資源簡介

《成對數據的統計分析》總體設計
I總體設計
本章在必修課程統計內容的基礎上，通過成對數據研究兩個隨機變量（以下簡稱變量）之間的關系，內容包括成對數據的統計相關性、一元線性回歸模型、2×2列聯表，通過本章學習，學生將掌握成對樣本數據的直觀表示方法及線性相關統計特征的刻畫方法，能夠根據成對數據的統計相關性推斷兩個變量的相關性，解決統計相關性的簡單實際問題；理解一元線性回歸分析的方法，會用一元線性回歸模型刻畫兩個變量之間的相關關系，并進行預測；理解列聯表的統計意義，會用列聯表的方法解決兩個變量獨立性檢驗的簡單實際問題在本章的學習過程中，學生將進一步感悟根據實際情況進行科學決策的必要性和可能性；體會統計思維與確定性思維的差異、歸納推斷與演繹證明的差異；積累數據分析的經驗，培養數據分析、數學建模、邏輯推理等素養.
一、本章學習目標
1.成對數據的統計相關性
（1）結合實例，了解樣本相關系數的統計含義，了解樣本相關系數與標準化數據向量夾角的關系.
（2）結合實例，會通過樣本相關系數比較多組成對數據的相關性.
2.一元線性回歸模型
（1）結合具體實例，了解一元線性回歸模型的含義，了解模型參數的統計意義，了解最小二乘原理，掌握一元線性回歸模型參數的最小二乘估計方法，會使用相關的統計軟件.
（2）針對實際問題，會用一元線性回歸模型進行預測
3.列聯表
（1）通過實例，理解列聯表的統計意義，
（2）通過實例，了解列聯表獨立性檢驗及其應用.
二、本章知識結構框圖
三、內容安排
在必修課程中，學生學習過一些樣本數據的直觀表示方法和統計特征的刻畫方法，例如直方圖、均值、方差、取值規律、分位數等，并根據樣本數據的統計特征估計總體的統計特征.這些方法主要適用于解決單個變量的統計問題.本章在必修課程基礎上，以樣本估計總體為主要思想方法，通過成對樣本數據的統計相關性研究兩個變量之間的相關性.根據《標準（2017年版）》的要求，本章包括成對數據的統計相關性、一元線性回歸模型、列聯表三部分內容，教科書據此共安排了三節內容：“8.1 成對數據的統計相關性”“8.2 一元線性回歸模型及其應用”“8.3 列聯表與獨立性檢驗”.這三節內容中，前兩節主要是學習處理定量數據的統計方法，其中8.2節可以看作8.1節的后繼知識，8.3節主要是學習處理定性數據的統計方法.
8.1節主要是通過成對樣本數據研究兩個數值變量之間的相關性.按照先直觀描述后定量刻畫的原則，本節分為“8.1.1變量的相關關系”和“8.1.2樣本相關系數”兩小節.
8.1.1.小節主要是引入變量之間相關關系的概念，并根據成對樣本數據的散點圖直觀推斷變量之間的相關關系.教科書通過案例“一個人身高與體重的關系”引入相關關系的概念，并通過舉例明確概念外延，同時也讓學生感受到研究此類問題的必要性.在此基礎上，結合“人體的脂肪含量和年齡之間關系”，介紹成對樣本數據的散點圖，據此直觀推斷變量之間的相關關系，并引入正相關、負相關、線性相關三種特殊且重要的相關關系.
8.1.2小節主要是引入樣本相關系數的概念，樣本相關系數不僅可以反映成對樣本數據相關的正負性，而且可以定量地刻畫成對樣本數據線性相關的程度.教科書通過對散點圖無法定量刻畫成對樣本數據相關程度的分析，讓學生感受引入樣本相關系數的必要性.對于樣本相關系數的定義，教科書從統計直觀出發，先初步建立刻畫相關性的數學表達式，再通過逐步優化表達式得到樣本相關系數公式，在過程中讓學生體會樣本相關系數定義的合理性，積累數據分析的經驗引入樣本相關系數的定義后，教科書對樣本相關系數的性質進行討論，明確樣本相關系數的正負性可以反映成對樣本數據相關的正負性，樣本相關系數絕對值的大小可以刻畫成對樣本數據線性相關程度的強弱，并根據樣本相關系數推斷兩個變量之間相關的正負性，以及線性相關程度的強弱.
