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第19講 等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合問題
方法總結(jié)：
1.等差數(shù)列性質(zhì)與等比數(shù)列性質(zhì)：
等差數(shù)列 等比數(shù)列
遞推公式
通項(xiàng)公式
等差（比）中項(xiàng)
等間隔抽項(xiàng) 仍構(gòu)成等差數(shù)列 仍構(gòu)成等比數(shù)列
相鄰項(xiàng)和 成等差數(shù)列 成等比數(shù)列
2.如何判斷一個(gè)數(shù)列是等差（或等比）數(shù)列
（1）定義法（遞推公式）：（等差），（等比）
（2）通項(xiàng)公式：（等差），（等比）
（3）前項(xiàng)和：（等差），（等比）
（4）等差（等比）中項(xiàng)：數(shù)列從第二項(xiàng)開始，每一項(xiàng)均為前后兩項(xiàng)的等差（等比）中項(xiàng)
3.如何證明一個(gè)數(shù)列是等差等比數(shù)列：
（1）通常利用定義法，尋找到公差（公比）
（2）也可利用等差等比中項(xiàng)來進(jìn)行證明，即，均有：
（等差） （等比）
典型例題：
例1．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且和滿足：．
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，求的前項(xiàng)和；
（3）在（2）的條件下，對(duì)任意，都成立，求整數(shù)的最大值．
【答案】（1）；（2）；（3）7．
【解析】
（1）由所給等式根據(jù)的關(guān)系證明數(shù)列為等差數(shù)列，確定數(shù)列的首項(xiàng)與公差即可寫出通項(xiàng)公式；（2）利用裂項(xiàng)相消法求和；（3）作差證明數(shù)列是遞增數(shù)列，根據(jù)題意，解不等式即可.
【詳解】
（1）∵，①
∴，②
①-②得．
∴，化簡．
∵，∴．
∴是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列．
∴．
（2）．
∴
．
(3)由(2)知，
．
∴數(shù)列是遞增數(shù)列，則，
∴，解得，
∴整數(shù)的最大值是7．
【點(diǎn)睛】
裂項(xiàng)相消求和法適用于通項(xiàng)公式是分式形式的數(shù)列求和，求和時(shí)把每一項(xiàng)拆成一個(gè)或多個(gè)分式的差的形式，然后在累加時(shí)抵消中間項(xiàng).常見的拆項(xiàng)公式：
（1） ；
（2）；
（3）；
（4）.
例2．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)和，數(shù)列是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，且成等比數(shù)列
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
（2）令求數(shù)列的前n項(xiàng)和
【答案】（1）；；（2）.
【解析】
（1）由數(shù)列與的關(guān)系可得，進(jìn)而可得，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)即可得；由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)可得數(shù)列的公差和首項(xiàng)，即可得；
（2）轉(zhuǎn)化條件為，利用裂項(xiàng)相消法即可得解.
【詳解】
（1）在數(shù)列中，，
當(dāng)時(shí)，，
所以，
化簡得，
又?jǐn)?shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，所以，所以，
因?yàn)椋獾没颍ㄉ崛ィ?br/>所以數(shù)列是以3為首項(xiàng)，公差為2的等差數(shù)列，
所以；
設(shè)數(shù)列的公差為，
因?yàn)椋裕?br/>又成等比數(shù)列，所以即，
所以，
所以；
（2）由題意，，
所以.
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是利用數(shù)列與的關(guān)系轉(zhuǎn)化條件，求得，要注意裂項(xiàng)相消法的適用條件和使用方法.
例3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，且，，成等差數(shù)列.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
（1）由題意判斷出為等比數(shù)列，，，成等差數(shù)列，列式求解出，可得的通項(xiàng)公式；（2）得，所以，則前項(xiàng)和利用錯(cuò)位相減法計(jì)算即可.
【詳解】
解：（1）依題，∴是以為公比的等比數(shù)列，
又，，成等差數(shù)列.
∴，即，∴，
∴.
（2）由（1）得，設(shè)，
①
②
①-②：，
∴.
【點(diǎn)睛】
本題的核心是考查錯(cuò)位相減求和，一般地，如果數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和時(shí)，可采用錯(cuò)位相減法求和，一般是式兩邊同乘以等比數(shù)列的公比，然后作差求解．
例4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1=1，b1=0， ，.
（1）證明：{an+bn}是等比數(shù)列，{an–bn}是等差數(shù)列；
（2）求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式.
【答案】（1）見解析；（2），．
【解析】
【分析】
(1)可通過題意中的以及對(duì)兩式進(jìn)行相加和相減即可推導(dǎo)出數(shù)列是等比數(shù)列以及數(shù)列是等差數(shù)列；
(2)可通過(1)中的結(jié)果推導(dǎo)出數(shù)列以及數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后利用數(shù)列以及數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出結(jié)果．
【詳解】
(1)由題意可知，，，，
所以，即，
所以數(shù)列是首項(xiàng)為、公比為的等比數(shù)列，，
因?yàn)椋?br/>所以，數(shù)列是首項(xiàng)、公差為的等差數(shù)列，．
(2)由(1)可知，，，
所以，．
【點(diǎn)睛】
本題考查了數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)，主要考查了等差數(shù)列以及等比數(shù)列的相關(guān)證明，證明數(shù)列是等差數(shù)列或者等比數(shù)列一定要結(jié)合等差數(shù)列或者等比數(shù)列的定義，考查推理能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．
例5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，對(duì)任意且.
（1）證明：數(shù)列為等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和為.
【答案】(1)答案見解析；(2).
【解析】
【詳解】
試題分析：
(1)利用遞推關(guān)系證得后項(xiàng)與前項(xiàng)做差為2即可證得數(shù)列為等差數(shù)列，據(jù)此可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式為；
(2)結(jié)合(1)的結(jié)論裂項(xiàng)求和可得數(shù)列的前項(xiàng)和為.
試題解析：
（1）由得，∴，又，∴，所以數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，又，∴.
（2）由（1）知，∴ .
例6．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足.
(1)證明是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；
(2)證明： .
【答案】（1）證明見解析，；（2）證明見解析.
【解析】
【詳解】
試題分析：本題第（1）問，證明等比數(shù)列，可利用等比數(shù)列的定義來證明，之后利用等比數(shù)列，求出其通項(xiàng)公式；對(duì)第（2）問，可先由第（1）問求出，然后轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和，放縮法證明不等式.
試題解析：（1）證明：由得，所以，所以是等比數(shù)列，首項(xiàng)為，公比為3，所以，解得.
（2）由（1）知：，所以，
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，于是=，
所以.
【易錯(cuò)點(diǎn)】對(duì)第（1）問，構(gòu)造數(shù)列證明等比數(shù)列不熟練；對(duì)第（2）問，想不到當(dāng)時(shí)，，而找不到思路，容易想到用數(shù)學(xué)歸納法證明而走彎路.
考點(diǎn)：本小題考查等比數(shù)列的定義、數(shù)列通項(xiàng)公式的求解、數(shù)列中不等式的證明等基礎(chǔ)知識(shí)，考查同學(xué)們的邏輯推理能力，考查分析問題與解決問題的能力.數(shù)列是高考的熱點(diǎn)問題之一，熟練數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)是解決好該類問題的關(guān)鍵.
過關(guān)練習(xí)：
1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè){an}為等比數(shù)列，{bn}為等差數(shù)列，且b1=0，cn=an+bn，若數(shù)列{cn}是1，1，2，…，則數(shù)列{cn}的前10項(xiàng)和為（ ）
A．978 B．557 C．467 D．979
【答案】A
【解析】
【分析】
設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，等差數(shù)列{bn}的公差為d，由cn=an+bn列出方程組，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用分組求和法可得數(shù)列{cn}的前10項(xiàng)和．
【詳解】
設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，等差數(shù)列{bn}的公差為d.
∵cn=an+bn，
解得，∴cn=2n-1+(1-n).
∴{cn}的前10項(xiàng)和為．
故選：A
2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知正項(xiàng)等差數(shù)列和正項(xiàng)等比數(shù)列}，，是，的等差中項(xiàng)，是，的等比中項(xiàng)，則下列關(guān)系成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
設(shè)等差數(shù)列公差為d，等比數(shù)列公比為q，由題意可得：，進(jìn)而可得結(jié)果.
【詳解】
設(shè)等差數(shù)列公差為d，等比數(shù)列公比為q，
由題意可得：
A. ,故A不正確；
B. ，故B正確；
C. ，故C不正確；
D. ，故D不正確.
故選：B
3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知各項(xiàng)均為正數(shù)且單調(diào)遞減的等比數(shù)列滿足、、成等差數(shù)列.其前項(xiàng)和為，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先根據(jù)，，成等差數(shù)列以及單調(diào)遞減，求出公比，再由即可求出，
再根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式以及前項(xiàng)和公式即可求出.
【詳解】
解：由，，成等差數(shù)列，
得：，
設(shè)的公比為，則，
解得：或，
又單調(diào)遞減，
，
，
解得：，
數(shù)列的通項(xiàng)公式為：，
.
故選：C．
4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)數(shù)列滿足，，，（ ）
A．存在， B．存在，使得是等差數(shù)列
C．存在， D．存在，使得是等比數(shù)列
【答案】D
【解析】
由，得到，遞推作差求得，進(jìn)而得到，結(jié)合選項(xiàng)和等差、等比數(shù)列的定義，逐項(xiàng)判定，即可求解.
【詳解】
由，即，則，
兩式相減，可得，可得，
即恒成立，所以數(shù)列為常數(shù)列，
因?yàn)橛钟桑傻茫瑒t，
所以，即，
因?yàn)椋傻茫膳卸ˋ、C不正確；
由，，可得，
假設(shè)B成立，則成等差數(shù)列，
則，此時(shí)無解，所以B不正確；
對(duì)于D中，假設(shè)，所以，
由，解得，
所以存在使得是等比數(shù)列.
故選：D.
【點(diǎn)睛】
與數(shù)列的新定義有關(guān)的問題的求解策略：
1、通過給出一個(gè)新的數(shù)列的定義，或約定一種新的運(yùn)算，或給出幾個(gè)新模型來創(chuàng)設(shè)新問題的情景，要求在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識(shí)和方法，實(shí)心信息的遷移，達(dá)到靈活解題的目的；
2、遇到新定義問題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點(diǎn)，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、運(yùn)算、驗(yàn)證，使得問題得以解決.
5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知首項(xiàng)為最小正整數(shù)，公差不為零的等差數(shù)列中，，，依次成等比數(shù)列，則的值是（ ）
A． B． C． D．58
【答案】A
【解析】
由已知得和，可求出，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得到.
【詳解】
設(shè)公差不為零的等差數(shù)列的公差為d，則有，
因?yàn)椋来纬傻缺葦?shù)列，，
所以有，即，整理得，
因?yàn)椋裕?br/>因此，
故選：A.
6．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，是正項(xiàng)等比數(shù)列，若，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
由等差，等比數(shù)列的形式特征畫函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象判斷選項(xiàng).
【詳解】
等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)于的一次函數(shù)，，圖象中的孤立的點(diǎn)在一條直線上，
而等比數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)于的指數(shù)函數(shù)形式，圖象中孤立的點(diǎn)在指數(shù)函數(shù)圖象上，
如圖所示當(dāng)時(shí)，如下圖所示，
當(dāng)公差時(shí)，如下圖所示，
如圖可知當(dāng)時(shí)，，，，.
故選：D
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是判斷的方法，選擇圖象法可以比較快速的判斷選項(xiàng).
7．（2022·安徽六安·一模（理））已知為等比數(shù)列，且，與的等差中項(xiàng)為，則（ ）
A．1 B．2 C．31 D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)已知條件列出首項(xiàng)和公比的方程組可得答案.
【詳解】
由得，①
又，得，②
由①②得，，.
故選：A.
8．（2022·全國·高三專題練習(xí)）數(shù)列，滿足，，，則數(shù)列的前n項(xiàng)和為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由，得到數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列，求得，得到，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，即可求解.
【詳解】
由題意，數(shù)列，滿足，，，
所以數(shù)列是等差數(shù)列，且公差是2，是等比數(shù)列，且公比是2，
又因?yàn)椋?br/>所以，
設(shè)，所以，則，
所以數(shù)列是等比數(shù)列，且公比為4，首項(xiàng)為4．
由等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式，可得數(shù)列前n項(xiàng)的和為
故選：B.
9．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列，中滿足，，，若前項(xiàng)之和為，則滿足不等式的最小整數(shù)是（ ）.
A．8 B．9 C．11 D．10
【答案】D
【解析】
由可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求得數(shù)列，表示出，
令，即可得到滿足不等式的最小整數(shù).
【詳解】
解：由題意可知：，
即，
即，
又，
，
即數(shù)列是以首項(xiàng)為9，公比為的等比數(shù)列，
，
即，
，
，
則，
即，
又，
滿足不等式的最小整數(shù)，
即.
故選：D.
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵是利用構(gòu)造法求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.
10．（2022·全國·高三專題練習(xí)）對(duì)于無窮數(shù)列，給出下列命題：
①若數(shù)列既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列，則數(shù)列是常數(shù)列．
②若等差數(shù)列滿足，則數(shù)列是常數(shù)列．
③若等比數(shù)列滿足，則數(shù)列是常數(shù)列．
④若各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列滿足，則數(shù)列是常數(shù)列．
其中正確的命題個(gè)數(shù)是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
①根據(jù)等差、等比數(shù)列的性質(zhì)可判斷且；②根據(jù)等差數(shù)列的單調(diào)性無界性判斷是否為常數(shù)列；③根據(jù)特例即可判斷是否正確；④由正項(xiàng)等比數(shù)列的性質(zhì)可得，，進(jìn)而判斷是否為常數(shù)列.
【詳解】
①：若數(shù)列既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，若，則，故，而，所以數(shù)列為常數(shù)列且，正確；
②：等差數(shù)列為無窮數(shù)列，若公差不為0，則要么遞增要么遞減，即無上界，要使等差數(shù)列滿足，則數(shù)列是常數(shù)列，正確；
③：若等比數(shù)列滿足，如，所以數(shù)列不一定是常數(shù)列，錯(cuò)誤；
④：若各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列滿足，即，可得，，
若，則無上界，故，進(jìn)而數(shù)列是常數(shù)列，正確．
故選：C．
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)等差、等比數(shù)列的性質(zhì)，如：、時(shí)數(shù)列無界性等，判斷各項(xiàng)命題的正誤.
11．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，，，……，是各項(xiàng)不為零的項(xiàng)等差數(shù)列，且公差不為零，若將此數(shù)列刪去某一項(xiàng)得到的數(shù)列（按原來的順序）是等比數(shù)列，則的值為（ ）
A．4 B．6 C．7 D．無法確定
【答案】A
【解析】
可以使用排除法進(jìn)行判斷．當(dāng)時(shí)，無論刪掉哪一項(xiàng)，必定會(huì)出現(xiàn)連續(xù)三項(xiàng)既是等差數(shù)列．又是等比數(shù)列，則為常數(shù)列，于是該數(shù)列公差為零，不滿足題意。當(dāng)時(shí)，經(jīng)過運(yùn)算可得，不符合題意．經(jīng)過進(jìn)一步驗(yàn)證，當(dāng)存在數(shù)列符合題意。
【詳解】
當(dāng)時(shí)，無論刪掉哪一項(xiàng)，必定會(huì)出現(xiàn)連續(xù)三項(xiàng)既是等差數(shù)列．又是等比數(shù)列，則為常數(shù)列，于是該數(shù)列公差為零，不滿足題意，則或．當(dāng)時(shí)，由以上分析可知，只能刪掉第三項(xiàng)，此時(shí)，不滿足題意．故．驗(yàn)證過程如下：
當(dāng)時(shí)，有，，，．
將此數(shù)列刪去某一項(xiàng)得到的數(shù)列（按照原來的順序）是等比數(shù)列．
如果刪去，或，則等于有3個(gè)項(xiàng)既是等差又是等比，不滿足題意．
故可以知道刪去的是，或．
如果刪去的是，則，故，
整理得到，即，故即．
如果刪去的是，則，故，
整理得到即，故即．
可得或1．
故答案為：A．
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：等差數(shù)列中有等比數(shù)列，常用基本量來展開計(jì)算，注意根據(jù)項(xiàng)數(shù)來分類討論．
12．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）已知1，a1，a2，9四個(gè)實(shí)數(shù)成等差數(shù)列，1，b1，b2，b3，9五個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則b2（a2﹣a1）等于（ ）
A．8 B．﹣8 C．±8 D．
【答案】A
【解析】
由已知條件求出公差和公比，即可由此求出結(jié)果.
【詳解】
設(shè)等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列的公比為q，
則有，，
解之可得，，
.
故選：A.
