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泰安市近八年中考試題分類匯編
7. 三角形的全等與相似
考點一：全等三角形
1.(2008.22. ) （本小題滿分9分） 兩個大小不同的等腰直角三角形三角板如圖1所示放置，圖2是由它抽象出的幾何圖形，在同一條直線上，連結．

（1）請找出圖2中的全等三角形，并給予證明（說明：結論中不得含有未標識的字母）；
（2）證明：．
解答：（1）解：圖2中
證明如下：
與均為等腰直角三角形
，，
即

（2）證明：由（1）知

又
2.（2006.24. ） （本小題滿分10分）
（1）已知：如圖①，在和中，，，
，求證：①；②．
（2）如圖②，在和中，若，，，則與間的等量關系式為________________；的大小為__________________．
（3）如圖③，在和中，若，，
，則與間的等量關系式為___________；的大小為____________．
解答：（1）證明：
　　①，
，
　　　即：．
　　　又，，
　　　．
　　　．
　　②由①得：，
　　　又，
　　　，，
　　　．
（2），
（3），
3.（2011.27. ）已知：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，點D是AB的中點，點E是AB邊上一點．
（1）直線BF垂直于直線CE于點F，交CD于點G（如圖1），求證：AE=CG；
（2）直線AH垂直于直線CE，垂足為點H，交CD的延長線于點M（如圖2），找出圖中與BE相等的線段，并證明．
分析：（1）首先根據點D是AB中點，∠ACB=90°，可得出∠ACD=∠BCD=45°，判斷出△AEC≌△CGB，即可得出AE=CG，
（2）根據垂直的定義得出∠CMA+∠MCH=90°，∠BEC+∠MCH=90°，再根據AC=BC，∠ACM=∠CBE=45°，得出△BCE≌△CAM，進而證明出BE=CM．
解答：解：（1）證明：∵點D是AB中點，AC=BC，∠ACB=90°，
∴CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=45°，
∴∠CAD=∠CBD=45°，
∴∠CAE=∠BCG，又BF⊥CE，
∴∠CBG+∠BCF=90°，又∠ACE+∠BCF=90°，
∴∠ACE=∠CBG，
∴△AEC≌△CGB，
∴AE=CG，
（2）BE=CM，
證明：∵CH⊥HM，CD⊥ED，
∴∠CMA+∠MCH=90°，∠BEC+∠MCH=90°，
∴∠CMA=∠BEC，
又∵AC=BC，∠ACM=∠CBE=45°，
∴△BCE≌△CAM，
∴BE=CM．
點評：本題主要考查了全等三角形的判定方法以及全等三角形對應邊相等的性質，難度適中．
4. （2012.26. ）如圖，在△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分別為D，E，F為BC中點，BE與DF，DC分別交于點G，H，∠ABE=∠CBE．
（1）線段BH與AC相等嗎？若相等給予證明，若不相等請說明理由；
（2）求證：BG2﹣GE2=EA2．
考點：全等三角形的判定與性質；線段垂直平分線的性質；勾股定理。
解答：證明：（1）∵∠BDC=∠BEC=∠CDA=90°，∠ABC=45°，
∴∠BCD=45°=∠ABC，∠A+∠DCA=90°，∠A+∠ABE=90°，
∴DB=DC，∠ABE=∠DCA，
∵在△DBH和△DCA中xk b1 .co m
∵∠DBH=∠DCA，∠BDH=∠CDA，BD=CD，
∴△DBH≌△DCA，
∴BH=AC．
（2）連接CG，
∵F為BC的中點，DB=DC，
∴DF垂直平分BC，
∴BG=CG，
∵∠ABE=∠CBE，BE⊥AC，
∴∠AEB=∠CEB，
在△ABE和△CBE中
∵∠AEB=∠CEB，BE=BE，∠CBE=∠ABE，
∴△ABE≌△CBE，
∴EC=EA，
在Rt△CGE中，由勾股定理得：BG2﹣GE2=EA2．
5. （2012.20. ）如圖，AB∥CD，E，F分別為AC，BD的中點，若AB=5，CD=3，則EF的長是（　　）
　　A．4　　B．3　　C．2　　D．1
解答：解：連接DE并延長交AB于H，
∵CD∥AB，
∴∠C=∠A，∠CDE=∠AHE，
∵E是AC中點，
∴DE=EH，
∴△DCE≌△HAE，
∴DE=HE，DC=AH，
∵F是BD中點，
∴EF是三角形DHB的中位線，
∴EF=BH，
∴BH=AB﹣AH=AB﹣DC=2，
∴EF=1．
故選D．
考點二：相似三角形
6. （２００９）如圖，△ABC中，D、E分別是BC、AC的中點，BF平分∠ABC，交DE于點F，若BC=6，則DF的長是
（A）2 （B）3 （C） （D）4
答案：B
7. （2007.11. ）如圖，在正方形中，是的中點，是上一點，
且，下列結論：①，②，
③，④．其中正確結論的個數為（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
答案：B
8.（2006.26. ） （本小題滿分10分）
如圖，點，分別在的邊，上，四邊形是等腰梯形，．與交于點，且．
（1）試問：成立嗎？說明理由；
（2）若，求證：是等腰三角形．
解答：（1）成立．
理由：四邊形是等腰梯形，，
　　　　　，，．
　　　　　又，
．

