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11.3 電勢差與電場強度的關系
一、考點梳理
考點一、勻強電場中電勢差與電場強度的關系
1．兩個關系式：
（1）U＝Ed，由該式可知：在勻強電場中，兩點間的電勢差等于電場強度與這兩點沿電場方向的距離的乘積．
（2）E＝，由該式可知：
①在勻強電場中，電場強度的大小等于兩點間的電勢差與這兩點沿電場強度方向距離之比．
②電場強度的另一種表述：電場強度在數值上等于沿電場方向單位距離上降低的電勢．
③電場強度的另一個單位：由E＝可導出電場強度的另一個單位，即伏每米，符號為V/m。1 V/m＝1 N/C.
2．式U＝Ed、E＝中各字母的物理意義：
U勻強電場中兩點的電勢差的絕對值，E是勻強電場的電場強度的大小，d是勻強電場中這兩點在電場強度方向上的距離或是勻強電場中過這兩點的等勢面間的距離。
3．公式U＝Ed、E＝的適用條件都是勻強電場．
5．說明：
（1）應用公式U＝Ed、E＝計算出來的U是電勢差的絕對值，計算出來的E只是電場強度的大小。
（2）Ｕ的正負號、E的方向可用下列知識判斷
沿著電場線方向（電場強度方向 ）電勢越來越低；電場中電場強度的方向就是電勢降低最快的方向．
6．三個電場強度公式的比較
公式 物理含義 適用范圍
電場強度大小的定義式 適用于一電場
真空中點電荷電場強度的決定式 在真空中，場源電荷Q是點電荷
勻強電場中電場強度的計算式 勻強電場
【典例1】關于勻強電場中的電場強度和電勢差的關系，下列說法正確的是（　　）
A．任意兩點間的電勢差等于場強和這兩點間距離的乘積
B．沿電場線方向上，相同距離上電勢降落一定相等
C．電勢降落的方向一定是電場強度的方向
D．電勢降落最快的方向不一定是電場強度的方向
【答案】B
【解析】
A．任意兩點間的電勢差等于場強和這兩點間沿電場線方向的距離的乘積，選項A錯誤；
B．沿電場線方向上，相同距離上電勢降落一定相等，選項B正確；
CD．電勢降落最快的方向一定是電場強度的方向，選項CD錯誤；
【典例2】電鰻能產生足以將人擊昏的電流，放電輸出的電壓可達300V~800V，若電鰻的頭尾相當于兩個電極，它在水中所產生電場（視為勻強電場）的電場強度大小為400V/m，則身長為1m的電鰻在放電時產生的瞬間電壓可達（　?。?br/>A．700V B．600V C．500V D．400V
【答案】D
【解析】
根據U=Ed可得U=400×1V=400V則身長為1m的電鰻在放電時產生的瞬間電壓可達400V。
練習1.如圖所示，P、Q兩金屬板間的電勢差為100V，板間存在勻強電場，方向水平向右，板間的距離為10cm，在兩板間距Q板6cm的A點有一電荷量為0.01C的正點電荷，已知Q板接地，下列說法正確的是（　?。?br/>A．P板的電勢為-100V
B．板間的電場強度大小為10V/m
C．點電荷的電勢能為0.6J
D．若點電荷從A點運動到Q板，靜電力做的功為-60J
【答案】C
【解析】
A．因Q板接地，則，而勻強電場方向水平向右，則有則故A錯誤；
B．根據勻強電場的電壓與場強的關系有故B錯誤；
C．A點的電勢為則點電荷在A點的電勢能為故C正確；
D．點電荷從A點運動到Q板靜電力做的功為故D錯誤；
考點二、用等分法確定等勢線和電場線
1．在勻強電場中，沿著任意方向上，相等距離的電勢差都相等．如果把某兩點間的距離等分為n段，則每段兩端點的電勢差等于原電勢差的.像這樣采用這種等分間距求電勢問題的方法，叫作等分法．
2．在已知電場中幾點的電勢時，如果要求另外某點的電勢，一般采用“等分法”在電場中找出與待求點電勢相同的等勢點．
3．在勻強電場中，相互平行、相等長度的線段兩端電勢差相等，用這一點可求解電勢或電勢差．
4．等分法也常用在畫電場線或計算電場強度的問題中
5.結論：
結論1：勻強電場中的任一線段AB的中點C的電勢φC＝，如圖甲所示．
結論2：勻強電場中若兩線段AB∥CD，且AB＝CD，則UAB＝UCD（或φA－φB＝φC－φD），同理有UAC＝UBD，如圖乙所示．
（2）確定電場方向的方法
