資源簡介

第16講 平面向量范圍與最值問題
方法總結(jié)：
1.探求向量范圍與最值問題，可以建立平面直角坐標(biāo)系，借助向量的坐標(biāo)表示，利用代數(shù)運(yùn)算、三角變換等方法解決.
2.探求向量范圍與最值問題，如果代數(shù)轉(zhuǎn)化比較困難，則可以考慮向量背后的幾何意義，從而把最值問題轉(zhuǎn)化為對稱問題來處理.
典型例題：
例1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知平面向量滿足：，當(dāng)與所成角最大時(shí)，則______
【答案】
【解析】
【分析】
方法一：記，，，由條件可得，由此確定點(diǎn)C的軌跡，則與的夾角為，證明當(dāng)C為過，兩點(diǎn)的圓與圓相外切時(shí)的切點(diǎn)時(shí)，最大，設(shè)圓的半徑為，再由正弦定理可得，利用余弦定理求得，由此可得，方法二：以O(shè)為原點(diǎn)，OA，OB為x，y軸建立坐標(biāo)系，求點(diǎn)C的軌跡，則與的夾角為，證明當(dāng)C為過，兩點(diǎn)的圓與圓相外切時(shí)的切點(diǎn)時(shí)，最大，由求點(diǎn)E的坐標(biāo)，由此可求.
【詳解】
解：記，，，
則，
即點(diǎn)的軌跡是以為圓心，半徑為1的圓．過，兩點(diǎn)的圓與圓相外切，記切點(diǎn)為，此時(shí)最大（如圖）．
下證上述結(jié)論：取圓上不同于切點(diǎn)的點(diǎn)，因?yàn)樵趫A的外面，
所以．
下面求當(dāng)最大時(shí)，的值．
記圓的半徑為，則．
所以只需求出圓的半徑為即可．
法一：如右圖，為弦的中點(diǎn)，
在中，由余弦定理求得，
，則．
在中，，，，，
由余弦定理得，．
即．
法二：如圖建系，，，，點(diǎn)在以為圓心，1為半徑的圓上．
以為弦長作圓，當(dāng)圓與圓外切時(shí)最大．
圓心在弦的中垂線上，設(shè)，
則，
即，
化簡得，即或（舍去），
此時(shí)，得．
故答案為：.
例2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知平面向量滿足：，向量與向量的夾角為，，向量與向量的夾角為，則的最大值為___________.
【答案】60
【解析】
【分析】
如圖所示，設(shè)先證明四點(diǎn)共圓，求出，再利用余弦定理和重要不等式求解.
【詳解】
如圖所示，設(shè)
所以，,
因?yàn)橄蛄颗c向量的夾角為，向量與向量的夾角為，
所以 所以，
所以四點(diǎn)共圓.
在△中，由正弦定理得
所以因?yàn)?
在△中，由余弦定理得，
所以.
所以的最大值為60.
故答案為：60
例3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）銳角中，角，，所對邊的長分別為，，，設(shè)的面積為，若，則的最大值為_______________________.
【答案】
【解析】
【分析】
先通過正弦定理角化邊得3邊關(guān)系，代入余弦定理求得角余弦值的最小值，進(jìn)而可得角正切值的最大值，再利用三角形面積公式及向量數(shù)量積可得目標(biāo)式的最大值.
【詳解】
解：中，
所以，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，此時(shí)最小，最大.
此時(shí)
故答案為：.
例4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知向量，是平面內(nèi)的兩個(gè)非零向量，則當(dāng)取最大值時(shí)，與夾角為________．
【答案】##
【解析】
【分析】
根據(jù)，結(jié)合平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)推出，再根據(jù)題意以及等號成立條件，即可求解.
【詳解】
∵向量，是平面內(nèi)的兩個(gè)非零向量，
∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，
∴，即，
∴，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，即，則與夾角為，
∴當(dāng)取最大值時(shí)，與夾角為.
故答案為：.
例5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知向量，滿足，，則的最大值為______.
【答案】
【解析】
【分析】
先求得、，進(jìn)而平方，計(jì)算即得結(jié)論．
【詳解】
設(shè)向量的夾角為，
，
，
則，
令，
則，
據(jù)此可得：，
即的最大值是
故答案為：.
例6．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知在中.，平面內(nèi)有動點(diǎn)滿足，則數(shù)量積的最大值是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)題意建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求出的軌跡方程，即可求解.
【詳解】
如圖，根據(jù)已知條件建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，各點(diǎn)坐標(biāo)分別為：，
設(shè)動點(diǎn)，則由得，
化簡得出滿足，令.
則，
所以的最大值為.
故答案為：16.
例7．（2022·浙江·紹興一中高三期末）已知平面向量，，滿足，，則的最小值是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
已知展開聯(lián)立方程組，解得，利用將兩者建立起關(guān)系，解不等式得的范圍﹒
【詳解】
∵，∴．
∵，∴，
∴，且
∵，
解得，∴，即的最小值為，
故答案為：﹒
例8．（2022·浙江·高三開學(xué)考試）已知非零平面向量，夾角為，且，若，則的最小值為_______________．
【答案】
【解析】
【分析】
利用向量線性運(yùn)算的幾何意義可求諸模之和的最小值.
【詳解】
如圖，設(shè)，，，，
則，且，
要求的最小值即求的最小值.
作出關(guān)于的對稱點(diǎn)，再作出關(guān)于的對稱點(diǎn)，
連接，設(shè)與射線交于，連接，與射線交于，
則，且，
設(shè)，則，而，故，
所以.
則，
當(dāng)且僅當(dāng)重合，重合時(shí)等號成立，
故答案為：.
【點(diǎn)睛】
思路點(diǎn)睛：向量的模的最值問題，如果代數(shù)轉(zhuǎn)化比較困難，則可以考慮向量背后的幾何意義，從而把最值問題轉(zhuǎn)化為對稱問題來處理.
例9．（2022·浙江湖州·高三期末）已知圓的半徑是3，是圓內(nèi)一動點(diǎn)，且，是圓上的兩個(gè)動點(diǎn).若，則的取值范圍是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)題意，在中結(jié)合余弦定理得，進(jìn)而，進(jìn)而得答案.
【詳解】
解：根據(jù)題意，在以為圓心，半徑為的圓上，
所以在中，，
由余弦定理得，解得，
所以
，
所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，；
當(dāng)時(shí)，取得最大值，；
所以的取值范圍是
故答案為：
例10．（2022·浙江上虞·高三期末）設(shè)向量，，，，點(diǎn)在內(nèi)，且向量與向量的夾角為，則的取值范圍是____________．
【答案】
【解析】
【分析】
以直線OA為x軸，線段OA的中垂線為y軸建立坐標(biāo)系，探求點(diǎn)C的坐標(biāo)滿足的關(guān)系，再利用換元法借助三角恒等變換計(jì)算作答.
【詳解】
以直線OA為x軸，線段OA的中垂線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，
因，則，而，解得，
則，設(shè)，有，，
因向量與向量的夾角為，則，
，，
，整理得：，即，
因此，，，令點(diǎn)，，
令，
則，
于是得，又，即有，解得，
當(dāng)時(shí)，，即，而，有，
，矛盾，即，
當(dāng)時(shí)，，即有，其中銳角滿足，
則有，，，顯然存在滿足條件，則，因此，，
所以的取值范圍是.
故答案為：
【點(diǎn)睛】
思路點(diǎn)睛：給定向量的模探求向量問題，可以建立平面直角坐標(biāo)系，借助向量的坐標(biāo)表示，利用代數(shù)運(yùn)算、三角變換等方法解決.
過關(guān)練習(xí)：
1．（2022·浙江溫州·高三開學(xué)考試）已知菱形ABCD的邊長為2，設(shè)，若恒成立，則向量在方向上投影的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先由恒成立解得向量與的夾角的取值范圍，再去求向量在方向上投影的取值范圍即可.
【詳解】
設(shè)向量與的夾角為
由，可得，
即，
即關(guān)于恒成立
則，即
故向量在方向上投影
故選：A
2．（2022·海南·模擬預(yù)測）在直角梯形ABCD中，，，且，.若線段CD上存在唯一的點(diǎn)E滿足，則線段CD的長的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，即可求得答案.
【詳解】
解析 如圖所示，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，和分別為x軸和y軸正方向建立直角坐標(biāo)系.
則 , 設(shè)DE的長為x，則 ，
則，，所以，解得或，由題意知： ，且點(diǎn)E存在于CD上且唯一，知CD的長的取值范圍是，
故選：B.
3．（2022·安徽阜陽·高三期末（文））點(diǎn)M在邊長為2的正三角形內(nèi)（包括邊界），滿足，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先得到，再利用向量的數(shù)量積運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算
【詳解】
因?yàn)辄c(diǎn)M是正三角形內(nèi)的一點(diǎn)（包括邊界），所以，由
.故選：B.
4．（2022·湖北·武鋼三中高三階段練習(xí)）半徑為4的圓上有三點(diǎn)，滿足，點(diǎn)是圓內(nèi)一點(diǎn)，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)向量的線性運(yùn)算及基底法求向量數(shù)量積.
【詳解】
如圖所示，
設(shè)與交于點(diǎn)，
由，
得四邊形是菱形，且，則，，
由圖知，，而，
所以，
同理，，而，
所以，
所以，因?yàn)辄c(diǎn)是圓內(nèi)一點(diǎn)，則，
所以，
即的取值范圍為，
故選：A.