　　　　　
　　　　　
（2）證明：，，
　　　　　．
　　　　　．
　　　　　，，
　　　　　，
　　　　　，
　　　　　．
　　　　　則是等腰三角形．

9.（2007.26. ） （本小題滿分12分）如圖，在中，，是邊上的高，是邊上的一個動點（不與重合），，，垂足分別為．
（1）求證：；
（2）與是否垂直？若垂直，請給出證明；若不垂直，請說明理由；
（3）當時，為等腰直角三角形嗎？并說明理由．
（1）證明：在和中，
，

（2）與垂直
證明如下：
在四邊形中，
四邊形為矩形
由（1）知

為直角三角形，

又
即

（3）當時，為等腰直角三角形，
理由如下：
，
由（2）知：
又
為等腰直角三角形
10.（2008.26. ）．（本小題滿分10分）
在等邊中，點為上一點，連結，直線與分別相交于點，且．

（1）如圖1，寫出圖中所有與相似的三角形，并選擇其中一對給予證明；
（2）若直線向右平移到圖2、圖3的位置時（其它條件不變），（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請寫出來（不證明），若不成立，請說明理由；
（3）探究：如圖1，當滿足什么條件時（其它條件不變），？請寫出探究結果，并說明理由．
（說明：結論中不得含有未標識的字母）
（1）與
以為例，證明如下：

（2）均成立，均為，
（3）平分時，．
證明：平分

又
11．（2009.24. ）.如圖，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，E是AC的中點，ED的延長線與CB的延長線交于點F。
求證：FD2=FB●FC。
若G是BC的中點，連接GD，GD與EF垂直嗎？并說明理由。
證明：（1）∵E是Rt△ACD斜邊中點
∴DE=EA
∴∠A=∠2
∵∠1=∠2
∴∠1=∠A
∵∠FDC=∠CDB+∠1=90°+∠1，∠FBD=∠ACB+∠A=90°+∠A
∴∠FDC=∠FBD
∵F是公共角
∴△FBD∽△FDC
∴
∴
（2）GD⊥EF
理由如下：
∵DG是Rt△CDB斜邊上的中線，
∴DG=GC
∴∠3=∠4
由（1）得∠4=∠1
∴∠3=∠1
∵∠3+∠5=90°
∴∠5+∠1=90°
∴DG⊥EF

