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泰安市近八年中考試題分類匯編
8. 四邊形
考點一：平行四邊形
1.（2010.9.）(3分）如圖，E是□ABCD的邊AD的中點，CE與BA的延長線交于點F，若∠FCD =∠D，則下列結論不成立的是（ ）
A．AD = CF B．BF = CF C．AF = CD D．DE = EF
【分析】因為BF∥CD，所以∠FCD =∠F，又因為∠FCD =∠D，
所以∠D =∠F，四邊形ABCD是平行四邊形，∠B =∠D，所以
∠B =∠F，BC = CF，即AD = CF，所以選項A成立，
△AEF≌△DEC，所以AF = CD，所以選項C成立，由△AEF≌△DEC知EF = CE，∠FCD =∠D，所以CE =DE，因此DE = EF，故選項D成立，B選項只有在△BCF是等邊三角形時才成立，已知條件中并沒有說明△BCF是等邊三角形，因此選項B不成立． 【答案】B
【涉及知識點】平行四邊形的性質 等腰三角形的性質
【點評】本題綜合考查了平行四邊形的性質和等腰三角形的性質，通過一個圖形考查了多個知識點，知識考查到位，難度中等．
2. （2012.7.）如圖，在平行四邊形ABCD中，過點C的直線CE⊥AB，垂足為E，若∠EAD=53°，則∠BCE的度數為（　　）
　　A．53°　　B．37°　　C．47°　　D．123°
解答： ∵在平行四邊形ABCD中，過點C的直線CE⊥AB，
∴∠E=90°，
∵∠EAD=53°，
∴∠EFA=90°﹣53°=37°，
∴∠DFC=37
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴∠BCE=∠DFC=37°．
故選B．
3.（2013.19.）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=4，∠BAD的平分線與BC的延長線交于點E，與DC交于點F，且點F為邊DC的中點，DG⊥AE，垂足為G，若DG=1，則AE的邊長為（　　）
　 A．2 B．4 C．4 D．8
分析：由AE為角平分線，得到一對角相等，再由ABCD為平行四邊形，得到AD與BE平行，利用兩直線平行內錯角相等得到一對角相等，等量代換及等角對等邊得到AD=DF，由F為DC中點，AB=CD，求出AD與DF的長，得出三角形ADF為等腰三角形，根據三線合一得到G為AF中點，在直角三角形ADG中，由AD與DG的長，利用勾股定理求出AG的長，進而求出AF的長，再由三角形ADF與三角形ECF全等，得出AF=EF，即可求出AE的長．
解答：解：∵AE為∠ADB的平分線，
∴∠DAE=∠BAE，
∵DC∥AB，
∴∠BAE=∠DFA，
∴∠DAE=∠DFA，
∴AD=FD，
又F為DC的中點，
∴DF=CF，
∴AD=DF=DC=AB=2，
在Rt△ADG中，根據勾股定理得：AG=，
則AF=2AG=2，
在△ADF和△ECF中，
，
∴△ADF≌△ECF（AAS），
∴AF=EF，
則AE=2AF=4．
故選B
點評：此題考查了平行四邊形的性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理，等腰三角形的判定與性質，熟練掌握平行四邊形的判定與性質是解本題的關鍵．
考點二：矩形
4.（2010.12）(3分）如圖，矩形ABCD的兩對角線AC、BD交于點O，∠AOB = 60°，設AB = x cm，矩形ABCD的面積為S cm2，則變量y與x的函數關系式為（ ）
A． B． C． D．
【分析】因為矩形ABCD的兩對角線相等，所以BO = CO，
因此∠ACB = 30°，在Rt△ABC中，∠ACB = 30°，AB = x cm，
tan∠ACB =，所以，矩形ABCD的面積．【答案】A
【涉及知識點】矩形 解直角三角形
【點評】本題以矩形為背景考查了解特殊的直角三角形，考查知識到位，綜合能力強，難度較大，區分度高．
5. （2012.9. ）如圖，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，對角線AC的垂直平分線分別交AD、AC于點E、O，連接CE，則CE的長為（　　）
　　A．3　　B．3.5　　C．2.5　　D．2.8
考點：線段垂直平分線的性質；勾股定理；矩形的性質。
解答：解：∵EO是AC的垂直平分線，
∴AE=CE，
設CE=x，則ED=AD﹣AE=4﹣x，
在Rt△CDE中，CE2=CD2+ED2，
即 ，
解得，
即CE的長為2.5．
故選C．
考點三：菱形
6. (2008.4.) 如圖，下列條件之一能使□ABCD是菱形的為（ ）
① ② ③ ④
A．①③ B．②③ C．③④ D．①②③
7.（2013.28）如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，CB=CD，E是CD上一點，BE交AC于F，連接DF．
（1）證明：∠BAC=∠DAC，∠AFD=∠CFE．
（2）若AB∥CD，試證明四邊形ABCD是菱形；
（3）在（2）的條件下，試確定E點的位置，∠EFD=∠BCD，并說明理由．
分析：（1）首先利用SSS定理證明△ABC≌△ADC可得∠BAC=∠DAC，再證明△ABF≌△ADF，可得∠AFD=∠AFB，進而得到∠AFD=∠CFE；
（2）首先證明∠CAD=∠ACD，再根據等角對等邊可得AD=CD，再有條件AB=AD，CB=CD可得AB=CB=CD=AD，可得四邊形ABCD是菱形；