先由等分法確定電勢相等的點，畫出等勢線，然后根據電場線與等勢面垂直畫出電場線，且電場線的方向由電勢高的等勢面指向電勢低的等勢面．
【典例1】如圖所示，一勻強電場的方向與平行四邊形ABCD所在的平面平行，已知A、B、C三點的電勢分別為，，，則D點的電勢為（　?。?br/>A．Ｖ B． C． D．
【答案】B
【解析】
由于電場是勻強電場，則：即：得：
故B正確，ACD錯誤。
【典例2】空間有平行于梯形區域abcd的勻強電場，已知梯形的 ，∠c和∠d均為直角，且上底 、下底 ，并知a、b、c三點的電勢分別為4V、8V、10V。將一電荷量 的點電荷從a點開始沿abcd路線移動，則下列判斷正確的是（ ）
A.梯形區域的下底ad中點的電勢為8V
B.該勻強電場的場強大小為
C.該點電荷在c點的電勢能為
D.該點電荷從a點移到d點過程中，電場力對它做功為
【答案】 B
【解析】A．由題意可知，如圖所示
ad等于bc的2倍，過b點作ad的垂線，交與e點，e點即為ad的中點，由幾何知識，可知g點為ac的中點。在勻強電場中，電勢在各個方向降落是均勻的，所以可知
在be上，由幾何知識可知，g點為be的中點，所以e點的電勢為
所以A不符合題意；
B．過e點作ab的垂線，交于f點，由幾何知識可知，f點為ab的中點。在勻強電場中，電勢在各個方向降落是均勻的，所以f點的電勢為
由A選項分析可知
所以連接ef，即為等勢線，則電場線方向由b點指向a點。由電場強度和電勢的關系可得
由幾何關系可知
則
所以B符合題意；
C．由電勢能的表達式為
所以C不符合題意；
D．由題意可知，ad兩點的電勢差為
根據以上選項分析可知，d點的電勢與b點的電勢相等，為
則
則該點電荷從a點移到d點過程中，電場力對它做功為
所以D不符合題意。
練習1.如圖所示，紙面內存在一勻強電場，有一直角三角形ABC，BC長度為0.06m ， =30°，其中 A點電勢為6V，B點電勢為3V，C點電勢為9V，則電場強度的大小為（ ）
A.100V/m B.100 V/m C. V/m D. V/m
【答案】 D
【解析】B、C兩點連線中點D點的電勢
可見A點電勢與D點電勢相等，所以電場線與AD垂直，由勻強電場中電場強度與電勢差的關系可知
D符合題意，ABC不符合題意。
練習2、勻強電場中有、、三點。在以它們為頂點的三角形中，，。電場方向與三角形所在平面平行。已知、和點的電勢分別為、和。該三角形的外接圓上最低、最高電勢分別為（　　）
A．、 B．，
C．， D．、
【答案】 B
【解析】
取的中點，即為三角形的外接圓的圓心，且該點電勢為，故為等勢線，其垂線為電場線，方向為。外接圓上電勢最低點為點，最高點為點。如圖
設外接圓半徑為，則有
，
則有
故
則點電勢為0，為最低電勢點；同理點電勢為，為最高電勢點。
練習3、如圖，有一勻強電場的電場強度方向與圓所在平面平行，圓的半徑，圓周上的3個點a、b、c的電勢分別為、、，其中為圓的直徑，，則該勻強電場電場強度大小為（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
設電場強度大小為E，電場強度方向與水平方向夾角為，O點電勢為
因為所以O、c為等電勢點，電場線方向與垂直。根據幾何關系可知故A正確。BCD錯誤。
故選A。
考點三、利用E＝定性分析非勻強電場
UAB＝Ed只適用于勻強電場的定量計算，在非勻強電場中，不能進行定量計算，但可以定性地分析有關問題．
1．在非勻強電場中，公式U＝Ed中的E可理解為距離為d的兩點間的平均電場強度．
2．當電勢差U一定時，場強E越大，則沿場強方向的距離d越小，即場強越大，等差等勢面越密．
3．距離相等的兩點間的電勢差：E越大，U越大；E越小，U越小．
【典例1】（多選）如圖所示，實線為電場線，虛線為等勢線，且AB＝BC，電場中A、B、C三點的場強分別為EA、EB、EC，電勢分別為φA、φB、φC，AB、BC間的電勢差分別為UAB、UBC，則下列關系中正確的有(　　)
A.φA>φB>φC B.EA>EB>EC
C.UAB【答案】AC