5．（2022·北京朝陽·高三期末）已知平面向量，滿足，與的夾角為120°，記，的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
設(shè)，根據(jù)與的夾角為120°，得到，再根據(jù)，得到的終點(diǎn)在直線AB上求解.
【詳解】
設(shè)，如圖所示：
則，
因?yàn)榕c的夾角為120°，
所以，
因?yàn)椋业钠瘘c(diǎn)相同，
所以其終點(diǎn)共線，即在直線AB上，
所以當(dāng)時(shí)，最小，最小值為，無最大值，
所以的取值范圍為，
故選；A
6．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A(－12,0)，B(0，6)，點(diǎn)P在圓O：x2＋y2＝50上，若·≤20，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍是（ ）
A．[0，] B．[－5，1]
C．[－，] D．[－2，0]
【答案】B
【解析】
【分析】
設(shè)P(x,y)，由已知結(jié)合向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示可得(x＋6)2＋(y－3)2≤65，即知P為圓O在圓(x＋6)2＋(y－3)2＝65內(nèi)部及其上的點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合法判斷P的橫坐標(biāo)的取值范圍.
【詳解】
設(shè)P(x,y)且·≤20.
∴(x＋12)x＋y(y－6)≤20，則(x＋6)2＋(y－3)2≤65.
則P為圓O在圓(x＋6)2＋(y－3)2＝65內(nèi)部及其上的點(diǎn)，
聯(lián)立得：或，
結(jié)合圖形(圖略)可知.
故選：B.
7．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知圓O的方程為，過圓O外一點(diǎn)作圓O的兩條切線PA，PB，切點(diǎn)分別為A B，若，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)向量數(shù)量積運(yùn)算求得，即.設(shè)，由直線與圓的關(guān)系建立不等式組，求解即可.
【詳解】
解：由，得即，所以，即.設(shè)，根據(jù)題意，直線與圓有公共點(diǎn)，所以，解得（當(dāng)直線與圓相切時(shí)取等號），即的取值范圍為.
故選：C.
8．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知平面向量，滿足，，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)題意，結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算公式，以及圓外一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的距離問題，即可求解.
【詳解】
根據(jù)題意，令，，
則，即，
因此在為圓心，4為半徑的圓上，易知，
故，即.
故選：C.
9．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知是以為斜邊的等腰直角三角形，若，且，則的取值范圍是（ ）
A．，， B．，，
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)給定條件求出關(guān)于的表達(dá)式，再由的取值范圍即可計(jì)算得解.
【詳解】
因是以為斜邊的等腰直角三角形，，則，，，
而，則
，
因，即或，于是得或，
所以的取值范圍是.
故選：A
10．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)．若動點(diǎn)M滿足，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
設(shè)，求出動點(diǎn)軌跡方程，然后用三角換元法表示出，計(jì)算，并由兩角和的正弦公式變形，由正弦函數(shù)性質(zhì)求得范圍．
【詳解】
設(shè)，則由，得M的方程為，設(shè)，
則．
故選：D．
11．（2022·全國·高三專題練習(xí)）給定兩個(gè)長度均為2的平面向量和，它們的夾角為.點(diǎn)在以為圓心的圓弧上運(yùn)動，如圖所示.若，其中，，則的最大值是（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【解析】
【分析】
建立空間直角坐標(biāo)系，得到， ，.設(shè)，則，根據(jù)，解得，然后由，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求解.
【詳解】
解：建立如圖所示的坐標(biāo)系，
則，，
即，.
設(shè)，則.
，，，.
，（此時(shí)有，是個(gè)銳角）.
.
可取到.
有最大值，
故選：.
12．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知為單位向量，向量滿足：，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
可設(shè)，，根據(jù)，可得的關(guān)系式，并得出的范圍，，將用表示，再根據(jù)函數(shù)的最值即可得解.
【詳解】
解：可設(shè)，，
則，
即，則，，
，
當(dāng)時(shí)，取得最大值為6，
即的最大值為6.
故選：C
13．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知 是兩個(gè)夾角為120°的單位向量，如圖示，點(diǎn)在以為圓心的上運(yùn)動.若，其中 ，則的最大值是（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】B
【解析】
【分析】
建立坐標(biāo)系，得出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可得向量的坐標(biāo)，化已知問題為三角函數(shù)的最值即可得出答案.
【詳解】
解：由題意，以為原點(diǎn)，為軸的正向，建立如圖所示的坐標(biāo)系，
設(shè)，
可得，，，
由，，得，
，，，
，
，，
當(dāng)時(shí)，的最大值為2，此時(shí)為弧的中點(diǎn).
所以的最大值是2.
故選：B.
14．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知平面向量，，，，若，，則（ ）
A．的最小值是 B．的最大值是
C．的最小值是 D．的最大值是
【答案】A
【解析】
【分析】
令，可得，且，設(shè) ，，，根據(jù)已知條件及三角函數(shù)的有界性即可求解.
【詳解】
令，則，故，且，
假設(shè) ，，，
所以根據(jù)已知條件有，
所以，即，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，
所以的最小值是，
故選：A.
15．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知平面向量滿足，，則的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由已知可得，再結(jié)合向量的數(shù)量積的性質(zhì)可求，最后代入即可求出答案.
【詳解】
設(shè)
得
即
,
故選：A
16．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，是兩個(gè)互相垂直的單位向量，且，，則對任意的正實(shí)數(shù)的最小值是（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)給定條件利用向量模的計(jì)算公式得出關(guān)于t的函數(shù)，再借助均值不等式求解即得.
【詳解】
因，是兩個(gè)互相垂直的單位向量，則，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，則
所以當(dāng)時(shí)，的最小值是.
故選：B
17．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)是所在平面內(nèi)的動點(diǎn)，且滿足，射線與邊交于點(diǎn)，若，，則的最小值為（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由已知得，所以點(diǎn)在的平分線上，即為的角平分線，利用正弦定理得，，可知，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可求最小值.
【詳解】
表示與共線的單位向量，表示與共線的單位向量，
的分向與的平分線一致，
，
所以點(diǎn)在的平分線上，即為的角平分線，
在中，，，利用正弦定理知：
同理，在中，
，其中
分析可知當(dāng)時(shí)，取得最小值，即
故選：C
18．（2022·黑龍江·嫩江市第一中學(xué)校高三期末（理））在平行四邊形中，，點(diǎn)P為平行四邊形所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
建立如圖所示坐標(biāo)系設(shè)，根據(jù)數(shù)量積坐標(biāo)公式即可求解最值．
【詳解】
建立如圖所示坐標(biāo)系，設(shè)，則，
所以，，
故，
所以時(shí)，取得最小值．
故選：A．
19．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知是平面向量，是單位向量.若非零向量與的夾角為，向量滿足，則的最小值是（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【解析】
【分析】
設(shè)，由題可得，，進(jìn)而可得表示圓上點(diǎn)到射線上點(diǎn)的距離，即得.
【詳解】
設(shè)，
則由非零向量與的夾角為，
得，
∴，即，
由，得，
∴，
∴表示圓上點(diǎn)到射線上點(diǎn)的距離，
∴的最小值為圓心到射線的距離減去半徑1，為
故選：A.
20．（2022·全國·高三階段練習(xí)（文））己知，，與的夾角為，若向量滿足，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)平面向量數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)及三角不等式計(jì)算判斷．
【詳解】
因?yàn)椋c的夾角為，
所以，，，
所以滿足，
因?yàn)椋?br/>所以，
所以，
故選：C
21．（2022·山東濰坊·高三期末）已知正方形ABCD的邊長為2，MN是它的內(nèi)切圓的一條弦，點(diǎn)P為正方形四條邊上的動點(diǎn)，當(dāng)弦MN的長度最大時(shí)，的取值范圍是（ ）
A．[0，1] B．
C．[1，2] D．
【答案】A
【解析】
【分析】
作出圖形，考慮是線段上的任意一點(diǎn)，可得出，以及，，然后利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律可求得的取值范圍.
【詳解】
如下圖所示：
考慮是線段上的任意一點(diǎn)，，，
圓的半徑長為，由于是線段上的任意一點(diǎn)，則，
所以，.
故選：A.
22．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在中，，P為邊AC上的動點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）
A． B．[12，16]
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)題意得到，其中，利用平面向量三角形法則表示出，進(jìn)而可得其范圍.
【詳解】
因?yàn)镻在AC上，所以，其中，
則
，
因?yàn)椋?
故選：B
23．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，若點(diǎn)P是所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且，則的最大值等于（ ）
A．8 B．10 C．12 D．13
【答案】C
【解析】
【分析】
以A為原點(diǎn)，所在直線為坐標(biāo)軸建立平面直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，求出點(diǎn)坐標(biāo)，再求出數(shù)量積，然后引入函數(shù)，用導(dǎo)數(shù)求得最大值．
【詳解】
∵，∴可以A為原點(diǎn)，所在直線為坐標(biāo)軸建立平面直角坐標(biāo)系；
不妨設(shè)，則，故點(diǎn)P坐標(biāo)為
則，∴
令，則，
則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
則函數(shù)在遞增，在上遞減，則，即的最大值為12．
故選：C．
二、雙空題
24．（2022·天津南開·高三期末）在四邊形中，，，，則________；若E，F(xiàn)分別是邊，上的點(diǎn)，且滿足，則當(dāng)時(shí)，的取值范圍是________.
