資源簡介

數學思想 高中數學【高考橢圓選填題中?？嫉?8 個神奇結論】
高考橢圓選填題中?？嫉?8 個神奇結論
【名師綜述】在高考中，圓錐曲線肯定要出一至兩道小題，難度在中等偏上，所以，為了
節省時間，記住一些重要的結論，到時候就可以直接用了！下面小數老師給大家帶來 8 條
出題率最高的結論，一定要記住哦;
☆◆★神奇結論 1：橢圓上的點與焦點距離的最大值為a c，最小值為a c；
推導 ：首先，我們需要了解一下橢圓的第二定義：平面上的一點到定點的距離與到相
應定直線的距離之比為常數；這里面涉及到幾個特殊的概念，
① 定點：橢圓的焦點；
a2
② 定直線：橢圓的準線，方程為 x ； c
③ 常數：離心率；
由兩點間距離公式，可知
| PF1 | (x c)
2 y2 （1）
2 2 2
x y b從橢圓方程 1解出 y2 (a2 x2 )（2）
a2 b2 a2
代（2）于（1）并化簡，得
c
| PF
1
| a x( a x a)
a
所以，由上面的焦半徑公式可知，
當 P 點在左端點的時候值最小為a c；
當 P 點在右端點的時候值最大為a c；
【典例剖析】
例題 1. 橢圓 ＝1 上存在 n 個不同的點 P1，P2， ，Pn，橢圓的右焦點為 F．數列
{|PnF|}是公差大于 的等差數列，則 n 的最大值是（ ）
A．16 B．15 C．14 D．13 1
數學思想 | 高中數學
數學思想 高中數學【高考橢圓選填題中?？嫉?8 個神奇結論】
【分析】（|PnF|）min≥|a﹣c|＝ ，（|PnF|）max≤a+c＝3 ，|PnF|＝|P1F|+（n﹣1）d．再由
數列{|PnF|}是公差大于 的等差數列，可求出 n 的最大值．
【解答】解：∵（|PnF|）min≥|a﹣c|＝ ，（|PnF|）max≤a+c＝3 ，||PnF|＝|P1F|+（n﹣1）d
∵數列{|PnF|}是公差 d 大于 的等差數列，
∴d＝ ＞ ，解得 n＜10 +1，
則 n 的最大值為 15
故選：B．
x2 y2
☆◆★神奇結論 2： 直線 l 與橢圓 1相交于 A, B兩點，M 為 AB 的中點，則
a2 b2
2
bkAB kOM ；
a2
推導 ：我們利用“點差法”進行推導；
記 A(x1, y1), B(x2 , y2)，M (x0 , y0)，將這兩點帶入橢圓中可得
x2 21 y 1 1(1) a2 b2