【解析】沿電場線方向，電勢越來越低，所以A點電勢最高，C點電勢最低，A正確；電場線越密集的地方電場強度越強，由圖可知，C點電場強度最強，A點電場強度最弱，B錯誤；由于BC間的電場強度大于AB間的電場強度，由U＝Ed可知，UAB【典例2】如圖為某電場中的三條電場線，A、B、C是其中一條電場線上的三個點。已知AB=BC=10cm，A、C兩點的電勢分別為A=30V，C=10V，下列說法正確的是（　?。?br/>A．B點的電勢為20V
B．B點的電場強度方向由B指向A
C．將電子從A點移動到C點，電子克服電場力做功20eV
D．A點的電場強度大小為100N/C
【答案】C
【解析】
A．從A到C，電場強度逐漸減小，根據可知所以B點的電勢大于20V。A錯誤；
B．沿著電場強度的方向電勢逐漸降低，所以B點的電場強度方向由A指向B。B錯誤；
C．將電子從A點移動到C點，電子受力方向與運動方向相反，電場力做功為C正確；
D．電場不是勻強電場，所以A點的電場強度無法求解。D錯誤。
練習1、某電場中等勢面分布如圖所示，圖中虛線表示點電荷的等勢面，過a、c兩點的等勢面電勢分別為40V和10V，則a、b連線的中點c處的電勢應（　?。?br/>A．等于25V B．大于25V
C．小于25V D．可能等于25V
【答案】C
【解析】
因為電場線與等勢面垂直，根據等勢面的形狀可知，電場線從左向右由密變疏，即從a到c，電場逐漸變弱，所以等差等勢面也由密變疏。故40V和10V一半的電勢10V的等勢面應在b點的左邊。所以b點的電勢應小于25V
練習2.如圖所示，三個同心圓是點電荷q周圍的三個等勢面，A、B、C是這三個等勢面與一條電場線的交點，且AB＝BC。A、C兩點的電勢分別為φA＝10 V和φC＝2 V，則B點的電勢(　　)
A．等于6 V B．低于6 V
C．高于6 V D．無法確定
【答案】B
【解析】因點電荷所形成的電場離點電荷越遠電場強度越小，故有φA－φB＞φB－φC，即φB＜＝6 V，B正確。
練習3、如圖所示，a、b、c是一條電場線上的三點，電場線的方向由a到c，a、b間距離等于b、c間距離，用φa、φb、φc和Ea、Eb、Ec分別表示a、b、c三點的電勢和場強，可以判定（　?。?br/>A．φa>φb>φc B．Ea>Eb>Ec
C．φa–φb=φb–φc D．Ea=Eb=Ec
【答案】 A
【解析】
A．沿電場線方向電勢降低，則
故A正確；
BD．只有一條電場線，不能確定電場線的分布情況，無法比較場強的大小，故BD錯誤；
C．對于勻強電場，兩點間的電勢差，由于電場線的疏密情況無法確定，則兩點間電勢差的公式也不能適用，不能判斷電勢差的關系，故C錯誤。
考點四、圖像和圖像
1．電場中電勢隨位置x變化的情況可用圖像來表示，在圖像中切線的斜率表示了電場的電場強度，斜率的絕對值表示電場強度的大小，斜率的正負號表示了電場強度的方向。
2．電場中電場強度隨位置x變化的情況可用圖像來表示，在圖像中圖線和坐標軸圍成的面積表示了電勢差，其面積的數值表示了電勢差的大小，電勢差的正負及電勢的高低可以根據電場強度的方向來判斷。
【典例1】（多選）在x軸上有兩個點電荷q1、q2,其靜電場的電勢φ在x軸上分布如圖所示。下列說法正確的有 (　　)
A.q1和q2帶有異種電荷
B.x1處的電場強度為零
C.負電荷從x1移到x2,電勢能減小
D.負電荷從x1移到x2,受到的電場力增大
【答案】AC
【解析】選A、C。從圖中看到,中間電勢高,兩邊電勢低,且圖形左右不對稱,判斷q1和q2帶有異種不等量電荷,A項正確;從圖線斜率看,x1處的電場強度不為零,B項錯誤;負電荷從x1移到x2,即由低電勢到高電勢,電場力做正功,電勢能減小,C項正確;x2處電場強度為零,所以負電荷從x1移到x2,受到的電場力減小,D項錯誤。
【典例2】兩電荷量分別為q1和q2的點電荷固定在x軸上的O、M兩點，兩電荷連線上各點電勢φ隨x變化的關系如圖所示，其中C為ND段電勢最低的點，則下列說法正確的是（　?。?br/>A．q1、q2為等量異種電荷
B．N、C兩點間場強方向沿x軸負方向
C．N、D兩點間的電場強度大小沿x軸正方向先減小后增大
D．將一正點電荷從N點移到D點，電勢能先增大后減小
【答案】 C
【解析】