【答案】
【解析】
【分析】
依題意可得四邊形為底角為的等腰梯形，求出的值，結(jié)合平面向量的運(yùn)算法則及，得到不等式，求得取值范圍，即可得解．
【詳解】
解：依題意等腰梯形中，，，
可得，，，
所以，，．
所以，，
所以
，分別是邊，上的點(diǎn)，且滿足，所以，
，，
則，，
．
即，
，解得，又．所以，即；
故答案為：；；
25．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，，，是全等的等腰直角三角形（，處為直角頂點(diǎn)），且，，，四點(diǎn)共線.若點(diǎn)，，分別是邊，，上的動點(diǎn)（包含端點(diǎn)）， 則________，的取值范圍為_______.
【答案】
【解析】
【分析】
如圖：以為原點(diǎn)，以所在的直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，求出各點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可得直線，，的方程，設(shè)出，，的坐標(biāo)，結(jié)合橫坐標(biāo)的范圍以及數(shù)量積的坐標(biāo)表示即可求解.
【詳解】
如圖：以為原點(diǎn)，以所在的直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，
則，，，，，，，
直線的方程為：，設(shè)，且，
直線的方程為：，設(shè)，且，
直線的方程為：，設(shè)，且，
所以，，，
，，所以，
故答案為：；.
26．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在邊長為1的等邊三角形ABC中，D為線段BC上的動點(diǎn)，且交AB于點(diǎn)E.且交AC于點(diǎn)F，則的值為___________；的最小值為___________.
【答案】 1
【解析】
【分析】
設(shè)，由可求出；將化為關(guān)于的關(guān)系式即可求出最值.
【詳解】
設(shè)，，如圖，
為邊長為1的等邊三角形，，
，
，
為邊長為的等邊三角形，，
，
，
，
所以當(dāng)時(shí)，的最小值為.
故答案為：1；.
27．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知向量，滿足則的最小值是________，最大值是_______.
【答案】 4
【解析】
【分析】
利用數(shù)量積的定義可得，，然后利用三角函數(shù)的性質(zhì)即得,
【詳解】
設(shè)向量的夾角為，則，
，則：
，
令，則，
據(jù)此可得：，
即的最小值是4，最大值是.
故答案為：4，.
三、填空題
28．（2022·浙江嘉興·高三期末）已知非零平面向量，，滿足，且，若與的夾角為，且，則的模取值范圍是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
以向量幾何意義去解題，數(shù)形結(jié)合的方法可以簡化解題過程.
【詳解】
如圖1，令，，，則，取AB中點(diǎn)M .
由，可得，
，
所以，即C在以M為圓心、為半徑的圓上.
由，當(dāng)O、M、C三點(diǎn)共線時(shí)（M在線段OC上），.
由于O在以AB為弦的圓弧上，設(shè)圓心為G，
由正弦定理可知，即，
當(dāng)時(shí)，圓G半徑取得最大值.
當(dāng)O、M、G三點(diǎn)共線（G在線段OM上），且時(shí)，
取得最大值，此時(shí)，
所以.
如圖2，顯然當(dāng)O、M、C三點(diǎn)共線（點(diǎn)C在線段OM上），
當(dāng)時(shí)，圓G半徑取得最小值.
，即M、G兩點(diǎn)重合.取得最小值為2.
則時(shí)，.
故向量的模取值范圍是
故答案為：
29．（2022·浙江杭州·高三期末）已知向量，，，，...（）是兩兩互不相等的平面向量，，，（其中，2；，2，...，k）.若k的最大值是8，則a的取值范圍是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
當(dāng)兩個(gè)向量共始點(diǎn)時(shí)，其差向量的模等于兩向量終點(diǎn)的距離，則向量的終點(diǎn)到、終點(diǎn)的距離都是1或2，從而轉(zhuǎn)化成兩組同心圓交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，然后可解.
【詳解】
作，再以O(shè)為始點(diǎn)作向量，因?yàn)樗缘慕K點(diǎn)在以A為圓心，1和2為半徑的同心圓上，又因?yàn)椋缘慕K點(diǎn)在以B為圓心，1和2為半徑的同心圓上，由于k的最大值是8，故兩組同心圓有8個(gè)交點(diǎn)，所以，即 .
故答案為：
30．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在矩形中，已知，（為正常數(shù)），為邊的中點(diǎn)，是對角線上的動點(diǎn)（含端點(diǎn)），若的取值范圍為，則___________.
【答案】1
【解析】
【分析】
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線分別為軸非負(fù)半軸建立平面直角坐標(biāo)系，借助平面向量運(yùn)算即可計(jì)算作答.
【詳解】
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線分別為軸非負(fù)半軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，則，
，，，
有，由得：，
而的取值范圍為，于是得，而 m為正數(shù)，解得：，
所以.
故答案為：1第16講 平面向量范圍與最值問題
方法總結(jié)：
1.探求向量范圍與最值問題，可以建立平面直角坐標(biāo)系，借助向量的坐標(biāo)表示，利用代數(shù)運(yùn)算、三角變換等方法解決.
2.探求向量范圍與最值問題，如果代數(shù)轉(zhuǎn)化比較困難，則可以考慮向量背后的幾何意義，從而把最值問題轉(zhuǎn)化為對稱問題來處理.
典型例題：
例1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知平面向量滿足：，當(dāng)與所成角最大時(shí)，則______
例2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知平面向量滿足：，向量與向量的夾角為，，向量與向量的夾角為，則的最大值為___________.
例3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）銳角中，角，，所對邊的長分別為，，，設(shè)的面積為，若，則的最大值為_______________________.
例4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知向量，是平面內(nèi)的兩個(gè)非零向量，則當(dāng)取最大值時(shí)，與夾角為________．
例5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知向量，滿足，，則的最大值為______.
例6．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知在中.，平面內(nèi)有動點(diǎn)滿足，則數(shù)量積的最大值是___________.
例7．（2022·浙江·紹興一中高三期末）已知平面向量，，滿足，，則的最小值是___________.
例8．（2022·浙江·高三開學(xué)考試）已知非零平面向量，夾角為，且，若，則的最小值為_______________．
例9．（2022·浙江湖州·高三期末）已知圓的半徑是3，是圓內(nèi)一動點(diǎn)，且，是圓上的兩個(gè)動點(diǎn).若，則的取值范圍是___________.
例10．（2022·浙江上虞·高三期末）設(shè)向量，，，，點(diǎn)在內(nèi)，且向量與向量的夾角為，則的取值范圍是____________．
過關(guān)練習(xí)：
1．（2022·浙江溫州·高三開學(xué)考試）已知菱形ABCD的邊長為2，設(shè)，若恒成立，則向量在方向上投影的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·海南·模擬預(yù)測）在直角梯形ABCD中，，，且，.若線段CD上存在唯一的點(diǎn)E滿足，則線段CD的長的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·安徽阜陽·高三期末（文））點(diǎn)M在邊長為2的正三角形內(nèi)（包括邊界），滿足，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·湖北·武鋼三中高三階段練習(xí)）半徑為4的圓上有三點(diǎn)，滿足，點(diǎn)是圓內(nèi)一點(diǎn)，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·北京朝陽·高三期末）已知平面向量，滿足，與的夾角為120°，記，的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A(－12,0)，B(0，6)，點(diǎn)P在圓O：x2＋y2＝50上，若·≤20，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍是（ ）
A．[0，] B．[－5，1]
C．[－，] D．[－2，0]
7．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知圓O的方程為，過圓O外一點(diǎn)作圓O的兩條切線PA，PB，切點(diǎn)分別為A B，若，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知平面向量，滿足，，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
9．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知是以為斜邊的等腰直角三角形，若，且，則的取值范圍是（ ）
A．，， B．，，
C． D．
10．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)．若動點(diǎn)M滿足，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
11．（2022·全國·高三專題練習(xí)）給定兩個(gè)長度均為2的平面向量和，它們的夾角為.點(diǎn)在以為圓心的圓弧上運(yùn)動，如圖所示.若，其中，，則的最大值是（ ）
A． B． C．2 D．
12．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知為單位向量，向量滿足：，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
13．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知 是兩個(gè)夾角為120°的單位向量，如圖示，點(diǎn)在以為圓心的上運(yùn)動.若，其中 ，則的最大值是（ ）
A． B．2 C． D．3
14．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知平面向量，，，，若，，則（ ）
A．的最小值是 B．的最大值是
C．的最小值是 D．的最大值是
15．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知平面向量滿足，，則的最大值是（ ）
A． B． C． D．
16．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，是兩個(gè)互相垂直的單位向量，且，，則對任意的正實(shí)數(shù)的最小值是（ ）
A．2 B． C．4 D．
17．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)是所在平面內(nèi)的動點(diǎn)，且滿足，射線與邊交于點(diǎn)，若，，則的最小值為（ ）
A． B．2 C． D．
18．（2022·黑龍江·嫩江市第一中學(xué)校高三期末（理））在平行四邊形中，，點(diǎn)P為平行四邊形所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則的最小值是（ ）
A． B． C． D．
19．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知是平面向量，是單位向量.若非零向量與的夾角為，向量滿足，則的最小值是（ ）
A． B． C．2 D．
20．（2022·全國·高三階段練習(xí)（文））己知，，與的夾角為，若向量滿足，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
21．（2022·山東濰坊·高三期末）已知正方形ABCD的邊長為2，MN是它的內(nèi)切圓的一條弦，點(diǎn)P為正方形四條邊上的動點(diǎn)，當(dāng)弦MN的長度最大時(shí)，的取值范圍是（ ）
A．[0，1] B．
C．[1，2] D．
22．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在中，，P為邊AC上的動點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）
A． B．[12，16]
C． D．
23．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，若點(diǎn)P是所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且，則的最大值等于（ ）
A．8 B．10 C．12 D．13
二、雙空題
24．（2022·天津南開·高三期末）在四邊形中，，，，則________；若E，F(xiàn)分別是邊，上的點(diǎn)，且滿足，則當(dāng)時(shí)，的取值范圍是________.