二、多選題
13．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在數(shù)列{an}中，若為常數(shù)），則{an}稱為“等方差數(shù)列”，下列對(duì)“等方差數(shù)列”的判斷，其中正確的為（ ）
A．若{an}是等方差數(shù)列，則{an2}是等差數(shù)列
B．若{an}是等方差數(shù)列，則{an2}是等方差數(shù)列
C．{（﹣1）n}是等方差數(shù)列
D．若{an}是等方差數(shù)列，則{akn}（k∈N*，k為常數(shù)）也是等方差數(shù)列
【答案】ACD
【解析】
【分析】
利用等方差的定義和等差數(shù)列的定義逐個(gè)進(jìn)行演算，能夠推出B不正確，其余的都正確．
【詳解】
對(duì)于A中，數(shù)列{an}是等方差數(shù)列，可得為常數(shù)），
即有是首項(xiàng)為，公差為d的等差數(shù)列，故A正確；
對(duì)于B中，例如：數(shù)列是等方差數(shù)列，但是數(shù)列不是等方差數(shù)列，所以B不正確；
對(duì)于C中，數(shù)列中，，
所以數(shù)列是等方差數(shù)列，故C正確；
對(duì)于D中，數(shù)列{an}中的項(xiàng)列舉出來是：，
數(shù)列中的項(xiàng)列舉出來是，
因?yàn)椋╝k+12﹣ak2）＝（ak+22﹣ak+12）＝…＝a2k2﹣a2k﹣12＝p
所以（ak+12﹣ak2）+（ak+22﹣ak+12）+…+（a2k2﹣a2k﹣12）＝kp
所以akn+12﹣akn2＝kp，所以，數(shù)列{akn}是等方差數(shù)列，故D正確．
故選：ACD．
【點(diǎn)睛】
與數(shù)列的新定義有關(guān)的問題的求解策略：
1、通過給出一個(gè)新的數(shù)列的定義，或約定一種新的運(yùn)算，或給出幾個(gè)新模型來創(chuàng)設(shè)新問題的情景，要求在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識(shí)和方法，實(shí)心信息的遷移，達(dá)到靈活解題的目的；
2、遇到新定義問題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點(diǎn)，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、運(yùn)算、驗(yàn)證，使得問題得以解決.
14．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列……，其中第一項(xiàng)是，接下來的兩項(xiàng)是再接下來的三項(xiàng)是依次類推…，第項(xiàng)記為，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】
對(duì)于AC兩項(xiàng)，可將數(shù)列進(jìn)行分組，計(jì)算出前組一共有個(gè)數(shù)，第組第個(gè)數(shù)即，可得到選項(xiàng)C
由C得到，則為第11組第5個(gè)數(shù)，可得
對(duì)于BD項(xiàng)，可先算得，即前組數(shù)之和
即為前5組數(shù)之和加上第6組前3個(gè)數(shù)，由結(jié)論計(jì)算即可.
【詳解】
A.由題可將數(shù)列分組
第一組： 第二組： 第三組：
則前組一共有…個(gè)數(shù)
第組第個(gè)數(shù)即，故，C對(duì)
又，故
又，
則為第11組第5個(gè)數(shù)
第11組有數(shù)：
故，A對(duì)
對(duì)于D. 每一組的和為…
故前組之和為…
故D錯(cuò).
對(duì)于B.
由D可知，
，
故B錯(cuò)
故選：AC
【點(diǎn)睛】
數(shù)列求和的方法技巧
(1)倒序相加：用于等差數(shù)列、與二項(xiàng)式系數(shù)、對(duì)稱性相關(guān)聯(lián)的數(shù)列的求和．
(2)錯(cuò)位相減：用于等差數(shù)列與等比數(shù)列的積數(shù)列的求和．
(3)分組求和：用于若干個(gè)等差或等比數(shù)列的和或差數(shù)列的求和．
15．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．若，則是等差數(shù)列
B．若，則數(shù)列的前項(xiàng)和為
C．若，則是等比數(shù)列
D．若，則
【答案】ACD
【解析】
當(dāng)時(shí)，化簡得，得到，求得，進(jìn)而求得，得到A正確，B不正確；當(dāng)時(shí)，得到，求得，求得，可判定C正確，D正確.
【詳解】
因?yàn)閿?shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，
當(dāng)時(shí)，可得，
即，所以，
可得，即，
又因?yàn)椋裕?br/>則，可得，
故A正確，B不正確.
當(dāng)時(shí)，由已知得，
即，
所以，所以，所以，
所以，所以，故C正確，D正確.
故選：ACD.
【點(diǎn)睛】
利用數(shù)列的遞推公式求解數(shù)列的通項(xiàng)公式的策略：
1、對(duì)于遞推關(guān)系轉(zhuǎn)化為（常數(shù)）或（常數(shù)）可利用等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解；
2、對(duì)于遞推關(guān)系式可轉(zhuǎn)化為的數(shù)列，通常采用疊加法（逐差相加法）求其通項(xiàng)公式；
3、對(duì)于遞推關(guān)系式可轉(zhuǎn)化為的數(shù)列，并且容易求數(shù)列前項(xiàng)積時(shí)，通常采用累乘法求其通項(xiàng)公式；
4、對(duì)于遞推關(guān)系式形如的數(shù)列，可采用構(gòu)造法求解數(shù)列的通項(xiàng)公式.
三、雙空題
16．（2022·浙江·高三學(xué)業(yè)考試）設(shè)等差數(shù)列的公差為非零常數(shù)，且，若成等比數(shù)列，則公差___________，___________.
【答案】
【解析】
【分析】
由等差數(shù)列通項(xiàng)及等比數(shù)列的性質(zhì)可得，即可求，并寫出通項(xiàng)公式.
【詳解】
由題意，，又且成等比數(shù)列，
∴，即且，故，
∴.
故答案為：2，
四、填空題
17．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知公差不為0的等差數(shù)列的部分項(xiàng)，，，……構(gòu)成等比數(shù)列，且，，，則___________.
【答案】
【解析】
【分析】
設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，由等比數(shù)列的性質(zhì)列式求得 ．然后再由等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式列式求得．
【詳解】
解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，
由已知，
即，得，
于是，在等比數(shù)列中，
公比．
由為數(shù)列的第項(xiàng)，知；
由為數(shù)列的第項(xiàng)，知，
，
故.
故答案為．
【點(diǎn)睛】
該題考查的是有關(guān)等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問題，屬于中檔題目，在解題的過程中，需要對(duì)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式熟練掌握，并且要注意三項(xiàng)成等差數(shù)列的條件，得出等差數(shù)列的首項(xiàng)與公差的條件，從而確定出所得的等比數(shù)列的項(xiàng)的特點(diǎn)，進(jìn)一步求得結(jié)果，從而求得等比數(shù)列的項(xiàng)的特點(diǎn)，得到的關(guān)系，從而求得結(jié)果，在做題的過程中，如果分析不到位，很容易出錯(cuò).
18．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列是首項(xiàng)的等比數(shù)列，且，，成等差數(shù)列，則其公比q等于________．
【答案】
【解析】
【分析】
由，，成等差數(shù)列，根據(jù)等差中項(xiàng)的定義結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)列出方程，求出q即可.
【詳解】
∵，，成等差數(shù)列，
∴，即，
∴，
∴，
∴或 (舍)．
∴.
故答案為：.
19．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中公比，若，，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則的最大值為_______
【答案】18
【解析】
【分析】
根據(jù)題意和等比數(shù)列的性質(zhì)，求得，，進(jìn)而求得等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，得到，在由等差數(shù)列的求和公式，得到，再結(jié)合等差數(shù)列的求和公式，即可求解.
【詳解】
因?yàn)闉楦黜?xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且公比，
由，
可得，為方程的兩根，又由，所以，，
得，即，所以，
由，所以為等差數(shù)列，
所以，則，即數(shù)列也為等差數(shù)列，
所以，
結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，可得當(dāng)或9時(shí)，最大，最大值為18．
故答案為：18．
20．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）為公差不為0的等差數(shù)列，且恰為等比數(shù)列，其中，則為_______．
【答案】
【解析】
【分析】
設(shè)數(shù)列為，利用等比中項(xiàng)運(yùn)算可求出等差數(shù)列的首項(xiàng)以及通項(xiàng)公式，進(jìn)而由求出的公比，再用可得．
【詳解】
設(shè)數(shù)列為，
則，∵，∴
即，∴，∴，∴，
設(shè)的公比為q，則，∴
即，∴．
故答案為：
21．（2022·上海·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足：，，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對(duì)所有滿足條件的列數(shù)，的最大值為，最小值為，則________.
【答案】1078
【解析】
根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系式，求出數(shù)列的前幾項(xiàng)的最大值和最小值，進(jìn)而結(jié)合計(jì)算規(guī)律和等差、等比數(shù)列的求和公式，求得的最大值和最小值，即可求解.
【詳解】
由題意，數(shù)列滿足：，，
由，可得；
由，可得或；
由，可得或；或；
或；
由，可得或或；
或或；或或或或；
或或或或或；
綜上可得的最大值，
最小值為，
所以.
故答案為：
【點(diǎn)睛】
與數(shù)列的新定義有關(guān)的問題的求解策略：
1、通過給出一個(gè)新的數(shù)列的定義，或約定一種新的運(yùn)算，或給出幾個(gè)新模型來創(chuàng)設(shè)新問題的情景，要求在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識(shí)和方法，實(shí)心信息的遷移，達(dá)到靈活解題的目的；
2、遇到新定義問題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點(diǎn)，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、運(yùn)算、驗(yàn)證，使得問題得以解決.
五、解答題
22．（2022·全國·高三專題練習(xí)）有下列三個(gè)條件：①數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，②是公差為1的等差數(shù)列，③，在這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在題中“___________”處，使問題完整，并加以解答.
設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，，對(duì)任意的，都有___________.已知數(shù)列滿足，是否存在，使得對(duì)任意的，都有？若存在，試求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.
【答案】答案見解析
【解析】
【分析】
根據(jù)等差 等比數(shù)列的通項(xiàng)公式以及數(shù)列單調(diào)性來找到數(shù)列的最大項(xiàng)，題干中有3個(gè)條件，選取一個(gè)進(jìn)行分析即可.
【詳解】
記，從而有().
選擇①，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，
因?yàn)椋裕?
所以，所以.
由，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以當(dāng)或2時(shí)，取得最大值，即取得最大值.
所以存在，2，使得對(duì)任意的，都有.
選擇②，方法一：是公差為1的等差數(shù)列，
因?yàn)椋裕?br/>當(dāng)時(shí)，，
則，
當(dāng)時(shí)，上式成立，
所以.
所以，從而.
由，
所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，即取得最大值.
所以存在，使得對(duì)任意的，都有.
方法二：利用“夾逼法”，即利用來求解.
，
由()，得，解得.
選擇③，方法一：，
則，
從而，
即.
又，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，
所以.
所以，從而，即，
所以數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，
故不存在，使得對(duì)任意的，都有.
方法二：利用求解.
，，
則，
因?yàn)椋圆淮嬖冢沟脤?duì)任意的，都有.
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題屬于開放性試題，選擇不同的條件，根據(jù)數(shù)列通項(xiàng)及單調(diào)性得到的結(jié)論不同，關(guān)鍵點(diǎn)即復(fù)合數(shù)列單調(diào)性的判斷.
23．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）已知是等差數(shù)列，，，且，，是等比數(shù)列的前3項(xiàng).
（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；
（2）數(shù)列是由數(shù)列的項(xiàng)刪去數(shù)列的項(xiàng)后仍按照原來的順序構(gòu)成的新數(shù)列，求數(shù)列的前20項(xiàng)的和.
【答案】（1），；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)以及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式計(jì)算即可得到結(jié)果，然后根據(jù)可得，最后簡單計(jì)算可得.
（2）根據(jù)（1）的條件可知求解的是，計(jì)算即可.
【詳解】
（1）數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)公差為，且，.
則，解得，
所以.
又因?yàn)椋堑缺葦?shù)列的前3項(xiàng)，則，
由于，代入上式解得.
于是，，，因此等比數(shù)列的公比.
故數(shù)列的通項(xiàng)公式為.
（2）設(shè)數(shù)列的前20項(xiàng)的和為.
因?yàn)椋?br/>則
.
24．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）已知正項(xiàng)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若構(gòu)成等比數(shù)列.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式.
（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證:
【答案】（1）；（2）證明見解析.
【解析】
【分析】
（1）由等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義，即可求出通項(xiàng)公式.
（2）利用裂項(xiàng)相消法即可求出數(shù)列的和，進(jìn)而利用不等式放縮即可證明結(jié)果.
【詳解】
（1）由為等差數(shù)列，
得，則
又構(gòu)成等比數(shù)列，
所以，
即
解得或(舍)，
所以;
（2）因?yàn)椋?br/>所以
25．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列和等比數(shù)列滿足，，，.
（1）求和的通項(xiàng)公式；
（2）數(shù)列和中的所有項(xiàng)分別構(gòu)成集合，，將的所有元素按從小到大依次排列構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列，求數(shù)列的前60項(xiàng)和.
【答案】（1），；（2）.
【解析】
【詳解】
（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，
由，
∴，，
∴，.
（2）當(dāng)?shù)那?0項(xiàng)中含有的前6項(xiàng)時(shí)，令，
此時(shí)至多有項(xiàng)（不符）.
當(dāng)?shù)那?0項(xiàng)中含有的前7項(xiàng)時(shí)，令，
且，，是和的公共項(xiàng)，則的前60項(xiàng)中含有的前7項(xiàng)且含有的前56項(xiàng)，再減去公共的三項(xiàng).
∴.
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵點(diǎn)是分析新數(shù)列是由和中的哪些選項(xiàng)構(gòu)成的，還要注意去掉公共項(xiàng).
26．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，前項(xiàng)和為，若成等差數(shù)列，，數(shù)列滿足，，數(shù)列的前項(xiàng)和為
（1）求的公比的值；
（2）求的通項(xiàng)公式.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
（1）對(duì)正項(xiàng)的等比數(shù)列，利用基本量代換，列方程組，解出公比q；
（2）設(shè)，由題意分析、計(jì)算得 ，從而得到，用累加法和錯(cuò)位相減法求出 .
【詳解】
（1）∵成等差數(shù)列，∴ ，
即，又
，
又
解得或(舍).
記，當(dāng)時(shí)，
又也符合上式，
.
而，
，
，
兩式相減得，
.
而也符合上式，
故.
【點(diǎn)睛】
(1) 等差（比）數(shù)列問題解決的基本方法：基本量代換；
(2)數(shù)列求和常用方法：
①公式法；②倒序相加法；③裂項(xiàng)相消法；④錯(cuò)位相減法．
27．（2022·上海·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑪?shù)列滿足，，(實(shí)數(shù)是非零常數(shù)).
（1）若，且數(shù)列是等差數(shù)列，求實(shí)數(shù)的值；
（2）若數(shù)列滿足，求通項(xiàng)公式；
（3）若，數(shù)列是等比數(shù)列，且，，試證明：.
【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析.
【解析】
【分析】
（1） 設(shè)等差數(shù)列的公差，根據(jù)，得到，即可求解；
（2）由數(shù)列滿足，推得數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，即可求解；
（3）由題意，得到，根據(jù)（2）知，利用累加法，求得，結(jié)合數(shù)列是等比數(shù)列，即可求解.
【詳解】
由數(shù)列滿足，，
，
.
（1）因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，，，
記公差為，則公差，所以，即，解得.
（2）因?yàn)閿?shù)列滿足，
所以.
所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.
所以.
（3）因?yàn)椋遥?br/>所以，
根據(jù)（2），可知當(dāng)時(shí)，，
所以
，
所以.
因?yàn)閿?shù)列是等比數(shù)列，
所以，解得，
又因?yàn)椋?
【點(diǎn)睛】
數(shù)列與函數(shù)的綜合問題的求解策略：
1、已知函數(shù)的條件，解決數(shù)列問題，此類問題一般利用函數(shù)的性質(zhì)，圖象等研究數(shù)列問題；
2、已知數(shù)列條件，解決函數(shù)問題，解決此類問題一般要利用數(shù)列的定義，通項(xiàng)公式，前項(xiàng)和公式，求和方法等對(duì)式子化簡變形；
3、注意數(shù)列和函數(shù)的不同，數(shù)列只能看成是自變量為正整數(shù)的一類函數(shù)，在解決問題時(shí)要注意這一特殊性.
28．（2022·河南·高三階段練習(xí)（文））已知等差數(shù)列的前四項(xiàng)和為10，且成等比數(shù)列
（1）求數(shù)列通項(xiàng)公式
（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和
【答案】（1）或；（2）見解析.
【解析】
（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)即可得解；
（2）由分組求和法結(jié)合等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得解.
【詳解】
（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，
由題意，得，解得或，
所以或；
（2）當(dāng)時(shí)，，
此時(shí)；
當(dāng)時(shí)，，
此時(shí).