A．根據q1左側和q2右側電勢隨距離增大而降低可判斷兩者均為正電荷，故A錯誤；
B．N、C間的電場方向沿x軸正方向，C點場強為0，故B錯誤；
C．根據N→D間圖線的斜率大小先減小后增大可知，場強先減小到零后反向增大，故C正確；
D．正電荷從N移到D，由Ep＝qφ知，電勢能先減小后增大，故D錯誤。
練習1.（多選）空間有一沿軸對稱分布的電場，其電場強度隨變化的圖像如圖所示，軸正方向為電場強度的正方向。下列說法中正確的是（　?。?br/>A．該電場可能是由一對分別位于和兩點的等量異種電荷形成的電場
B．和兩點的電勢相等
C．正電荷從運動到的過程中電勢能先增大后減小
D．原點與兩點之間的電勢差大于與兩點之間的電勢差
【答案】 BD
【解析】
A．根據等量異種電荷形成電場的特點可知，在等量異種電荷的連線上，各點的電場強度的方向相同，而題圖中電場強度的大小和方向都沿軸對稱分布，所以該電場一定不是由一對分別位于和兩點的等量異種電荷形成的電場，故A錯誤；
B．E-x圖像與x軸所圍的面積表示電勢差，則由題意可知
即
所以
故B正確；
C．由題圖可知，從到電場強度方向始終為正，則正電荷運動的方向始終與電場強度方向相同，所以靜電力做正功，電勢能逐漸減小，故C錯誤；
D．由
可得
又因為
所以
故D正確。
二、夯實小練
1．如圖所示,在勻強電場中有a、b、c、d四點,它們處于同一圓周上,且ac、bd分別是圓的直徑。已知a、b、c三點的電勢分別為φa=9 V,φb=15 V,φc=18 V,則d點的電勢為 (　　)
A.4 V　　　B.8 V　　　C.12 V　　　D.16 V
【答案】C
【解析】
連接a、c兩點,將ac連線三等分為ae、ef、fc三段,則圖中f點的電勢為15 V,連接fb,則fb為一條等勢線,連接de,由幾何關系可以證明de∥fb,則de也是一條等勢線,根據勻強電場中沿電場方向上相同距離對應的電勢差相等,可知e點的電勢為12 V,則d點的電勢也為12 V,故C正確。
2．如圖所示，在某電場中畫出了四條電場線，C、D兩點是AB連線的三等分點。已知A點的電勢為φA＝30 V，B點的電勢為φB＝0，則(　　)
A．C點的電勢＝20 V
B．C點的電勢<20 V
C．C點的電勢>20 V
D．A、B、C都不正確
【答案】B
【解析】由題圖看出，AC段電場線比CD段、DB段電場線密，則AC段電場強度最大，根據公式U＝Ed可以知道，A、C間電勢差UAC大于C、D間電勢差UCD和D、B間電勢差UDB。所以UAC>UAB＝(φA－φB)＝10 V，即(φA－φC)>10 V，又φA＝30 V，可以知道φC<20 V。
3．如圖所示，實線表示電場線，虛線表示等勢線，a、b兩點的電勢分別為φa=20 V，φb=50 V，則a、b連線的中點c的電勢φc應為（　　）
A．φc=35 V B．φc>35 V C．φc＜35 V D．無法判斷φc的高低
【答案】 B
【解析】
由圖看出，ac段電場線比bc段電場線密，ac段場強較大，根據公式U=Ed可知，ca間電勢差Uca大于b、c間電勢差Ubc，即
φc﹣φa>φb﹣φc
得到
φc>=35 V
4．如圖中A、B、C三點都在勻強電場中，已知，，。把一個電量的正電荷從A移到B，電場力做功為零；從B移到C，電場力做功為，則該勻強電場的場強大小和方向是（　?。?br/>A．，垂直向右 B．，垂直向左
C．，垂直斜向上 D．，垂直斜向下
【答案】 C
【解析】
由題意可知A、B兩點電勢相等，所以AB為一條等勢線，如圖所示，過C作CD⊥AB于D，則電場強度方向為由D指向C，即垂直于AB斜向上。設電場強度的大小為E，由題意可得
代入數據解得
E=1000V/m
5．如圖所示,在平面直角坐標系中有方向平行于坐標平面的勻強電場,其中坐標原點O處的電勢為0 V,點A處的電勢為6 V,點B處的電勢為3 V,則電場強度的大小為(　　)
A.200 V/m B.200 V/m
C.100 V/m D.100 V/m
【答案】D
【解析】OA的中點C處的電勢為3 V,
將C點與B點連接,如圖所示,電場線與等勢線垂直,根據幾何關系得BC=3 cm,則OB沿電場線方向上的距離d= cm,所以電場強度E= V/m=100 V/m,故D正確,A、B、C錯誤。
