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幾何概型的常見題型及典例分析
一．幾何概型的定義
1．定義：如果每個事件發生的概率只與構成該事件區域的長度（面積或體積）成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱幾何概型.
2．特點：
（1）無限性，即一次試驗中，所有可能出現的結果（基本事件）有無限多個；
（2）等可能性，即每個基本事件發生的可能性均相等.
3．計算公式：
說明：用幾何概率公式計算概率時，關鍵是構造出隨機事件所對應的幾何圖形，并對幾何圖形進行度量.
4．古典概型和幾何概型的區別和聯系：
（1）聯系：每個基本事件發生的都是等可能的.
（2）區別：①古典概型的基本事件是有限的，幾何概型的基本事件是無限的；
②兩種概型的概率計算公式的含義不同.
二．常見題型
（一）、與長度有關的幾何概型
例1、在區間上隨機取一個數，的值介于到之間的概率為( ).
A. B. C. D.
分析：在區間上隨機取任何一個數都是一個基本事件.所取的數是區間的任意一個數，基本事件是無限多個，而且每一個基本事件的發生都是等可能的，因此事件的發生的概率只與自變量的取值范圍的區間長度有關，符合幾何概型的條件.
解：在區間上隨機取一個數,即時,要使的值介于0到之間,需使或
∴或，區間長度為，
由幾何概型知使的值介于0到之間的概率為
. 故選A.
例2、 如圖,A,B兩盞路燈之間長度是30米，由于光線較暗，想在其間再隨意安裝兩盞路燈C,D,問A與C,B與D之間的距離都不小于10米的概率是多少？
思路點撥 從每一個位置安裝都是一個基本事件，基本事件有無限多個，但在每一處安裝的可能性相等，故是幾何概型．
解 記 E：“A與C,B與D之間的距離都不小于10米”，把AB三等分，由于中間長度為30×=10米，
∴.
方法技巧 我們將每個事件理解為從某個特定的幾何區域內隨機地取一點，該區域中每一點被取到的機會都一樣，而一個隨機事件的發生則理解為恰好取到上述區域內的某個指定區域中的點，這樣的概率模型就可以用幾何概型來求解．
例3、在半徑為R的圓內畫平行弦，如果這些弦與垂直于弦的直徑的交點在該直徑上的位置是等可能的，求任意畫的弦的長度不小于R的概率。
思考方法：由平面幾何知識可知，垂直于弦的直徑平分這條弦，所以，題中的等可能參數是平行弦的中點，它等可能地分布在于平行弦垂直的直徑上（如圖1-1）。也就是說，樣本空間所對應的區域G是一維空間（即直線）上的線段MN，而有利場合所對應的區域GA是長度不小于R的平行弦的中點K所在的區間。
[解法1].設EF與E1F1是長度等于R的兩條弦，直徑MN垂直于EF和E1F1，與他們分別相交于K和K1(圖1-2)。依題設條件，樣本空間所對應的區域是直徑MN，有L(G)=MN=2R，注意到弦的長度與弦心距之間的關系比，則有利場合所對對應的區域是KK1，有
以幾何概率公式得。
[解法2].如圖1-1所示，設園O的半徑為R, EF為諸平行弦中的任意一條，直徑MN弦EF，它們的交點為K，則點K就是弦EF的中點。設OK=x，則 x [-R,R], 所以 L(G)=2R
設事件A為“任意畫的弦的長度不小于R”，則A的有利場合是 ,
解不等式，得 所以
于是
[評注] 本題結構比較簡單，題中直接給出了等可能值參數；樣本空間和有利場合所對應的區域，從圖上都可以直接看出。兩種解法各有特色，解法1充分利用平面幾何知識，在本題似較簡便，解法2引進變量x把代數知識和幾何知識有機的結合起來，從表面上看解題過程不甚簡便，但確具有推廣價值，這種方法可以求解復雜的幾何概率問題。
例4、 在長為12cm的線段AB上任取一點M，并以線段AM為邊作正方形，求這個正方形的面積介于36cm2?與81cm2之間的概率．
分析：正方形的面積只與邊長有關，因此，此題可以轉化為在12cm長的線段AB上任取一點M，求使得AM的長度介于6cm與9cm之間的概率．
解：記“面積介于36cm2?與81cm2之間”為事件A，事件A的概率等價于“長度介于6cm與9cm之間”的概率，所以，P(A)= =
小結：解答本例的關鍵是，將正方形的面積問題先轉化為與邊長的關系。
練習：
2、已知地鐵列車每10 min一班，在車站停1 min，則乘客到達站臺立即乘上車的概率是(　　)