8.2節主要是利用一元線性回歸模型刻畫兩個數值變量的相關關系，并利用估計得到的經驗回歸方程進行預測.根據先建立模型再估計模型參數的順序，本節內容分為“8.2.1 一元線性回歸模型”“8.2.2 一元線性回歸模型參數的最小二乘估計”兩小節.
8.2.1小節主要是建立一元線性回歸模型刻畫兩個數值變量之間的相關關系.教科書結合具體案例“兒子身高與父親身高的關系”，在一次函數模型的基礎上，通過引入隨機誤差項，建立一元線性回歸模型刻畫兩個數值變量之間的相關關系.結合這個案例，教科書還討論了回歸模型中隨機誤差產生的原因.
8.2.2小節主要是用最小二乘法估計一元線性回歸模型中的參數，得到經驗回歸方程，進而根據解釋變量的取值預測響應變量的取值.教科書結合“兒子身高與父親身高的關系”這個案例,完整呈現了從直觀尋找與散點整體接近的直線,到用定量刻畫整體接近的程度，最后得到參數估計的數學化過程,在過程中讓學生體會最小二乘法的思想,積累數據分析的經驗.在此基礎上結合具體案例,利用回歸方程進行預測,并對結果進行合理解釋,解到參數與的統計含義.對建立的模型進行評價是利用統計建模解決實際問題的一個重要環節,為此教科書還進一步介紹了殘差分析的方法,據此對模型進行評價和改進.
8.3節主要是基于列聯表推斷兩個分類變量的獨立性.按照先直觀描述后定量刻畫的原則,本節內容分為“8.3.1分類變量與列聯表”“8.3.2獨立性檢驗”兩小節.
8.3.1小節主要是基于2×2列聯表直觀推斷兩個分類變量的獨立性.根據數據是普查還是抽樣得到，這一小節還分兩個層次：先研究普查數據的問題，再研究抽樣數據的問題.教科書結合“男生和女生在體育鍛煉的經常性”的普查數據，用比率和條件概率兩種方法判斷兩個分類變量的獨立性，其中通過比率判斷比較符合直觀，而通過條件概率判斷，則是為了后續通過抽樣數據推斷分類變量的獨立性作思想方法上的鋪墊.
8.3.2小節是基于列聯表，用假設檢驗的思想推斷兩個分類變量的獨立性，即獨立性檢驗.教科書首先通過度量推斷犯錯誤的可能性大小體現引入獨立性檢驗的必要性.為了得到定量推斷分類變量獨立性的方法，教科書從頻率和概率的關系出發，詳細地展示了統計量的構造過程，目的還是在這個過程中讓學生體會統計的思想方法，積累數據分析的經驗.這樣，利用統計量的近似分布和小概率原理，就可以根據的觀測值對分類變量的獨立性作出科學的推斷.關于獨立性檢驗，教科書設置了“基于同一組數據的分析，但卻得出了不同的結論”和“獨立性檢驗和反證法的比較”的兩個思考，幫助學生深入認識獨立性檢驗思想方法的特點.
本章重點是成對數據的統計相關性、一元線性回歸模型、獨立性檢驗；難點是理解獨立性檢驗的思想.
四、課時安排
本章教學時間約需9課時，具體分配如下（僅供參考）：
8.1成對數據的統計相關性 約2課時
8.2一元線性回歸模型及其應用 約3課時
8.3列聯表與獨立性檢驗 約2課時
小結 約2課時
五、本章編寫思考
1.結合典型案例介紹統計的概念和方法
統計概念和方法的學習應該結合具體案例進行，因此與必修課程中的統計編寫思路一樣，本章主要通過學生熟悉的具體案例提出統計問題，在問題的解決過程中學習統計的概念和方法，盡量避免在沒有具體案例支撐的情況下抽象地介紹定義和方法.
例如，在“8.2一元線性回歸模型及其應用”中，教科書以案例“兒子身高與父親身高的關系”為作為貫穿始終的線索.教科書首先根據生活經驗和調查數據得到兒子身高和父親身高正線性相關，在具體分析影響兒子身高的因素后，引入帶有隨機誤差項的一元線性回歸模型.然后以兒子身高與父親身高的數據為載體，尋找散點的擬合直線，引入最小二乘法，得到模型參數的估計公式和經驗回歸方程.接著結合兒子身高與父親身高的經驗回歸方程，介紹預測和模型的評價，引入觀測值、預測值、殘差等概念.
