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九種方法求圓的切點弦方程
在理解概念熟記公式的基礎上，如何正確地多角度觀察、分析問題，再運用所學知識解決問題，是解題的關(guān)鍵所在。本文僅通過一個例題，圓的部分的基本題型之一，分別從不同角度進行觀察，用不同的知識點和九種不同的解法，以達到介紹如何觀察、分析、解決關(guān)于圓的切點弦的問題。
一、預備知識
1、在標準方程下過圓上一點的切線方程為：
在一般方程 （） 下過圓上一點的切線方程為：
兩相交圓 （）與 （） 的公共弦所在的直線方程為：
過圓 （）外一點作圓的切線，其切線長公式為：
過圓 （）外一點作圓的切線，切點弦AB所在直線的方程為：（在圓的標準方程下的形式） （在圓的一般方程下的形式）。
題目
已知圓外一點P（-4，-1），過點P作圓的切線PA、PB，求過切點A、B的直線方程。
三、解法
解法一：用判別式法求切線的斜率
如圖示1，設要求的切線的斜率為（當切線的斜率存在時），那么過點P（-4，-1）的切線方程為：
即
由 消去并整理得
①
令 ②
解②得 或
將或分別代入①解得 、
從而可得 A(,)、B(1,-1)，
再根據(jù)兩點式方程得直線AB的方程為：。
解法二：用圓心到切線的距離等于圓的半徑求切線的斜率
如圖示1，設要求的切線的斜率為（當切線的斜率存在時），那么過點P（-4，-1）的切線方程為：
即
由圓心C(1,2)到切線的距離等于圓的半徑3，得
③
解③得 或
所以切線PA、PB的方程分別為：和
從而可得切點 A(,)、B(1,-1)，
再根據(jù)兩點式方程得直線AB的方程為：。
解法三：用夾角公式求切線的斜率
如圖示1，設要求的切線的斜率為，根據(jù)已知條件可得
|PC|= ，，
在中，|PA|=5，
由夾角公式，得 ④
解④得 或
所以切線PA、PB的方程分別為：和
從而可得切點 A(,)、B(1,-1)，
再根據(jù)兩點式方程得直線AB的方程為：。
解法四：用定比分點坐標公式求切點弦與連心線的交點
如圖示1，根據(jù)已知條件可得
|PC|= ，，
在中，|PA|=5，AHPC，從而可得
由定比分點公式，得 H(,)
又因為
再根據(jù)點斜式方程得直線AB的方程為：。
解法五：將切點弦轉(zhuǎn)化為兩相交圓的公共弦的問題之一
如圖示2，因為|PA|=|PB|，所以直線AB就是經(jīng)過以P為圓心|PA|為半徑的圓C`與圓的交點的直線，由切線長公式得
|PA|=
所以圓C`的方程為
根據(jù)兩圓的公共弦所在的直線方程，得
即 直線AB的方程為：。
解法六：將切點弦轉(zhuǎn)化為兩相交圓的公共弦的問題之二
如圖示3，因為PACA，PBCB，所以P、A、C、B四點共圓，根據(jù)圓的直徑式方程，以P（-4，-1）、C（1，2）為直徑端點的圓的方程為
即
根據(jù)兩圓的公共弦所在的直線方程，得
即 直線AB的方程為：。
解法七：運用圓的切線公式及直線方程的意義
設切點A、B的坐標分別為、，根據(jù)過圓上一點的切線方程，得切線PA、PB的方程分別為
和
因為P（-4，-1）是以上兩條切線的交點，將點P的坐標代入并整理，得
⑤
由式⑤知，直線 經(jīng)過兩點A、B，
所以，直線AB的方程為：。
解法八：直接運用圓的切點弦方程
因為P（-4，-1）是圓外一點，根據(jù)切點弦所在直線的方程 得
整理得，直線AB的方程為：。
解法九：運用參數(shù)方程的有關(guān)知識
如圖4，將圓的普通方程 化為參數(shù)方程：
（其中為參數(shù)）
設切點A的坐標為（，），由PACA得
化簡，整理得
⑥
又因為
可設直線AB的方程為，將點A（，）代入并整理，得
⑦
由式⑥和⑦知，，從而得
所以，直線AB的方程為：
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