資源簡介

求函數f(x)的值 找規律，常有f(x)＋f(1/x)等
于定值
符號f(x)的理解
分段函數的值 分類討論yyds，注意端點
直接求定義域 不要化簡變形
已知定義域求參數或其范圍 二次函數恒正恒負的充要條
具體函數 件
函數值域為R，求參數或其 由單調性或圖像或其他性質函數的定義域
范圍 反推定義域，轉化為上一種
題型
函數的定義域指的是自變量
的取值范圍。同一對應法則
抽象函數 下括號中整體的取值范圍相
同，但也要注意括號內的函
數也有定義域。
給出表達式的，直接代
待定系數法
給出函數類型的，設表達式
再代
可以通過換元反解的，直接
解，注意新元t的取值范圍
換元法 難以反解的，找合適整體做
變量，等價變形后換元，注
意新元t的取值范圍（有時
又名配湊，配湊都是換元，
換元不一定是配湊，不是拍
湊的屬于上種情況）
函數的解析式 方法：已知
af(x)＋bf(g(x))＝h(x)(a≠b)
，將x換成g(x)，聯立求
解。即
f(x)＝(ah(x)－bh(g(x)))/
(a －b )(破二級結論少背)
使用條件：g(g(x))＝x
方程組法
推廣：當g(g(...g(x)))＝x
時，聯立n個方程。高考上
限n＝3。此時
g(g(g(x)))＝x，
①f(x)＋f(g(x))＝h(x)
②f(g(x))＋f(g(g(x)))＝h(g(x
))
③f(g(g(x)))＋f(x)＝h(g(g(x)
))
已知函數求值域 分類討論，求并集
已知值域求參數取值范圍 分類討論，注意端點
普通換元，注意新元t取值
范圍
簡單函數
整體結構換元，再兩邊同時
復合函數 換元 平方
分式通過分子分母同時乘除
多項式，換元轉化成與對勾
函數或其他函數有關的形式
單根式型f(x)＝根號下g(x) 求出g(x)值域便可得f(x)值
域，注意g(x)必須≥0
換元，令t＝根號下
(cx＋d)，變為二次函數
單根式型f(x)＝ax＋b±根號
下(cx＋d)
若ac＞0，可通過單調性求
解
平方處理最簡單，變為單根
式型
三角換元
ac＋bd小于等于根號下
根式中變量系數互為相反數 (a ＋b )(c ＋d )
柯西不等式 根號下(a ＋b )＋根號下(c ＋d )≥根號下((a- 其中ac＋bd≥0
c) ＋(b-d) )
取等條件：ad＝bc
ac＞0 一定有單調性直接求
平方處理最簡單，變為單根
根式型值域 ac＜0，a＝-c 式型(不就是根式的變量系
數互為相反數嘛)
f(x)＝根號下(ax＋b)＋根號
下(cx＋d) 三角換元 確定角度范圍，再確定一
遍，再確定一遍！
雙根式
ac＜0且a≠-c 柯西不等式(如上)
求導...別忘了這是函數初步
ac＜0 單 調 性
值域
a＝c 分子有理化后，分母具有單
調性
f(x)＝根號下(ax＋b)-根號下
函數初步 (cx＋d)
三角換元
ac＞0且a≠c
柯西柯西闊sii～
根式系數不為1 想著轉化吧好孩子
兩個二次項系數相同，根號
下恒為非負，(似乎太局限
了)
f(x)＝根號下 根式系數均為1 將軍飲馬
(ax ＋bx＋c)＋根號下
(dx ＋ex＋f)
先求定義域，再分別求單調
根號下并不恒為非負 區間，再求交集，即f(x)單
調區間，利用單調性求解
分子0次型f(x)＝k/g(x)(k為 先求分母值域，再取倒數得
常數) f(x)值域
分子分母一次齊次型 分離常數，轉化為分子0次
f(x)＝(ax＋b)/(mx＋n) 型
若a＞0，即為一個對勾函數
向上平移b個單位長度
分子二次分母一次型 分離變量后等價于x＋a/x＋b(a，b為常數) 若a＜0，為一個在(-∞，0)
和(0，+∞)上分別單調遞
增，值域為R，以y＝x為漸
近線的函數向上平移b個單
位長度
取倒數變為分子二次分母一次型
換分子為新元t，討論t的范
分子一次分母二次型 圍后，轉化為常數函數或對
分式型值域 勾函數
若定義域為R，分母恒不為 即二次函數等價于一個關于 分類討論，y等于0時為一次
0，判別式法 x的方程在x屬于R有解 方程，y≠0時b -4ac≥0
取倒數變為分子二次分母一
次型求
分子分母二次齊次型 分離常數變為分子一次分母
二次型
按照分子一次分母二次型方
法求
斜率公式
點到直線距離公式
三角函數型，記住
即將原式化成(cosx，sinx)
(cosα，sinα)在單位圓上 與某點連線的斜率，利用單
位圓圓心(0，0)到這一點的
距離不大于半徑1求解
具體函數
單調性的證明
抽象函數
具體方法：拿出一張草稿
紙，手里拿一支能寫字的
筆。在紙上畫出兩個平面直
角坐標系，在左邊的xOy中
畫出內函數的圖像，在右邊
首先求出函數定義域，然后 的xOy中畫出外函數的圖
判斷定義域上內函數和外函 像。根據內函數的圖像判斷
復合函數單調性 數各自的單調性，再利用 外函數的定義域(即內函數 同增異減就求出來啦
同增異減 判斷復合函數在 的值域)。先找出內函數的
定義域上的單調性 所有單調區間，然后分類討
論，看內函數的單調區間所
對應的外函數的區間，如果
外函數的區間不單調，則分
類討論。如果單調，那就單
調，然后——
函數不等式問題：首先，確
若函數f(x)單調遞增，則當 定f(x)在給定區間上的單調
f(a)＞f(b)時，有a＞b。若 性。其次，將函數不等式轉
函數f(x)單調遞減，則當 化為f(a)＜f(b)的形式。最
f(a)＞f(b)時，有a＜b 后，運用函數的單調性去掉
抽象符號f，轉化成一般的
不等式或不等式組。
單調性
(f(a)－f(b))(a－b)＞0或者相
除＞0，等價于f(x)遞增，遞
減的等價條件類比可知。
對于(f(a)－f(b))/(a－b)＞m
的形式，變形為
[(f(a)－ma)－(f(b)－mb)]/
單調性的應用 (a－b)＞0的形式，令 學會變換形式構造函數
g(x)＝f(x)－mx，則g(x)單
調遞增，遞減形式類比可
知，積的形式易知。
對于任意兩個的正數a，b設
a＜b，若[bf(a)－af(b)]/
(a－b)＞0 ，可得[(f(a)/
a)－(f(b)/b)]/(a－b)＞0，令 學會變換形式構造函數
g(x)＝f(x)/x，則g(x)在(0，
+∞)上單調遞增，遞減形式
類比可知，積的形式易知。
視參數為已知數，依據單調 分類討論
求參數值或取值范圍 性定義，確定函數的單調區 任意，任意，任意！
間，再與已知單調區間比較
求出參數的范圍或值。 注意端點
奇偶性
周期性
對稱性
二次函數

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