29．（2022·河北·高三專題練習(xí)）已知正項(xiàng)等差數(shù)列滿足，且、、成等比數(shù)列，數(shù)列滿足，．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由，，成等比數(shù)列，得，再由可求出公差為，從而可求出，則，再由可知數(shù)列是以為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，從而可求出，進(jìn)而可得數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）由（1）可得，再利用裂項(xiàng)求和法可求出
【詳解】
（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，
因?yàn)椋傻缺葦?shù)列，所以．
所以，整理得，
將代入得，解得或，
由于是正項(xiàng)等差數(shù)列，舍去，即．所以，．因?yàn)椋?br/>所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，所以，即．
（2）因?yàn)椋裕?br/>所以，
故．
所以數(shù)列的前n項(xiàng)和．
30．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，=1，且，，成等差數(shù)列．
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）先由已知求出公比，再根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求出；
（2）由（1）先得到數(shù)列的通項(xiàng)公式，再利用等差等比公式法求和即可．
【詳解】
（1）因?yàn)閿?shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，
，，
設(shè)數(shù)列的公比為，
則，
解得，或（舍），
所以；
（2）因?yàn)椋?br/>由（1）知：，
則，
設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，
則
，
數(shù)列的前n項(xiàng)和為：.第19講 等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合問題
方法總結(jié)：
1.等差數(shù)列性質(zhì)與等比數(shù)列性質(zhì)：
等差數(shù)列 等比數(shù)列
遞推公式
通項(xiàng)公式
等差（比）中項(xiàng)
等間隔抽項(xiàng) 仍構(gòu)成等差數(shù)列 仍構(gòu)成等比數(shù)列
相鄰項(xiàng)和 成等差數(shù)列 成等比數(shù)列
2.如何判斷一個(gè)數(shù)列是等差（或等比）數(shù)列
（1）定義法（遞推公式）：（等差），（等比）
（2）通項(xiàng)公式：（等差），（等比）
（3）前項(xiàng)和：（等差），（等比）
（4）等差（等比）中項(xiàng)：數(shù)列從第二項(xiàng)開始，每一項(xiàng)均為前后兩項(xiàng)的等差（等比）中項(xiàng)
3.如何證明一個(gè)數(shù)列是等差等比數(shù)列：
（1）通常利用定義法，尋找到公差（公比）
（2）也可利用等差等比中項(xiàng)來進(jìn)行證明，即，均有：
（等差） （等比）
典型例題：
例1．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且和滿足：．
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，求的前項(xiàng)和；
（3）在（2）的條件下，對(duì)任意，都成立，求整數(shù)的最大值．
例2．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)和，數(shù)列是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，且成等比數(shù)列
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
（2）令求數(shù)列的前n項(xiàng)和
例3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，且，，成等差數(shù)列.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
例4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1=1，b1=0， ，.
（1）證明：{an+bn}是等比數(shù)列，{an–bn}是等差數(shù)列；
（2）求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式.
例5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，對(duì)任意且.
（1）證明：數(shù)列為等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和為.
例6．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足.
(1)證明是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；
(2)證明： .
過關(guān)練習(xí)：
1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè){an}為等比數(shù)列，{bn}為等差數(shù)列，且b1=0，cn=an+bn，若數(shù)列{cn}是1，1，2，…，則數(shù)列{cn}的前10項(xiàng)和為（ ）
A．978 B．557 C．467 D．979
2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知正項(xiàng)等差數(shù)列和正項(xiàng)等比數(shù)列}，，是，的等差中項(xiàng)，是，的等比中項(xiàng)，則下列關(guān)系成立的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知各項(xiàng)均為正數(shù)且單調(diào)遞減的等比數(shù)列滿足、、成等差數(shù)列.其前項(xiàng)和為，且，則（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)數(shù)列滿足，，，（ ）
A．存在， B．存在，使得是等差數(shù)列
C．存在， D．存在，使得是等比數(shù)列
5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知首項(xiàng)為最小正整數(shù)，公差不為零的等差數(shù)列中，，，依次成等比數(shù)列，則的值是（ ）
A． B． C． D．58
6．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，是正項(xiàng)等比數(shù)列，若，，則（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·安徽六安·一模（理））已知為等比數(shù)列，且，與的等差中項(xiàng)為，則（ ）
A．1 B．2 C．31 D．
8．（2022·全國·高三專題練習(xí)）數(shù)列，滿足，，，則數(shù)列的前n項(xiàng)和為（ ）
A． B． C． D．
9．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列，中滿足，，，若前項(xiàng)之和為，則滿足不等式的最小整數(shù)是（ ）.
A．8 B．9 C．11 D．10
10．（2022·全國·高三專題練習(xí)）對(duì)于無窮數(shù)列，給出下列命題：
①若數(shù)列既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列，則數(shù)列是常數(shù)列．
②若等差數(shù)列滿足，則數(shù)列是常數(shù)列．
③若等比數(shù)列滿足，則數(shù)列是常數(shù)列．
④若各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列滿足，則數(shù)列是常數(shù)列．
其中正確的命題個(gè)數(shù)是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
11．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，，，……，是各項(xiàng)不為零的項(xiàng)等差數(shù)列，且公差不為零，若將此數(shù)列刪去某一項(xiàng)得到的數(shù)列（按原來的順序）是等比數(shù)列，則的值為（ ）
A．4 B．6 C．7 D．無法確定
12．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）已知1，a1，a2，9四個(gè)實(shí)數(shù)成等差數(shù)列，1，b1，b2，b3，9五個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則b2（a2﹣a1）等于（ ）
A．8 B．﹣8 C．±8 D．
二、多選題
13．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在數(shù)列{an}中，若為常數(shù)），則{an}稱為“等方差數(shù)列”，下列對(duì)“等方差數(shù)列”的判斷，其中正確的為（ ）
A．若{an}是等方差數(shù)列，則{an2}是等差數(shù)列
B．若{an}是等方差數(shù)列，則{an2}是等方差數(shù)列
C．{（﹣1）n}是等方差數(shù)列
D．若{an}是等方差數(shù)列，則{akn}（k∈N*，k為常數(shù)）也是等方差數(shù)列
14．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列……，其中第一項(xiàng)是，接下來的兩項(xiàng)是再接下來的三項(xiàng)是依次類推…，第項(xiàng)記為，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（ ）
A． B． C． D．
15．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．若，則是等差數(shù)列
B．若，則數(shù)列的前項(xiàng)和為
C．若，則是等比數(shù)列
D．若，則
三、雙空題
16．（2022·浙江·高三學(xué)業(yè)考試）設(shè)等差數(shù)列的公差為非零常數(shù)，且，若成等比數(shù)列，則公差___________，___________.
四、填空題
17．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知公差不為0的等差數(shù)列的部分項(xiàng)，，，……構(gòu)成等比數(shù)列，且，，，則___________.
18．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列是首項(xiàng)的等比數(shù)列，且，，成等差數(shù)列，則其公比q等于________．
19．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中公比，若，，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則的最大值為_______
20．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）為公差不為0的等差數(shù)列，且恰為等比數(shù)列，其中，則為_______．
21．（2022·上海·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足：，，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對(duì)所有滿足條件的列數(shù)，的最大值為，最小值為，則________.
五、解答題
22．（2022·全國·高三專題練習(xí)）有下列三個(gè)條件：①數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，②是公差為1的等差數(shù)列，③，在這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在題中“___________”處，使問題完整，并加以解答.
設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，，對(duì)任意的，都有___________.已知數(shù)列滿足，是否存在，使得對(duì)任意的，都有？若存在，試求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.
23．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）已知是等差數(shù)列，，，且，，是等比數(shù)列的前3項(xiàng).
（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；
（2）數(shù)列是由數(shù)列的項(xiàng)刪去數(shù)列的項(xiàng)后仍按照原來的順序構(gòu)成的新數(shù)列，求數(shù)列的前20項(xiàng)的和.
24．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）已知正項(xiàng)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若構(gòu)成等比數(shù)列.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式.
（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證:
25．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列和等比數(shù)列滿足，，，.
（1）求和的通項(xiàng)公式；
（2）數(shù)列和中的所有項(xiàng)分別構(gòu)成集合，，將的所有元素按從小到大依次排列構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列，求數(shù)列的前60項(xiàng)和.
26．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，前項(xiàng)和為，若成等差數(shù)列，，數(shù)列滿足，，數(shù)列的前項(xiàng)和為
（1）求的公比的值；
（2）求的通項(xiàng)公式.
27．（2022·上海·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑪?shù)列滿足，，(實(shí)數(shù)是非零常數(shù)).
（1）若，且數(shù)列是等差數(shù)列，求實(shí)數(shù)的值；
（2）若數(shù)列滿足，求通項(xiàng)公式；
（3）若，數(shù)列是等比數(shù)列，且，，試證明：.
28．（2022·河南·高三階段練習(xí)（文））已知等差數(shù)列的前四項(xiàng)和為10，且成等比數(shù)列
（1）求數(shù)列通項(xiàng)公式
（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和
29．（2022·河北·高三專題練習(xí)）已知正項(xiàng)等差數(shù)列滿足，且、、成等比數(shù)列，數(shù)列滿足，．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
30．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，=1，且，，成等差數(shù)列．
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．專題20 求數(shù)列的通項(xiàng)公式
方法總結(jié)：
1、累加（累乘法）
（1）累加法：如果遞推公式形式為：，則可利用累加法求通項(xiàng)公式
① 等號(hào)右邊為關(guān)于的表達(dá)式，且能夠進(jìn)行求和
② 的系數(shù)相同，且為作差的形式
（2）累乘法：如果遞推公式形式為：，則可利用累加法求通項(xiàng)公式
2、構(gòu)造輔助數(shù)列：通過對(duì)遞推公式進(jìn)行變形，變形為相鄰項(xiàng)同構(gòu)的特點(diǎn)，進(jìn)而將相同的結(jié)構(gòu)視為一個(gè)整體，即構(gòu)造出輔助數(shù)列。通過求出輔助數(shù)列的通項(xiàng)公式，便可算出原數(shù)列的通項(xiàng)公式
（1）形如的形式
思路：觀察到與有近似3倍的關(guān)系，所以考慮向等比數(shù)列方向構(gòu)造，通過對(duì)與分別加上同一個(gè)常數(shù)，使之具備等比關(guān)系，考慮利用待定系數(shù)法求出
（2）形如，此類問題可先處理，兩邊同時(shí)除以，得，進(jìn)而構(gòu)造成，設(shè)，從而變成，從而將問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化
（3）形如：，可以考慮兩邊同時(shí)除以，轉(zhuǎn)化為的形式
（4）形如，即中間項(xiàng)的系數(shù)與兩邊項(xiàng)的系數(shù)和互為相反數(shù)，則可根據(jù)兩邊項(xiàng)的系數(shù)對(duì)中間項(xiàng)進(jìn)行拆分，構(gòu)造為：的形式
4、題目中出現(xiàn)關(guān)于的等式：一方面可通過特殊值法（令）求出首項(xiàng)，另一方面可考慮將等式轉(zhuǎn)化為純或純的遞推式，然后再求出的通項(xiàng)公式。
5、構(gòu)造相減：當(dāng)所給遞推公式無法直接進(jìn)行變形，則可考慮根據(jù)遞推公式的形式再構(gòu)造出下一組相鄰項(xiàng)的遞推公式，通過兩式相減可構(gòu)造出新的遞推公式，再嘗試解決。
6、先通過數(shù)列前幾項(xiàng)找到數(shù)列特點(diǎn)，從而猜出通項(xiàng)公式，再利用數(shù)學(xué)歸納法證明
典型例題：
例1．（2022·江蘇泰州·高三期末）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）利用與的關(guān)系可得，數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，即求；
（2）利用錯(cuò)位相減法即求.
(1)
∵，
當(dāng)時(shí)，，解得，
當(dāng)時(shí)，，
∴，即，
∴，即，
∴數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，
∴，
故數(shù)列的通項(xiàng)公式為.
(2)
∵，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，
∴，
，
∴
，
∴，
∴數(shù)列的前項(xiàng)和為.
例2．（2022·湖北武昌·高三期末）已知數(shù)列滿足，，且對(duì)任意，都有．
(1)求證：是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；
(2)求使得不等式成立的最大正整數(shù)m．
【答案】(1)證明見解析；
(2)
【解析】
【分析】
(1) 由條件可得從而可證明，再根據(jù)累加法可求出的通項(xiàng)公式.
(2) 由錯(cuò)位相減法求出的表達(dá)式，然后再解不等式從而得出答案.
(1)
由，得，
所以是等比數(shù)列.
所以
從而
所以，．
(2)
設(shè)
即，所以，，
于是，．
因?yàn)椋遥?br/>所以，使成立的最大正整數(shù)．
例3．（2022·四川攀枝花·二模（理））在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)作為已知條件，補(bǔ)充在下面的問題中，然后解答補(bǔ)充完整的題．
設(shè)首項(xiàng)為的數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足______（只需填序號(hào)）
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和項(xiàng)和．
【答案】(1)條件選擇見解析，；
(2).
【解析】
【分析】
（1）選①：令，由可得出，兩式作差可推導(dǎo)出數(shù)列為等比數(shù)列，確定該數(shù)列的首項(xiàng)和公比，即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；
選②：利用累加法可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；
選③：令可求得的值，令，由可得，兩式作差可推導(dǎo)出數(shù)列為等比數(shù)列，確定該數(shù)列的首項(xiàng)和公比，即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）求得，利用錯(cuò)位相減法可求得.
(1)
解：選①：當(dāng)時(shí)，由可得出，
上述兩個(gè)等式作差得，可得，
所以，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，故；
選②：由已知可得，
所以，，，，，，
上述個(gè)等式相加得，
；
選③：當(dāng)時(shí)，，可得，
當(dāng)時(shí)，由可得，
上述兩個(gè)等式作差得且，
所以，數(shù)列數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，故.
(2)
解：，，
所以，，
上述兩個(gè)等式作差得，
因此，.
例4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，且滿足，是和的等比中項(xiàng)．
(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；
(2)求；
(3)設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式，求；
【答案】(1)，
(2)
(3)
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)數(shù)列通項(xiàng)與前項(xiàng)和的關(guān)系可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，設(shè)數(shù)列的公差為，根據(jù)，是和的等比中項(xiàng)，求得首項(xiàng)與公差，即可求出的通項(xiàng)公式；
（2）利用裂項(xiàng)相消法即可求出答案；
（3）利用分組求和法即可求出答案.
(1)
解：（1）當(dāng)時(shí)，有，解得，
，
，
兩式相減，整理得：，
數(shù)列是以6為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，
所以，
設(shè)數(shù)列的公差為，
，是和的等比中項(xiàng)，，
即，解得或2，
公差不為0，，
故；
(2)
解：，
；
(3)
解：，，
∴
．
例5．（2022·浙江·諸暨市教育研究中心高三期末）在正項(xiàng)等比數(shù)列中，，是與的等差中項(xiàng)，數(shù)列滿足.
(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】(1)，；
(2)
【解析】
【分析】
（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，根據(jù)已知條件可得出關(guān)于的方程，求出的值，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可求得的通項(xiàng)公式，利用前項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）分析可知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，化簡的表達(dá)式，利用分組求和法可求得數(shù)列的前項(xiàng)和.
(1)
解：設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，
因?yàn)椋?br/>所以（舍去），所以，
當(dāng)時(shí)，，則，
當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?br/>得，②
①②得：，所以，，
也滿足，所以，對(duì)任意的，.
(2)
解：令，則，
所以，數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，所以，，
故當(dāng)時(shí)，，則，
此時(shí)，，
且，
當(dāng)時(shí)，，則，
此時(shí)，
.
綜上所述，.
例6．（2022·浙江省義烏中學(xué)高三期末）已知是首項(xiàng)為，公差不為的等差數(shù)列：成等比數(shù)列.數(shù)列滿足.
(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；
(2)求證：.
【答案】(1)，
(2)證明見解析
【解析】
【分析】
（1）設(shè)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為，由，可求得，即可求出；由等價(jià)于，再根據(jù)數(shù)列通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和的關(guān)系，即可求出，進(jìn)而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）因?yàn)椋傻茫纱思纯勺C明結(jié)果.
(1)
解：設(shè)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為
由，所以，又，得，
.
等價(jià)于.
當(dāng)時(shí)，，；
當(dāng)時(shí)，由，
所以，兩式相減，
可得，
.
(2)
解：，
，即命題得證.
例7．（2022·河南平頂山·高三期末（文））已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，且，，，.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)將數(shù)列與的所有公共項(xiàng)按從小到大的順序組成新數(shù)列，求的前10項(xiàng)的和.
【答案】(1)；
(2)570.
【解析】
【分析】
(1)由給定的遞推公式結(jié)合進(jìn)行變形推導(dǎo)即得為等差數(shù)列，再求其通項(xiàng)得解.
(2)根據(jù)給定條件求出數(shù)列的通項(xiàng)即可計(jì)算作答.
(1)
由，可知，兩式相減得，
即，因，則，
又，，解得，即是首項(xiàng)為3，公差的等差數(shù)列，
所以的通項(xiàng)公式.
(2)
由(1)知，，數(shù)列與的公共項(xiàng)滿足，即，，
而，于是得，即，此時(shí)，，
因此，，即，數(shù)列是以3為首項(xiàng)，12為公差的等差數(shù)列，
令的前項(xiàng)和為，則，
所以的前10項(xiàng)的和為570.
例8．（2022·山東青島·高三期末）已知數(shù)列滿足：.
(1)求證：存在實(shí)數(shù)，使得；
(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）先假設(shè)存在，再通過變形論證存在即可；
（2）通過（1）先得到，再變形為即可求解.
(1)
證明：由變形整理得：，
所以，解得或，經(jīng)檢驗(yàn)，或都滿足題意.
故存在實(shí)數(shù)，使得.
(2)
由（1）不妨取，則有，
而，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，
所以，即，
設(shè)其可變形為，解得，
即有，而，
故數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，
所以，即，
經(jīng)檢驗(yàn)，也滿足上式，故.