x2 y2
2 2 1(2)
a
2 b2
（1） （2）可得：
(x1 x2 )(x1 x2 ) (y1 y 2
)(y1 y2 ) 0；
2 2
a b
2x0 (x1 x2 ) 2y0 (y1 y ) 2 0
a2 b2
y y 2
所以， 1
y2 0 b
x1 x2 x
2
0 a
b2
2 所以， kAB kOM 成立； a2
【 典例剖析】
數學思想 | 高中數學
數學思想 高中數學【高考橢圓選填題中常考的 8 個神奇結論】
例題 2. 已知橢圓 E： 的右焦點為 F（3，0），過點 F 的直線交橢圓 E 于
A、B 兩點．若 AB 的中點坐標為（1，﹣1），則 E 的方程為（ ）
A． B．
C． D．
解法一：基本解題法
【分析】設 A（x1，y1），B（x2，y2），代入橢圓方程得 ，利用“點差法”可得
．利用中點坐標公式可得 x1+x2＝2，y1+y2＝﹣2，利用斜率計算
公式可得 ＝ ＝ ．于是得到 ，化為 2＝ 2a 2b ，再利用 c＝3
＝ ，即可解得 2， 2a b ．進而得到橢圓的方程．
【解答】解：設 A（x1，y1），B（x2，y2），
代入橢圓方程得 ，
相減得 ，
∴ ．
3
數學思想 | 高中數學
數學思想 高中數學【高考橢圓選填題中?？嫉?8 個神奇結論】
∵x1+x2＝2，y1+y2＝﹣2， ＝ ＝ ．
∴ ，
化為 2a ＝ 2 2 22b ，又 c＝3＝ ，解得 a ＝18，b ＝9．
∴橢圓 E 的方程為 ．
故選：D．
解法二：結論解題法
x2 y2
☆◆★神奇結論 3：在橢圓 1中，若MN 是過中心的一條弦， P 是橢圓上異于a2 b2
2
bM , N 的一點，則有 kPM kPN ；
a2
推導 ：令M (x1, y1)，N( x1, y1)，P(x0 , y0)；
y0 y y y y
2 y2
所以 k 1 0 1 0 1
PM
kPN ①；
x x x x x2 x20 1 0 1 0 1
2 b
2 2
又因為 y 2 2 2
b 2 2
0 (a x0 )， y1 (a x1 )代入①中；
a2 a2
b2
整理可得 kPM kPN ；
a2
【典例剖析】
例題 3. 橢圓 C： ＝1 的左、右頂點分別為 A1，A2，點 P 在 C 上且直線 PA2的斜率的
取值范圍是[﹣2，﹣1]，那么直線 PA1斜率的取值范圍是（ ）
4 A． B． C． D．
數學思想 | 高中數學
數學思想 高中數學【高考橢圓選填題中?？嫉?8 個神奇結論】
【分析】由題意求 A1、A2的坐標，設出點 P 的坐標，代入求斜率，進而求 PA1斜率的取值范
圍．
【解答】解：由橢圓的標準方程可知，
左右頂點分別為 A1（﹣2，0）、A2（2，0），
設點 P（a，b）（a≠±2），則
＝1 ①， ＝ ， ＝ ；
則 ＝ ＝ ，
將①式代入得 ＝﹣ ，∵ ∈[﹣2，﹣1]，
∴ ∈ ．故選：D．
解法二：結論解題法
x2 y 2
☆◆★神奇結論 4：已知橢圓方程為 1(a b 0),兩焦點分別為F1, F2 2 ,設焦點三a b2

角形PF 21F2 中 F1PF2 ,則S F PF b tan . 1 2 2
x 2 y 2
已知雙曲線方程為 1，兩焦點分別為F1, F2 ,設焦點三角形PF1F2中
a 2 b 2

F1PF2 ,則S F PF b
2 cot
1 2 2
推導 ： (2c)2
2 2 2
F1F2 PF1 PF2 2 PF1 PF2 cos
( PF PF 2 1 2 ) 2 PF1 PF2 (1 cos )
( PF PF )2 4c2 4a2 4c2 21 2 2b
PF1 PF2
2(1 cos ) 2(1 cos ) 1 cos
5
1 b2
S 2 F PF PF1 PF2 sin b tan 1 2 2 1 cos 2
雙曲線證明也同樣道理.
數學思想 | 高中數學
數學思想 高中數學【高考橢圓選填題中常考的 8 個神奇結論】
【典例剖析】
例題 4. 已知 P 是橢圓 + ＝1 上的點，F1、F2分別是橢圓的左、右焦點，若
＝ ，則△F1PF2的面積為（ ）
A．3 B．2 C． D．
【分析】先根據橢圓的方程求得 c，進而求得|F1F2|，設 F1P＝m，F2P＝n，再根據條件求出∠
F1PF2＝60°，然后利用余弦定理可求得 mn 的值，je 利用三角形面積公式求解．
【解答】解：由題意可得：a＝5，b＝3，
所以 c＝4，即 F1F2＝2c＝8．
設 F1P＝m，F2P＝n，所以由橢圓的定義可得：m+n＝10 ①．
因為 ，所以由數量積的公式可得：cos＜ ＞＝ ，
所以 ．
在△F1PF2中∠F1PF2＝60°，
所以由余弦定理可得：64＝ 2 2m +n ﹣2mncos60° ②，
由①②可得：mn＝12，所以 ．
故選：A．
解法二：結論解題法
6
數學思想 | 高中數學
數學思想 高中數學【高考橢圓選填題中?？嫉?8 個神奇結論】
x2 y2
☆◆★神奇結論 5：若 F1，F2為橢圓 1（a＞b＞0）的左右焦點，P是橢圓上的動a2 b2