A. B. C. D.
解析：設乘客到達站臺立即乘上車為事件A，試驗的所有結果構成的區域長度為10 min，而構成事件A的區域長度為1 min，故P(A)＝.答案：A
3、已知集合A{x|－10}，在集合A中任取一個元素x ，則事件“x∈A∩B”的概率是________．
解析：由題意得A＝{x|－14、 小趙欲在國慶六十周年之后從某車站乘車外出考察，已知該站發往各站的客車均每小時一班，求小趙等車時間不多于10分鐘的概率．
分析：因為客車每小時一班,而小趙在0～60分鐘之間任何一個時刻到車站等車是等可能的, 所以他在哪個時間段到站等車的概率只與該時間段的長度有關,而與該時間段的位置無關,這符合幾何概型的條件，且屬于幾何概型中的長度類型.
解析:設A={等待的時間不多于10分鐘},我們所關心的事件A恰好是到站等車的時刻位于[50,60]這一時間段內,而事件的總體是整個一小時，即60分鐘，因此，由幾何概型的概率公式,得P(A)= =，即此人等車時間不多于10分鐘的概率為．
（二）、與面積有關的幾何概型
例1、為長方形，，為的中點，在長方形內隨機取一點，取到的點到的距離大于1的概率為（ ）
A． B. C. D.
分析：由于是隨機的取點，點落在長方形內每一個點的機會是等可能的，基本事件是無限多個，所以符合幾何概型.
解：長方形面積為2,以為圓心,1為半徑作圓,在矩形內部的部分(半圓)面積為，因此取到的點到的距離大于1的面積為，則取到的點到的距離大于1的概率為
.
故選B.
例2、 如圖，射箭比賽的箭靶涂有五個彩色的分環．從外向內依次為白色、黑色、藍色、紅色，靶心為金色．金色靶心叫“黃心”．奧運會的比賽靶面直徑為122 cm,靶心直徑為12.2 cm.運動員在70 m外射箭．假設運動員射的箭都能中靶，且射中靶面內任一點都是等可能的，那么射中黃心的概率為多少？
思路點撥 此為幾何概型，只與面積有關．
解 記“射中黃心”為事件B,由于中靶點隨機地落在面積為的大圓內，而當中靶點落在面積為的黃心時，事件B發生，于是事件B發生的概率為.
即：“射中黃心”的概率是0.01.