考點三：三角形與其他圖形綜合
１2.（2013.19. ）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=4，∠BAD的平分線與BC的延長線交于點E，與DC交于點F，且點F為邊DC的中點，DG⊥AE，垂足為G，若DG=1，則AE的邊長為（　　）
　 A．2 B．4 C．4 D．8
考點：平行四邊形的性質；等腰三角形的判定與性質；含30度角的直角三角形；勾股定理．
專題：計算題．
分析：由AE為角平分線，得到一對角相等，再由ABCD為平行四邊形，得到AD與BE平行，利用兩直線平行內錯角相等得到一對角相等，等量代換及等角對等邊得到AD=DF，由F為DC中點，AB=CD，求出AD與DF的長，得出三角形ADF為等腰三角形，根據三線合一得到G為AF中點，在直角三角形ADG中，由AD與DG的長，利用勾股定理求出AG的長，進而求出AF的長，再由三角形ADF與三角形ECF全等，得出AF=EF，即可求出AE的長．
解答：解：∵AE為∠ADB的平分線，
∴∠DAE=∠BAE，
∵DC∥AB，
∴∠BAE=∠DFA，
∴∠DAE=∠DFA，
∴AD=FD，
又F為DC的中點，
∴DF=CF，
∴AD=DF=DC=AB=2，
在Rt△ADG中，根據勾股定理得：AG=，
則AF=2AG=2，
在△ADF和△ECF中，
，
∴△ADF≌△ECF（AAS），
∴AF=EF，
則AE=2AF=4．
故選B
點評：此題考查了平行四邊形的性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理，等腰三角形的判定與性質，熟練掌握平行四邊形的判定與性質是解本題的關鍵．
13.（2010.25. ）如圖 ，△ABC是等腰直角三角形，∠A = 90ｏ，點P、Q分別是AB、AC上的動點，且滿足BP = AQ，D是BC的中點．
（1）求證：△PDQ是等腰直角三角形；
（2）當點P運動到什么位置時，四邊形APDQ是正方形，說明理由．
【分析】（1）連結AD，要證明PD = QD，只需證明△BPD≌△AQD，
∠BDP +∠ADP = 90°，∠ADQ +∠ADP =∠PDQ =90°，從而命題成立；（2）當P點運動到AB的中點時，DP⊥AB，可先證明四邊形APDQ為矩形，由（1）知DP = AP = AB，所以四邊形APDQ是正方形．
【答案】解：（1）證明：連結AD
　　 ∵△ABC是等腰直角三角形，D是BC的中點
　　　∴AD⊥BC，AD = BD = DC，∠DAQ =∠B
又∵BP = AQ
∴△BPD≌△AQD
∴PD = QD，∠ADQ =∠BDP
∵∠BDP +∠ADP = 90°
∴∠ADQ +∠ADP =∠PDQ =90°
∴△PDQ為等腰直角三角形．
（2）當P點運動到AB的中點時，四邊形APDQ是正方形．
　　　由（1）知△ABD為等腰直角三角形．
當P點運動到AB的中點時，DP⊥AB，即∠APD =90°
又∵∠A =90°，∠PDQ =90°
∴四邊形APDQ為矩形
又∵DP = AP = AB
∴四邊形APDQ是正方形．
【涉及知識點】等腰三角形 正方形 動點問題
【點評】本題以等腰直角三角形為模型綜合考查了，等腰直角三角形的性質、三角形的全等、正方形等知識，通過動點問題，設計巧妙，難度較高，區分度大．
14（2012.28. ）如圖，E是矩形ABCD的邊BC上一點，EF⊥AE，EF分別交AC，CD于點M，F，BG⊥AC，垂足為C，BG交AE于點H．
（1）求證：△ABE∽△ECF；
（2）找出與△ABH相似的三角形，并證明；
（3）若E是BC中點，BC=2AB，AB=2，求EM的長．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ABE=∠ECF=90°．
∵AE⊥EF，∠AEB+∠FEC=90°．
∴∠AEB+∠BEA=90°，
∴∠BAE=∠CEF，
∴△ABE∽△ECF；
（2）△ABH∽△ECM．
證明：∵BG⊥AC，
∴∠ABG+∠BAG=90°，
∴∠ABH=∠ECM，
由（1）知，∠BAH=∠CEM，
∴△ABH∽△ECM；
（3）解：作MR⊥BC，垂足為R，
∵AB=BE=EC=2，
∴AB：BC=MR：RC=2，∠AEB=45°，
∴∠MER=45°，CR=2MR，
∴MR=ER=RC=，
∴EM=．
15.（2010.23. ）如圖，在△ABC中，D是BC邊上一點，E是AC邊上一點．且滿足AD＝AB，∠ADE＝∠C．
（1）求證：∠AED=∠ADC，∠DEC=∠B；
（2）求證：AB2＝AE?AC．
【分析】（1）在△ADE和△ACD中，要證明∠AED=∠ADC，只需證明∠ADE＝∠C，∠ADE＝∠C，是已知條件，從而能證明，∠AED +∠DEC = 180°，∠ADB +∠ADC = 180°，可知∠DEC =∠ADB，從而證明∠DEC=∠B；（2）只需證明△ADE∽△ACD即可．
【答案】證明：（1）在△ADE和△ACD中
∵∠ADE =∠C，∠DAE =∠DAE
∴∠AED = 180°－∠DAE－∠ADE
∠ADC ＝ 180°－∠DAE－∠C
∴∠AED =∠ADC
∵∠AED +∠DEC = 180°
∠ADB +∠ADC = 180°
∴∠DEC =∠ADB
又∵AB = AD
∴∠ADB =∠B
∴∠DEC =∠B
（2）在△ADE和△ACD中
由（1）知∠ADE ＝∠C，∠DAE =∠DAE
∴△ADE∽△ACD
∴
即AD2 = AE?AC
又∵AB = AD
∴AB2 ＝ AE?AC．
【涉及知識點】相似三角形 三角形的內角和 等腰三角形
【點評】關鍵是找出各個角之間的關系，要證明等積式成立，只需證明比例式成立，從而找到相似三角形．
16. （2012.17. ）如圖，將矩形紙片ABCD沿EF折疊，使點B與CD的中點重合，若AB=2，BC=3，則△FCB′與△B′DG的面積之比為（　　）
　　A．9：4　　B．3：2　　C．4：3　　D．16：9
考點：翻折變換（折疊問題）。
解答：解：設BF=x，則CF=3﹣x，BF′=x，
又點B′為CD的中點，
∴B′C=1，
在Rt△B′CF中，BF′2=B′C2+CF2，即，
解得：，即可得CF=，
∵∠DB′G=∠DGB=90°，∠DB′G+∠CB′F=90°，
∴∠DGB=∠CB′F，
∴Rt△DB′G∽Rt△CFB′，
根據面積比等于相似比的平方可得：==．
故選D．

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