6．（多選）一勻強電場的方向平行于xOy平面，平面內a、b、c三點的位置如圖所示，三點的電勢分別為10V、17V、26V。下列說法正確的是（　?。?br/>A．電場強度的大小為2V/cm
B．坐標原點處的電勢為1V
C．電子在a點的電勢能比在b點的低7eV
D．電子從b點運動到c點，電場力做功為9eV
【答案】 BD
【解析】
B．如圖所示，設ac之間電勢差與Ob兩點間的電勢差相等，即
可得
故B正確；
A．電場沿著x軸方向電場分量
電場沿著y軸方向電場分量
因此電場強度
故A錯誤；
C．電子在a點具有的電勢能
電子在b點具有的電勢能
因此
電子在a點的電勢能比在b點的高7eV，故C錯誤；
D．電子從b點運動到c點，電場力做功為
所以電子從b點運動到c點，電場力做功為9，故D正確。
7．x軸上有兩點電荷和，和之間線上各點電勢高低如圖中曲線所示（），選無窮遠處電勢為0，距電荷量為的點電荷處的電勢為，從圖中可以看出（　?。?br/>A．電荷量一定小于電荷量 B．點電場強度是0
C．和之間線上各點電場方向都指向 D．、可能是同種電荷
【答案】 C
【解析】
D．附近電勢大于零，而附近電勢小于零，可知帶正電荷、帶負電荷，故D錯誤；
B．該圖象的斜率大小等于場強，P點電勢為零，P點圖象的斜率不等于零，則電場強度不為零，故B錯誤；
C．根據順著電場線方向電勢降低，可知兩電荷之間連線上各點的場強方向都指向x軸的正方向，故C正確；
A．由
可知，在點電勢為
在點電勢為
而點電勢為0，則有
故
故A錯誤。
8．如圖所示,平行于勻強電場區域中,有A、B、C、D四點恰好位于一平行四邊形的四個頂點上,已知A、B、C三點電動勢分別為φA=1 V,φB=4 V,φC=0,則D的電勢φD大小為 (　　)
A.-3 V　　　B.0　　　C.2 V　　　D.1 V
【答案】A
【解析】在勻強電場中,根據U=Ed知,沿電場方向相同距離電勢差相等,根據平行四邊形的特點知,AB與DC平行且相等,所以AB邊與DC邊沿電場方向的距離相等,AB間的電勢差與DC間的電勢差相等,即有φA-φB=φD-φC,解得:φD=φA-φB+φC=1 V-4 V+0=-3 V,故選項A正確。
9．如圖所示，在一個勻強電場中有一個三角形，的中點為M，的中點為N。將一個帶正電的粒子從A點移動到B點，電場力做功為。則以下分析正確的是（　　）
A．若將該粒子從M點移動到N點，電場力做功有可能小于
B．若將該粒子從M點移動到N點，電場力做功有可能大于
C．若A、B之間的距離為，粒子的電荷量為，該電場的場強大小一定是
D．若粒子的電荷量為，則A、B之間的電勢差為
【答案】 D
【解析】
AB．在勻強電場中沿相同方向移動同種電荷，電場力做功的正、負相同，M、N分別為、的中點，因此長度為的一半，無論電場強度方向如何，M、N間電勢差為A、B間電勢差的一半，則有
所以AB錯誤；
C．由于電場強度方向未知，當電場強度沿方向時，電場強度最小，由
可知最小場強
所以勻強電場的場強
所以C錯誤；
D．若粒子的電荷量為，由
得A、B間的電勢差為
所以D正確；
10．勻強電場中的三點A、B、C是一個三角形的三個頂點，AB的長度為1m，D為AB的中點，如圖所示。已知電場線的方向平行于△ABC所在平面，A、B、C三點的電勢分別為14V、6V和2V。設電場強度大小為E，電量為1×10-6C的正電荷從D點移到C點電場力所做的功為W，則（　?。?br/>A．W=8×10-6J B．W=6×10-6J C．E≥8V/m D．E＜8V/m
【答案】 A
【解析】
AB．由題勻強電場中，由于D為AB的中點，則D點的電勢
電荷從D點移到C點電場力所做的功為
故A正確B錯誤；
CD．AB的長度為1m，由于電場強度的方向并不是沿著AB方向，所以AB兩點沿電場方向的距離d<1m，勻強電場中兩點電勢差與兩點沿電場方向的距離成正比，即
所以
故CD錯誤。
三、培優練習
1．（多選）如圖所示，圖中五點均在勻強電場中，它們剛好是一個圓的四個等分點和圓心，已知電場線與圓所在平面平行，下列有關圓心O和等分點a的電勢、電場強度的相關描述正確的是（　　）
