資源簡介

《計數(shù)原理》總體設計
分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理是解決計數(shù)問題的基礎，稱為基本計數(shù)原理.通過本章的學習，學生要理解兩個基本計數(shù)原理，會運用計數(shù)原理探索排列、組合、二項式定理等問題.
以上是《標準（2017年版）》對本章內容的整體定位，也是本章編寫的指導思想.
一、本章學習目標
1.兩個基本計數(shù)原理
通過實例，了解分類加法計數(shù)原理、分步乘法計數(shù)原理及其意義.
2.排列與組合
通過實例，理解排列、組合的概念；能利用計數(shù)原理推導排列數(shù)公式、組合數(shù)公式.
3.二項式定理
能用多項式運算法則和計數(shù)原理證明二項式定理，會用二項式定理解決與二項展開式有關的簡單問題.
二、本章知識結構框圖
三、內容安排
從幼兒時期，我們就開始運用“一個一個地數(shù)”的方法解決計數(shù)問題；在生活中，遇到復雜的計數(shù)問題時，也會自然而然地分類、分步計算.從這些直觀經(jīng)驗出發(fā)，本章系統(tǒng)安排了解決計數(shù)問題的原理和方法，包括兩個基本計數(shù)原理——分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理，兩類特殊的計數(shù)問題——排列與組合，以及這些知識的應用——二項式定理.
6.1節(jié)是分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理.分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理是處理計數(shù)問題的兩種基本思想方法.一般地，面對一個復雜的計數(shù)問題時，人們往往通過分類或分步先將它分解為若干個簡單計數(shù)問題，在解決這些簡單問題的基礎上，再將它們整合起來而得到原問題的答案，這也是在日常生活中被經(jīng)常使用的思想方法.在6.1節(jié)，教科書從設計巧妙的“數(shù)法”入手，首先通過“給一個座位編號”創(chuàng)設不同的情境，讓學生分析比較各自的問題特征及解決問題的基本環(huán)節(jié)；然后從特殊到一般，抽象概括出兩個基本原理；最后選取了8個例題，逐步實現(xiàn)從原理理解到綜合應用.
6.2節(jié)是排列與組合.排列與組合是兩類特殊而重要的計數(shù)問題，而解決它們的基本思想和工具就是兩個計數(shù)原理.在6.2節(jié)，教科書從簡化運算的角度提出排列與組合的學習任務，通過具體實例的概括而得出排列、組合的概念；應用分步乘法計數(shù)原理得出排列數(shù)公式；應用分步計數(shù)原理和排列數(shù)公式推出組合數(shù)公式.對于排列與組合，有兩個基本想法貫穿始終：一是根據(jù)一類問題的特點和規(guī)律尋找簡便的計數(shù)方法，就像乘法可以作為特定條件下加法的簡便運算一樣；二是注意應用兩個計數(shù)原理思考和解決問題.
6.3節(jié)是二項式定理.二項式定理的學習過程是應用兩個計數(shù)原理解決問題的典型過程，其基本思路是“先猜后證”.猜想不僅是通過對中取1，2，3，4的展開式的形式特征的分析而歸納得出，更主要的是運用多項式乘法法則和兩個計數(shù)原理對展開式的項的特征進行分析.這個分析過程不僅使學生對二項式的展開式與兩個計數(shù)原理之間的內在聯(lián)系獲得認識的基礎，而且也為說明猜想的正確性提供了基本思路.
基于以上分析，本章的重點是兩個計數(shù)原理、排列數(shù)公式和組合數(shù)公式、二項式定理.本章的難點是原理的歸納、公式和定理的推導.無論是概念的得出還是數(shù)學公式的推導，都是從特殊到一般，從具體到抽象，通過歸納而得到，這既是代數(shù)中研究問題的基本方法，也是數(shù)學學習中經(jīng)常使用的思維方法.這個學習過程，能很好地培養(yǎng)學生的抽象能力和推理能力，從而提升學生的數(shù)學抽象、邏輯推理等素養(yǎng).但是由于學生思維水平的差異，在這個過程中，有些學生可能會遇到學習困難.例如組合數(shù)公式的推導，“發(fā)現(xiàn)”的基礎是對組合與排列的關系的觀察與分析，這種觀察與分析是從具體的“從4個不同元素中取出3個元素的排列數(shù)與組合數(shù)的關系”出發(fā),從具體到抽象，發(fā)現(xiàn)從中取出3個元素的排列數(shù)與組合數(shù)之間的關系，并抽象概括出一般的方法，然后從特殊到一般，推廣到一般情形.突破難點的關鍵在于設置情境和問題，引導學生一步步深入思考，經(jīng)歷數(shù)學思維的各個環(huán)節(jié)，經(jīng)歷知識發(fā)生發(fā)展的過程.