方法技巧 事件的發生是“擊中靶心”即“黃心”的面積；總面積為最大環的圓面積．
例3、在平面直角坐標系中，設D是橫坐標與縱坐標的絕對值均不大于2的點構成的區域，E是到原點的距離不大于1的點構成的區域，向D中隨意投一點，則落入E中的概率為 。
解析：如圖：區域D表示邊長為4的正方形ABCD的內部（含邊界），而區域E表示單位圓及其內部，因此。 答案
點評：本小題中的試驗結果是區域中的部分點集，其結果是不可數的，屬于幾何概型中典型的面積之比。
例4、在三角形ABC中任取一點P，證明：△ABP與△ABC的面積之比大于的概率為。
思考方法 本題的隨機點是的頂點P，它等可能的分布在中，因此，與樣本空間對應的平面區域是，注意到于有公共邊AB，所以的面積決定于頂點P離底邊AB的距離。這樣不難確定與有利場合相對應的平面區域。
解 設與的面積之比為，的高CD為h，的高PG為h1，公共底邊AB的長為c，（圖2）則
過點P作EF//AB,交CD于H,則有立場合所對應的平面區域為.于是所求概率為
注意到EF//AB，,且 CH=h -h1 = h-h=，
由此，原題得證。
評注 本題的樣本空間雖然與平面區域相對應，但因三角形ABC于三角形ABP有公共底邊AB，所以，實際變化著的量只有一個(即點P于AB的距離)，問題還比較簡單，對于較復雜的平面區域，常常要根據題設選定兩個變量，由各自的約束條件確定樣本空間于有立場合的相應區域。
例5、將長為L的木棒隨機的折成3段，求3段構成三角形的概率．
解：設“3段構成三角形”．分別表示其中兩段的長度，則第三段的長度為．．
由題意，要構成三角形，須有，即；
，即；，即．
故．
如圖1所示，可知所求概率為．
例6、已知函數f(x)＝－x2＋ax－b.若a、b都是從區間[0,4]任取的一個數，則f(1)＞0成立的概率是________．
解析：f(1)＝－1＋a－b＞0，即a－b＞1，如圖：
A(1,0)，B(4,0)，C(4,3)，S△ABC＝，P＝＝＝.
答案：
練習
1、ABCD為長方形，AB＝2，BC＝1，O為AB的中點．在長方形ABCD內隨機取一點，取到的點到O的距離大于1的概率為 (　　)
A. B．1－ C. D．1－
解析：對應長方形的面積為2×1＝2，而取到的點到O的距離小于等于1時，其是以O為圓心，半徑為1所作的半圓，對應的面積為×π×12＝π，那么滿足條件的概率為：1－＝1－.答案：B
2、設－1≤a≤1，－1≤b≤1，則關于x的方程x2＋ax＋b2＝0有實根的概率是 (　　)
A. B. C. D.
解析：由題知該方程有實根滿足條件作平面區域如右圖：由圖知陰影面積為1，總的事件對應面積為正方形的面積，
故概率為.答案：B
3、已知Ω＝{(x，y)|x＋y≤6，x≥0，y≥0}，A＝{(x，y)|x≤4，y≥0，x－2y≥0}，若向區域Ω上隨機投一點P，則點P落入區域A的概率為 (　　)
A. B. C. D.
解析：作出兩集合表示的平面區域如圖所示．容易得出
Ω所表示的平面區域為三角形AOB及其邊界，A表示的
區域為三角形OCD及其邊界．
容易求得D(4,2)恰為直線x＝4，x－2y＝0，x＋y＝6三線的交點．
則可得S△AOB＝×6×6＝18，S△OCD＝×4×2＝4.所以點P落在區域A的概率為＝.答案：D
4、在區域內任取一點P，
則點P落在單位圓x2＋y2＝1內的概率為(　)
A. B. C. D.
解析：區域為△ABC內部(含邊界)，則概率為
P＝＝＝.答案：D
5、在邊長為2的正三角形ABC內任取一點P，則使點P到三個頂點的距離至少有一個小于1的概率是________．
解析：以A、B、C為圓心，以1為半徑作圓，與△ABC相交出三個扇形(如圖所示)，當P落在陰影部分時符合要求．
∴P＝＝.答案：π
6、在區間[0,1]上任意取兩個實數a，b，則函數f(x)＝x3＋ax－b在區間[－1,1]上有且僅有一個零點的概率為________．
解析：f′(x)＝x2＋a，故f(x)在x∈[－1,1]上單調遞增，又因為函數f(x)＝x3＋ax－b在[－1,1]上有且僅有一個零點，即有f(－1)·f(1)<0成立，即(－－a－b)(＋a－b)<0，則(＋a＋b)(＋a－b)>0，可化為或由線性規劃知識在平面直角坐標系aOb中畫出這兩個不等式組所表示的可行域，再由幾何概型可以知道，函數f(x)＝x3＋ax－b在[－1,1]上有且僅有一個零點的概率為可行域的面積除以直線a＝0，a＝1，b＝0，b＝1圍成的正方形的面積，計算可得面積之比為。答案：
7、已知函數f(x)＝x2－2ax＋b2，a，b∈R.