過關(guān)練習(xí)：
一、單選題
1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）數(shù)列，，，，…，的通項(xiàng)公式可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用數(shù)列的前幾項(xiàng)排除A、B、C，即可得解；
【詳解】
解：由，排除A，C，由，排除B，
分母為奇數(shù)列，分子為，故數(shù)列的通項(xiàng)公式可以為，
故選：D．
2．（2022·黑龍江·雙鴨山一中高三期末（理））已知數(shù)列滿足，且取最小值時(shí)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由數(shù)列遞推關(guān)系利用累加法可知，
進(jìn)而化簡的表達(dá)式，利用基本不等式計(jì)算即得結(jié)論.
【詳解】
由，得
，累加可得
，
又，.
當(dāng)，，也滿足上式.
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.
，
令，
在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.
因?yàn)?
故選：C.
3．（2022·安徽宣城·高三期末（文））已知數(shù)列的首項(xiàng)為1，又，其中點(diǎn)O在直線l外，其余三點(diǎn)A，B，C均在l上，那么數(shù)列的通項(xiàng)公式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
題意可知點(diǎn)O在直線l外，三點(diǎn)A，B，C均在l上，那么 ,那么 ，利用這一結(jié)論可得到，構(gòu)造等比數(shù)列即可求得.
【詳解】
因?yàn)椋裕?br/>又因?yàn)辄c(diǎn)O在直線l外，三點(diǎn)A，B，C均在l上，
故，即，
所以，即數(shù)列 是以 為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，
故 ，則，
故選：C.
二、雙空題
4．（2022·廣東·廣州市協(xié)和中學(xué)高三階段練習(xí)）龍曲線是由一條單位線段開始，按下面的規(guī)則畫成的圖形：將前一代的每一條折線段都作為這一代的等腰直角三角形的斜邊，依次畫出所有直角三角形的兩段，使得所畫的相鄰兩線段永遠(yuǎn)垂直（即所畫的直角三角形在前一代曲線的左右兩邊交替出現(xiàn)）.例如第一代龍曲線（圖1）是以為斜邊畫出等腰直角三角形的直角邊、所得的折線圖，圖2、圖3依次為第二代、第三代龍曲線（虛線即為前一代龍曲線）.、、為第一代龍曲線的頂點(diǎn)，設(shè)第代龍曲線的頂點(diǎn)數(shù)為，由圖可知，，，則 ___________；數(shù)列的前項(xiàng)和___________.
【答案】
【解析】
【分析】
推導(dǎo)出數(shù)列是等比數(shù)列，確定該數(shù)列的首項(xiàng)和公比，可求得的通項(xiàng)公式，可求得的值，再利用裂項(xiàng)相消法可求得.
【詳解】
解：由題意可知，第代龍曲線是在將個(gè)第代龍曲線的首尾頂點(diǎn)相接，
則，所以，，
所以，數(shù)列是等比數(shù)列，且首項(xiàng)為，公比為，則，
，則，
，
因此，.
故答案為：；.
三、填空題
5．（2022·黑龍江·哈九中高三開學(xué)考試（文））數(shù)列中，，且，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則______.
【答案】
【解析】
【分析】
先利用構(gòu)造數(shù)列法求解數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后利用分組求和法求解前n項(xiàng)和.
【詳解】
因?yàn)椋O(shè)存在實(shí)數(shù)，使得，
解得，所以數(shù)列是公比為，首項(xiàng)為的等比數(shù)列，
所以，得，
所以.
故答案為：
【點(diǎn)睛】
數(shù)列求和的方法技巧
(1)倒序相加：用于等差數(shù)列、與二項(xiàng)式系數(shù)、對(duì)稱性相關(guān)聯(lián)的數(shù)列的求和．
(2)錯(cuò)位相減：用于等差數(shù)列與等比數(shù)列的積數(shù)列的求和．
(3)分組求和：用于若干個(gè)等差或等比數(shù)列的和或差數(shù)列的求和．
6．（2022·四川·成都七中高三開學(xué)考試（理））數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，，則的通項(xiàng)公式為______.
【答案】
【解析】
【分析】
由數(shù)列通項(xiàng)與前項(xiàng)和的相互關(guān)系解之即可.
【詳解】
由，得，兩式相減得
又由，，可得，即
故數(shù)列從第二項(xiàng)起為公比為4的等比數(shù)列，
則的通項(xiàng)公式為
故答案為：
7．（2022·安徽黃山·一模（理））已知數(shù)列滿足，，則___________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用累乘法可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用錯(cuò)位相減法可求得，即可求得所求代數(shù)式的值.
【詳解】
因?yàn)閿?shù)列滿足，，則，
所以，當(dāng)時(shí)，，
也滿足，所以，對(duì)任意的，.
令，則，
可得，
上述兩個(gè)等式作差得，
所以，，
因此，.
故答案為：.
8．（2022·湖北·高三開學(xué)考試）已知數(shù)列為的前項(xiàng)和，，則__________.
【答案】
【解析】
【分析】
由求得數(shù)列從第二項(xiàng)起是等比數(shù)列，求出通項(xiàng)公式，再由求得后比較可得結(jié)論．
【詳解】
，①
，②
①-②得：，
，
又，所以
所以
故答案為：
9．（2022·湖南永州·二模）已知數(shù)列、滿足，，，則___________.
【答案】
【解析】
【分析】
分析可得，推導(dǎo)出數(shù)列為等差數(shù)列，確定該數(shù)列的首項(xiàng)和公差，可求得，進(jìn)而可求得，即可得解.
【詳解】
因?yàn)椋瑒t，則，
因?yàn)椋傻茫瑒t，則，，
所以，，則，以此類推可知，所以，，
且，
所以，數(shù)列是等差數(shù)列，且首項(xiàng)為，公差為，，
所以，，故，因此，.
故答案為：.
四、解答題
10．（2022·安徽省宣城中學(xué)高三開學(xué)考試（文））設(shè)首項(xiàng)為2的數(shù)列的前項(xiàng)積為，且.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由遞推關(guān)系可得，再由累乘法求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）根據(jù)裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和即可.
(1)
∵，
∴，即，
由累乘法得，
，
當(dāng)時(shí)，也滿足上式，
∴.
(2)
由（1）知，，
∴，
則
11．（2022·內(nèi)蒙古·海拉爾第二中學(xué)高三階段練習(xí)（文））已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，，其中為常數(shù).
(1)證明：；
(2)若為等差數(shù)列，求.
【答案】(1)證明見解析；
(2).
【解析】
【分析】
（1）利用關(guān)系可得，結(jié)合已知條件即可證結(jié)論.
（2）由題設(shè)及（1）結(jié)論，可得、，應(yīng)用等差中項(xiàng)的性質(zhì)求參數(shù)，進(jìn)而判斷為等差數(shù)列并寫出通項(xiàng)公式，最后利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式求.
(1)
由題設(shè)，，，
兩式相減得，又，
所以.
(2)
由題設(shè)，，，可得，由(1)知：.
由為等差數(shù)列，則，解得λ＝4，故.
由此，是首項(xiàng)為1，公差為4的等差數(shù)列，則；
是首項(xiàng)為3，公差為4的等差數(shù)列，則；
所以是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，即，
故.
12．（2022·山西運(yùn)城·高三期末（理））已知數(shù)列的前項(xiàng)和，滿足.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由，代入計(jì)算可得，由代入得到，從而證明數(shù)列是等比數(shù)列，求出通項(xiàng)公式；
（2）由余弦的周期性可知，代入通項(xiàng)公式可得，計(jì)算可求出前項(xiàng)和.
(1)
，算得
當(dāng)時(shí)，；得到，
所以數(shù)列是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，由，得到
(2)
由，得到.
則，
.
13．（2022·福建三明·高三期末）定義為數(shù)列的“勻稱值”，若數(shù)列的“勻稱值”為.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，的前項(xiàng)和為，求．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由已知可得出，由可求得的值，由，可得出，兩式作差可得出的表達(dá)式，然后就是否滿足在時(shí)的表達(dá)式進(jìn)行檢驗(yàn)，綜合可得出數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用分組求和法結(jié)合裂項(xiàng)相消法可求得的值.
(1)
解：因?yàn)椋?
當(dāng)時(shí)，．
當(dāng)時(shí)，由得．
上述兩個(gè)等式作差得，即，
又因?yàn)闈M足，所以.
(2)
解：因?yàn)椋?
所以，
所以．
所以，即．
14．（2022·廣東五華·一模）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足，且．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求的前n項(xiàng)和．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用與的關(guān)系，即可求解數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）由（1）可知，再利用錯(cuò)位相減法求和.
(1)
當(dāng)時(shí)，，
得
即，即
所以數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，故．
(2)
由（1）知，則
（1）
（2）
（1）－（2）得
所以
15．（2022·江西·高三階段練習(xí)（理））已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）項(xiàng)和轉(zhuǎn)換可得，驗(yàn)證，分析即得解；
（2）項(xiàng)和轉(zhuǎn)換可得，轉(zhuǎn)化，裂項(xiàng)相消法求和即得解
(1)
當(dāng)時(shí)，由
得，
兩式相減可得．
因?yàn)椋仙鲜?br/>所以，故，
(2)
由（1）得，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，不符合上式，
故數(shù)列的通項(xiàng)公式為．
因此．
故當(dāng)時(shí)，．
當(dāng)
．
令，得，符合上式
綜上所述，．
16．（2022·四川省南充高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí)（文））已知函數(shù)的圖象過點(diǎn)，且關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.
(1)求的解析式；
(2)若，.
①求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
②若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】(1)
(2)①；②
【解析】
【分析】
（1）由題意，，代入求解即可；
（2）①由題意，可轉(zhuǎn)化為，故是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，求解即可；
②，裂項(xiàng)相消法求和即可
(1)
由已知得
又的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，
有，
即
解得
所以
(2)
①，，
則，
故是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
有
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為；
②
數(shù)列的前n項(xiàng)和為，
則
17．（2022·廣東·高三階段練習(xí)）已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為2，且，，成等比數(shù)列.數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且.
(1)求與的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
【答案】(1)，
(2)
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)已知條件求得等差數(shù)列的公差，由此求得.利用來求得.
（2）利用錯(cuò)位相減求和法求得.
(1)
設(shè)的公差為d，因?yàn)椋?br/>所以，解得，
所以.
數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，①
當(dāng)時(shí)，，②
①-②，得.
當(dāng)時(shí)，，滿足，所以.
(2)
因?yàn)椋?br/>所以.③
，④
③-④，得，
所以.
18．（2022·廣東韶關(guān)·一模）在①；②；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下列問題中，并做出解答.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，__________，數(shù)列是等差數(shù)列，.
(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】(1)選①：，；選②：，；選③：，
(2)
【解析】
【分析】
（1）若選①，可得，再利用累加法求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；若選②：由計(jì)算可得；若選③：由計(jì)算可得；
（2）由（1）可得，再利用錯(cuò)位相減法計(jì)算可得；
(1)
解：若選①：由，則，
可得
將上述個(gè)式子相加，整理的
又因?yàn)椋?
若選②：，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，
所以，所以.
綜上，
若選③：，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，由可得，所以，所以.
經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)時(shí)也成立，所以；
設(shè)等差數(shù)列的公差為，
由題有，即，解得
從而
(2)
解：由（1）可得，
令的前項(xiàng)和是，則，
，
兩式相減得，
，
整理得；
19．（2022·浙江·慈溪中學(xué)高三階段練習(xí)）已知數(shù)列和，記，分別為和的前項(xiàng)和，為的前項(xiàng)積，且滿足，，.
(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)，
(2)
【解析】
【分析】
(1)先用通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的關(guān)系求出和的關(guān)系，再利用前n項(xiàng)積得到另外一組和的關(guān)系，由此即可求出兩個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)由錯(cuò)位相減法求，代入?yún)⒆兎蛛x得，求最小值即可.
(1)
時(shí)，①，②，
①-②得，
當(dāng)時(shí)，③，④，
③÷④得.
由上可得，即，化簡得.
當(dāng)時(shí)，，，兩式相等得，.
故，因此且，故.
綜上，.
(2)
，
⑤
⑥
⑤－⑥得：，
，
將代入得，
化簡得，
因在單調(diào)遞增，故的最小值為－4，
故.
20．（2022·福建寧德·模擬預(yù)測）在下列條件：
①數(shù)列的任意相鄰兩項(xiàng)均不相等，，且數(shù)列為常數(shù)列；②；③中，任選一個(gè)條件，補(bǔ)充在橫線上，并回答下面問題．
已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，__________，求數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和．
【答案】選①，，；選②，，；選③，，.
【解析】
【分析】
選①：由常數(shù)列的性質(zhì)得出，再由等比數(shù)列的定義證明是等比數(shù)列，最后分組求和得出前n項(xiàng)和；選②：由與的關(guān)系得出，以下同①；選③：先證明是等比數(shù)列，進(jìn)而得出，再由與的關(guān)系得出.
【詳解】
選①：因?yàn)椋瑪?shù)列為常數(shù)列，所以，解得或，又因?yàn)閿?shù)列的任意相鄰兩項(xiàng)均不相等，且
所以數(shù)列為
所以，即，
所以，又．
所以是以為首項(xiàng).公比為的等比數(shù)列，所以，
即；
所以
選②：因?yàn)椋字?br/>所以兩式相減可得，即
以下過程與①相同；
選③：由，可得，
又，故是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
故，即
當(dāng)時(shí)，，
又也滿足上式.
綜上所述：，.
21．（2022·河南·高三開學(xué)考試（文））已知公差不為0的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
(1)根據(jù)給定遞推公式結(jié)合“當(dāng)時(shí)，”求出等差數(shù)列的公差計(jì)算作答.
(2)利用(1)的結(jié)論求出，再利用分組求和法計(jì)算作答.
(1)
因?yàn)椋瑒t當(dāng)時(shí)，，即，
而等差數(shù)列公差，即不恒成立，從而有，即，解得，
當(dāng)時(shí)，，即，有，解得，因此，，
所以的通項(xiàng)公式是：.
(2)
由(1)知，，
則
.
22．（2022·河南·溫縣第一高級(jí)中學(xué)高三開學(xué)考試（理））已知等比數(shù)列{an}滿足條件a2+a4＝3（a1+a3），a2n＝3an2，n∈N*，數(shù)列{bn}滿足b1＝1，bn﹣bn﹣1＝2n﹣1（n≥2，n∈N*）
(1)求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；
(2)若數(shù)列{cn}滿足，n∈N*，求{cn}的前n項(xiàng)和Tn.
【答案】(1)，
(2)
【解析】
【分析】
（1）設(shè)，根據(jù)題意可得的兩個(gè)方程即可解出，從而得到數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；根據(jù)累加法可求出{bn}的通項(xiàng)公式；
（2）由得，兩式作差可求得，咋根據(jù)錯(cuò)位相減法即可求出{cn}的前n項(xiàng)和Tn．
(1)
設(shè){an}的通項(xiàng)公式為，n∈N*，
由已知a2+a4＝3（a1+a3），，得q＝3，
由已知，即，解得q＝3a1，a1＝1，
所以 {an}的通項(xiàng)公式為.
因?yàn)閎1＝1，bn﹣bn﹣1＝2n﹣1（n≥2，n∈N*），
.
(2)
當(dāng)n＝1時(shí)，，c1＝1，
當(dāng)n≥2時(shí)，①，
②，
由①﹣②得到，，n≥2，也滿足，
綜上，，n∈N*.
③，
④，
由③﹣④得到
，
所以.
23．（2022·四川眉山·高三階段練習(xí)（理））設(shè)，有以下三個(gè)條件：
①是2與的等差中項(xiàng)；②，；③為正項(xiàng)等比數(shù)列，，．在這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下列問題的橫線上，再作答（如果選擇多個(gè)條件分別作答，按第一個(gè)解答計(jì)分）．
若數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且 ．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
(1)選①由條件可得，估計(jì)可求數(shù)列的通項(xiàng)公式；選②由條件結(jié)合求數(shù)列的通項(xiàng)公式；選③根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式可求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)由(1)可得，結(jié)合已知求數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用錯(cuò)位相減法求其前項(xiàng)和.
(1)
若選擇①：因?yàn)槭?與的等差中項(xiàng)，所以，
當(dāng)時(shí)，解得．
當(dāng)時(shí)，由，，
兩式相減得，所以，
所以數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為．
若選擇②，由，，則，，
兩式相減得，
又因?yàn)椋詳?shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為．
若選擇③，設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為，
則，
解得或（舍去）
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為．
(2)
因?yàn)槭且?為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，
所以．
由（1）知，所以．
所以①
在①的等式兩邊同乘以，得
②
由①②等式兩邊相減，得
，
所以數(shù)列的前n項(xiàng)和．
24．（2022·重慶市育才中學(xué)模擬預(yù)測）已知數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為且滿足=-n.
(1)求{}的通項(xiàng)公式；
(2)證明：
【答案】(1)
(2)證明見解析
【解析】
【分析】
（1）利用得到遞推公式，再構(gòu)造等比數(shù)列求出通項(xiàng)公式；（2）等比放縮，證明不等式.
(1)
因?yàn)?-n.
所以=-n-1，
所以
所以，
所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.
所以，
所以；
(2)
即證明： ，
，

.
25．（2022·江蘇宿遷·高三期末）已知數(shù)列滿足.
(1)設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前20項(xiàng)和.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）對(duì)已知的式子變形得，則，從而可得數(shù)列是以4為公比的等比數(shù)列，進(jìn)而可求出的通項(xiàng)公式；
（2）由（1）求出，從而可求出，進(jìn)而可求出
(1)
由可知，，即，
由可知，，
所以是以12為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，
所以的通項(xiàng)公式為.