2.重視內容邏輯和認知規律的融合
在組織安排高中統計內容時，教科書特別重視內容邏輯和認知規律的融合.必修課程的統計主要通過數據研究單變量的統計問題，選擇性必修課程的統計主要通過成對樣本數據研究兩個變量關系的統計問題.不管是單變量的數據還是兩個變量的成對數據，研究的統計問題和處理數據所用的統計方法往往和變量的類型有關，在研究兩個數值型變量的相關性時，成對樣本數據的直觀表示主要用散點圖，線性相關程度的刻畫主要用樣本相關系數，線性相關關系的刻畫用線性回歸模型.而在研究兩個分類變量的相關性時，則是基于列聯表用獨立性檢驗的方法推斷其獨立性.
本章前兩節安排的是數值變量的內容，其中8.2節為8.1節的后繼知識，8.3節安排的是分類變量的內容.而每一節的內部，又基本按照先直觀描述后定量刻畫的原則進行安排，體現了統計中研究問題的一般思路.例如，對于兩個數值變量相關性的推斷，先通過散點圖進行直觀推斷，在此基礎上通過引入樣本相關系數進行定量推斷；對于兩個分類變量的獨立性檢驗，先根據全面調查數據推斷兩個變量之間的獨立性，再根據抽樣調查數據推斷兩個變量之間的獨立性.這樣安排，使內容組織具有整體性、層次性，每部分內容的呈現也體現從直觀想法到數學表達的循序漸進的過程，符合學生的認知規律.
3.體現引入統計概念和方法的必要性和合理性
統計學習不應只是記住一些概念、公式或方法實施的操作步驟，更重要的是要了解概念和方法產生的必要性，以及方法的合理性，了解統計研究問題的思路和特點，進而學會用統計的眼光看問題，培養數據分析素養，因此，教科書在介紹有關統計的概念和方法時，特別重視在樣本估計總體思想的指導下，呈現統計概念和方法的形成過程.
在本章中，教科書主要通過典型案例體現統計概念和方法產生的必要性，例如，在案例“一個人身高與體重的關系”中，通過描述身高和體重之間的不確定性關系，引入相關關系的概念；通過刻畫兒子身高和父親身高的線性關系，建立一元線性回歸模型.教科書主要通過呈現統計的直觀想法到嚴格數學表達的逐步轉化過程，體現統計概念或方法的合理性，例如，對于樣本相關系數的定義，教科書先引導學生觀察具有正、負相關性的成對數據散點圖呈現的不同特征，然后初步構造出能反映增長趨勢相同或相反的代數表達式，再通過數據標準化對表達式進行優化，最后得到不受樣本量、單位等影響的樣本相關系數公式，這個過程體現了樣本相關系數定義的合理性，教科書對于一元線性回歸模型參數的估計、統計量的定義也都是通過呈現它們產生和形成的過程來體現其合理性
4.注重與已有知識的聯系
加強與已有知識的聯系，既可以幫助理解新知識，又有利于以后用統一的觀點看問題.例如，相關關系是兩個變量之間的一種不確定性關系，教科書在引入相關關系的概念時，特意與已學過的用來刻畫兩個變量之間確定關系的函數概念進行比較，通過比較使學生更容易抓住相關關系的特點.又如，在引入一元線性回歸模型時，先明確一次函數不能完全刻畫線性相關關系，接著在一次函數模型的基礎上構建一元線性回歸模型，這樣既建立了兩種模型的聯系與區別，又體現了建立一元線性回歸模型的必要性和合理性.對初學者來說，通過與熟悉的類似知識比較，可以促進理解新知識.
5.重視信息技術與統計內容的融合
運用計算器、計算機等信息技術工具，不僅可以實現快速、準確地列表、畫圖、計算等數據處理，而且能使大量人工難以完成的數據處理變成可能，學會使用統計軟件是統計學習的重要組成部分，《標準（2017年版）》對此也提出了有明確要求.在統計學習中，學會合理使用信息技術，可以把學生從機械、煩瑣的數據處理中解放出來，把更多精力集中于統計概念和方法的理解，從而提高學習的效率.而且當處理真實數據不再困難時，必將提高學生學習統計和應用統計的提示.
教科書在本章對信息技術與統計內容的融合給予了充分關注，在正文中以各種形式呈現了用信息技術處理數據的方法，但限于篇幅，教科書只給出R和 Excel兩種軟件對應函數或操作方法的提示.