(1)若a從集合{0,1,2,3}中任取一個元素，b從集合{0,1,2}中任取一個元素，求方程f(x)＝0有兩個不相等實根的概率；
(2)若a從區間[0,2]中任取一個數，b從區間[0,3]中任取一個數，求方程f(x)＝0沒有實根的概率．
解：(1)∵a取集合{0,1,2,3}中任一個元素，b取集合{0,1,2}中任一個元素，
∴a，b的取值的情況有(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)．
其中第一個數表示a的取值，第二個數表示b的取值，即基本事件總數為12.
設“方程f(x)＝0有兩個不相等的實根”為事件A，
當a≥0，b≥0時，方程f(x)＝0有兩個不相等實根的充要條件為a＞b.
當a＞b時，a，b取值的情況有(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，即A包含的基本事件數為6，
∴方程f(x)＝0有兩個不相等實根的概率P(A)＝＝.
(2)∵a從區間[0,2]中任取一個數，b從區間[0,3]中任取一個數，則試驗的全部結果構成區域Ω＝{(a，b)|0≤a≤2,0≤b≤3}，這是一個矩形區域，其面積SΩ＝2×3＝6.
設“方程f(x)＝0沒有實根”為事件B，則事件B所構成的區域為M＝{(a，b)|0≤a≤2,0≤b≤3，a＜b}，
即圖中陰影部分的梯形，其面積SM＝6－×2×2＝4.
由幾何概型的概率計算公式可得方程f(x)＝0沒有實根的概率P(B)＝＝＝.
（三）、與角度有關的幾何概型
例1、在圓心角為90°的扇形中，以圓心為起點做射線，求使得和都不小于30°的概率？
分析：此題關鍵是搞清過作射線可以在扇形的任意位置，而且是等可能的，因此基本事件的發生是等可能的.
解：記事件是“做射線，使得和都不小于30°”，，則符合條件的射線應落在扇形中，所以
例2、如圖所示，在等腰直角中，過直角頂點在內部做一條射線，與線段交于點，求的概率。
分析：當時，有，故欲使，應有，即所作的射線應落在時的內部。
解析：在上取,連接，則，記“在內部作一條射線，與線段交于點，”為事件A，則，所以，所求概率為。
點評：本題所求事件的本質是在內部做一條射線，所構成的區域是一個“角”域，故應屬于幾何概型中的角度之比類型；本題極易易犯的錯誤是，用長度的比得出這一錯誤結果。
例3、在等腰Rt△ABC中，C=900，在直角邊BC上任取一點M，求的概率（答案：）
（四）、與體積有關的幾何概型
例1、在5升水中有一個病毒，現從中隨機地取出1升水，含有病毒的概率是多大？
分析：病毒在這5升水中的分布可以看作是隨機的，取得的1升水可以看作構成事件的區域，5升水可以看作是試驗的所有結果構成的區域，因此可以用體積比公式計算其概率.
解：“取出1升水，其中含有病毒”這一事件記作事件A，
則
從而所求的概率為0.2.
例2、任取三條不大于a的線段，求這三條線段能夠成一個三角形的概率。
思考方法 題設的三條線段互不相干，所以可設置三個獨立變量。注意到三條線段構成三角形的充要條件，可推得有立場合的約束條件。由此原題可以解出。
解 設三條線段的長分別為x、y、z，則樣本空間是
（1）
有三條線段構成三角形的條件可知，其中的任意兩條之和比大于第三條線段，于是，有利場合的可能情形是（2） 把條件（1）、（2）所限制的區域，在空間直角坐標系中表示出來，有如圖2-3所示。
其中（1）所對應的區域G是正方體OA4，(2)所對應的區域GA是六面體OA1A2A3A4，且有
例3、在區間[0,l]上任取三個實數x.y.z,事件A={(x,y,z)| x2+y2+z2＜1, x≥0,y≥0,z≥0}
(1)構造出隨機事件A對應的幾何圖形；
（2)利用該圖形求事件A的概率.