四、課時安排
本章教學約需12課時，具體分配如下（僅供參考）：
6.1 分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理 約4課時
6.2 排列與組合 約4課時
6.3 二項式定理 約2課時
小結 約2課時
五、本章編寫思考
本章內容屬于《標準（2017年版）》選擇性必修課程的“主題三 概率與統(tǒng)計”，既相對獨立，又是后續(xù)概率與統(tǒng)計內容學習的基礎.通過本章的學習，學生能夠理解兩個基本計數(shù)原理，能夠理解排列、組合、二項式定理與兩個計數(shù)原理的關系，能夠運用計數(shù)原理推導排列、組合、二項式定理的相關公式，并能夠運用它們解決簡單的實際問題，特別是概率中的某些問題.雖然兩個計數(shù)原理是人們在大量實踐經(jīng)驗的基礎上歸納出來的基本規(guī)律，幾乎可以說它們是一種常識，簡單又樸素，易學、能懂、好用.但是從常識抽象到數(shù)學原理，從數(shù)學原理逐步推導出各種公式，再從原理、公式到靈活應用，并不容易.因此本章編寫時，既注重知識發(fā)生發(fā)展過程的展開，又注重分析、抽象、推理和論證等思維能力的運用，從而提升學生的數(shù)學抽象與邏輯推理素養(yǎng).
1.采用歸納式的概念建構方式，加強對概念的理解，提升數(shù)學抽象素養(yǎng)
本章涉及兩個計數(shù)原理、排列和排列數(shù)、組合和組合數(shù)，以及與二項式定理相關的一些概念.這些概念都有一定的抽象性，如何使學生建立理解這些概念的認知基礎，是教科書編寫過程中重點考慮的問題.總的來說，教科書采取“歸納式”來構建概念的理解過程，即先引導學生分析一些典型事例，從中抽象出共同特征，再進一步概括出本質特征，最后還以一定量的應用題示例，在應用中加深對概念的理解.
例如兩個計數(shù)原理，計數(shù)是人類最基本、最原始和最古老的數(shù)學實踐活動，“一個一個地數(shù)”的過程非常煩瑣而且容易出錯，促使人們尋找方便、快捷的方法，即設法“不通過一個個地數(shù)”而達到正確、迅速地計數(shù)的目的.教科書就以此作為研究兩個計數(shù)原理的基本出發(fā)點，先在引言中介紹了研究計數(shù)原理的上述目的，由此激發(fā)學生的學習欲望，然后采取了“問題情境—引導探究—抽象概括”的方式，安排了從具體例證中歸納兩個計數(shù)原理的活動，以引導學生經(jīng)歷原理的概括過程.同樣地，在排列與組合中，仍然沿用“減少重復、避免煩瑣、簡便計數(shù)”的想法，安排學生熟悉的問題情境（“從3名學生中選兩名分別參加上、下午的活動”“從1，2，3，4中取三個不同數(shù)字排成三位數(shù)”等），引導學生詳細分析計數(shù)過程，并抽象概括出排列、組合的概念及其計數(shù)公式；在二項式定理的探究中，也安排了“用兩個計數(shù)原理分析當時的二項展開式—學生獨立分析當時的二項展開式—猜想并說明二項式定理”的過程.
總之，在這樣一個強調知識展開和思維運用的過程中，學生不僅通過分析和比較、抽象和概括，獲得和理解了概念，而且還提升了數(shù)學抽象素養(yǎng).
2.加強兩個計數(shù)原理的基礎性作用，提升邏輯推理素養(yǎng)
兩個計數(shù)原理是解決計數(shù)問題的“根本大法”，排列、組合及二項式定理都是兩個計數(shù)原理的典型應用.因此，教科書編寫時，一是注意引導學生“追本溯源”，把排列、組合和二項式定理的研究引導到如何應用計數(shù)原理的思考上來；二是注意引導學生根據(jù)原理分析和解決問題，靈活運用，避免機械套用公式.
例如二項式定理的推導，直接聯(lián)系到兩個計數(shù)原理是不容易的.為此，教科書安排了如下過程：（1）在“探究”中提出如何利用兩個計數(shù)原理得出的展開式的問題.（2）詳細寫出用多項式乘法法則得到展開式的過程，并從兩個計數(shù)原理的角度對展開過程進行分析，概括出項數(shù)和項的形式.（3）用組合知識分析展開式中具有同一形式的項的個數(shù)，從而得出用組合數(shù)表示的的展開式.（4）讓學生模仿上述過程推導的展開式.（5）得出關于的展開式的猜想，并予以說明.由此可以看到，得到二項式定理的猜想及其證明方法的核心就是應用兩個計數(shù)原理.