________，的取值范圍為_______.
26．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在邊長為1的等邊三角形ABC中，D為線段BC上的動點(diǎn)，且交AB于點(diǎn)E.且交AC于點(diǎn)F，則的值為___________；的最小值為___________.
27．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知向量，滿足則的最小值是________，最大值是_______.
三、填空題
28．（2022·浙江嘉興·高三期末）已知非零平面向量，，滿足，且，若與的夾角為，且，則的模取值范圍是___________.
29．（2022·浙江杭州·高三期末）已知向量，，，，...（）是兩兩互不相等的平面向量，，，（其中，2；，2，...，k）.若k的最大值是8，則a的取值范圍是___________.
30．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在矩形中，已知，（為正常數(shù)），為邊的中點(diǎn)，是對角線上的動點(diǎn)（含端點(diǎn)），若的取值范圍為，則___________.第17講 均值不等式
方法總結(jié)：
1.利用均值不等式求最值遵循的原則：“一正二定三等”
（1）正：使用均值不等式所涉及的項(xiàng)必須為正數(shù)，如果有負(fù)數(shù)則考慮變形或使用其它方法
（2）定：使用均值不等式求最值時(shí)，變形后的一側(cè)不能還含有核心變量
①求和的式子→乘積為定值
②乘積的式子→和為定值
（3）等：若能利用均值不等式求得最值，則要保證等號成立，要注意以下兩點(diǎn)：
① 若求最值的過程中多次使用均值不等式，則均值不等式等號成立的條件必須能夠同時(shí)成立
② 若涉及的變量有初始范圍要求，則使用均值不等式后要解出等號成立時(shí)變量的值，并驗(yàn)證是否符合初始范圍。
2.常見求最值的題目類型
（1）構(gòu)造乘積與和為定值的情況
（2）已知（為常數(shù)），求的最值，
此類問題的特點(diǎn)在于已知條件中變量位于分子（或分母）位置上，所求表達(dá)式變量的位置恰好相反，位于分母（或分子）上，則可利用常數(shù)“1”將已知與所求進(jìn)行相乘，從而得到常數(shù)項(xiàng)與互為倒數(shù)的兩項(xiàng)，然后利用均值不等式求解。
（3）運(yùn)用均值不等式將方程轉(zhuǎn)為所求式子的不等式，通過解不等式求解：
典型例題：
例1．（2022·安徽·淮南第一中學(xué)一模（理））已知，（，），若，則的最小值為__________．
【答案】16
【解析】
【分析】
由，列方程化簡變形可得，從而，然后利用基本不等式可得答案
【詳解】
因?yàn)椋?br/>所以，
因?yàn)椋裕?br/>所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即取等號，
所以的最小值為16，
故答案為：16
例2．（2022·江西上饒·一模（文））已知a，b均為正數(shù)且滿足，則，的最小值為___________.
【答案】8
【解析】
【分析】
巧用值的代換拼湊，展開利用基本不等式即求得最小值.
【詳解】
因?yàn)椋?br/>故，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)即時(shí)等號成立，故最小值為8.
故答案為：8.
例3．（2022·江蘇揚(yáng)州·高三期末）已知正實(shí)數(shù)x，y滿足x＋y＝1，則的最小值為__________．
【答案】##
【解析】
【分析】
利用基本不等式來求得最小值.
【詳解】
由題意可知，＝＝＝＋＝（＋）（x＋y）
＝4＋5＋＋≥9＋2＝，
當(dāng)且僅當(dāng)＝，時(shí)取等號， 此時(shí)，
故的最小值為．
故答案為：
例4．（2022·湖南婁底·高三期末）已知a，b為正實(shí)數(shù)，且，則的最小值為______．
【答案】6
【解析】
【分析】
利用已知化簡可得，根據(jù)基本不等式計(jì)算即可.
【詳解】
由已知條件得，，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號．
故答案為：6.
例5．（2022·浙江杭州·高三期末）已知正實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最小值是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
由基本不等式得出，再由得出最值.
【詳解】
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號，即
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號.
故的最小值是
故答案為：
例6．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)，則最小值為________
【答案】4
【解析】
【分析】
將原式進(jìn)行配湊變形得，結(jié)合基本不等式可求出代數(shù)式的最小值.
【詳解】
原式
，
，則，，，
，，
當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，即時(shí)等號成立，
又，當(dāng)時(shí)等號成立，所以原式，故最小值為4.
故答案為：4
例7．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若，，則的最小值為________
【答案】##0.75
【解析】
【分析】
由題意可知，，再根據(jù)基本不等式“1”的用法，即可求出結(jié)果.
【詳解】
因?yàn)椋?br/>所以，，
所以．
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值．
故答案為：.
例8．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，，，若，則的最小值為________
【答案】##
【解析】
【分析】
對已知條件進(jìn)行因式分解，轉(zhuǎn)化為一次因式的積，再由均值定理解決即可.
【詳解】
，．
，，
令，解得，，．
則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號．
的最小值為．
故答案為：．
例9．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若正數(shù)，滿足，則的最小值為________
【答案】
【解析】
【分析】
因?yàn)檎龜?shù)，滿足，所以，再根據(jù)基本不等式中“1”的用法，即可求出結(jié)果.
【詳解】
正數(shù)，滿足，．
．
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，此時(shí)結(jié)合，
得
，可知的最小值為．
故答案為：．
過關(guān)練習(xí)：
1．（2022·吉林吉林·模擬預(yù)測（文））若，，，則的最小值等于（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由余弦的倍角公式和三角函數(shù)的基本關(guān)系式，求得，化簡，結(jié)合基本不等式，即可求解.
【詳解】
由，且，
所以，
又由，可得，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，
所以最小值等于.
故選：D.
2．（2022·浙江·紹興一中高三期末）若兩圓（）和（）恰有三條公切線，則的最小值為（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【解析】
【分析】
分別求出兩圓得圓心與半徑，再根據(jù)兩圓恰有三條公切線，可得兩圓外切，從而可求得，再根據(jù)，利用基本不等式即可得出答案.
【詳解】
解：圓化為，
則圓心為，半徑，
圓化為，
則圓心為，半徑，
因?yàn)閮蓤A（）和（）恰有三條公切線，
所以兩圓外切，
則圓心距，
所以，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號，
所以的最小值為.
故選：C.
3．（2022·河南·模擬預(yù)測（文））已知，，，則以下不等式正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)條件結(jié)合基本不等式進(jìn)行求解.
【詳解】
由題意，，故選項(xiàng)A錯誤；
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，故選項(xiàng)B正確；
，則，故選項(xiàng)C錯誤；
，故選項(xiàng)D錯誤.
故選：B.
4．（2022·貴州貴陽·高三期末（文））當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】C
【解析】
【分析】
將函數(shù)化為，再運(yùn)用基本不等式求解.
【詳解】
，，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，故函數(shù)的最小值為.
故選：C.
5．（2022·陜西·武功縣普集高級中學(xué)一模（理））已知實(shí)數(shù)，滿足，若不等式對任意的正實(shí)數(shù)恒成立，那么實(shí)數(shù)m的最大值為（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求，再由基本不等式求的最小值，由此可求實(shí)數(shù)m的最大值.
【詳解】
設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，，
所以函數(shù)在上為增函數(shù)，
∵
∴ ，即，又，
∴ ，
∴
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，
∵不等式對任意的正實(shí)數(shù)恒成立，
∴ ，
故選：D.
6．（2022·廣東·模擬預(yù)測）已知，，，則的最小值為（ ）
A．13 B．19 C．21 D．27
【答案】D
【解析】
【分析】
利用基本不等式“1”的妙用求最小值.
【詳解】
，當(dāng)且僅當(dāng)，即，b＝6時(shí)，等號成立，故的最小值為27
故選：D
7．（2022·江西宜春·高三期末（理））在正項(xiàng)等比數(shù)列}中，存在兩項(xiàng)且 ，使得，且，則的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由已知條件結(jié)合等比數(shù)列通項(xiàng)公式可得，進(jìn)而有，再應(yīng)用基本不等式“1”的代換求最值，注意等號成立條件.
【詳解】
令公比為，由題設(shè)，又，
所以，可得或(舍)，
由，即，可得，
所以，又，則，
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，
所以，故當(dāng)時(shí).
故選：C
8．（2022·福建寧德·模擬預(yù)測）已知，且，則的最小值為（ ）
A． B．8 C． D．10
【答案】D
【解析】
【分析】
對方程變形，再利用基本不等式進(jìn)行求解.