思路點撥: 在空間直角坐標系下，要明確x2+y2+z2＜1表示的幾何圖形是以原點為球心，半徑r=1的球的內部．事件A對應的幾何圖形所在位置是隨機的，所以事件A的概率只與事件A對應的幾何圖形的體積有關，這符合幾何概型的條件．
解：（1）A={(x,y,z)| x2+y2+z2＜1, x≥0,y≥0,z≥0}表示空間直角坐標系中以原點為球心，半徑r=1的球的內部部分中x≥0,y≥0,z≥0的部分，如圖所示．
(2)由于x,y,z屬于區間[0,1]，當x=y=z=1時，為正方體的一個頂點，事件A為球在正方體內的部分．
∴.
方法技巧：本例是利用幾何圖形的體積比來求解的幾何概型，關鍵要明白點P(x,y,z)的集合所表示的圖形．從本例可以看出求試驗為幾何概型的概率，關鍵是求得事件所占區域和整個區域的幾何度量，然后代入公式即可解，另外要適當選擇觀察角度.
（五）、會面問題中的概率
例1、 某碼頭接到通知，甲、乙兩艘外輪都會在某天9點到10點之間的某一時刻到達該碼頭的同一個泊位，早到的外輪要在該泊位停靠20分鐘辦理完手續后才離開，求兩艘外輪至少有一艘在停靠泊位時必須等待的概率。
解析：設事件表示兩艘外輪至少有一艘在停靠泊位時必須等待，兩艘外輪到的時間分別為9點到10點之間的x分、y分，則|x-y|≤20,0≤x,y≤60，即，以9點為原點，建立平面直角坐標系如圖所示，事件所對應的區域如圖中陰影區域所示：
所以，其概率P(A)=陰影面積/ABCD面積=5/9。
小結：“會面”類型常見的載體是兩人相約見面、輪船停靠泊位等，其關鍵是構建相遇的不等式（組），借助于線性規劃知識，將其面積之比求出，使得問題得以解決。
例2、兩人約定在20：00到21：00之間相見，并且先到者必須等遲到者40分鐘方可離去，如果兩人出發是各自獨立的，在20：00到21：00各時刻相見的可能性是相等的，求兩人在約定時間內相見的概率．
思路點撥 兩人不論誰先到都要等遲到者40分鐘，即小時．設兩人分別于x時和y時到達約見地點，要使兩人在約定的時間范圍內相見，當且僅當-≤x-y≤，因此轉化成面積問題，利用幾何概型求解．
解 設兩人分別于x時和y時到達約見地點，要使兩人能在約定時間范圍內相見，
當且僅當-≤x-y≤.
兩人到達約見地點所有時刻(x,y)的各種可能結果可用圖中的單位正方形內（包括邊界）的點來表示，兩人能在約定的時間范圍內相見的所有時刻（x,y）的各種可能結果可用圖中的陰影部分（包括邊界）來表示．
因此陰影部分與單位正方形的面積比就反映了兩人在約定時間范圍內相遇的可能性的大小，也就是所求的概率為
.
方法技巧 會面的問題利用數形結合轉化成面積問題的幾何概型．難點是把兩個時間分別用x,y兩個坐標表示，構成平面內的點(x,y),從而把時間是一段長度問題轉化為平面圖形的二維面積問題，轉化成面積型幾何概型問題．
（六）、與線性規劃有關的幾何概型
例1、小明家的晚報在下午5：30～6：30之間的任何一個時間隨機地被送到，小明一家在下午6：00～7：00之間的任何一個時間隨機地開始晚餐.那么晚報在晚餐開始之前被送到的概率是多少？
分析：該題題意明確，但如何轉化為數學模型需要從實際問題中分析出存在的兩個變量.由于晚報送到和晚飯開始都是隨機的，設晚報送到和晚飯開始的時間分別為，然后把這兩個變量所滿足的條件寫成集合的形式，把問題轉化為線性規劃問題進行求解.