再如，教科書選取了一些典型的、多角度的應用問題，設計例題和習題，讓學生通過一定量的訓練，應用兩個計數(shù)原理進行分析、推理和論證，從而靈活應用.像計數(shù)原理概念之后安排難度逐步增大的8個例題，排列組合習題中安排辨析排列與組合，內含重復或遺漏等情況的問題,讓學生在分析問題和解決問題中認識到兩個計數(shù)原理的基礎性地位，而這些問題的選材又同時關注了典型性、時代性和貼切性，如經(jīng)典又靈活多變的“幾位數(shù)”問題，富有時代氣息的共享單車問題，貼近學生生活的食堂選菜問題等.
無論是從原理出發(fā)推導公式，還是回歸到原理解決問題，都是培養(yǎng)學生推理能力的好時機，而充分經(jīng)歷這些過程，就能逐步提升學生的邏輯推理素養(yǎng).
3.通過聯(lián)系和比較，歸納數(shù)學思想和方法
本章內容涉及分類、化歸、多元聯(lián)系表示等眾多數(shù)學思想方法.適當滲透并及時歸納數(shù)學思想方法是教科書編寫中考慮的一個重要問題.其一，教科書通過聯(lián)系和比較，引入、滲透這些數(shù)學思想方法.例如，在兩個計數(shù)原理中，聯(lián)系實際情境的分類和分步需求，滲透了分類以達到“以簡馭繁”目的的基本思想：運用分類加法計數(shù)原理解決問題就是將一個復雜問題分解為若干“類別”，然后各個擊破，分類解決；運用分步乘法計數(shù)原理則是將一個復雜問題的解決過程分解為若干“步驟”，先對每一個步驟進行細致分析，再整合為一個完整的過程.再如在排列、組合中，通過比較的方法，引導學生討論排列與組合的關系；運用多元聯(lián)系表示思想，采用樹狀圖、表格、等值語言敘述、構造模型等多種方法，探討排列、組合的概念及其計數(shù)公式等.其二，教科書通過歸納欄目和章小結，明確、總結每一節(jié)及本章所學習的數(shù)學思想方法.例如，在學完兩個計數(shù)原理之后，教科書安排了“歸納"，細致說明了分類和分步，并提出問題，讓學生通過類比加法和乘法兩種運算的關系，思考兩個計數(shù)原理之間的關系.再如在章小結中，明確指出何為重要而基本的思想方法及其具體體現(xiàn).
4.選擇具有時代性的事例，增強學生的應用意識
應當說，計數(shù)問題非常多，而且可以人為地大量編制.實際上這也是造成本章學習困難的原因之一.為了體現(xiàn)“能夠結合具體實例，理解相關知識，并能夠運用它們解決簡單的實際問題”的要求，教科書將“學以致用”的思想貫穿本章始終，而且特別注意選材的典型性、時代性和現(xiàn)實性，不把那些人為編制的計數(shù)難題、需要特殊技巧的計數(shù)問題納入教科書中.例如，具有時代感的計算機程序設計中程序模塊命名、字符編碼、程序測試路徑問題，貼近學生生活實際的大學專業(yè)選擇、汽車牌照號碼問題；等等.這些豐富的問題既可以讓學生感受到計數(shù)問題的時代性，增強應用意識，還可以讓學生在應用過程中加深對原理的理解，提高學生的分析問題和解決問題的能力.
六、本章教學建議
1.注意認真剖析概念
所謂“剖析概念”，實際上是對概念內涵的深入分析，也就是要對概念的各種屬性及其關系進行認真分析.在本章教學中，有幾個概念的關鍵屬性需要認真分析：
（1）兩個計數(shù)原理中的“完成一件事情”.這是一個比較抽象的詞匯，它比學生熟悉的“完成一件工作”“完成一項工程”等的含義要廣泛得多，教學中應當結合實例讓學生辨析.例如，“選一個專業(yè)”“選男生和女生各一名”“從中任取一本書”“從中任取數(shù)學書、語文書各一本”“從甲地到乙地”等，這些都是原理中所說的“完成一件事情”.排列、組合中的“確定一個滿足條件的排列”“確定一個滿足條件的組合”也是指“完成一件事情”.建議在概念和例題的教學中，都要求學生先思考并說出要完成的一件事情是什么.在實際應用中，學生容易把“完成一件事情”與“計算完成這件事情的方法總數(shù)”混同.例如，在分析“從1~9這九個數(shù)字中任取兩個，共可組成多少沒有重復數(shù)字的兩位數(shù)”時，學生容易把要完成的事情理解成為“求滿足條件的兩位數(shù)的個數(shù)”，教學時應當注意利用簡單實例引導學生消除這種誤解.只有準確理解了什么叫“完成一件事情”，才能進一步分析可以用什么方法完成，是否需要分類或分步完成，這樣才能確定到底應該用哪個計數(shù)原理.