【詳解】
整理為：，由基本不等式得：，即，解得：或，由于，所以舍去，從而的最小值是10
故選：D
9．（2022·山西太原·高三期末（文））已知為正實(shí)數(shù)，，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．4
【答案】A
【解析】
【分析】
由條件可得，然后利用基本不等式可得答案.
【詳解】
因?yàn)?br/>所以
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立
故選：A
10．（2022·廣東·金山中學(xué)高三期末）已知，則下列結(jié)論一定正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由，得到，結(jié)合不等式的基本性質(zhì)、作差比較、基本不等式和對數(shù)的運(yùn)算法則，逐項(xiàng)判定，即可求解.
【詳解】
由，可得，則，
對于A中，由，所以，所以A不正確；
對于B中，由，且，則，所以B不正確；
對于C中，由，且，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，所以C不正確；
對于D中，由，因?yàn)椋傻茫?br/>所以，可得，所以D正確.
故選：D.
11．（2022·江西贛州·高三期末（文））已知函數(shù)的圖像恒過的定點(diǎn)，且點(diǎn)在直線上，則的最小值為（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【解析】
【分析】
由給定條件求出點(diǎn)A的坐標(biāo)即可得出，再利用“1”的妙用即可得解.
【詳解】
解：函數(shù)中，由可得，，即函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn)，
若點(diǎn)在直線上，即有，
于是得，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，
所以時(shí)，的最小值為.
故選：D
12．（2022·浙江上虞·高三期末）已知，滿足，則的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由，得到，化簡，結(jié)合基本不等式，即可求解.
【詳解】
由，可得，
因?yàn)椋傻们遥獾茫?br/>則，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號成立，
所以的最小值為.
故選：B.
13．（2022·江西上饒·一模（理））已知，，，則的最小值為（ ）
A． B．12 C． D．6
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)基本不等中“1”的用法，即可求出結(jié)果.
【詳解】
因?yàn)椋?br/>所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立.
故選：A.
14．（2022·安徽淮北·一模（文））函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn)，若點(diǎn)在直線上，其中，則的最小值為（ ）
A． B． C．8 D．9
【答案】D
【解析】
【分析】
由對數(shù)性質(zhì)得出定點(diǎn)，再由基本不等式得出最值.
【詳解】
由得，即，故，因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，，所以，且.，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立.
故選：D
15．（2022·廣東·梅州市梅江區(qū)梅州中學(xué)高三開學(xué)考試）已知，，若，則的最小值為（ ）
A．6 B．9 C．16 D．18
【答案】C
【解析】
【分析】
由題可得，然后利用“乘1法”即得.
【詳解】
∵，， ，
∴，
∴，即，
∴，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，
所以的最小值為為16.
故選：C.
16．（2022·安徽宣城·高三期末（文））已知函數(shù)，若正實(shí)數(shù)m，n滿足，則的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】B
【解析】
【分析】
先判斷函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，將已知條件轉(zhuǎn)化為恒等式，變形為，根據(jù)“1”的妙用，利用基本不等式求解即可.
【詳解】
∵，
∴函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)，
∵，
∴函數(shù)為上的奇函數(shù)，
∵，
∴，即，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得最小值.
故選:.
17．（2022·湖北武昌·高三期末）已知正數(shù)x，y滿足，則的最小值與最大值的和為（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】B
【解析】
【分析】
利用基本不等式進(jìn)行變形得，然后將進(jìn)行代換得
，繼而解不等式可得答案.
【詳解】
因?yàn)?
所以 ，即 ，
所以，即，
又因?yàn)椋?br/>所以，即 ，
解得 ，
故的最小值與最大值的和為5，
故選：B
二、多選題
18．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【解析】
【分析】
利用不等式的性質(zhì)及其基本不等即可求解.
【詳解】
對于選項(xiàng),∵，，，∴，解得，同理可知，則不正確，正確；
對于選項(xiàng),∵，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，∴，
則正確；
對于選項(xiàng),∵，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，
∴，則正確．
故選：.
19．（2022·江蘇南通·一模）下列函數(shù)中最小值為6的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】
【分析】
根據(jù)基本不等式成立的條件“一正二定三相等”，逐一驗(yàn)證可得選項(xiàng).
【詳解】
解：對于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，故A不正確.
對于B選項(xiàng)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“”，故B正確.
對于C選項(xiàng)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“”，故C正確.
對于D選項(xiàng)，，
當(dāng)且僅當(dāng)，即無解，故D不正確.
故選：BC.
20．（2022·湖南·雅禮中學(xué)高三階段練習(xí)）已知正數(shù)a，b滿足，下列說法正確的有（ ）
A．a(chǎn)b的最大值為1
B．的最小值為
C．的最大值為
D．的最小值為2
【答案】AC
【解析】
【分析】
根據(jù)基本不等式結(jié)合選項(xiàng)一一判斷即可．
【詳解】
解：對于A：由正數(shù)a，b滿足，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，故A正確；
對于B：，所以的最大值為，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，故B錯誤；
對于C：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，故C正確；
對于D：，當(dāng)且僅當(dāng)取等號，當(dāng)時(shí)第二個(gè)等號成立，故兩個(gè)等號不能同時(shí)成立，故，故D錯誤．
故選：AC．
21．（2022·重慶市天星橋中學(xué)一模）已知，且，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．的最小值是4
B．的最小值是2
C．的最小值是
D．的最小值是
【答案】AC
【解析】
【分析】
對于A：利用“乘1法”轉(zhuǎn)化后，利用基本不等式求得最小值，進(jìn)而判定；
對于B：先利用基本不等式求得的取值范圍，根據(jù)此范圍利用基本不等式求最小值時(shí)注意基本不等式取等號的條件不能成立，進(jìn)而判定；
對于C：利用基本不等式和指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)得到最小值，進(jìn)而判定；
對于D：利用對數(shù)的運(yùn)算法則、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和B中求得的的取值范圍，得到所求式子的最大值為-2，進(jìn)而判定.
【詳解】
對于A：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，
故A正確；
對于B：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，
∵,∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號.
但,故等號取不到，∴，故B錯誤；
對于C：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，
故C正確；
對于D：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，故D錯誤．
故選：AC．
22．（2022·江蘇·金陵中學(xué)高三階段練習(xí)）已知，，且，則（ ）
A．xy的取值范圍是 B．的取值范圍是
C．的最小值是3 D．的最小值是
【答案】BD
【解析】
【分析】
利用基本不等式判斷選項(xiàng)A，利用基本不等式判斷選項(xiàng)B，利用拼湊法和基本不等式的應(yīng)用判斷選項(xiàng)C、D.
【詳解】
因?yàn)椋裕裕?br/>解得，即，則A錯誤.
因?yàn)椋裕裕?br/>即，解得，則B正確.
因?yàn)椋裕?br/>則，
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號成立.因?yàn)?所以，則C錯誤.
，
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號成立，則D正確.
故選：BD
三、填空題
23．（2022·山東·青島二中高三開學(xué)考試）已知，且，則的最小值是______．
【答案】6
【解析】
【分析】
根據(jù)均值不等式求最小值即可.
【詳解】
由題意，得，
則
（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，即時(shí)取等號），
故的最小值是6．
故答案為：6
24．（2022·全國·高三階段練習(xí)（文））已知，為正數(shù)，滿足，則的最小值為______.
【答案】##
【解析】
【分析】
由已知得，再利用基本不等式以及一元二次不等式的解法即可求解.
【詳解】
因?yàn)椋瑸檎龜?shù)，滿足，
則可化簡為，
當(dāng)且僅當(dāng)即，時(shí)取等號，
此時(shí)，解得或（舍），
由，得，當(dāng)，時(shí)取等號，
故的最小值為.
故答案為：.
25．（2022·重慶長壽·高三期末）已知，則的最小值為______．
【答案】9
【解析】
【分析】
根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得x＋2y＝xy，利用基本不等式計(jì)算即可得出結(jié)果.
【詳解】
因?yàn)椋?br/>所以x＋2y＝xy，x＞0，y＞0，所以，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)且，即x＝y(tǒng)＝3時(shí)取等號．
故答案為：9
26．（2022·江西九江·一模（文））若a，b為正實(shí)數(shù)，直線與直線互相垂直，則ab的最大值為______.
【答案】1
【解析】
【分析】
由題得，再利用基本不等式求解.
【詳解】
解：依題意得，所以，
即，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，
故的最大值為1.
故答案為：1
27．（2022·江蘇·蘇州中學(xué)高三開學(xué)考試）已知，直線與曲線相切，則的最小值是________．
【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)題意設(shè)直線與曲線的切點(diǎn)為，進(jìn)而根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得，再根據(jù)基本不等式“1”的用法求解即可.
【詳解】
解：根據(jù)題意，設(shè)直線與曲線的切點(diǎn)為，
因?yàn)椋本€的斜率為，
所以，，
所以，
因?yàn)?br/>所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立.
所以的最小值是.
故答案為：
28．（2022·浙江·高三開學(xué)考試）已知正實(shí)數(shù)a，b，c，，則的最小值為_______________．
【答案】##
【解析】
【分析】
利用變形為，再將變形為
，利用基本不等式整理為，進(jìn)而再用基本不等式求得答案.