六、本章教學建議
1.強調樣本估計總體的思想
用樣本估計總體是統計的基本思想.在義務教育階段，學生學習了用統計圖表表示數據，用平均數和方差等數字特征刻畫數據的特征，雖然也會涉及樣本估計總體，但重點在于對數據本身的統計特征的描述和刻畫，數據的隨機性考慮不多.到高中階段，統計的內容開始強調數據的隨機性，要求通過隨機樣本數據對總體作出估計，估計的目標是得到總體的有關結論，此時對樣本數據本身的刻畫不再是最終目標，而是達到目標的一種手段.因此在高中統計教學中應該強調樣本估計總體的思想.
必修課程的統計主要是關于單變量總體的估計或推斷，例如通過樣本數據的均值、方差、分位數估計總體相應的數字特征.在選擇性必修課程的統計中，樣本估計總體仍然是基本的統計思想，只是數據由一維變為二維，總體由一個變量變為兩個變量.在本章中，通過樣本相關系數估計兩個變量的相關性，通過一元線性回歸模型刻畫兩個變量的相關關系，通過統計量檢驗兩個分類變量的獨立性，都是關于兩個變量這個總體的估計或推斷，在教學中應充分重視.
2.準確把握統計的學科邏輯
我們知道，函數、代數、幾何、概率等內容是從定義出發，主要使用演繹推理的方法證明結論，演繹推理是從一般到特殊的推理，只要前提正確、推理形式正確，得到的結論必然正確.因此得出的結論具有確定性，而統計是從樣本數據出發，根據樣本數據的結論推斷總體的結論，這是從部分到總體、特殊到一般的推理，在推理方法上屬于不完全歸納.不完全歸納的特點是前提正確并不意味著得到的結論正確，也就是說統計的推斷有可能犯錯誤，結論具有不確定性.由于出發點和推理方法的不同，統計與函數、代數等內容在對結論的判斷標準上也不一樣，前者是好與壞，后者是對與錯.在教學中對此要準確把握.只有從整體上準確把握統計學科邏輯的特點，才能準確理解統計教學的內容，準確把握教科書的編寫意圖并展開教學.
3.注重統計概念和方法的產生和形成過程
統計中每一個概念和方法的引入都有其必要性，之所以成為目前的形式也都有其合理性.在教學中體現好這個過程，不但有利于明確學習的方向和任務、讓學生感受到知識的產生是自然的、合理的，還有利于在概念和方法的形成過程中讓學生體會統計的思想方法，積累數據分析的經驗.
在本章中，教科書特別強調從統計直觀到數學表達的轉化過程，在教學中應該較為完整地展現這個過程并讓學生參與其中，例如，對于估計一元線性回歸模型參數所用的最小二乘法，教學中可以讓學生從尋找與散點在直覺上整體最接近的直線開始，逐步過渡到對整體最接近的數學刻畫，再在若干表達式中選擇平方和最小的作為標準.通過讓學生經歷這個過程，既可以體會統計方法從統計直觀到數學表達的轉化過程，從中體會統計思想，積累數據分析的經驗，培養數據分析素養，又可以體會標準不同結論就不同的統計方法的特點，當然，數據分析素養的培養涉及很多方面，也是一個長期過程，但不斷經歷概念和方法形成的過程是重要的方面.
4.加強信息技術工具的使用
信息技術既是現代統計的組成部分，也是統計學習的有效輔助手段，《標準（2017年版）》明確要求在這部分內容中“會利用統計軟件進行數據分析”.因此，在統計教學中，應該明確要求學生使用信息技術探索數據的規律，提高教學的效率和質量.當然，利用信息工具畫圖和計算應該在理解統計思想和方法的基礎上進行.
例如，對于一組樣本數據，利用統計軟件可以快速地進行排序等整理，計算出各種數字特征，畫出各種統計圖等，利用它們可以從不同的角度探索數據的規律.又如，用一元線性回歸模型刻畫兩個變量之間關系，會涉及畫散點圖、計算樣本相關系數、求經驗回歸方程、畫殘差圖等一系列畫圖和計算.如果每一項工作都用紙筆進行，且樣本數據又較多的話，那么工作量就會非常大，而且很多是重復、機械的工作.如果利用統計軟件，一旦輸入數據，那么上面每一項工作，只需要進行簡單的菜單操作或函數調用即可完成，而且輸出結果既快捷又準確.
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