A．a點的電勢為6V
B．a點的電勢為－2V
C．O點的場強方向指向a點
D．O點的場強方向指向電勢為2V的點
【答案】 AD
【解析】
AB．在勻強電場中，任意兩平行直線上相等距離的電勢差相等，所以，a點電勢比10V低4V，即為6V，故A正確，B錯誤；
CD．a點的電勢為6V，根據電場線應與等勢面垂直，且沿電場線電勢依次降低，O點的場強方向應指向圖中電勢為2V的點，故C錯誤，D正確。
2．（多選）在勻強電場中，一電荷量為的粒子（不計重力）以初動能由點沿某一方向射出，通過點時其動能為；若將該粒子還以初動能由點沿另一方向射出，粒子通過點時動能為。如圖所示，三點構成直角三角形且，勻強電場平行于所在平面。分別表示兩點與兩點間電勢差，已知，下列說法正確的是（　?。?br/>A．
B．
C．勻強電場的電場強度大小為
D．勻強電場沿方向
【答案】 BC
【解析】
解析：
AB．帶電粒子由A到的過程，由動能定理得
帶電粒子由A到的過程，由動能定理得
解得
故A錯誤，B正確；
CD．由分析可知，點的電勢比點的電勢高，且在上與點電勢相等的點為點，點為的四等分點，如圖所示
由幾何關系知，因此電場強度的方向由A指向，又，則
故C正確，D錯誤。
3．有一靜電場，其電場強度方向平行于x軸，其電勢φ隨坐標x變化的圖線如圖所示，則下圖中能正確表示該靜電場的場強E隨x的變化圖像是（設場強沿x正方向取正值）（ ）
A． B．
C． D．
【答案】 A
【解析】
電場強度方向平行于x軸，電勢φ隨坐標x變化的圖線的斜率的意義反映了電場強度。沿著電場線方向電勢降低，則x軸上0-2m間場強
沿x軸正方向電勢升高，方向沿x軸負向；
2-10m間場強
沿x軸正方向電勢降低，方向沿x軸正向；
10-12m間場強
沿x軸正方向電勢升高，方向沿x軸負向。
4．如圖所示勻強電場的區域內，在點處放置一點電荷。、、、、、為以為球心的球面上的點，平面與電場方向平行，平面與電場方向垂直，則下列說法中正確的是（　?。?br/>A．、兩點的電場強度相同
B．點的電勢等于點的電勢
C．點電荷在球面上任意兩點之間移動時，靜電力一定做功
D．將點電荷在球面上任意兩點之間移動，從點移動到點電勢能的變化量一定最大
【答案】 D
【解析】
A．點電荷在點產生的電場強度方向豎直向上，在點產生的電場強度方向豎直向下，勻強電場方向水平向右，根據平行四邊形定則可知，點的合電場強度斜向右上方，點的合電場強度斜向右下方，兩點電場強度大小相等，方向不同，電場強度不同，故A錯誤；
B．將一個正試探電荷由點移動到點，點電荷的靜電力不做功，勻強電場的靜電力做正功，故合力做正功，電勢能減小，電勢降低，故B錯誤；
C．當點電荷沿著球面上的移動時，勻強電場的靜電力不做功，點電荷的靜電力也不做功，故合靜電力不做功，故C錯誤；
D．將點電荷在球面上任意兩點之間移動，點電荷的靜電力不做功，從點移動到點，勻強電場的靜電力做功最多，故電勢能的變化量最大，故D正確；
5.在某勻強電場中有M、N、P三點,在以它們為頂點的三角形中,∠M=30°、∠P=90°,直角邊NP的長度為4 cm。已知電場方向與三角形所在平面平行,M、N和P點的電勢分別為3 V、15 V和12 V。則電場強度的大小為(　　)
A.150 V/m B.75 V/m
C.225 V/m D.75 V/m
【解析】選A。過P點作斜邊MN的垂線交MN于O點,如圖所示
由幾何知識可知N、O間的距離NO=2 cm,M、O間的距離MO=6 cm,故O點為直線MN的四等分點,由勻強電場的特點得O點的電勢為φO=12 V ,即O、P在同一等勢面上,由電場線與等勢面的關系和幾何關系知:E===150 V/m,故A正確。
6．（多選）如圖所示，水平面內有、、、、、六個點，它們均勻分布在半徑為的同一圓周上，空間有一方向與圓平面平行的勻強電場。已知、、三點的電勢分別為、，，下列判斷正確的是（　?。?br/>A．電場強度的方向由指向
B．電場強度的大小為
C．該圓周上的點電勢最高為
D．將電子沿圓弧從點經點移到點，靜電力始終做負功
【答案】 BC
【解析】