解：設晚報送到和晚飯開始的時間分別為.用表示每次試驗的結果，則所有可能結果為：，
即為圖3中正方形的面積；記晚報在晚餐開始之前被送到為事件，則事件的結果為：，即為圖2中陰影部分區域. ，.
所以所求概率為：.
故晚報在晚餐開始之前被送到的概率是.
反思：此類問題常會涉及兩個隨機變量的相互關系，其求解的步驟為：
（1）找設變量.從問題中找出兩個隨機變量，設為；
（2）集合表示.用表示每次試驗結果，則可用相應的集合分別表示出全部結果和事件所包含的試驗結果.一般來說，兩個集合都是幾個二元一次不等式的交集.
（3）作出區域.把上面的集合所表示的平面區域作出，并求出集合對應的區域的面積.
（4）計算求解.由幾何概型公式求出概率.
（七）、與定積分有關的幾何概型
例1、在區間上任取兩數，求二次方程的兩根都是實根的概率.
分析：可用表示試驗結果.求出所有可能結果的面積和方程有實根的結果的面積，再利用幾何概型來解答.
解：用表示每次試驗結果，則所有可能結果為：，即為圖3中正方形的面積；由方程有實根得：，則方程有實根的可能結果為，即為圖4中陰影部分區域.陰影部分面積可用定積分來計算.所以，，
所以所求概率為：.
（八）、與隨機模擬有關的幾何概型
例1、如圖5，面積為的正方形中有一個不規則的圖形，可按下面方法估計的面積：在正方形中隨機投擲個點，
若個點中有個點落入中，則的面積的估計值為，假設正方形的邊長為2，的面積為1，并向正方形
中隨機投擲個點，以表示落入中的點的數目．
（I）求的均值；
（II）求用以上方法估計的面積時，的面積的估計值與實際值
之差在區間內的概率．
附表：
分析：本題從表面來看似乎與幾何概型無關，其實它是一個幾何概型的逆向問題與n次獨立重復實驗的綜合題，而且本題有別于常規的面積型概率計算，設計新穎，通過隨機模擬來求不規則圖形的面積。
解：每個點落入中的概率均為．依題意知．
（Ⅰ）．
（Ⅱ）依題意所求概率為，
．
例2、利用隨機模擬方法計算圖中陰影部分(由曲線y= 2x與x軸、x=±1圍成的部分）面積．
思路點撥 不規則圖形的面積可用隨機模擬法計算．
解 (1)利用計算機產生兩組[0,1]上的隨機數,a1=rand（ ），b1=rand( )．
(2)進行平移和伸縮變換,a=(a1-0.5)*2,b=b1*2,得到一組[0,2]上的均勻隨機數．
(3)統計試驗總次數N和落在陰影內的點數N1.
(4)計算頻率，則即為落在陰影部分的概率的近似值．
(5)利用幾何概型公式得出點落在陰影部分的概率
(6)因為=,所以S=即為陰影部分的面積.
方法技巧 根據幾何概型計算公式，概率等于面積之比，如果概率用頻率近似在不規則圖形外套上一個規則圖形，則不規則圖形的面積近似等于規則圖形面積乘以頻率．而頻率可以通過隨機模擬的方法得到，從而求得不規則圖形面積的近似值．
（九）、生活中的幾何概型
例1、 某人欲從某車站乘車出差，已知該站發往各站的客車均每小時一班，求此人等車時間不多于10分鐘的概率．
分析：假設他在0～60分鐘之間任何一個時刻到車站等車是等可能的,但在0到60分鐘之間有無窮多個時刻,不能用古典概型公式計算隨機事件發生的概率.可以通過幾何概型的求概率公式得到事件發生的概率.因為客車每小時一班,他在0到60分鐘之間任何一個時刻到站等車是等可能的,所以他在哪個時間段到站等車的概率只與該時間段的長度有關,而與該時間段的位置無關,這符合幾何概型的條件.