點，則∠F1PF2= ，則橢圓離心率 e的取值范圍為 sin ≤e＜1.
2
m 2 n 2 4c 2
推導 ：設|PF|=m，|PF|=n，則 m+n=2a.于是 cos = =
2mn
(m n)2 4c 2 2mn 2b 2 2b 2 2b 2 2b 2
= 1≥ 1= 1，我們得到了 cos ≥ 1， 2mn mn m n a 22 a
2
( )
2
2(a 2 c 2) 1 - cos
所以，cos ≥ 1=1-2e
2
e2≥ ，然后根據二倍角公式就可以得到上
a 2 2

面的結論；sin ≤e＜1；
2
【典例剖析】
例題 5. 已知橢圓 的兩個焦點分別為 F1，F2，若橢圓上存在點 P 使得∠
F1PF2是鈍角，則橢圓離心率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【分析】當動點 P 在橢圓長軸端點處沿橢圓弧向短軸端點運動時，P 對兩個焦點的張角∠
F1PF2漸漸增大，當且僅當 P 點位于短軸端點 P0處時，張角∠F1PF2達到最大值，由此可
得結論．
【解答】解：如圖，當動點 P 在橢圓長軸端點處沿橢圓弧向短軸端點運動時，P 對兩個焦點
的張角∠F1PF2漸漸增大，當且僅當 P 點位于短軸端點 P0處時，張角∠F1PF2達到最大
值．由此可得：
∵橢圓上存在點 P 使得∠F1PF2是鈍角，
∴△P0F1F2中，∠F1P0F2＞90°，
∴Rt△P0OF2中，∠OP0F2＞45°， 7
所以 P0O＜OF2，即 b＜c，
數學思想 | 高中數學
數學思想 高中數學【高考橢圓選填題中常考的 8 個神奇結論】
∴ 2a ﹣ 2 2c ＜c ，可得 2＜ 2a 2c ，
∴e＞ ，
∵0＜e＜1，
∴ ＜e＜1．
故選：B．
解法二：結論解題法
x2 y2 ☆◆★神奇結論 6：點P(x0 , y0)在橢圓 1（a＞b＞0）上，則過點P 的切線方程為
a2 b2
x0x y0 y 1；
a2 b2
2x 2yy b2x b
2x
推導 ：兩側同時求導可得： 0 y ，則 y y0
0 (x x0 )； 2 2a b2 a2 y a y0
x x y y
故a2 y0 y b
2x0x a
2 y20 b
2x2 2 2 0 00 a b ，所以，切線方程為 1； 2 2
a b
【 典例剖析】
例題 6. 已知圓的方程為 2 2x +y ＝1，則經過圓上一點 M（x0，y0）的切線方程為 x0 x+y0 y＝1，
類比上述性質，可以得到橢圓 2 2x +4y ＝8 上經過點 的切線方程為
8 ； ．
數學思想 | 高中數學
數學思想 高中數學【高考橢圓選填題中?？嫉?8 個神奇結論】
【分析】已知圓的方程為 2 2x +y ＝1，則經過圓上一點 M（x0，y0）的切線方程為 x0 x+y0 y＝1，
類比上述性質，可以得到：橢圓 2 2mx +ny ＝c（m，n，c 同號，且 m≠n）經過橢圓上一點
M（x0，y0）的切線方程為： ．
【解答】解：已知圓的方程為 2 2x +y ＝1，則經過圓上一點 M（x0，y0）的切線方程為 x0 x+y0
y＝1，
類比上述性質，可以得到：
橢圓 2 2mx +ny ＝c（m，n，c 同號，且 m≠n）經過橢圓上一點 M（x0，y0）的切線方程為：
故橢圓 2 2x +4y ＝8 上經過點 的切線方程為：2x﹣4 y＝8，即 ；，
故答案為： ．
解法二：結論解題法
x2 y2 ☆◆★神奇結論 7：①橢圓 1(a 0,b 0)與直線 Ax By C 0(A B 0)相切的
