diǎn)，小環(huán)所受的靜電力沿aQ方向，大小F＝k，水平方向小環(huán)受力平衡，所以小環(huán)受到向右的彈力大小FN＝Fsin 60°＝，A錯(cuò)誤；在c點(diǎn)時(shí)，小環(huán)水平方向受到靜電力和桿的彈力作用，豎直方向受到重力作用，合力豎直向下，小環(huán)有豎直向下的加速度，所以在
c點(diǎn)時(shí)小環(huán)的動(dòng)能不是最大，B錯(cuò)誤；c點(diǎn)距離Q最近，電勢(shì)最高，帶負(fù)電的小環(huán)在c點(diǎn)的電勢(shì)能最小，C錯(cuò)誤；因?yàn)閍、b兩點(diǎn)到Q的距離相等，所以a、b兩點(diǎn)電勢(shì)相等，小環(huán)從a點(diǎn)到b點(diǎn)，靜電力做功為0，根據(jù)動(dòng)能定理得mgl＝mvb2－mv2，解得vb＝，D正確。
7．答案：ABD
解析：在未施加電場(chǎng)時(shí)，A處于平衡狀態(tài)，當(dāng)施加電場(chǎng)的瞬間，A受到的合力為A所受的靜電力，故qE＝ma，解得a＝2g，方向向上，故A正確；B剛要離開(kāi)地面時(shí)，地面對(duì)B彈力為0，彈簧彈力等于B的重力即F彈＝mg，對(duì)A有Eq＝mg＋F彈，即A所受合力為0，因此從施加電場(chǎng)開(kāi)始到B剛要離開(kāi)地面過(guò)程，A做加速度逐漸變小的加速運(yùn)動(dòng)，即A速度大小一直增大，故B正確；從施加電場(chǎng)開(kāi)始到彈簧恢復(fù)原長(zhǎng)的過(guò)程，A的機(jī)械能增加量等于電勢(shì)能的減少量與彈性勢(shì)能的減少量之和，從彈簧恢復(fù)原長(zhǎng)到B剛要離開(kāi)地面的過(guò)程，A的機(jī)械能增加量等于電勢(shì)能的減少量與彈性勢(shì)能的增加量之差，故C錯(cuò)誤；當(dāng)B剛要離開(kāi)地面時(shí)，此時(shí)B受到彈簧的彈力等于B的重力，從施加電場(chǎng)到B離開(kāi)地面，彈簧的彈力做功為零，A上升的距離x＝，根據(jù)動(dòng)能定理可知qEx－mgx＝mv2，解得v＝2g，故D正確。

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