解:設A={等待的時間不多于10分鐘},我們所關心的事件A恰好是到站等車的時刻位于[50,60]這一時間段內,因此由幾何概型的概率公式,得P(A)= =，即此人等車時間不多于10分鐘的概率為．
例2、某公共汽車站每隔15分鐘有一輛汽車到達，乘客到達車站的時刻是任意的，求一個乘客到達車站后候車時間大于10 分鐘的概率？
分析：把時刻抽象為點，時間抽象為線段，故可以用幾何概型求解。
解：設上輛車于時刻T1到達，而下一輛車于時刻T2到達，線段T1T2的長度為15，設T是T1T2上的點，且T1T=5，T2T=10，如圖所示:

記候車時間大于10分鐘為事件A，則當乘客到達車站的時刻落在線段T1T上時，事件發生，區域D的測度為15，區域d的測度為5。
所以
答：侯車時間大于10 分鐘的概率是1/3.
例3、假設題設條件不變，求候車時間不超過10分鐘的概率.
分析：

例4、某公共汽車站每隔15分鐘有一輛汽車到達，并且出發前在車站停靠3分鐘。乘客到達車站的時刻是任意的，求一個乘客到達車站后候車時間大于10 分鐘的概率？
分析：設上輛車于時刻T1到達，而下一輛車于時刻T0到達，T2時刻出發。線段T1T2的長度為15，設T是T1T2上的點，且T0T2=3，TT0=10，如圖所示:

記候車時間大于10分鐘為事件A，則當乘客到達車站的時刻落在線段T1T上時，事件A發生，區域D的測度為15，區域d的測度為15-3-10=2。
所以
例5、平面上畫有一組平行線，其間隔交替為1.5cm和10cm，任意地往平面上投一半徑為2cm的圓，求此圓不與平行線相交的概率。
[思考方法] 本題的難處，在于題中沒有直接指明等可能值參數，為此，需發掘“任意的往平面上投一直徑為2cm的圓”之真實含義，找出具有某種等可能的隨機點。注意到定半徑的圓的位置決定于圓心，可以取圓心作隨機點，由于平行線可以向兩端無限延伸，而往平面上投圓又是任意的，所以只要取這組平行線的某一條垂線就可以了；考慮到題設平行線的間隔交替的為1.5cm和10cm，則研究相鄰三條平行線之間情況就可以反映問題的全貌。經上面的分析，我們可以取圓心為隨機點，它等可能地分布在相鄰三條平行線的某一垂線上（如圖1-3）由此原題不難解出。
[解] 設L1、L2、L3是三條相鄰的平行線，EPF是它們之間的垂線（圖1-3），則樣本空間所對的區域是線段EF,有
L(G)=EF=1.5+10=11.5(cm)
注意到L1與L2相鄰1.5cm，所以圓心如果落在線段EP上，那么圓與平行線必定相交。設半徑為2cm的⊙O、⊙O1分別切L2、L3于P、F，則事件的有利場合所對應的區域應是線段OO1有
L(GA)=OO1=PF-OP-O1F=10-2-2=6cm。
評注 從本題可以看出，如果題中沒有直接指明等可能值參數，則解題的關鍵，在于斟酌題設條件，發掘等可能值參數的含義，找出隨機點的分布情況。
例6、《廣告法》對插播廣告的時間有一定的規定，某人對某臺的電視節目做了長期的統計后得出結論，他任意時間打開電視機看該臺節目，看不到廣告的概率為，那么該臺每小時約有________分鐘的廣告．
解析：60×(1－)＝6分鐘．答案：6
例7、甲、乙兩人約定在下午4:00~5:00間在某地相見他們約好當其中一人先到后一定要等另一人15分鐘，若另一人仍不到則可以離去，試求這人能相見的概率。
解：設x為甲到達時間，為乙到達時間.建立坐標系，如圖時可相見，即陰影部分
例8、兩對講機持有者張三、李四，為卡爾貨運公司工作，他們對講機的接收范圍是25km，下午3：00張三在基地正東30km內部處，向基地行駛，李四在基地正北40km內部處，向基地行駛，試問下午3：00，他們可以交談的概率。