（3）首先證明△BCF≌△DCF可得∠CBF=∠CDF，再根據BE⊥CD可得∠BEC=∠DEF=90°，進而得到∠EFD=∠BCD．
解答：（1）證明：∵在△ABC和△ADC中，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠BAC=∠DAC，
∵在△ABF和△ADF中，
∴△ABF≌△ADF，
∴∠AFD=∠AFB，
∵∠AFB=∠AFE，
∴∠AFD=∠CFE；
（2）證明：∵AB∥CD，
∴∠BAC=∠ACD，
又∵∠BAC=∠DAC，
∴∠CAD=∠ACD，
∴AD=CD，
∵AB=AD，CB=CD，
∴AB=CB=CD=AD，
∴四邊形ABCD是菱形；
（3）當EB⊥CD時，∠EFD=∠BCD，
理由：∵四邊形ABCD為菱形，
∴BC=CD，∠BCF=∠DCF，
在△BCF和△DCF中，
∴△BCF≌△DCF（SAS），
∴∠CBF=∠CDF，
∵BE⊥CD，
∴∠BEC=∠DEF=90°，
∴∠EFD=∠BCD．
點評：此題主要考查了全等三角形的判定與性質，以及菱形的判定與性質，全等三角形的判定是結合全等三角形的性質證明線段和角相等的重要工具．　
8. （2012.14.）如圖，菱形OABC的頂點O在坐標原點，頂點A在x軸上，∠B=120°，OA=2，將菱形OABC繞原點順時針旋轉105°至OA′B′C′的位置，則點B′的坐標為（　　）
　　A．（，）　　B．（，）　　C．（2012泰安）　　D．（，）
考點：坐標與圖形變化-旋轉；菱形的性質。
解答：解：連接OB，OB′，過點B′作B′E⊥x軸于E，
根據題意得：∠BOB′=105°，
∵四邊形OABC是菱形，
∴OA=AB，∠AOB=∠AOC=∠ABC=×120°=60°，
∴△OAB是等邊三角形，
∴OB=OA=2，
∴∠AOB′=∠BOB′﹣∠AOB=105°﹣60°=45°，OB′=OB=2，
∴OE=B′E=OB′?sin45°=，
∴點B′的坐標為：（，）．
故選A．
考點四：正方形
9.（2011.17.）如圖，邊長為6的大正方形中有兩個小正方形，若兩個小正方形的面積分別為S1，S2，則S1+S2的值為（　　）
A、16 B、17
C、18 D、19
分析：由圖可得，S1的邊長為3，由AC=BC，BC=CE=CD，可得AC=2CD，CD=2，EC=；然后，分別算出S1、S2的面積，即可解答；
解答：解：如圖，設正方形S2的邊長為x，
根據等腰直角三角形的性質知，AC=BC，BC=CE=CD，
∴AC=2CD，CD==2，
∴EC2=22+22，即EC=；
∴S2的面積為=8；
∵S1的邊長為3，S1的面積為3×3=9，
∴S1+S2=8+9=17．
故選B．
點評：本題考查了正方形的性質和等腰直角三角形的性質，考查了學生的讀圖能力．

考點五：梯形
10.（2006.12.） 如圖，在梯形中，，，分別是，的中點，若與互余，則與的關系是（　　）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
答案：C
11.（2007.21） （本小題滿分8分）如圖，在梯形中，，對角線平分，的平分線交于分別是的中點．
（1）求證：；
（2）當與滿足怎樣的數量關系時，？并說明理由．
12. (2009.26 .)如圖所示，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，AB=BC，E是AB的中點，CE⊥BD。
求證：BE=AD；
求證：AC是線段ED的垂直平分線；
△DBC是等腰三角形嗎？并說明理由。
考點六：綜合性題目
13.（2011.27.）已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BC=2AD，E是BC的中點，連接AE、AC．
（1）點F是DC上一點，連接EF，交AC于點O（如圖1），求證：△AOE∽△COF；
（2）若點F是DC的中點，連接BD，交AE與點G（如圖2），求證：四邊形EFDG是菱形．
考點：相似三角形的判定；菱形的判定。
專題：證明題；數形結合。
分析：（1）由點E是BC的中點，BC=2AD，可證得四邊形AECD為平行四邊形，即可得△AOE∽△COF；
（2）連接DE，易得四邊形ABED是平行四邊形，又由∠ABE=90°，可證得四邊形ABED是矩形，根據矩形的性質，易證得EF=GD=GE=DF，則可得四邊形EFDG是菱形．
解答：（1）證明：∵點E是BC的中點，BC=2AD，
∴EC=BE=BC=AD，
又∵AD∥DC，
∴四邊形AECD為平行四邊形，
∴AE∥DC，
∴∠AEO=∠CFO，∠EAO=∠FCO，
∴△AOE∽△COF；
（2）證明：連接DE，
∵DE平行且等于BE，
∴四邊形ABED是平行四邊形，
又∠ABE=90°，
∴□ABED是矩形，
∴GE=GA=GB=GD=BD=AE，
∴E、F分別是BC、CD的中點，
∴EF、GE是△CBD的兩條中線，
∴EF=BD=GD，GE=CD=DF，
又GE=GD，
∴EF=GD=GE=DF，
∴四邊形EFDG是菱形．
點評：此題考查了相似三角形的判定與性質，平行四邊形的判定與性質，矩形與菱形的判定與性質等知識．此題綜合性較強，難度適中，解題的關鍵是要注意數形結合思想的應用．

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