(2)
由（1）知，，
所以
,
又符合上式,所以,
所以，
所以的前20項(xiàng)和.
26．（2022·浙江上虞·高三期末）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列滿足：，前項(xiàng)和為，且，．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)與前項(xiàng)和；
(2)記，設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，求證．
【答案】(1)，；
(2)證明見解析.
【解析】
【分析】
（1）當(dāng)時(shí)，可求得的值，令，由可得，兩式作差可推導(dǎo)出數(shù)列為等差數(shù)列，確定該數(shù)列的首項(xiàng)可求得數(shù)列的通項(xiàng)，利用等差數(shù)列的求和公式可求得；
（2）證明出，利用裂項(xiàng)相消法可證得結(jié)論成立.
(1)
解：當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋獾茫?br/>當(dāng)時(shí)，由可得，
上述兩個(gè)等式相減可得，所以，，
對(duì)任意的，，故且，
故數(shù)列為等差數(shù)列，且該數(shù)列的首項(xiàng)和公差均為，故，
所以，.
(2)
證明：，
因?yàn)?br/>，
所以，，
因此，.
27．（2022·安徽阜陽·高三期末（理））已知數(shù)列是等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，且.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若，令，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)是等比數(shù)列，且，再寫，兩式相減即可得到之間的關(guān)系，從而求出表達(dá)式
（2）寫出的表達(dá)式，是等差乘以等比數(shù)列，所以可以用錯(cuò)位相減求和
(1)
為等比數(shù)列，設(shè)其公比為q.
因?yàn)椋?br/>當(dāng)時(shí)，，②
由①-②，得，
解得.
當(dāng)時(shí)，，即，則，
所以的通項(xiàng)公式為.
(2)
因?yàn)椋瑒t，
，③
，④
由③-④，得，
，
所以數(shù)列的前n項(xiàng)和
28．（2022·湖南常德·高三期末）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．
(1)求，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若數(shù)列滿足：，求數(shù)列前20項(xiàng)的和．
【答案】(1)，，
(2)
【解析】
【分析】
（1）在已知條件中分別取,可求得的值，當(dāng)時(shí)利用和與項(xiàng)的一般關(guān)系得到，從而判定數(shù)列為等差數(shù)列，然后得到通項(xiàng)公式；
（2）利用分段求和法、等差數(shù)列求和公式和裂項(xiàng)求和法求得數(shù)列前20項(xiàng)的和．
(1)
解：由題可知，，解得.
在中令,得,解得；
∵①,
∴②,
由①－②得：，即,
∴．
∴數(shù)列是首項(xiàng)與公差都為2的等差數(shù)列,
∴.
(2)
解：題可知，當(dāng)時(shí)，,
∴.
當(dāng)時(shí)，,
∴,
∴.
29．（2022·陜西·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)高三階段練習(xí)（理））已知數(shù)列滿足.
(1)設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）先化簡，再推導(dǎo)出等于一個(gè)常數(shù)，即可求解；
（2）結(jié)合第一問，先求出數(shù)列的滿足的規(guī)律，然后再求和.
(1)
由已知有：
所以，
，
其中，所以數(shù)列為以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列.
所以，得.
(2)
由（1）知：，
，
所以
.
30．（2022·江蘇通州·高三期末）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足＝2，2()＝6－.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)的最大值為M，最小值為m，求M－m的值.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由數(shù)列前n項(xiàng)和與通項(xiàng)公式之間的關(guān)系即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）求得數(shù)列的前n項(xiàng)和的解析式，求其最值后即可解決.
(1)
數(shù)列中，＝2，2()＝6－
當(dāng)時(shí)，2()＝6－
則2()-2()＝6－－（6－），整理得
當(dāng)時(shí)，由2()＝6－，可得，滿足
綜上，數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為的等比數(shù)列，
(2)
由（1）可知，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，則
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，則
綜上得，數(shù)列的前n項(xiàng)和的最大值為2，最小值為
故M－m專題20 求數(shù)列的通項(xiàng)公式
方法總結(jié)：
1、累加（累乘法）
（1）累加法：如果遞推公式形式為：，則可利用累加法求通項(xiàng)公式
① 等號(hào)右邊為關(guān)于的表達(dá)式，且能夠進(jìn)行求和
② 的系數(shù)相同，且為作差的形式
（2）累乘法：如果遞推公式形式為：，則可利用累加法求通項(xiàng)公式
2、構(gòu)造輔助數(shù)列：通過對(duì)遞推公式進(jìn)行變形，變形為相鄰項(xiàng)同構(gòu)的特點(diǎn)，進(jìn)而將相同的結(jié)構(gòu)視為一個(gè)整體，即構(gòu)造出輔助數(shù)列。通過求出輔助數(shù)列的通項(xiàng)公式，便可算出原數(shù)列的通項(xiàng)公式
（1）形如的形式
思路：觀察到與有近似3倍的關(guān)系，所以考慮向等比數(shù)列方向構(gòu)造，通過對(duì)與分別加上同一個(gè)常數(shù)，使之具備等比關(guān)系，考慮利用待定系數(shù)法求出
（2）形如，此類問題可先處理，兩邊同時(shí)除以，得，進(jìn)而構(gòu)造成，設(shè)，從而變成，從而將問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化
（3）形如：，可以考慮兩邊同時(shí)除以，轉(zhuǎn)化為的形式
（4）形如，即中間項(xiàng)的系數(shù)與兩邊項(xiàng)的系數(shù)和互為相反數(shù)，則可根據(jù)兩邊項(xiàng)的系數(shù)對(duì)中間項(xiàng)進(jìn)行拆分，構(gòu)造為：的形式
4、題目中出現(xiàn)關(guān)于的等式：一方面可通過特殊值法（令）求出首項(xiàng)，另一方面可考慮將等式轉(zhuǎn)化為純或純的遞推式，然后再求出的通項(xiàng)公式。
5、構(gòu)造相減：當(dāng)所給遞推公式無法直接進(jìn)行變形，則可考慮根據(jù)遞推公式的形式再構(gòu)造出下一組相鄰項(xiàng)的遞推公式，通過兩式相減可構(gòu)造出新的遞推公式，再嘗試解決。
6、先通過數(shù)列前幾項(xiàng)找到數(shù)列特點(diǎn)，從而猜出通項(xiàng)公式，再利用數(shù)學(xué)歸納法證明
典型例題：
例1．（2022·江蘇泰州·高三期末）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.
例2．（2022·湖北武昌·高三期末）已知數(shù)列滿足，，且對(duì)任意，都有．
(1)求證：是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；
(2)求使得不等式成立的最大正整數(shù)m．
例3．（2022·四川攀枝花·二模（理））在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)作為已知條件，補(bǔ)充在下面的問題中，然后解答補(bǔ)充完整的題．
設(shè)首項(xiàng)為的數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足______（只需填序號(hào)）
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和項(xiàng)和．
例4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，且滿足，是和的等比中項(xiàng)．
(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；
(2)求；
(3)設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式，求；
例5．（2022·浙江·諸暨市教育研究中心高三期末）在正項(xiàng)等比數(shù)列中，，是與的等差中項(xiàng)，數(shù)列滿足.
(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.
例6．（2022·浙江省義烏中學(xué)高三期末）已知是首項(xiàng)為，公差不為的等差數(shù)列：成等比數(shù)列.數(shù)列滿足.
(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；
(2)求證：.
例7．（2022·河南平頂山·高三期末（文））已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，且，，，.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)將數(shù)列與的所有公共項(xiàng)按從小到大的順序組成新數(shù)列，求的前10項(xiàng)的和.
例8．（2022·山東青島·高三期末）已知數(shù)列滿足：.
(1)求證：存在實(shí)數(shù)，使得；
(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式.
過關(guān)練習(xí)：
一、單選題
1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）數(shù)列，，，，…，的通項(xiàng)公式可能是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·黑龍江·雙鴨山一中高三期末（理））已知數(shù)列滿足，且取最小值時(shí)為（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·安徽宣城·高三期末（文））已知數(shù)列的首項(xiàng)為1，又，其中點(diǎn)O在直線l外，其余三點(diǎn)A，B，C均在l上，那么數(shù)列的通項(xiàng)公式是（ ）
A． B． C． D．
二、雙空題
4．（2022·廣東·廣州市協(xié)和中學(xué)高三階段練習(xí)）龍曲線是由一條單位線段開始，按下面的規(guī)則畫成的圖形：將前一代的每一條折線段都作為這一代的等腰直角三角形的斜邊，依次畫出所有直角三角形的兩段，使得所畫的相鄰兩線段永遠(yuǎn)垂直（即所畫的直角三角形在前一代曲線的左右兩邊交替出現(xiàn)）.例如第一代龍曲線（圖1）是以為斜邊畫出等腰直角三角形的直角邊、所得的折線圖，圖2、圖3依次為第二代、第三代龍曲線（虛線即為前一代龍曲線）.、、為第一代龍曲線的頂點(diǎn)，設(shè)第代龍曲線的頂點(diǎn)數(shù)為，由圖可知，，，則 ___________；數(shù)列的前項(xiàng)和___________.
三、填空題
5．（2022·黑龍江·哈九中高三開學(xué)考試（文））數(shù)列中，，且，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則______.
6．（2022·四川·成都七中高三開學(xué)考試（理））數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，，則的通項(xiàng)公式為______.
7．（2022·安徽黃山·一模（理））已知數(shù)列滿足，，則___________.
8．（2022·湖北·高三開學(xué)考試）已知數(shù)列為的前項(xiàng)和，，則__________.
9．（2022·湖南永州·二模）已知數(shù)列、滿足，，，則___________.
四、解答題
10．（2022·安徽省宣城中學(xué)高三開學(xué)考試（文））設(shè)首項(xiàng)為2的數(shù)列的前項(xiàng)積為，且.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
11．（2022·內(nèi)蒙古·海拉爾第二中學(xué)高三階段練習(xí)（文））已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，，其中為常數(shù).
(1)證明：；
(2)若為等差數(shù)列，求.
12．（2022·山西運(yùn)城·高三期末（理））已知數(shù)列的前項(xiàng)和，滿足.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
13．（2022·福建三明·高三期末）定義為數(shù)列的“勻稱值”，若數(shù)列的“勻稱值”為.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，的前項(xiàng)和為，求．
14．（2022·廣東五華·一模）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足，且．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求的前n項(xiàng)和．
15．（2022·江西·高三階段練習(xí)（理））已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
16．（2022·四川省南充高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí)（文））已知函數(shù)的圖象過點(diǎn)，且關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.
(1)求的解析式；
(2)若，.
①求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
②若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
17．（2022·廣東·高三階段練習(xí)）已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為2，且，，成等比數(shù)列.數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且.
(1)求與的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
18．（2022·廣東韶關(guān)·一模）在①；②；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下列問題中，并做出解答.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，__________，數(shù)列是等差數(shù)列，.
(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
19．（2022·浙江·慈溪中學(xué)高三階段練習(xí)）已知數(shù)列和，記，分別為和的前項(xiàng)和，為的前項(xiàng)積，且滿足，，.
(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
20．（2022·福建寧德·模擬預(yù)測）在下列條件：
①數(shù)列的任意相鄰兩項(xiàng)均不相等，，且數(shù)列為常數(shù)列；②；③中，任選一個(gè)條件，補(bǔ)充在橫線上，并回答下面問題．
已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，__________，求數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和．
21．（2022·河南·高三開學(xué)考試（文））已知公差不為0的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
22．（2022·河南·溫縣第一高級(jí)中學(xué)高三開學(xué)考試（理））已知等比數(shù)列{an}滿足條件a2+a4＝3（a1+a3），a2n＝3an2，n∈N*，數(shù)列{bn}滿足b1＝1，bn﹣bn﹣1＝2n﹣1（n≥2，n∈N*）
(1)求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；
(2)若數(shù)列{cn}滿足，n∈N*，求{cn}的前n項(xiàng)和Tn.
23．（2022·四川眉山·高三階段練習(xí)（理））設(shè)，有以下三個(gè)條件：
①是2與的等差中項(xiàng)；②，；③為正項(xiàng)等比數(shù)列，，．在這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下列問題的橫線上，再作答（如果選擇多個(gè)條件分別作答，按第一個(gè)解答計(jì)分）．
若數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且 ．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
24．（2022·重慶市育才中學(xué)模擬預(yù)測）已知數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為且滿足=-n.
(1)求{}的通項(xiàng)公式；
(2)證明：
25．（2022·江蘇宿遷·高三期末）已知數(shù)列滿足.
(1)設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前20項(xiàng)和.
26．（2022·浙江上虞·高三期末）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列滿足：，前項(xiàng)和為，且，．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)與前項(xiàng)和；
(2)記，設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，求證．
27．（2022·安徽阜陽·高三期末（理））已知數(shù)列是等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，且.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若，令，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
28．（2022·湖南常德·高三期末）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．
(1)求，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若數(shù)列滿足：，求數(shù)列前20項(xiàng)的和．
29．（2022·陜西·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)高三階段練習(xí)（理））已知數(shù)列滿足.
(1)設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.
30．（2022·江蘇通州·高三期末）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足＝2，2()＝6－.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)的最大值為M，最小值為m，求M－m的值.專題21 數(shù)列求和
方法總結(jié)：
1.等差數(shù)列求和公式：
2.等比數(shù)列求和公式：
3.錯(cuò)位相減法：
特點(diǎn)：等差等比
對(duì)“錯(cuò)位相減法”的深層理解：通項(xiàng)公式的特點(diǎn)在錯(cuò)位相減法的過程中體現(xiàn)了怎樣的作用？通過解題過程我們可以發(fā)現(xiàn)：等比的部分使得每項(xiàng)的次數(shù)逐次遞增，才保證在兩邊同乘公比時(shí)實(shí)現(xiàn)了“錯(cuò)位”的效果。而等差的部分錯(cuò)位部分“相減”后保持系數(shù)一致（其系數(shù)即為等差部分的公差），從而可圈在一起進(jìn)行等比數(shù)列求和。體會(huì)到“錯(cuò)位”與“相減”所需要的條件，則可以讓我們更靈活的使用這一方法進(jìn)行數(shù)列求和
4.裂項(xiàng)相消：
特點(diǎn)：的表達(dá)式能夠拆成形如的形式（），從而在求和時(shí)可以進(jìn)行相鄰項(xiàng)（或相隔幾項(xiàng)）的相消。(5）分類求和：如果通項(xiàng)公式是前幾種可求和形式的和與差，那么在求和時(shí)可將通項(xiàng)公式的項(xiàng)分成這幾部分分別求和后，再將結(jié)果進(jìn)行相加。
例：
可知通項(xiàng)公式為，那么在求和的過程中可拆成3部分：分別求和后再相加
5.分組求和
（1）利用周期性求和：如果一個(gè)數(shù)列的項(xiàng)按某個(gè)周期循環(huán)往復(fù)，則在求和時(shí)可將一個(gè)周期內(nèi)的項(xiàng)歸為一組求和，再統(tǒng)計(jì)前項(xiàng)和中含多少個(gè)周期即可
（2）通項(xiàng)公式為分段函數(shù)（或含有 ，多為奇偶分段。若每段的通項(xiàng)公式均可求和，則可以考慮奇數(shù)項(xiàng)一組，偶數(shù)項(xiàng)一組分別求和，但要注意兩點(diǎn)：一是序數(shù)的間隔（等差等比求和時(shí)會(huì)影響公差公比），二是要對(duì)項(xiàng)數(shù)的奇偶進(jìn)行分類討論（可見典型例題）；若每段的通項(xiàng)公式無法直接求和，則可以考慮相鄰項(xiàng)相加看是否存在規(guī)律，便于求和
6.倒序相加：若數(shù)列中的第項(xiàng)與倒數(shù)第項(xiàng)的和具備規(guī)律，在求和時(shí)可以考慮兩項(xiàng)為一組求和，如果想避免項(xiàng)數(shù)的奇偶討論，可以采取倒序相加的特點(diǎn)，
典型例題：
例1．（2022·山東菏澤·高三期末）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)在與之間插入個(gè)數(shù)，使得包括與在內(nèi)的這個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，設(shè)其公差為，求的前項(xiàng)和.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)題意得到，兩式相減求得，進(jìn)而得到數(shù)列是首項(xiàng)為1公比為3的等比數(shù)列，即可求解；
（2）由題意得到，結(jié)合乘公比錯(cuò)位相加法求和，即可求解.
(1)
解：因?yàn)椋裕?br/>兩式相減可得，所以，
令，可得，所以，
所以數(shù)列是首項(xiàng)為1公比為3的等比數(shù)列，所以.
(2)
解：由題意，可得，所以，
所以，
，
兩式相減可得
所以.
例2．（2022·河南濮陽·高三開學(xué)考試（文））已知在單調(diào)遞增的等差數(shù)列中，，為方程的兩個(gè)實(shí)根．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)令，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）設(shè)的公差為d，首先求出方程的解，即可得到，，即可求出公差，即可得解；
（2）由（1）可得，再利用錯(cuò)位相減法求和即可；
(1)
解：設(shè)的公差為d，由，解得或，
因?yàn)椋瑸榉匠痰膬蓚€(gè)實(shí)根，且單調(diào)遞增，
所以，，所以
所以，解，
所以，
即的通項(xiàng)公式為．
(2)
解：由（1）可得，
所以，
，
兩式相減得
，
所以．
例3．（2022·貴州貴陽·高三期末（文））設(shè)是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，數(shù)列滿足，已知成等差數(shù)列.