【詳解】
由正實(shí)數(shù)a，b，，可得 ，
所以
而，當(dāng)且僅當(dāng) 即 時(shí)取等號，
故
，
當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，即 時(shí)取等號，
故答案為：
29．（2022·重慶·模擬預(yù)測）已知，則的最小值為__________.
【答案】3
【解析】
【分析】
將原式變形為，然后利用基本不等式求最小值.
【詳解】
解：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立.
故答案為：3.
30．（2022·河南南樂·高三階段練習(xí)（理））已知，，直線與曲線相切，則的最小值是______．
【答案】
【解析】
【分析】
設(shè)直線與曲線的切點(diǎn)為，求得，，將切點(diǎn)坐標(biāo)代入切線方程可得出，將所求代數(shù)式變形為，將該代數(shù)式與相乘，展開后利用基本不等式可求得結(jié)果.
【詳解】
設(shè)直線與曲線的切點(diǎn)為，
對求導(dǎo)得，所以，即，
所以，所以切點(diǎn)為，
由切點(diǎn)在切線上，可得，
所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立．
所以的最小值是．
故答案為：．第17講 均值不等式
方法總結(jié)：
1.利用均值不等式求最值遵循的原則：“一正二定三等”
（1）正：使用均值不等式所涉及的項(xiàng)必須為正數(shù)，如果有負(fù)數(shù)則考慮變形或使用其它方法
（2）定：使用均值不等式求最值時(shí)，變形后的一側(cè)不能還含有核心變量
①求和的式子→乘積為定值
②乘積的式子→和為定值
（3）等：若能利用均值不等式求得最值，則要保證等號成立，要注意以下兩點(diǎn)：
① 若求最值的過程中多次使用均值不等式，則均值不等式等號成立的條件必須能夠同時(shí)成立
② 若涉及的變量有初始范圍要求，則使用均值不等式后要解出等號成立時(shí)變量的值，并驗(yàn)證是否符合初始范圍。
2.常見求最值的題目類型
（1）構(gòu)造乘積與和為定值的情況
（2）已知（為常數(shù)），求的最值，
此類問題的特點(diǎn)在于已知條件中變量位于分子（或分母）位置上，所求表達(dá)式變量的位置恰好相反，位于分母（或分子）上，則可利用常數(shù)“1”將已知與所求進(jìn)行相乘，從而得到常數(shù)項(xiàng)與互為倒數(shù)的兩項(xiàng)，然后利用均值不等式求解。
（3）運(yùn)用均值不等式將方程轉(zhuǎn)為所求式子的不等式，通過解不等式求解：
典型例題：
例1．（2022·安徽·淮南第一中學(xué)一模（理））已知，（，），若，則的最小值為__________．
例2．（2022·江西上饒·一模（文））已知a，b均為正數(shù)且滿足，則，的最小值為___________.
例3．（2022·江蘇揚(yáng)州·高三期末）已知正實(shí)數(shù)x，y滿足x＋y＝1，則的最小值為__________．
例4．（2022·湖南婁底·高三期末）已知a，b為正實(shí)數(shù)，且，則的最小值為______．
例5．（2022·浙江杭州·高三期末）已知正實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最小值是___________.
例6．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)，則最小值為________
例7．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若，，則的最小值為________
例8．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，，，若，則的最小值為________
例9．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若正數(shù)，滿足，則的最小值為________
過關(guān)練習(xí)：
1．（2022·吉林吉林·模擬預(yù)測（文））若，，，則的最小值等于（ ）
A．2 B． C．3 D．
2．（2022·浙江·紹興一中高三期末）若兩圓（）和（）恰有三條公切線，則的最小值為（ ）
A． B． C．1 D．2
3．（2022·河南·模擬預(yù)測（文））已知，，，則以下不等式正確的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·貴州貴陽·高三期末（文））當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為（ ）
A．2 B． C．4 D．
5．（2022·陜西·武功縣普集高級中學(xué)一模（理））已知實(shí)數(shù)，滿足，若不等式對任意的正實(shí)數(shù)恒成立，那么實(shí)數(shù)m的最大值為（ ）
A． B． C．3 D．
6．（2022·廣東·模擬預(yù)測）已知，，，則的最小值為（ ）
A．13 B．19 C．21 D．27
7．（2022·江西宜春·高三期末（理））在正項(xiàng)等比數(shù)列}中，存在兩項(xiàng)且 ，使得，且，則的最小值是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·福建寧德·模擬預(yù)測）已知，且，則的最小值為（ ）
A． B．8 C． D．10
9．（2022·山西太原·高三期末（文））已知為正實(shí)數(shù)，，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．4
10．（2022·廣東·金山中學(xué)高三期末）已知，則下列結(jié)論一定正確的是（ ）
A． B． C． D．
11．（2022·江西贛州·高三期末（文））已知函數(shù)的圖像恒過的定點(diǎn)，且點(diǎn)在直線上，則的最小值為（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
12．（2022·浙江上虞·高三期末）已知，滿足，則的最小值是（ ）
A． B． C． D．
13．（2022·江西上饒·一模（理））已知，，，則的最小值為（ ）
A． B．12 C． D．6
14．（2022·安徽淮北·一模（文））函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn)，若點(diǎn)在直線上，其中，則的最小值為（ ）
A． B． C．8 D．9
15．（2022·廣東·梅州市梅江區(qū)梅州中學(xué)高三開學(xué)考試）已知，，若，則的最小值為（ ）
A．6 B．9 C．16 D．18
16．（2022·安徽宣城·高三期末（文））已知函數(shù)，若正實(shí)數(shù)m，n滿足，則的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
17．（2022·湖北武昌·高三期末）已知正數(shù)x，y滿足，則的最小值與最大值的和為（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
二、多選題
18．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
19．（2022·江蘇南通·一模）下列函數(shù)中最小值為6的是（ ）
A． B．
C． D．
20．（2022·湖南·雅禮中學(xué)高三階段練習(xí)）已知正數(shù)a，b滿足，下列說法正確的有（ ）
A．a(chǎn)b的最大值為1
B．的最小值為
C．的最大值為
D．的最小值為2
21．（2022·重慶市天星橋中學(xué)一模）已知，且，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．的最小值是4
B．的最小值是2
C．的最小值是
D．的最小值是
22．（2022·江蘇·金陵中學(xué)高三階段練習(xí)）已知，，且，則（ ）
A．xy的取值范圍是 B．的取值范圍是
C．的最小值是3 D．的最小值是
三、填空題
23．（2022·山東·青島二中高三開學(xué)考試）已知，且，則的最小值是______．
24．（2022·全國·高三階段練習(xí)（文））已知，為正數(shù)，滿足，則的最小值為______.
25．（2022·重慶長壽·高三期末）已知，則的最小值為______．
26．（2022·江西九江·一模（文））若a，b為正實(shí)數(shù)，直線與直線互相垂直，則ab的最大值為______.
27．（2022·江蘇·蘇州中學(xué)高三開學(xué)考試）已知，直線與曲線相切，則的最小值是________．
28．（2022·浙江·高三開學(xué)考試）已知正實(shí)數(shù)a，b，c，，則的最小值為_______________．
29．（2022·重慶·模擬預(yù)測）已知，則的最小值為__________.
30．（2022·河南南樂·高三階段練習(xí)（理））已知，，直線與曲線相切，則的最小值是______．第18講 多變量范圍與最值問題
方法總結(jié)：
1.消元法：
（1）利用等量關(guān)系消元：若題目中出現(xiàn)了變量間的關(guān)系（等式），則可利用等式進(jìn)行消元，在消元的過程中要注意以下幾點(diǎn)：
① 要確定主元：主元的選取有這樣幾個(gè)要點(diǎn)：一是主元應(yīng)該有比較明確的范圍（即稱為函數(shù)的定義域）；二是構(gòu)造出的函數(shù)能夠解得值域（函數(shù)結(jié)構(gòu)不復(fù)雜）
② 若被消去的元帶有范圍，則這個(gè)范圍由主元承擔(dān)。
（2）換元：常見的換元有兩種：
①整體換元：若多元表達(dá)式可通過變形，能夠?qū)⒛骋粋€(gè)含多變量的式子視為一個(gè)整體，則可通過換元轉(zhuǎn)為一元表達(dá)式，在整體換元過程中要注意視為整體的式子是否存在范圍，即要確定新元的范圍
②三角換元：已知條件為關(guān)于的二次等式時(shí)，可聯(lián)想到三角公式，從而將的表達(dá)式轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)表達(dá)式來求得范圍。因?yàn)槿呛瘮?shù)公式的變形與多項(xiàng)式變形的公式不同，所以在有些題目中可巧妙的解決問題.