A．由于圓周處于勻強電場中，，，設AE中點為G，如圖
則中點G電勢為，等于點電勢，連接點和點的直線與弧的中點在同一等勢線上，和等勢線垂直，故電場強度方向由指向，故A錯誤；
B．EA間的距離為
則電場強度的大小為
故B正確；
C．沿著電場線方向電勢逐漸降低，因此H點電勢最高，先算
UHO=E×R=2V
而
即
解得
故C正確；
D．電子從點沿圓周經點到點，電勢先升高后降低，電子的電勢能先減小后增大，故靜電力先做正功后做負功，故D錯誤。
7．（多選）如圖甲所示,有一絕緣的豎直圓環,圓環上分布著正電荷.一光滑細桿沿垂直圓環平面的軸線穿過圓環,細桿上套有一質量為m=10 g的帶正電的小球,小球所帶電荷量q=5.0×10-4 C,讓小球從C點由靜止釋放.其沿細桿由C經B向A運動的v-t圖象如圖乙所示,且已知小球運動到B點時,速度圖象的切線斜率最大(圖中標出了該切線),下列說法正確的是 (　　)
A.由C到A的過程中,小球的電勢能先減小后增大
B.在O點右側桿上,B點場強最大,場強大小為E=1.2 V/m
C.沿著C到A的方向,電勢先降低后升高
D.C、B兩點間的電勢差UCB=0.9 V
【答案】BD
【解析】　從C到A電場力對帶正電的小球一直做正功,故電勢能一直減小,電勢一直減小,選項A、C錯誤;由乙圖可知,小球在B點的加速度最大,且加速度只由電場力提供,故B點的電場強度最大,由乙圖可知a==0.06 m/s2,又a=,代入數據解得E=1.2 V/m,選項B正確;由C到B電場力做功為W=m-0,所以C、B間電勢差為UCB==0.9 V,選項D正確.
8.(多選)如圖所示,紙面內有勻強電場,一帶正電的質點(重力不計)在一恒力F的作用下沿圖中虛線由A勻速運動至B,已知F和AB間夾角為θ,點A、B間距離為d,質點所帶電荷量為q,則下列結論正確的是 (　　)
A.勻強電場的場強大小為
B.A、B兩點間的電勢差UAB=-
C.帶電質點由A點運動至B點的電勢能增加Fdcosθ
D.若帶電質點由B點向A點做勻速直線運動,則F必須反向
【答案】BC
【解析】質點沿AB做勻速直線運動,所以質點所受電場力與力F大小相等、方向相反,勻強電場的場強大小為,方向沿F的反方向,故A點的電勢小于B點的電勢,A、B兩點間的電勢差為UAB=-Edcosθ=-,A錯誤,B正確;帶電質點由A點運動至B點的過程中電勢能增加了ΔEp=-W電=-qUAB=Fdcosθ,C正確;若帶電質點由B點向A點做勻速直線運動,仍應受平衡力作用,所以F方向不變,D錯誤。
9.如圖所示是某電場中的三條電場線,C點是A、B連線的中點。已知A點的電勢是φA=30 V,B點的電勢φB=-20 V,則下列說法正確的是 (　　)
A.C點的電勢φC=5 V
B.C點的電勢φC>5 V
C.C點的電勢φC<5 V
D.負電荷在A點的電勢能大于在B點的電勢能
【答案】C
【解析】由題圖看出,AC段電場線比BC段電場線密,則AC段場強大,根據公式U=Ed可知,AC間電勢差UAC大于BC間電勢差UCB,所以 UAC>UAB=25 V,即φA-φC>25 V,又φA=30 V,可知φC<5 V,故C正確,A、B錯誤。負電荷在電勢低處電勢能較大,故D錯誤。
10．如圖所示，在平面直角坐標系中，有方向平行于坐標平面的勻強電場，其中坐標原點O處的電勢為0，A處的電勢為6V，B處的電勢為3V。求電場強度的大小，并在圖中標出電場強度的方向。請總結根據電場中的電勢確定電場強度的方法。
【答案】 ；200V/m；在x軸上找一電勢為3V的點，將該點與B點連接，該連線為等勢線，求出OB沿電場線方向上的距離，根據求出電場強度的大小。
【解析】
OA的中點C的電勢為3V，將C點與B點連接，如圖所示
電場線與等勢線垂直，有
則
根據幾何關系OB沿電場線方向上的距離為
所以電場強度為
方法：在x軸上找一電勢為3V的點，將該點與B點連接，該連線為等勢線，求出OB沿電場線方向上的距離，根據求出電場強度的大小。
11.如圖所示,a、b、c、d為某勻強電場中的四個點,且ab∥cd、ab⊥bc,bc=cd=2ab=20 cm,電場線與四邊形所在平面平行,已知φa=20 V,φb=24 V,φd=8 V。則:
(1)在圖中用虛線畫出通過a、b、c點的等勢線并用實線作出通過b點的電場線的方向;
(2)求電場強度E的大小;
(3)求將一個電荷量為1.8 C的負電荷,從c點開始沿圖中邊線經過d、a到b點,電場力所做的功是多少。
【答案】(1)
(2)40 V/m　(3)14.4 J
【解析】(1)連接bd并找出其四等分點,則相鄰兩點之間的電勢差為4 V,連接等勢點如圖;根據勻強電場的性質可知,電場線與等勢線垂直且由高電勢點指向低電勢點,則場強方向由b指向d。
(2)電場強度E的大小E== V/m=40 V/m
(3)電場力做功與路徑無關,則整個過程中電場力做功為W=Ucbq=(16-24)×(-1.8) J=14.4 J
12．如圖所示，在水平方向的勻強電場中有相距6cm的A、B兩點，且UAB=150V。
（1）求電場強度的大小和方向。
（2）電場中A、C兩點相距14cm，A、C兩點連線與電場線方向的夾角為37°，則C點與A點的電勢差UCA為多少？
【答案】 （1），方向水平向右；（2）
【解析】
（1）因為AB的電勢差為正值，知A點的電勢高于B點，所以電場強度的方向水平向右
電場強度
（2）間的電勢差，等于，因為點電勢高于點電勢，所以
13．如圖，在勻強電場中，將電荷量為-6×10-6 C的點電荷從電場中的A點移到B點，靜電力做了-2.4×10-5 J 的功，再從B點移到C點，靜電力做了1.2×10-5 J的功。已知電場的方向與△ABC所在的平面平行：
（1）A、B兩點間的電勢差UAB和 B、C兩點間的電勢差UBC分別為多少？
（2）如果規定B點的電勢為 0，則A點和C點的電勢分別為多少？
（3）請在圖中畫出過B點的電場線方向，并說明理由。
【答案】 （1）UAB = 4V；UBC = -2V；（2），；（3），電場線方向從F指向B
【解析】
（1）A、B兩點間電勢差
B、C兩點間的電勢差
（2）如果規定B點的電勢為 0，則
故A點和C點的電勢分別為
，
（3）取AB中點D，則，連接CD，為等勢線，從B作CD的垂線，F為垂足，如圖，則BF為電場線（電場線方向從F指向B）。
14.如圖所示，A、B為水平正對放置的平行金屬板，板間距離為d，一質量為m的帶電油滴在兩金屬板之間，若兩金屬板間加電壓UAB＝U，油滴將保持靜止．若兩金屬板間的電壓減為原來的一半，經一段時間，油滴在空氣阻力的作用下最后以速率v勻速下降．設油滴在運動過程中質量和電荷量均保持不變，空氣阻力與速度大小成正比(重力加速度為g)．求：
(1)油滴所帶電荷量；
(2)油滴以速率v勻速下降時受到空氣阻力多大？
(3)若要讓油滴以速率2v勻速上升．則兩極板的電壓應為多少？
答案　(1)　(2)mg　(3)2U
解析　(1)q＝mg
解得q＝
(2)Ff＝kv＝mg－q＝mg，
(3)q－mg＝k·2v，
解得U′＝2U.
15.如圖所示的勻強電場，等勢面是一簇互相平行的豎直平面，間隔均為d，各等勢面電勢已在圖中標出，現有一質量為m的帶電小球以速度v0、方向與水平方向成45°角斜向上射入電場，要使小球做直線運動，求：
(1)小球應帶何種電荷及其電荷量；
(2)小球受到的合外力的大??；
(3)在入射方向上小球運動的最大位移xm。(電場足夠大)
解析　(1)作電場線如圖(a)所示。
(a)
由題意知，只有小球受到向左的靜電力，靜電力和重力的合力與初速度才可能在一條直線上，如圖(b)所示。只有當F合與v0在一條直線上才可能使小球做直線運動，所以小球帶正電，小球沿v0方向做勻減速運動。由圖(b)知qE＝mg，相鄰等勢面間的電勢差為U，所以E＝，所以q＝＝。
(2)由圖(b)知，F合＝＝mg。
(b)
(3)由動能定理得－F合xm＝0－mv，
所以xm＝eq \f(mv,2\r(2)mg)＝eq \f(\r(2)v,4g)。
答案　(1)正電荷　　(2)mg　(3)eq \f(\r(2)v,4g)
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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