(1)求和的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】(1)，
(2)
【解析】
【分析】
(1)根據(jù)等差中項(xiàng)的應(yīng)用可得，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出公比進(jìn)而求出，代入即可；
(2)結(jié)合(1)可得的通項(xiàng)公式，利用錯(cuò)位相減求和法計(jì)算即可得出結(jié)果.
(1)
成等差數(shù)列，
，
是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，設(shè)其公比為，
則，
(2)
由（1）知，
①
②
①-②得，，
例4．（2022·福建福州·高三期末）設(shè)數(shù)列是首項(xiàng)為1的等差數(shù)列，若是，的等比中項(xiàng)，且.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)的和.
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
(1)根據(jù)給定條件求出數(shù)列的公差即可求解作答.
(2)由(1)結(jié)合裂項(xiàng)相消法計(jì)算求出作答.
(1)
設(shè)等差數(shù)列的公差為，由是，的等比中項(xiàng)得，即，
因，則，解得，，
所以的通項(xiàng)公式是：.
(2)
由(1)知，，
則，
所以數(shù)列的前n項(xiàng)的和.
例5．（2022·重慶巴蜀中學(xué)高三階段練習(xí)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且組成等差數(shù)列．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，且數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證：．
【答案】(1)；
(2)證明見解析.
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)已知條件，利用的關(guān)系，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可求得結(jié)果；
（2）根據(jù)（1）中所求，結(jié)合裂項(xiàng)求和法，求得關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，再求其值域即可證明.
(1)
∵組成等差數(shù)列，∴，當(dāng)時(shí)可得
∴，即，又當(dāng)時(shí)，，解得，
故數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，則.
(2)
由（1）可知，故
則
∵ 故，
故，即證.
例6．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知公差不為零的等差數(shù)列中，，又成等比數(shù)列．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè) ，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用已知條件和等比中項(xiàng)，求出數(shù)列的首項(xiàng)和公差，即可求出通項(xiàng)公式；
（2）利用裂項(xiàng)相消法即可求出結(jié)果.
(1)
解：公差不為零的等差數(shù)列中，，又成等比數(shù)列，
所以，即，
解得，
則；
(2)
解：由（1）可知，，
可得數(shù)列的前項(xiàng)和
.
例7．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知為等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為，是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列，且公比大于0，，，.
(1)求和的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
【答案】(1)，
(2)
【解析】
【分析】
（1）由等差等比的通項(xiàng)公式列出方程，求解得出通項(xiàng)公式；
（2）先得出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再由錯(cuò)位相減法求和即可.
(1)
設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為.
由已知，得，而，所以
又，解得，所以
由，可得①
由，可得②
聯(lián)立①②，解得，由此可得
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為，數(shù)列的通項(xiàng)公式為
(2)
解：設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，
由，有，
故
上述兩式相減，得
得.
所以，數(shù)列的前項(xiàng)和為.
例8．（2022·江西九江·一模（文））已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，數(shù)列的前n項(xiàng)和為.
(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列；
(2)求.
【答案】(1)證明見解析；
(2).
【解析】
【分析】
（1）利用，即證數(shù)列為等比數(shù)列.
（2）先求得，然后求得，利用分組求和法即得.
(1)
當(dāng)時(shí)，，，
當(dāng)時(shí)，，①
，②
①－②得，即.
又，
∴是首項(xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列.
(2)
由（1）知，，
∵，
∴，
∴
.
過關(guān)練習(xí)：
一、單選題
1．（2022·黑龍江·鐵力市第一中學(xué)校高三開學(xué)考試（文））已知數(shù)列滿足，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)題意所求和為，然后變形為，進(jìn)而通過平方差公式化簡，最后結(jié)合等差數(shù)列求和公式求出答案.
【詳解】
.
故選：A.
2．（2022·四川·威遠(yuǎn)中學(xué)校高三階段練習(xí)（文））已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn=n2，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn，n∈N*.則T20的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)與的關(guān)系求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再利用裂項(xiàng)相消法即可得出答案.
【詳解】
解：當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，等式也成立，
所以，
所以，
所以，
所以.
故選：C.
3．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理）（文））定義為n個(gè)正數(shù)u1，u2，u3，…，un的“快樂數(shù)”.若已知正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的“快樂數(shù)”為，則數(shù)列的前2 022項(xiàng)和為（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根據(jù)題意，求得，再求，結(jié)合裂項(xiàng)求和法即可求得結(jié)果.
【詳解】
設(shè)正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為，則，解得Sn＝3n2＋n，
故an＝Sn－Sn－1＝6n－2（n≥2），且a1＝4，則an＝6n－2
∴＝＝－.
則的前2 022項(xiàng)和為＋＋…＋＝.
故選：.
二、填空題
4．（2022·黑龍江·哈九中高三開學(xué)考試（文））數(shù)列中，，且，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則______.
【答案】
【解析】
【分析】
先利用構(gòu)造數(shù)列法求解數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后利用分組求和法求解前n項(xiàng)和.
【詳解】
因?yàn)椋O(shè)存在實(shí)數(shù)，使得，
解得，所以數(shù)列是公比為，首項(xiàng)為的等比數(shù)列，
所以，得，
所以.
故答案為：
【點(diǎn)睛】
數(shù)列求和的方法技巧
(1)倒序相加：用于等差數(shù)列、與二項(xiàng)式系數(shù)、對(duì)稱性相關(guān)聯(lián)的數(shù)列的求和．
(2)錯(cuò)位相減：用于等差數(shù)列與等比數(shù)列的積數(shù)列的求和．
(3)分組求和：用于若干個(gè)等差或等比數(shù)列的和或差數(shù)列的求和．
5．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列、，，，其前項(xiàng)和分別為，，記最接近的整數(shù)為，則______．
【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)給定條件利用裂項(xiàng)相消法求出，探討值的范圍，確定的表達(dá)式即可計(jì)算作答.
【詳解】
依題意，，
則
，
即有，從而有，因此，，
若，則，若，則，，
所以.
故答案為：2550
【點(diǎn)睛】
思路點(diǎn)睛：裂項(xiàng)法求和，要注意正負(fù)項(xiàng)相消時(shí)消去了哪些項(xiàng)，保留了哪些項(xiàng)，切不可漏寫未被消去的項(xiàng)，
未被消去的項(xiàng)有前后對(duì)稱的特點(diǎn)，實(shí)質(zhì)上造成正負(fù)相消是此法的根源與目的.
6．（2022·吉林·長春十一高高三階段練習(xí)（理））數(shù)列已知數(shù)列滿足：，（）.正項(xiàng)數(shù)列滿足：對(duì)于每個(gè)，，且，，成等比數(shù)列，則的前n項(xiàng)和為_____．
【答案】##
【解析】
【分析】
要從數(shù)列代數(shù)式的代數(shù)結(jié)構(gòu)觀察，，可以用累乘法；有了以后，再分析的代數(shù)結(jié)構(gòu).
【詳解】
∵，∴，用累乘法：
，
，；
由題意：，，
由于是正數(shù)，所以，
，用裂項(xiàng)相消法：
=，
故答案為：.
7．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））數(shù)列的通項(xiàng)公式為，前項(xiàng)和為，則＝________.
【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)題設(shè)中的通項(xiàng)公式，列舉出數(shù)列的前幾項(xiàng)，找出規(guī)律，然后根據(jù)規(guī)律求和.
【詳解】
解： ，，，，
又的周期為，
故答案為：
8．（2022·浙江·模擬預(yù)測）數(shù)列的通項(xiàng)公式為，其中表示不超過x的最大整數(shù)，則的前32項(xiàng)和為__________．
【答案】631
【解析】
【分析】
由，分析的不同取值對(duì)應(yīng)的的取值情況，分組求和即得解
【詳解】
由題意，
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
故的前32項(xiàng)和為：
故答案為：631
9．（2022·福建福州·高三期末）函數(shù)稱為高斯函數(shù)，表示不超過，x的最大整數(shù)，如，.已知數(shù)列滿足，且，若，則數(shù)列的2022項(xiàng)和為___________.
【答案】4959
【解析】
【分析】
根據(jù)遞推關(guān)系求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再分類討論求出，即可求和.
【詳解】
，
，
當(dāng)時(shí)，時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，時(shí)，；
所以
故答案為：4959
三、解答題
10．（2022·四川·模擬預(yù)測（理））給出以下條件：①成等比數(shù)列；②成等比數(shù)列；③.從中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線上，再解答.已知遞增等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，______________.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，求數(shù)列的前n項(xiàng)的和.
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
(1)由已知條件可知，求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，就是求公差；列方程求解的過程中注意是遞增數(shù)列，即即可；
（2）等差乘等比的數(shù)列求和就是要用錯(cuò)位相減法.
(1)
設(shè)遞增等差數(shù)列的公差為，
若選條件①，由，
有，
化簡得.
解得或（舍去）
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.
若選條件②，由，
有，
化簡得.
解得或（舍去）
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.
若選擇條件③，由，有，
兩式相減得：，
因?yàn)椋裕剩?br/>所以，即，
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為；
(2)
由是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以，
由（1）知，所以，
所以，
兩邊同乘以2得：，
以上兩式相減得：，
即，
所以，
故答案為：2n，.
11．（2022·四川成都·高三階段練習(xí)（理））已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為
(1)求數(shù)列的前項(xiàng)和；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等差數(shù)列求和進(jìn)行求解.
（2）根據(jù)錯(cuò)位相減法進(jìn)行數(shù)列求和.
(1)
解：由題意得：
，則為等差數(shù)列，首項(xiàng)．
∴．
(2)
∴①
∴②
①-②得，
∴
．
12．（2022·四川·眉山市彭山區(qū)第一中學(xué)模擬預(yù)測（文））已知數(shù)列滿足，．
(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；
(2)令，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）由題意可得，左右同取倒數(shù)，整理可得，根據(jù)等差數(shù)列的定義，即可得證.
（2）由（1）可得，代入可得，根據(jù)裂項(xiàng)相消求和法，即可得答案.
(1)
證明：由已知，得，
所以，
所以，
所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列．
(2)
由（1）可得，，則，
所以，
所以．
13．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，的前項(xiàng)和，，．
(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；
(2)記，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【答案】(1)，
(2)
【解析】
【分析】
（1）由的前項(xiàng)和即可求出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，由和即可求出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式.
（2）利用錯(cuò)位相減法即可求得數(shù)列的前項(xiàng)和.
(1)
設(shè)的公差為，的公比為，
由已知可得，，則，
即．
∵，∴，
又∵，
∴，解得，即．
(2)
由（1）知，
令①，
①式兩邊同乘得：②，
錯(cuò)位相減得
則．
14．（2022·全國·高三階段練習(xí)（理））已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式以及前n項(xiàng)和；
(2)若，求數(shù)列的前2n－1項(xiàng)和.
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）利用等差數(shù)列的性質(zhì)及基本量運(yùn)算即得；
（2）利用分組求和法及裂項(xiàng)相消法即得.
(1)
依題意，，則，
故，
解得d＝2，
∴，
故，
.
(2)
依題意，得，
故，
故
15．（2022·安徽省宣城中學(xué)高三開學(xué)考試（文））設(shè)首項(xiàng)為2的數(shù)列的前項(xiàng)積為，且.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由遞推關(guān)系可得，再由累乘法求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）根據(jù)裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和即可.
(1)
∵，
∴，即，
由累乘法得，
，
當(dāng)時(shí)，也滿足上式，
∴.
(2)
由（1）知，，
∴，
則
16．（2022·湖北·高三開學(xué)考試）已知在數(shù)列中，.
(1)求數(shù)列的前項(xiàng)和；
(2)設(shè)，求數(shù)列的項(xiàng)的和.
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）由題可得，進(jìn)而即求；
（2）由題可得，然后利用等比數(shù)列求和公式即得.
(1)
∵，
∴
，
即.
(2)
∵，，
∴，,
∴是首項(xiàng)為32，公比為16的等比數(shù)列，
所以，.
17．（2022·黑龍江·鐵力市第一中學(xué)校高三開學(xué)考試（理））已知公差不為0的等差數(shù)列中，，，，成等比數(shù)列．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）由，，構(gòu)成等比數(shù)列得到之間的關(guān)系，再將化簡成間的式子，進(jìn)而解出，然后求出答案；
（2）結(jié)合（1），然后通過分組求和的方法解得答案即可.
(1)
設(shè)等差數(shù)列的公差為d，因?yàn)椋瑯?gòu)成等比數(shù)列，所以，即，化簡得，因?yàn)椋裕?br/>又，所以，聯(lián)立方程組解得，，所以．
(2)
由（1）可得，，所以數(shù)列的前n項(xiàng)和．
18．（2022·湖北武漢·高三階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且對(duì)任意的有.
(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）令可求得的值，令，由可得，兩式作差可得出，結(jié)合等比數(shù)列的定義可證得結(jié)論成立；
（2）求得，利用分組求和法可求得.
(1)
證明：當(dāng)時(shí)，，則；.
當(dāng)時(shí)，由可得.
兩式相減得，即，.
因?yàn)椋瑒t，，以此類推可知，對(duì)任意的，，
所以，數(shù)列構(gòu)成首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.
(2)
解：由（1），故，則.
所以，
.
19．（2022·全國·高三階段練習(xí)（文））已知數(shù)列是等差數(shù)列，，數(shù)列是等比數(shù)列，，公比，且，.
(1)求，的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，，求證：.
【答案】(1) ，
(2)證明見解析
【解析】
【分析】
（1）由題意列出方程求出公差、公比即可得出數(shù)列通項(xiàng)；
（2）先對(duì)化簡后放縮，再由裂項(xiàng)相消法求和，即可得證.
(1)
由題意，數(shù)列是等差數(shù)列，，
數(shù)列是等比數(shù)列，，公比，
設(shè)的公差為，由可得，
或
，
，
可得：,
.
(2)
且
故不等式得證.
20．（2022·廣東中山·高三期末）已知數(shù)列滿足，且數(shù)列是等差數(shù)列.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式：
(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若且，求集合A中所有元素的和.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
(1)根據(jù)求出和，根據(jù)等差數(shù)列定義即可求出，從而求出通項(xiàng)公式；
(2)分n為奇數(shù)和偶數(shù)時(shí)討論數(shù)列的前項(xiàng)和為，由即可求出A.
(1)
由，故，
可得，，
又∵，，
∴，，
∵數(shù)列是等差數(shù)列，
∴數(shù)列的公差，
∴，
∴；
(2)
由(1)得，，
∴，
可得，
∴為奇數(shù)時(shí)，故1，3，5，...109都是集合A中的元素，
又，
∴為偶數(shù)時(shí)，
由得，∴2，4，6，8，10，是集合A中的元素，
∴.
21．（2022·吉林·長春十一高高三階段練習(xí)（理））已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，，，成等比數(shù)列，．
(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；
(2)求及數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(3)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和
【答案】(1)證明見解析
(2)；
(3)
【解析】
【分析】
（1）由題意得，兩邊取對(duì)數(shù)可得，即可證明；
（2）由（1）知，所以，即可求解；
（3）由可化為，由裂項(xiàng)相消求和法得出，結(jié)合（2）即可求證明．
(1)
因?yàn)椋傻缺葦?shù)列，所以，
所以因?yàn)椋裕?br/>將式兩邊取對(duì)數(shù)，得，即，
所以，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列
(2)
由（1）知，所以，所以
所以
(3)
因?yàn)椋储伲?br/>又因?yàn)椋裕储冢?br/>①式代入②式消去，可得
所以
因?yàn)椋瑒t，所以
22．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））已知數(shù)列{an}和{bn}，a1＝2，，，
(1)證明：是等比數(shù)列；
(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）由，得，，變形可得，從而可證得是等比數(shù)列；
（2）由（1）求出，代入中可得數(shù)列的通項(xiàng)，然后利用裂項(xiàng)求和的方法可得結(jié)果.
(1)
解：∵，，
∴，，
又，，解得，，
∴是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.
(2)
解：由（1）知，則，
∴，
∴
.
23．（2022·江西上饒·高三階段練習(xí)（理））已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為（b為常數(shù)）．
(1)求b的值和數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)記為在區(qū)間中的項(xiàng)的個(gè)數(shù)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
【答案】(1)；
(2)
【解析】
【分析】
（1）依題意等比數(shù)列的公比不為1，再根據(jù)等比數(shù)列前項(xiàng)和公式得到，即可得到且，從而求出、，即可得解；
（2）首先令，，即可求出的取值范圍，從而求出，即可得到，再利用錯(cuò)位相減法求和即可；
(1)
解：由題設(shè)，顯然等比數(shù)列的公比不為1，
若的首項(xiàng)、公比分別為、，則，
∴且，所以，
故的通項(xiàng)公式為．
當(dāng)時(shí)，；
(2)
解：令，，解得，所以
數(shù)列在中的項(xiàng)的個(gè)數(shù)為，則，所以，
∵，①
∵②
兩式相減得∴．
∴
24．（2022·廣東高州·二模）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．
(1)求證：數(shù)列為等差數(shù)列；
(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用可得，轉(zhuǎn)化為可得答案；
（2）求得，利用錯(cuò)位相減可得答案.