2.放縮法
（1）抓住題目中的不等關(guān)系，若含有兩個(gè)變量間的不等關(guān)系，則可利用這個(gè)關(guān)系進(jìn)行放縮消元
（2）配方法：通過利用“完全平方式非負(fù)”的特性，在式子中構(gòu)造出完全平方式，然后令其等于0，達(dá)到消元的效果
（3）均值不等式：構(gòu)造能使用均值不等式的條件，利用均值不等式達(dá)到消元的效果
（4）主元法：將多元表達(dá)式視為某個(gè)變量（即主元）的函數(shù)，剩下的變量視為常數(shù)，然后利用常規(guī)方法求得最值從而消去主元，達(dá)到消元的效果。
3.數(shù)形結(jié)合
典型例題：
例1．設(shè)，則的最小值為　　
A．2 B．4 C． D．
【解答】解：由，可得，
則
．
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號．
因此的最小值為．
故選：．
例2．設(shè)，則的最小值是　　
A．2 B．4 C． D．5
【解答】解：
當(dāng)且僅當(dāng)，，時(shí)等號成立
如取，，滿足條件．
故選：．
例3．已知正數(shù)、、滿足，則的最小值為　　
A．3 B． C．4 D．
【解答】解：由題意可得，，
，
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號，
又，，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，，
，，
，
當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)取等號，
的最小值為4
故選：．
例4．設(shè)，，，且，則的最大值是　　
A．13 B．12 C．11 D．10
【解答】解：，，，且，
，即，
那么令函數(shù)，
令，
則，
當(dāng)在，時(shí)，，在，上是單調(diào)遞減；
當(dāng)在，時(shí)，，在，上是單調(diào)遞增；
（2）；
同理：令，
則，
當(dāng)在，時(shí)，，在，上是單調(diào)遞減；
當(dāng)在，時(shí)，，在，上是單調(diào)遞增；
（2）．
故當(dāng)，，時(shí)，函數(shù)取得最大值，
即．
故選：．
例5．已知，，，且，，則的最大值為　　
A． B． C．3 D．4
【解答】解：，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號
，
，可得，
則
當(dāng)時(shí)，
取得最大值，
的最大值為
故選：．
例6．已知、、是平面上任意三點(diǎn)，，，，則的最小值是　　．
【解答】解：依題意，得，于是
其中，等號當(dāng)且僅當(dāng)且，即，時(shí)成立．
所以，所求最小值為
故答案為：
例7．設(shè)實(shí)數(shù)、、滿足，則的最小值為　　．
【解答】解：法1：令，，其中：，，．
則
，當(dāng)且僅當(dāng)取等號．
的最小值為．
故答案為：．．
法實(shí)數(shù)，，滿足，
，當(dāng)，時(shí)取等號，
的最小值為．
故答案為：．
例8．設(shè)實(shí)數(shù)、、滿足，，，且，，則　12　
【解答】解：由，，，且，可得，，．
，，，
又，
可得，
，，，
則或1，或1，或1．
由對稱思想，不妨，則，．
．
故答案為：12．
例9．已知實(shí)數(shù)，，滿足，則的最小值是　　．
【解答】解：實(shí)數(shù)，，滿足，
，當(dāng)，時(shí)取等號，
的最小值為．
故答案為：．
例10．設(shè)正實(shí)數(shù)，，滿足，則當(dāng)取得最小值時(shí)，的最大值為 　4　．
【解答】解：由，
得
當(dāng)且僅，即時(shí)等號成立，則，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)，，時(shí)取等號，
故的最大值為4．
故答案為：4．
過關(guān)練習(xí)：
1．（2022·浙江嘉興·高三期末）已知正實(shí)數(shù)x，y，z，ω滿足，且，則的最小值是（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用，將化為，再利用a,b等值代換，最后利用基本不等式可得答案.
【詳解】
因?yàn)椋裕?br/>令，，
則，且，所以.
因?yàn)椋?br/>當(dāng)且僅當(dāng)，，即時(shí)取等號.
故選：B.
2．（2022·浙江·高三學(xué)業(yè)考試）若對任意恒成立，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
將不等式轉(zhuǎn)化為，根據(jù)在上單調(diào)遞增，可得，參變分離后令，可轉(zhuǎn)化為在上恒成立，利用基本不等式求解的最大值，即可得的取值范圍.
【詳解】
由，可得，所以，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，令，則在上恒成立，令，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號，所以.
故選：A
3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知正實(shí)數(shù)，滿足，若對任意滿足條件的正實(shí)數(shù)，都有不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A．， B．，
C．， D．，，
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)基本不等式可得，令，將問題轉(zhuǎn)化為的最小值，再用基本不等式計(jì)算即可.
【詳解】
解：，
可得，
由，，解得，
對任意滿足條件的正實(shí)數(shù)，都有
不等式恒成立，
可得的最小值，
可令，則在遞增，可得的最小值為，
則，
故選：B．
4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若存在兩相異實(shí)數(shù)，使，且，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由可得，題設(shè)轉(zhuǎn)化為，是的兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，應(yīng)用根與系數(shù)關(guān)系及已知條件，將目標(biāo)式轉(zhuǎn)化為關(guān)于a、b的函數(shù)式，由二次函數(shù)的性質(zhì)求最值.
【詳解】
由題意，當(dāng)，有，
，
，是方程的兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，
，，而，
，即，
，
令，則，故當(dāng)時(shí)的最小值為.
故選：B.
5．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）已知正實(shí)數(shù)，，滿足，則當(dāng)與同時(shí)取得最大值時(shí)，（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由，結(jié)合基本不等式得到當(dāng)時(shí)等號成立；化簡，結(jié)合二次函數(shù)，得到取得最大值，聯(lián)立方程組，即可求解.
【詳解】
由，可得，
則 ，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立；
又由，
當(dāng)時(shí)，等號成立，
所以當(dāng)與同時(shí)取得最大值時(shí)，則有，
解得，此時(shí).
故選：B.
6．（2022·四川省南充高級中學(xué)高三階段練習(xí)（理））設(shè)平面點(diǎn)集包含于，若按照某對應(yīng)法則，使得中每一點(diǎn)都有唯一的實(shí)數(shù)與之對應(yīng)，則稱為在上的二元函數(shù)，且稱為的定義域，對應(yīng)的值為在點(diǎn)的函數(shù)值，記作，若二元函數(shù)，其中，，則二元函數(shù)的最小值為（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【解析】
【分析】
二元函數(shù)的幾何意義是動點(diǎn)到定點(diǎn)距離的和，結(jié)合三點(diǎn)確定的線段和差關(guān)系即可得解.
【詳解】
依題意，因，，則點(diǎn)在由直線圍成的矩形ABCD區(qū)域內(nèi)(含邊界)，如圖，
而表示動點(diǎn)到定點(diǎn)距離的和，在矩形ABCD及內(nèi)部任取點(diǎn)P，
連接PO，PA，PQ，PC，AC，于是有，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P在線段OQ上時(shí)取“=”，，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P在線段AC上時(shí)取“=”，
于是得，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P是線段OQ與AC的交點(diǎn)時(shí)取“=”，
顯然直線AC：與y軸交點(diǎn)在線段OQ上，即當(dāng)點(diǎn)時(shí)，，
所以二元函數(shù)的最小值為7.
故選：C
7．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））若a，b，c均為正實(shí)數(shù)，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
對原式變形，兩次利用基本不等式，求解即可.
【詳解】
因?yàn)閍，b均為正實(shí)數(shù)，
則
，
當(dāng)且僅當(dāng)，且，即時(shí)取等號，
則的最大值為．
故選：A．
【點(diǎn)睛】
易錯點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：
（1）“一正二定三相等”中的“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號成立的條件，若不能取等號則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方，注意多次運(yùn)用不等式，等號成立條件是否一致.
8．（2022·陜西·武功縣普集高級中學(xué)一模（理））已知實(shí)數(shù)，滿足，若不等式對任意的正實(shí)數(shù)恒成立，那么實(shí)數(shù)m的最大值為（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求，再由基本不等式求的最小值，由此可求實(shí)數(shù)m的最大值.
【詳解】
設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，，
所以函數(shù)在上為增函數(shù)，
∵
∴ ，即，又，
∴ ，
∴
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，
∵不等式對任意的正實(shí)數(shù)恒成立，
∴ ，
故選：D.
二、填空題
9．（2022·浙江·高三開學(xué)考試）已知正實(shí)數(shù)a，b，c，，則的最小值為_______________．
【答案】##
【解析】
【分析】
利用變形為，再將變形為
，利用基本不等式整理為，進(jìn)而再用基本不等式求得答案.
【詳解】
由正實(shí)數(shù)a，b，，可得 ，
所以
而，當(dāng)且僅當(dāng) 即 時(shí)取等號，
故
，
當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，即 時(shí)取等號，
故答案為：
10．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知關(guān)于的一元二次不等式在實(shí)數(shù)集上恒成立，且，則的最小值為________
【答案】3
【解析】
【分析】
由題干條件得到，對變形，利用基本不等式進(jìn)行求解.
【詳解】
一元二次不等式對一切實(shí)數(shù)都成立，
當(dāng)時(shí)，不能保證恒成立，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，要滿足
，由此，
，，
得：，
則，
即時(shí)，取等號，
故答案為：3．
11．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知正數(shù)，，滿足：，，則的取值范圍是________
【答案】
【解析】
【分析】
令，，將題設(shè)條件化為，目標(biāo)式化為，應(yīng)用線性規(guī)劃數(shù)形結(jié)合思想，畫出可行域，判斷目標(biāo)式直線與可行域有交點(diǎn)情況下的取值范圍.
【詳解】
令，，
由，則；由，則，
∴，
則問題等價(jià)于滿足約束條件，求的取值范圍，
可行域如下圖示：
由圖可得：，，
，
故答案為：
12．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)，，，對任意滿足的實(shí)數(shù)，都有，則的最大可能值為__.
【答案】3
【解析】
【分析】
可先通過賦值，判斷，再令，結(jié)合二次函數(shù)最值，可得所求最大值.