（2）排列概念中的“一定順序”.同樣地，為了讓學生理解其含義，要結合實例進行認真分析.例如，學生熟悉的排隊問題中，“從前到后”“從左到右”“從上到下”都是“一定順序”；安排工作時“上午在前下午在后”也是“一定順序”；“從1~9這九個數(shù)字中選三個不同數(shù)字組成三位數(shù)”中，“一定順序”可以規(guī)定為“百十個位”；等等.最后要使學生明確，若干個元素按照一定的順序排成一列，元素不同或元素相同但順序不同的排列都是不同的排列，即當且僅當兩個排列的元素和順序都相同時才是同一個排列.
（3）“排列數(shù)”與“一個排列”，“組合數(shù)”與“一個組合”.可以通過實例引導學生分析它們的關系.例如，123，321，213，…都是“從1~9這九個數(shù)字中選三個不同數(shù)字組成三位數(shù)的一個排列”，這樣的排列數(shù)共有個.
2.精心設計思維活動，充分展開過程
教科書編寫中最為關注的一點就是“過程”，包括概念的抽象過程和公式的推導過程.正是在這些過程中，既能充分體現(xiàn)數(shù)學思想方法的作用，又能讓學生充分運用各種數(shù)學思維.因此，這是進行數(shù)學思想方法教學和提升學生數(shù)學素養(yǎng)的最好時機.在教學中，要根據(jù)知識的特點，分析思維過程，精心設計教學活動.
例如組合數(shù)公式的推導過程，有這樣一個關鍵的思維活動，它包括兩個方面：
（1）從特殊到一般，將方法一般化.首先，明確求“3個不同元素中取出2個元素的組合數(shù)”的方法：①3取2的排列數(shù)，②以“元素相同”分組.然后，“運用同樣的方法”，求“4個不同元素中取出3個元素的組合數(shù)”，并轉換角度，獲得等式.最后，“同樣地”將獲得上述等式的方法推廣到一般情形，得到組合數(shù)公式.
（2）從不同角度看問題，靈活轉換.如何得出等式，既是組合數(shù)公式推導的關鍵，也是教學難點.雖然以“元素相同”分組，可以求得等組合數(shù)，但是很難得到一般的公式，這就需要“一條路走不通時，尋找另一條路”.事實上，在數(shù)學上，這是很普遍的，而且也由此產(chǎn)生了許多新思想、新方法.在教學中，重點是引導學生轉換角度來重新分析已有結果，即“還可以怎樣理解”求解的過程，獲得新的推理方法.
事實上，“從不同角度看問題”不僅可以解決求組合數(shù)的教學難點，它也可以解決本章很多學習難點.這是因為計數(shù)問題一般都涉及實際背景，有一個數(shù)學化的過程，這個過程中容易出現(xiàn)理解上的錯漏，而且分類或分步過程中都有可能產(chǎn)生重復或遺漏的情況.但是從不同角度思考，對一個問題給出不同的解決方法，既可以加深對問題本質的理解，又可以檢驗解答是否正確，而且對于培養(yǎng)學生思維的靈活性，提高他們分析和解決問題的能力等都是十分有利的.
3.關注原理，淡化技巧
在《標準（2017年版）》中，關于計數(shù)原理的教學，要求“結合具體情境，引導學生理解許多問題可以歸結為分類和分步兩類問題，引導學生根據(jù)計數(shù)原理分析問題、解決問題”；關于計數(shù)原理的學習，要求“能解決簡單的實際問題，特別是概率中的某些問題”.因此，教科書始終把兩個計數(shù)原理的理解放在突出位置，并給學生提供辨別容易混淆的概念、用不同思路分析和解決問題的機會.在教學中，一是要把握好這種定位，避免在技巧和難度上做文章；二是要讓學生意識到原理的重要性，往往很多時候，無法直接套用公式時，需要回歸到原理本身來分析問題和解決問題.
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