(1)
由可得，
由得，
所以，即，
所以，，
所以數(shù)列是公差為1，首項(xiàng)為1的等差數(shù)列.
(2)
由（1），得，
所以，
，兩式相減得
，
所以.
25．（2022·河南濮陽·高三開學(xué)考試（理））已知數(shù)列的首項(xiàng)，數(shù)列是等差數(shù)列，且，．
(1)求的通項(xiàng)公式．
(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，證明：．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【解析】
【分析】
（1）首先求等差數(shù)列的基本量，首項(xiàng)和公差，求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，再根據(jù)，即可求得的通項(xiàng)公式；
（2）由（1）可知，利用裂項(xiàng)相消法求和，即可求得，并證明不等式.
(1)
令，得，再由，得
設(shè)的公差為d，由，得，解得．
所以，
因?yàn)椋茫?br/>所以．
(2)
由（1）得，則，
故，所以成立．
26．（2022·黑龍江·雙鴨山一中高三期末（理））已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，給出以下三個(gè)命題：
①；②是等差數(shù)列；③
(1)從三個(gè)命題中選取兩個(gè)作為條件，另外一個(gè)作為結(jié)論，并進(jìn)行證明；
(2)利用（1）中的條件，證明數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】(1)證明見解析；
(2)證明見解析.
【解析】
【分析】
（1）由①②作為條件，求出等差數(shù)列的通項(xiàng)公及前項(xiàng)和，即可求證③成立；
由①③作為條件，根據(jù)，得出
及聯(lián)立，即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，根據(jù)等差數(shù)列定義即可證明②成立.
由②③作為條件，設(shè)等差數(shù)列的公差，用表示等差數(shù)列通項(xiàng)公及前項(xiàng)和，代入
，求出等差數(shù)列的公差，進(jìn)而求出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可證明①成立；
（2）由（1）求出等差數(shù)列通項(xiàng)公，進(jìn)而求出數(shù)列 的通項(xiàng)公式，再利用裂項(xiàng)相消求出進(jìn)行放縮
證明即可.
(1)
（1）將①②作為條件，③作為結(jié)論；
設(shè)等差數(shù)列的公差為，則由得，，解得，
因?yàn)椋缘炔顢?shù)列的通項(xiàng)公式為.所以，
所以，
又因?yàn)椋?br/>所以，即證；所以③成立；
將①③作為條件，②作為結(jié)論；
由及，得，
聯(lián)立，解得，所以，
所以，
所以數(shù)列是以首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列. 所以②成立；
將②③作為條件，①作為結(jié)論；
設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，，
由，得，
解得，所以等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為.
所以，即證，所以①成立；
(2)
由（1）知，，
所以，
因?yàn)閿?shù)列的前項(xiàng)和為，
所以
，
當(dāng)時(shí)，，，
所以，
即證數(shù)列的前項(xiàng)和.
27．（2022·山東濰坊·高三期末）已知公差不為0的等差數(shù)列，，．記，其中[x]表示不超過x的最大整數(shù)，如[0.7]=0，[1.9]=1．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列前101項(xiàng)和．
【答案】(1)
(2)192
【解析】
【分析】
（1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式基本量計(jì)算出首項(xiàng)和公差，求出通項(xiàng)公式；
（2）解不等式得到，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，從而求出前101項(xiàng)和.
(1)
設(shè)等差數(shù)列公差為d，，
又，故 ，即，
所以，解得：或0（舍去），求得：，
數(shù)列的通項(xiàng)公式為；
(2)
，令得：，
令，解得：，令，解得：，
當(dāng)時(shí)，
故
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
設(shè)的前n項(xiàng)和為，所以.
28．（2022·山西運(yùn)城·高三期末（理））已知數(shù)列的前項(xiàng)和，滿足.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由，代入計(jì)算可得，由代入得到，從而證明數(shù)列是等比數(shù)列，求出通項(xiàng)公式；
（2）由余弦的周期性可知，代入通項(xiàng)公式可得，計(jì)算可求出前項(xiàng)和.
(1)
，算得
當(dāng)時(shí)，；得到，
所以數(shù)列是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，由，得到
(2)
由，得到.
則，
.
29．（2022·陜西武功·二模（文））已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式列方程組，求解，即可得通項(xiàng)公式；（2）利用錯(cuò)位相減法代入計(jì)算的前項(xiàng)和.
(1)
因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，設(shè)等差數(shù)列的公差為，
所以，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為；
(2)
由（1）得，∴，
.∴.∴
30．（2022·浙江·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的首項(xiàng)為正數(shù)，其前項(xiàng)和滿足．
(1)求實(shí)數(shù)的值，使得是等比數(shù)列；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
由題可知，數(shù)列的代數(shù)表達(dá)式是很復(fù)雜的，需要進(jìn)行恒等變換；
（1）當(dāng)和同時(shí)出現(xiàn)在代數(shù)表達(dá)式中的時(shí)候，往往需要利用，把轉(zhuǎn)換成，但是本題是要證明為等比數(shù)列，所以要把轉(zhuǎn)換成，再利用等比數(shù)列的定義即可證明；
（2）依題意很顯然應(yīng)該是裂項(xiàng)相消求和.
(1)
當(dāng)時(shí)，，，解得；
當(dāng)時(shí)，把代入題設(shè)條件得:
，即，
很顯然是首項(xiàng)為8+1=9，公比為9的等比數(shù)列，
∴；
(2)
由（1）知是首項(xiàng)為，公比的等比數(shù)列，
所以，．
故數(shù)列的前項(xiàng)和為：
.專題21 數(shù)列求和
方法總結(jié)：
1.等差數(shù)列求和公式：
2.等比數(shù)列求和公式：
3.錯(cuò)位相減法：
特點(diǎn)：等差等比
對(duì)“錯(cuò)位相減法”的深層理解：通項(xiàng)公式的特點(diǎn)在錯(cuò)位相減法的過程中體現(xiàn)了怎樣的作用？通過解題過程我們可以發(fā)現(xiàn)：等比的部分使得每項(xiàng)的次數(shù)逐次遞增，才保證在兩邊同乘公比時(shí)實(shí)現(xiàn)了“錯(cuò)位”的效果。而等差的部分錯(cuò)位部分“相減”后保持系數(shù)一致（其系數(shù)即為等差部分的公差），從而可圈在一起進(jìn)行等比數(shù)列求和。體會(huì)到“錯(cuò)位”與“相減”所需要的條件，則可以讓我們更靈活的使用這一方法進(jìn)行數(shù)列求和
4.裂項(xiàng)相消：
特點(diǎn)：的表達(dá)式能夠拆成形如的形式（），從而在求和時(shí)可以進(jìn)行相鄰項(xiàng)（或相隔幾項(xiàng)）的相消。(5）分類求和：如果通項(xiàng)公式是前幾種可求和形式的和與差，那么在求和時(shí)可將通項(xiàng)公式的項(xiàng)分成這幾部分分別求和后，再將結(jié)果進(jìn)行相加。
例：
可知通項(xiàng)公式為，那么在求和的過程中可拆成3部分：分別求和后再相加
5.分組求和
（1）利用周期性求和：如果一個(gè)數(shù)列的項(xiàng)按某個(gè)周期循環(huán)往復(fù)，則在求和時(shí)可將一個(gè)周期內(nèi)的項(xiàng)歸為一組求和，再統(tǒng)計(jì)前項(xiàng)和中含多少個(gè)周期即可
（2）通項(xiàng)公式為分段函數(shù)（或含有 ，多為奇偶分段。若每段的通項(xiàng)公式均可求和，則可以考慮奇數(shù)項(xiàng)一組，偶數(shù)項(xiàng)一組分別求和，但要注意兩點(diǎn)：一是序數(shù)的間隔（等差等比求和時(shí)會(huì)影響公差公比），二是要對(duì)項(xiàng)數(shù)的奇偶進(jìn)行分類討論（可見典型例題）；若每段的通項(xiàng)公式無法直接求和，則可以考慮相鄰項(xiàng)相加看是否存在規(guī)律，便于求和
6.倒序相加：若數(shù)列中的第項(xiàng)與倒數(shù)第項(xiàng)的和具備規(guī)律，在求和時(shí)可以考慮兩項(xiàng)為一組求和，如果想避免項(xiàng)數(shù)的奇偶討論，可以采取倒序相加的特點(diǎn)，
典型例題：
例1．（2022·山東菏澤·高三期末）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)在與之間插入個(gè)數(shù)，使得包括與在內(nèi)的這個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，設(shè)其公差為，求的前項(xiàng)和.
例2．（2022·河南濮陽·高三開學(xué)考試（文））已知在單調(diào)遞增的等差數(shù)列中，，為方程的兩個(gè)實(shí)根．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)令，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
例3．（2022·貴州貴陽·高三期末（文））設(shè)是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，數(shù)列滿足，已知成等差數(shù)列.
(1)求和的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.
例4．（2022·福建福州·高三期末）設(shè)數(shù)列是首項(xiàng)為1的等差數(shù)列，若是，的等比中項(xiàng)，且.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)的和.
例5．（2022·重慶巴蜀中學(xué)高三階段練習(xí)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且組成等差數(shù)列．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，且數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證：．
例6．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知公差不為零的等差數(shù)列中，，又成等比數(shù)列．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè) ，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
例7．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知為等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為，是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列，且公比大于0，，，.
(1)求和的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
例8．（2022·江西九江·一模（文））已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，數(shù)列的前n項(xiàng)和為.
(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列；
(2)求.
過關(guān)練習(xí)：
一、單選題
1．（2022·黑龍江·鐵力市第一中學(xué)校高三開學(xué)考試（文））已知數(shù)列滿足，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·四川·威遠(yuǎn)中學(xué)校高三階段練習(xí)（文））已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn=n2，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn，n∈N*.則T20的值為（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理）（文））定義為n個(gè)正數(shù)u1，u2，u3，…，un的“快樂數(shù)”.若已知正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的“快樂數(shù)”為，則數(shù)列的前2 022項(xiàng)和為（　　）
A． B． C． D．
二、填空題
4．（2022·黑龍江·哈九中高三開學(xué)考試（文））數(shù)列中，，且，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則______.
5．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列、，，，其前項(xiàng)和分別為，，記最接近的整數(shù)為，則______．
6．（2022·吉林·長春十一高高三階段練習(xí)（理））數(shù)列已知數(shù)列滿足：，（）.正項(xiàng)數(shù)列滿足：對(duì)于每個(gè)，，且，，成等比數(shù)列，則的前n項(xiàng)和為_____．
7．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））數(shù)列的通項(xiàng)公式為，前項(xiàng)和為，則＝________.
8．（2022·浙江·模擬預(yù)測）數(shù)列的通項(xiàng)公式為，其中表示不超過x的最大整數(shù)，則的前32項(xiàng)和為__________．
9．（2022·福建福州·高三期末）函數(shù)稱為高斯函數(shù)，表示不超過，x的最大整數(shù)，如，.已知數(shù)列滿足，且，若，則數(shù)列的2022項(xiàng)和為___________.
三、解答題
10．（2022·四川·模擬預(yù)測（理））給出以下條件：①成等比數(shù)列；②成等比數(shù)列；③.從中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線上，再解答.已知遞增等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，______________.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，求數(shù)列的前n項(xiàng)的和.
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.
11．（2022·四川成都·高三階段練習(xí)（理））已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為
(1)求數(shù)列的前項(xiàng)和；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
12．（2022·四川·眉山市彭山區(qū)第一中學(xué)模擬預(yù)測（文））已知數(shù)列滿足，．
(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；
(2)令，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
13．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，的前項(xiàng)和，，．
(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；
(2)記，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
14．（2022·全國·高三階段練習(xí)（理））已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式以及前n項(xiàng)和；
(2)若，求數(shù)列的前2n－1項(xiàng)和.
15．（2022·安徽省宣城中學(xué)高三開學(xué)考試（文））設(shè)首項(xiàng)為2的數(shù)列的前項(xiàng)積為，且.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
16．（2022·湖北·高三開學(xué)考試）已知在數(shù)列中，.
(1)求數(shù)列的前項(xiàng)和；
(2)設(shè)，求數(shù)列的項(xiàng)的和.
17．（2022·黑龍江·鐵力市第一中學(xué)校高三開學(xué)考試（理））已知公差不為0的等差數(shù)列中，，，，成等比數(shù)列．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
18．（2022·湖北武漢·高三階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且對(duì)任意的有.
(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.
19．（2022·全國·高三階段練習(xí)（文））已知數(shù)列是等差數(shù)列，，數(shù)列是等比數(shù)列，，公比，且，.
(1)求，的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，，求證：.
20．（2022·廣東中山·高三期末）已知數(shù)列滿足，且數(shù)列是等差數(shù)列.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式：
(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若且，求集合A中所有元素的和.
21．（2022·吉林·長春十一高高三階段練習(xí)（理））已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，，，成等比數(shù)列，．
(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；
(2)求及數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(3)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和
22．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））已知數(shù)列{an}和{bn}，a1＝2，，，
(1)證明：是等比數(shù)列；
(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn.
23．（2022·江西上饒·高三階段練習(xí)（理））已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為（b為常數(shù)）．
(1)求b的值和數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)記為在區(qū)間中的項(xiàng)的個(gè)數(shù)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
24．（2022·廣東高州·二模）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．
(1)求證：數(shù)列為等差數(shù)列；
(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
25．（2022·河南濮陽·高三開學(xué)考試（理））已知數(shù)列的首項(xiàng)，數(shù)列是等差數(shù)列，且，．
(1)求的通項(xiàng)公式．
(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，證明：．
26．（2022·黑龍江·雙鴨山一中高三期末（理））已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，給出以下三個(gè)命題：
①；②是等差數(shù)列；③
(1)從三個(gè)命題中選取兩個(gè)作為條件，另外一個(gè)作為結(jié)論，并進(jìn)行證明；
(2)利用（1）中的條件，證明數(shù)列的前項(xiàng)和.
27．（2022·山東濰坊·高三期末）已知公差不為0的等差數(shù)列，，．記，其中[x]表示不超過x的最大整數(shù)，如[0.7]=0，[1.9]=1．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列前101項(xiàng)和．
28．（2022·山西運(yùn)城·高三期末（理））已知數(shù)列的前項(xiàng)和，滿足.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
29．（2022·陜西武功·二模（文））已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
30．（2022·浙江·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的首項(xiàng)為正數(shù)，其前項(xiàng)和滿足．
(1)求實(shí)數(shù)的值，使得是等比數(shù)列；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．第22講 數(shù)列中的范圍與最值問題
方法總結(jié)：
1、在數(shù)列中涉及到的不等關(guān)系通常與數(shù)列的最值有關(guān)，而要求的數(shù)列中的最值項(xiàng)，要依靠數(shù)列的單調(diào)性，所以判斷數(shù)列的單調(diào)性往往是此類問題的入手點(diǎn)，判斷數(shù)列的單調(diào)性的方法：
（1）函數(shù)角度：從通項(xiàng)公式入手，將其視為關(guān)于的函數(shù)，然后通過函數(shù)的單調(diào)性來判斷數(shù)列的單調(diào)性。由于 ，所以如果需要用到導(dǎo)數(shù)，首先要構(gòu)造一個(gè)與通項(xiàng)公式形式相同，但定義域?yàn)?的函數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)性后再結(jié)合得到數(shù)列的單調(diào)性
（2）相鄰項(xiàng)比較：在通項(xiàng)公式不便于直接分析單調(diào)性時(shí)，可考慮進(jìn)行相鄰項(xiàng)的比較得出數(shù)列的單調(diào)性，通常的手段就是作差（與0比較，從而轉(zhuǎn)化為判斷符號(hào)問題）或作商（與1比較，但要求是正項(xiàng)數(shù)列）
典型例題：
例1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，若對(duì)任意的，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__．
【答案】，，
【解析】
【分析】
根據(jù)題意求出等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差，寫出前項(xiàng)和公式，求出的最小值，再求關(guān)于的不等式的解集．
【詳解】
解：設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，
由題意得，
解得，
又，
所以當(dāng)或5時(shí)，取得最小值，最小值為，
所以取得最大值，最大值為10，
由任意的恒成立，
所以，
解得或，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是，，．
故答案為：，，．
例2．（2022·江蘇南通·一模）設(shè)是等比數(shù)列的前項(xiàng)和，，且、、成等差數(shù)列.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)求使成立的的最大值.
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）求出等比數(shù)列的公比，然后利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可求得；
（2）利用等比數(shù)列的求和公式以及已知條件可得出關(guān)于的不等式，解之即可得解.
(1)
解：設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，
由，
故.
(2)
解：，則，
整理得，
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，不合乎題意；
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，則，可得，可得.
因此，的最大值為.
例3．（2022·浙江溫州·高三開學(xué)考試）已知數(shù)列和滿足，，.
(1)求與；
(2)設(shè)的前n項(xiàng)和為，若不等式，對(duì)一切都成立，求實(shí)數(shù)的最小值.
【答案】(1)，；
(2).
【解析】
【分析】
(1)根據(jù)給定條件利用累加法，結(jié)合等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式計(jì)算得，再借助前n項(xiàng)和第n項(xiàng)的關(guān)系推理計(jì)算作答.
(2)由(1)求出，變形給定不等式，再分奇偶討論計(jì)算作答.