a2 b2
充要條件是 A2a2 B2b2 C2；
x2 y2
②雙曲線 1(a 0,b 0)與直線 Ax By C 0(A B 0)相切的充要條件是
a2 b2
A2a2 B2b2 C2 ；
推導 ：給大家推導一下關于橢圓的結論，雙曲線的推導雷同，直線變形可得
A C Ax C
y x y ，帶入橢圓方程，化簡可得
B B B
(B2b2 A2a2)x2 2a2 ACx a2C2 a
2b2B2 0，
由于只有一個交點，故 4a4 A2C2 4(B2b2 a2 A2)(a2C2 a2b2B2) 0，
整理可得， A2a2 B2b2 C2；
【 典例剖析】
例 題 7. 已知兩定點 A（﹣1，0），B（1，0），若直線 l 上存在點 M，使得|MA|+|MB|＝3，則
稱直線 l 為“M 型直線”，給出下列直線：①x＝2；②y＝x+3；③y＝﹣2x﹣1；④y＝1； 9
⑤y＝2x+3．其中是“M 型直線”的條數為（ ）
數學思想 | 高中數學
數學思想 高中數學【高考橢圓選填題中常考的 8 個神奇結論】
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】點 M 的軌跡方程是 ，把①，②，③，④，⑤分別和 聯立方程
組，如果方程組有解，則這條直線就是“M 型直線”．
【解答】解：由題意可知，點 M 的軌跡是以 A，B 為焦點的橢圓，其方程是 ，
①把 x＝2 代入 ，無解，∴x＝2 不是“M 型直線”；
②把 y＝x+3 代入 ，無解，∴y＝x+3 不是“M 型直線”；
③把 y＝﹣2x﹣1 代入 ，有解，∴y＝﹣2x﹣1 是“M 型直線”；
④把 y＝1 代入 ，有解，∴y＝1 是“M 型直線”；
⑤y＝2x+3 代入 ，有解，∴y＝2x+3 是“M 型直線”．
故選：C．
解法二：結論解題法
10
數學思想 | 高中數學
數學思想 高中數學【高考橢圓選填題中?？嫉?8 個神奇結論】
x2 y2
☆◆★神奇結論 8：直線 l 與橢圓 1(a 0,b 0)相交于 A, B，坐標原點為O，O
a2 b2
ab到直線 l 的距離為 d ，則有OA OB，d ；
a2 b2
1 1 1 1
推導 ：（1）當 OP，OQ在坐標軸上時，顯然 成立.
2 2OP OQ a
2 b 2
1
（2）當 OP，OQ不在坐標軸上時，設直線 OP：y=kx，直線 OQ：y= x .聯系整理可得
k
a 2b 2 k 2a 2b 2
(k
2a 2 b 2)x 2 a 2b 2，解得x 2p ，y
2
2 p
，則
k a 2 b 2 k 2a 2 b 2
2 2 2 2 2 2
1 k a b 1 k b a 1 1 1 1 ；同理 .所以 .
| OP |2 (k 2 1)a 2b 2 | OQ |2 (k 2 1)a 2b 2 2 2 2 2OP OQ a b
1 1
利用等面積法可得： | OP | | OQ | | OP |
2 | OQ |2 d
2 2
2 2
| OP | | OQ | OP OQ a2 b2 ab
所以，d ，又 ，d ；
2 2 2 2| OP |2 | OQ |2 OP OQ a b a2 b2
【典例剖析】
x2 y2
例題 8.過點P(0,2)的直線 l 交橢圓E : 1于M , N 兩點，且OM ON ，則直線 l 的方程
4 2
為 ；
2x y 2 0或 2x y 2 0
11
數學思想 | 高中數學

展開更多......

收起↑