【詳解】
任意滿足的實(shí)數(shù)，都有，
若，則，
可取，，可得，即恒成立，
由于，可得最大取2，
可得，
即有的最大可能值為3.
故答案為：3.
13．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知關(guān)于的方程在，上有實(shí)數(shù)根，，則的取值范圍是__.
【答案】
【解析】
【分析】
由，得，代入，分離參數(shù)得，結(jié)合換元法和對勾函數(shù)性質(zhì)可求的取值范圍.
【詳解】
設(shè)方程的根為，則，
，
，
，
，
設(shè)，則，
，，，，
，
.
故答案為：，.
14．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，，滿足，（1），方程在區(qū)間上有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為__.
【答案】
【解析】
【分析】
應(yīng)用兩根式表示，根據(jù)已知可得，結(jié)合零點(diǎn)所在區(qū)間及基本不等式即可求實(shí)數(shù)的取值范圍，注意等號成立條件.
【詳解】
設(shè)，則且(1)，
兩式相乘得：，而，則，，
∴由上可得，又，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立.
∴實(shí)數(shù)的取值范圍為，
故答案為：，.
15．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若，，，互不相等，且，則的取值范圍是_______.
【答案】
【解析】
【分析】
由分段函數(shù)的性質(zhì)畫出函數(shù)圖象，若、，將問題轉(zhuǎn)化為與的交點(diǎn)問題，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合判斷交點(diǎn)的區(qū)間，結(jié)合絕對值函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得、、，根據(jù)目標(biāo)式求范圍即可.
【詳解】
由解析式知：在上遞減且值域?yàn)椋谏线f增且值域?yàn)椋谏线f減且值域?yàn)椋谏线f增且值域?yàn)?
∴的草圖如下，令且，則，，，為與的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，
由圖知：，且，
∴(注意基本不等式的等號不能取)，又，
∴：由對勾函數(shù)的單調(diào)性知，在上遞增，
∴，即.
綜上，的范圍為.
故答案為：
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的交點(diǎn)問題，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合法判斷交點(diǎn)橫坐標(biāo)的范圍及關(guān)系式，根據(jù)目標(biāo)式求范圍.
16．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若不等式對一切正實(shí)數(shù)恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值為_____．
【答案】2
【解析】
【分析】
因?yàn)榫鶠檎龑?shí)數(shù)，則，則對一切正實(shí)數(shù)恒成立，利用基本不等式求出的最大值即為的最小值.
【詳解】
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，
，的最小值為2
故答案為：2
17．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)二次函數(shù)的值域?yàn)椋瑒t的最大值為__________.
【答案】##1.2
【解析】
【分析】
根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)知，的值域?yàn)椋M(jìn)而可得，將目標(biāo)式化為，結(jié)合基本不等式求最大值，注意等號成立條件.
【詳解】
由題意知： , 的值域?yàn)椋?br/>∴，則，
又，
∴，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取等號，故目標(biāo)式最大值為.
故答案為：.
18．（2022·天津西青·高三期末）已知函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，若方程無解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為___________.
【答案】
【解析】
【分析】
確定函數(shù)為偶函數(shù)，得到，即，帶入解析式，利用均值不等式得到最值，得到取值范圍.
【詳解】
，
故函數(shù)為偶函數(shù)，有且只有一個(gè)零點(diǎn)，故，即，，
·
，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立.
方程無解，故.
故答案為：.
19．（2022·四川綿陽·一模（文））已知函數(shù)，若不等式對任意的恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______．
【答案】
【解析】
【分析】
對二次函數(shù)對稱軸進(jìn)行分類討論，找到所需要的條件，進(jìn)行求解.
【詳解】
函數(shù)的對稱軸：，且恒過原點(diǎn).
當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，要想對任意的恒成立，只需，解得：，與矛盾，舍去
當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，要想對任意的恒成立，只需，解得：，與矛盾，舍去
當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，要想對任意的恒成立，只需，解得：，因?yàn)椋詳?shù)的取值范圍為.
故答案為：第18講 多變量范圍與最值問題
方法總結(jié)：
1.消元法：
（1）利用等量關(guān)系消元：若題目中出現(xiàn)了變量間的關(guān)系（等式），則可利用等式進(jìn)行消元，在消元的過程中要注意以下幾點(diǎn)：
① 要確定主元：主元的選取有這樣幾個(gè)要點(diǎn)：一是主元應(yīng)該有比較明確的范圍（即稱為函數(shù)的定義域）；二是構(gòu)造出的函數(shù)能夠解得值域（函數(shù)結(jié)構(gòu)不復(fù)雜）
② 若被消去的元帶有范圍，則這個(gè)范圍由主元承擔(dān)。
（2）換元：常見的換元有兩種：
①整體換元：若多元表達(dá)式可通過變形，能夠?qū)⒛骋粋€(gè)含多變量的式子視為一個(gè)整體，則可通過換元轉(zhuǎn)為一元表達(dá)式，在整體換元過程中要注意視為整體的式子是否存在范圍，即要確定新元的范圍
②三角換元：已知條件為關(guān)于的二次等式時(shí)，可聯(lián)想到三角公式，從而將的表達(dá)式轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)表達(dá)式來求得范圍。因?yàn)槿呛瘮?shù)公式的變形與多項(xiàng)式變形的公式不同，所以在有些題目中可巧妙的解決問題.
2.放縮法
（1）抓住題目中的不等關(guān)系，若含有兩個(gè)變量間的不等關(guān)系，則可利用這個(gè)關(guān)系進(jìn)行放縮消元
（2）配方法：通過利用“完全平方式非負(fù)”的特性，在式子中構(gòu)造出完全平方式，然后令其等于0，達(dá)到消元的效果
（3）均值不等式：構(gòu)造能使用均值不等式的條件，利用均值不等式達(dá)到消元的效果
（4）主元法：將多元表達(dá)式視為某個(gè)變量（即主元）的函數(shù)，剩下的變量視為常數(shù)，然后利用常規(guī)方法求得最值從而消去主元，達(dá)到消元的效果。
3.數(shù)形結(jié)合
典型例題：
例1．設(shè)，則的最小值為　　
A．2 B．4 C． D．
例2．設(shè)，則的最小值是　　
A．2 B．4 C． D．5
例3．已知正數(shù)、、滿足，則的最小值為　　
A．3 B． C．4 D．
例4．設(shè)，，，且，則的最大值是　　
A．13 B．12 C．11 D．10
例5．已知，，，且，，則的最大值為　　
A． B． C．3 D．4
例6．已知、、是平面上任意三點(diǎn)，，，，則的最小值是　　．
例7．設(shè)實(shí)數(shù)、、滿足，則的最小值為　　．
例8．設(shè)實(shí)數(shù)、、滿足，，，且，，則　　
例9．已知實(shí)數(shù)，，滿足，則的最小值是　　．
例10．設(shè)正實(shí)數(shù)，，滿足，則當(dāng)取得最小值時(shí)，的最大值為 　　．
過關(guān)練習(xí)：
1．（2022·浙江嘉興·高三期末）已知正實(shí)數(shù)x，y，z，ω滿足，且，則的最小值是（ ）
A．1 B． C．2 D．
2．（2022·浙江·高三學(xué)業(yè)考試）若對任意恒成立，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知正實(shí)數(shù)，滿足，若對任意滿足條件的正實(shí)數(shù)，都有不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A．， B．，
C．， D．，，
4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若存在兩相異實(shí)數(shù)，使，且，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）已知正實(shí)數(shù)，，滿足，則當(dāng)與同時(shí)取得最大值時(shí)，（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·四川省南充高級中學(xué)高三階段練習(xí)（理））設(shè)平面點(diǎn)集包含于，若按照某對應(yīng)法則，使得中每一點(diǎn)都有唯一的實(shí)數(shù)與之對應(yīng)，則稱為在上的二元函數(shù)，且稱為的定義域，對應(yīng)的值為在點(diǎn)的函數(shù)值，記作，若二元函數(shù)，其中，，則二元函數(shù)的最小值為（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
7．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））若a，b，c均為正實(shí)數(shù)，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·陜西·武功縣普集高級中學(xué)一模（理））已知實(shí)數(shù)，滿足，若不等式對任意的正實(shí)數(shù)恒成立，那么實(shí)數(shù)m的最大值為（ ）
A． B． C．3 D．
二、填空題
9．（2022·浙江·高三開學(xué)考試）已知正實(shí)數(shù)a，b，c，，則的最小值為_______________．
10．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知關(guān)于的一元二次不等式在實(shí)數(shù)集上恒成立，且，則的最小值為________
11．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知正數(shù)，，滿足：，，則的取值范圍是________
12．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)，，，對任意滿足的實(shí)數(shù)，都有，則的最大可能值為__.
13．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知關(guān)于的方程在，上有實(shí)數(shù)根，，則的取值范圍是__.
14．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，，滿足，（1），方程在區(qū)間上有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為__.
15．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若，，，互不相等，且，則的取值范圍是_______.
16．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若不等式對一切正實(shí)數(shù)恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值為_____．
17．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)二次函數(shù)的值域?yàn)椋瑒t的最大值為__________.
18．（2022·天津西青·高三期末）已知函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，若方程無解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為___________.
19．（2022·四川綿陽·一模（文））已知函數(shù)，若不等式對任意的恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______．

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