解：設為張三、李四與基地的距離，，以基地為原點建立坐標系.他們構成實數對，表示區域總面積為1200，可以交談即
故
例9、某勘探隊勘測到，在1萬平方千米的海域中有40平方千米的大陸架儲藏著石油，假設在海域中任意一點鉆探，鉆到油層面的概率是多少？
分析：石油在1萬平方千米的海域大陸架的分布可以看作是隨機的而40平方千米可看作構成事件的區域面積，由幾何概型公式可以求得概率。
解：記“鉆到油層面”為事件A，則P(A)= ==0.004．
答：鉆到油層面的概率是0.004．
例10、一只海豚在水池中游弋，水池為長，寬的長方形，求此刻海豚嘴尖離岸邊不超過的概率．
解：由已知可得，海豚的活動范圍在26×16㎡的區域外， 所以海豚嘴尖離岸邊不超過的概率為
練習
1、平面上有一組平行線且相鄰平行線間的距離為3 cm，把一枚半徑為1 cm的硬幣任意平擲在這個平面，則硬幣不與任何一條平行線相碰的概率是 (　　)
A. B. C. D.
解析：平面被這一組平行線分割成條狀區域，現對兩條平行線之間的區域考慮：平行線間的距離為3 cm，硬幣半徑為1 cm，要想硬幣不與兩條平行線相碰，硬幣中心與兩條平行線的距離都應大于1 cm，如圖：
硬幣中心只有落在陰影部分(不包括邊界)時，才能讓硬幣與兩條平行線都不相碰，則硬幣中心落在陰影部分的概率為.整個平面由無數個這樣的條狀區域組成，故所求概率是.答案：B
2、在平面直角坐標系xOy中，設D是橫坐標與縱坐標的絕對值均不大于2的點構成的區域，E是到原點的距離不大于1的點構成的區域，向D中隨機投一點，則所投的點落在E中的概率是__________．
解析：如圖：區域D表示邊長為4的正方形ABCD的內部(含邊界)，
區域E表示單位圓及其內部，因此P＝＝.答案：
3、甲、乙兩艘輪船都要停靠在同一個泊位，它們可能在一晝夜的任意時刻到達．甲、乙兩船停靠泊位的時間分別為4小時與2小時，求有一艘船停靠泊位時必需等待一段時間的概率．
解：甲比乙早到4小時內乙需等待，甲比乙晚到2小時內甲需等待．
以x和y分別表示甲、乙兩船到達泊位的時間，則有一
艘船停靠泊位時需等待一段時間的充要條件為－2≤x－y≤4，在如
圖所示的平面直角坐標系內，(x，y)的所有可能結果是邊長為24的
正方形，而事件A“有一艘船停靠泊位時需等待一段時間”的可能結果由陰影部分表示．由幾何概型公式得：
P(A)＝＝.故有一艘船停靠泊位時必需等待一段時間的概率是.
（十）、與其他章節知識綜合類
例1、已知兩數是某事件發生的概率取值，則關于的一元二次方程有實根的概率是（ ）
A. B. C. D.
解析：事件發生的概率取值為，故即為兩數的取值范圍。在平面直角坐標系中，以軸和軸分別表示的值，因為（）與圖中正方形內的點一一對應，即正方形內的所有點構成全部試驗結果的區域．設事件表示方程有實根，則事件，所對應的區域為圖中的陰影部分，且陰影部分的面積為．故由幾何概型公式得，即關于的一元二次方程有實根的概率為．答案：C．
點評：將方程的根、線性規劃問題以及概率知識等問題有機地結合在一起，注重在知識的交匯處命題，是近年來高考的命題趨勢。本題設計新穎，考查綜合。
總之，幾何概型不但是高中數學的新增內容，而且由于它涉及圖形的長度、面積、體積及其他的幾何知識，更能考察同學們分析問題的能力，因此越來越受到高考的青睞，所以希望同學們能很好的掌握.

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