(1)
依題意，當(dāng)時(shí)，，則
，
而滿足上式，故有；
，，當(dāng)時(shí)，，
兩式相減得：，則，而，滿足上式，即有，
所以，.
(2)
由(1)知，，
兩邊同乘-2得：，
兩式相減得：，
，由得：，
依題意，對(duì)一切，都成立，
當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，，而數(shù)列是遞增數(shù)列，當(dāng)時(shí)，，則，
當(dāng)n為正偶數(shù)時(shí)，，解得，因此，，
所以實(shí)數(shù)的最小值.
例4．（2022·江西景德鎮(zhèn)·模擬預(yù)測（理））已知數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，，且成等比數(shù)列.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求使得恒成立的m的最小值.
【答案】(1)；
(2)2.
【解析】
【分析】
(1)設(shè)等差數(shù)列公差d，由已知條件求出公差d即可得其通項(xiàng)公式；
(2)采用裂項(xiàng)相消的方法求得，求出的最大值即可.
(1)
在等差數(shù)列中，設(shè)公差為，則，
由已知得，解得，
.
(2)
由(1)知，，
則，
∴，
，∴要使恒成立，只需，解得，
∴的最小值為2.
例5．（2022·河南南樂·高三階段練習(xí)（文））已知是等差數(shù)列，滿足，，數(shù)列滿足．
(1)求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，令，求的最小值．
【答案】(1)，；
(2).
【解析】
【分析】
(1)設(shè)出等差數(shù)列的公差，根據(jù)給定條件列出方程求解作答.
(2)由(1)的結(jié)論求出，利用裂項(xiàng)相消法求出，再借助均值不等式計(jì)算作答.
(1)
設(shè)等差數(shù)列的公差為，依題意，，解得，
于是得，，
所以數(shù)列、的通項(xiàng)公式分別為：，.
(2)
由(1)知，，
因此，，
則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
所以的最小值為81.
例6．（2022·浙江·鎮(zhèn)海中學(xué)高三期末）已知公差不為0的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為， 且
(1)求數(shù)列的前項(xiàng)和；
(2)在數(shù)列中， ， 且 若對(duì)任意的正整數(shù)， 不等式 恒成立， 求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題設(shè)求得與，即可求得其通項(xiàng)公式；
（2）根據(jù)，可得，兩式作差，在根據(jù)題意，可證明數(shù)列為等比數(shù)列，進(jìn)而求得，再根據(jù)，可得，對(duì)，，三種情況進(jìn)行分類討論，解決恒成立問題，即可求出結(jié)果.
(1)
解：等差數(shù)列的公差為，
由，得
解得，
所以；
(2)
解：由，得，
相減得，即．
又，，得，
故對(duì)任意成立，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列；
所以；
將代入，得，
即有對(duì)任意恒成立．
（ⅰ）當(dāng)時(shí)，成立，所以符合題意-
（ⅱ）當(dāng)時(shí)，由恒成立，即
易知當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故．
所以，且，可解得；
（ⅲ）當(dāng)時(shí)，由恒成立，即
由，
可知當(dāng)時(shí)，，即；
當(dāng)且時(shí)，，即，
又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以．
所以．
即且，得，解得；
綜上，
例7．（2022·浙江·溫州中學(xué)高三期末）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列滿足，
(1)求數(shù)列與的通項(xiàng)公式；
(2)若，對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)，
(2)
【解析】
【分析】
（1）首先由與的關(guān)系求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，再以累加法求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）以裂項(xiàng)相消法對(duì)求和，并求得其最小值即可解決.
(1)
數(shù)列中，，由，得，
時(shí)，，則
則，故數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列.則
由，得，
故.
(2)
由，可得
，
則，
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為奇數(shù)時(shí).
故實(shí)數(shù)的取值范圍為.
例8．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)；
(2)設(shè)數(shù)列滿足，記的前項(xiàng)和為．
①求；
②若對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)；
(2)①；②.
【解析】
【分析】
(1)根據(jù)給定的遞推公式結(jié)合“當(dāng)時(shí)，”探求數(shù)列的任意相鄰兩項(xiàng)的關(guān)系計(jì)算作答.
(2)①由(1)及已知求出，再用錯(cuò)位相減法計(jì)算得解；②根據(jù)給定不等式，分類分離參數(shù)，探討數(shù)列單調(diào)性即可求解作答.
(1)
數(shù)列的前項(xiàng)和為，，
，，當(dāng)時(shí)，，兩式相減得：，即，
當(dāng)時(shí)，，，即，有，
因此，，，且，
于是得是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，則有，
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是.
(2)
①由(1)及，得，
則，
于是得，
兩式相減得：
，
所以
②由，得恒成立，即恒成立，
當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，即，
當(dāng)時(shí)，恒有，此時(shí)，數(shù)列是遞增的，當(dāng)時(shí)，，則有，
當(dāng)時(shí)，恒有，此時(shí)，數(shù)列是遞增的，，恒有成立，則有，
綜上得，，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.
過關(guān)練習(xí)：
一、單選題
1．（2022·湖北·荊州中學(xué)高三開學(xué)考試）已知等差數(shù)列的公差不等于0．其前為項(xiàng)和為．若，則的最大值為（ ）
A．18 B．20
C．22 D．24
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)給定條件利用等差數(shù)列的性質(zhì)化簡，再分析判斷求出公差、首項(xiàng)即可計(jì)算作答.
【詳解】
設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，
，，因，即，
顯然，否則，矛盾，于是得，又，否則，公差，矛盾，
因此，，解得，而，則公差，，
由得，，于是有等差數(shù)列是遞減數(shù)列，其前5項(xiàng)都是非負(fù)的，從第6項(xiàng)起為負(fù)，
當(dāng)或時(shí)，，
所以的最大值為20.
故選：B
2．（2022·山西臨汾·一模（文））已知{}為等比數(shù)列，，公比.若是數(shù)列{}的前n項(xiàng)積，則取最大值時(shí)n為（　　）
A．3 B．4 C．3或4 D．4或5
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)給定條件求出數(shù)列{}的通項(xiàng)，再求出并進(jìn)行推理計(jì)算作答.
【詳解】
依題意，等比數(shù)列{}的通項(xiàng)公式是：，
因此，，
，當(dāng)時(shí)，，即，
當(dāng)時(shí)，，即，數(shù)列遞減，，
所以取最大值時(shí)n為3或4.
故選：C
3．（江蘇省淮安市2021-2022學(xué)年高二上學(xué)期期末調(diào)研測試數(shù)學(xué)試題）已知數(shù)列滿足，（且），若恒成立，則M的最小值是（ ）
A．2 B． C． D．3
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)，（且），利用累加法求得，再根據(jù)恒成立求解.
【詳解】
因?yàn)閿?shù)列滿足，，（且）
所以，
，
，
，
因?yàn)楹愠闪ⅲ?br/>所以，則M的最小值是，
故選：C
4．（四川省2022屆高三診斷性測試數(shù)學(xué)（理）試題）設(shè)為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，且．則使的n的最小值為（ ）．
A．30 B．31 C．32 D．33
【答案】B
【解析】
【分析】
求得和公差的關(guān)系，利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式列不等式，由此求得的最小值.
【詳解】
設(shè)等差數(shù)列的公差為，
，，
由于，，所以，
所以，所以的最小值為.
故選：B
5．（2022·全國·模擬預(yù)測）設(shè)正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，記表示不超過的最大整數(shù)，．若數(shù)列的前項(xiàng)和為，則使得成立的的最小值為( )
A．1180 B．1179 C．2020 D．2021
【答案】A
【解析】
【分析】
利用通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和之間的關(guān)系求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再根據(jù)n的取值討論并判斷即可.
【詳解】
①，
令，得，解得．
，②，
由①②可得，
整理得，
根據(jù)可知，
則數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，
∴，．
∴，，
當(dāng)時(shí)，，；
當(dāng)時(shí)，，，
當(dāng)時(shí)，，．
∵，，
∴使成立的的最小值為．
故選：A．
6．（2022·黑龍江·雙鴨山一中高三期末（理））已知數(shù)列滿足，且取最小值時(shí)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由數(shù)列遞推關(guān)系利用累加法可知，
進(jìn)而化簡的表達(dá)式，利用基本不等式計(jì)算即得結(jié)論.
【詳解】
由，得
，累加可得
，
又，.
當(dāng)，，也滿足上式.
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.
，
令，
在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.
因?yàn)?
故選：C.
7．（2022·浙江·模擬預(yù)測）設(shè)數(shù)列滿足，則下列結(jié)論中不可能的是（ ）
注：和分別表示，，…中的最小值和最大值．
A．?dāng)?shù)列從某一項(xiàng)起，均有
B．?dāng)?shù)列從某一項(xiàng)起，均有
C．?dāng)?shù)列從某一項(xiàng)起，均有
D．?dāng)?shù)列從某一項(xiàng)起，均有
【答案】D
【解析】
【分析】
考慮，，，，，幾種情況，計(jì)算出數(shù)列，再對(duì)比選項(xiàng)得到答案.
【詳解】
當(dāng)，時(shí)，，，，；
當(dāng)，時(shí)，，，，；
當(dāng)，時(shí)，，，，
，，，，AC可能；
當(dāng)，時(shí)，，，，，，，，，AC可能；
當(dāng)，時(shí)，，，，，；
當(dāng)，時(shí)，，，，，， ，，B可能；
故選：D.
【點(diǎn)睛】分類討論的取值情況是本題的關(guān)鍵
8．（2022·河南駐馬店·高三期末（理））已知等差數(shù)列滿足，，數(shù)列滿足，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則當(dāng)取得最小值時(shí)，的值為（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【解析】
【分析】
先求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，再根據(jù)數(shù)列的正負(fù)項(xiàng)求解.
【詳解】
因?yàn)椋?br/>所以，公差，
所以，
故在數(shù)列中，，，，，均小于0，中其余項(xiàng)均大于0．
又因?yàn)椋?br/>所以當(dāng)取得最小值時(shí)，的值為6．
故選：C．
9．（2022·江西宜春·高三期末（理））在正項(xiàng)等比數(shù)列}中，存在兩項(xiàng)且 ，使得，且，則的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由已知條件結(jié)合等比數(shù)列通項(xiàng)公式可得，進(jìn)而有，再應(yīng)用基本不等式“1”的代換求最值，注意等號(hào)成立條件.
【詳解】
令公比為，由題設(shè)，又，
所以，可得或(舍)，
由，即，可得，
所以，又，則，
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
所以，故當(dāng)時(shí).
故選：C
10．（2022·浙江·高三期末）已知數(shù)列滿足，對(duì)任意中存在一項(xiàng)是另外兩項(xiàng)之和，且，記數(shù)列的則前項(xiàng)和為，則的最小值為（ ）
A．1361 B．1481 C．1681 D．2021
【答案】A
【解析】
【分析】
由題意可知，要使得有最小值，則要盡可能的小，根據(jù)題意，利用列舉法可知數(shù)列從第九項(xiàng)起，是以3為周期的數(shù)列，由此即可求出結(jié)果.
【詳解】
因?yàn)閷?duì)任意中存在一項(xiàng)是另外兩項(xiàng)之和，
所以，或，或
又，所以，
要使得有最小值，則要盡可能的小；
則根據(jù)對(duì)任意中存在一項(xiàng)是另外兩項(xiàng)之和，且要盡可能的小，
利用列舉法可知數(shù)列為：，可知數(shù)列從第九項(xiàng)起，是以3為周期的數(shù)列，
又，
所以的最小值為.
故選：A.
11．（2022·浙江省浦江中學(xué)高三期末）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，其前n項(xiàng)和為，且，，則使得的正整數(shù)n的最小值為（ ）
A．16 B．17 C．18 D．19
【答案】D
【解析】
【分析】
根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)及已知分別判斷、、的符號(hào)即可.
【詳解】
由，得，
因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，所以，，，
，，，
所以，
使得的正整數(shù)n的最小值為.
故選: D.
12．（2022·安徽亳州·高三期末（理））設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則滿足的的最小值為（ ）
A．12 B．7 C．6 D．1
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出，得到，求出數(shù)列的前項(xiàng)和為，解不等式即可求解.
【詳解】
因?yàn)閿?shù)列的前項(xiàng)和為滿足，所以.
當(dāng)n=1時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
經(jīng)檢驗(yàn)，對(duì)n=1也成立，
所以.
所以，
所以數(shù)列為首項(xiàng)為1，公差為的等差數(shù)列，
所以數(shù)列的前項(xiàng)和為.
由可得：，解得：（舍去）.
所以的最小值為12.
故選：A.
13．（2022·江蘇揚(yáng)州·高三期末）在正項(xiàng)等比數(shù)列中，，，記數(shù)列的前n項(xiàng)積為，，則n的最小值為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)給定條件求出數(shù)列的通項(xiàng)，再計(jì)算，列式解不等式作答.
【詳解】
設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列公比為q，由得，于是得，而，解得，
因此，，，由得：，
從而得：，而，解得，又，則，
所以n的最小值為5.
故選：C
14．（2022·吉林·東北師大附中模擬預(yù)測（理））已知數(shù)列的首項(xiàng)是，前項(xiàng)和為，且，設(shè)，若存在常數(shù)，使不等式恒成立，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
首先由數(shù)列通項(xiàng)與前項(xiàng)和的關(guān)系得到數(shù)列的遞推關(guān)系，再構(gòu)造等比數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)一步求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，從而可求數(shù)列通項(xiàng)公式，代入所求式子，分子、分母同除以構(gòu)造基本不等式即可求出的最大值，從而求出的范圍.
【詳解】
由，則當(dāng)時(shí)，得，
兩式相減得，變形可得：，
又，，所以，，
∴數(shù)列是以為首項(xiàng)、為公比的等比數(shù)列，故，
所以，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故.
故選：C.
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：構(gòu)造等比數(shù)列求的通項(xiàng)公式，即可得通項(xiàng)公式，再由不等式恒成立，結(jié)合基本不等式求的最值，即可求參數(shù)范圍.
15．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)，為實(shí)數(shù)，首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列的前項(xiàng)的和為，滿足，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
首先根據(jù)題意得到，從而得到，再根據(jù)求解即可.
【詳解】
由題意可得，
所以，整理得：.
此方程可看作關(guān)于的一元二次方程，它一定有實(shí)根，
，
整理得，解得或.
故選：C
16．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，前項(xiàng)和為，若實(shí)數(shù)滿足對(duì)任意正整數(shù)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)裂項(xiàng)相消法，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.
【詳解】
解：，
前項(xiàng)和為
，
可得為遞增數(shù)列，且有取得最小值；
且，
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，對(duì)任意正整數(shù)恒成立，
即為對(duì)任意正整數(shù)恒成立，
由，
可得①
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，對(duì)任意正整數(shù)恒成立，
即為對(duì)任意正整數(shù)恒成立，
由，
可得，即②
由①②解得．
故選：A
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用裂項(xiàng)相消法，結(jié)合分類討論法進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵.
17．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列，數(shù)列滿足．若對(duì)任意的，都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．， B． C．， D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由等差數(shù)列通項(xiàng)公式得，再結(jié)合題意得數(shù)列單調(diào)遞增，且滿足，，即，再解不等式即可得答案.
【詳解】
解：根據(jù)題意：數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列，
所以，
由于數(shù)列滿足，
所以對(duì)任意的都成立，
故數(shù)列單調(diào)遞增，且滿足，，
所以，
解得．
故選：．
二、多選題
18．（2022·福建三明·高三期末）已知等差數(shù)列{}中，，公差，則使其前n項(xiàng)和取得最大值的自然數(shù)n是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】BC
【解析】
【分析】
由題設(shè)及等差數(shù)列的性質(zhì)可得，結(jié)合及數(shù)列的單調(diào)性，即可確定最大時(shí)n的取值.
【詳解】
由題設(shè)，易知：且，
所以，即，
所以要使前n項(xiàng)和取得最大，只需保證前n項(xiàng)均為非負(fù)數(shù)，
故當(dāng)或5時(shí)，取得最大值.
故選：BC
19．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差為.已知，，，則（ ）
A．?dāng)?shù)列的最小項(xiàng)為第項(xiàng) B．
C． D．時(shí)，的最大值為
【答案】ABC
【解析】
【分析】
利用數(shù)列的單調(diào)性結(jié)合不等式的基本性質(zhì)可判斷A選項(xiàng)的正誤；根據(jù)已知條件列出關(guān)于 的不等式組，求出的取值范圍，可判斷B選項(xiàng)的正誤；利用等差數(shù)列求和公式及等差數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)可判斷C，D選項(xiàng)的正誤.
【詳解】
對(duì)于C選項(xiàng)，由且，可知，故C正確；
對(duì)于B選項(xiàng)，由 ，可得 ，故B正確；
對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)椋?br/>所以，滿足的的最大值為，故D錯(cuò)誤；
對(duì)于A選項(xiàng)，由上述分析可知，當(dāng)且時(shí)， ；
當(dāng)且時(shí)，，
所以，當(dāng)且時(shí)，，
當(dāng)且時(shí)，，
當(dāng)且時(shí)，.
由題意可知單調(diào)遞減，
所以當(dāng)且時(shí)，，
由題意可知單調(diào)遞減，即有，
所以，
由不等式的性質(zhì)可得，
從而可得，
因此，數(shù)列的最小項(xiàng)為第 項(xiàng)，故A正確.
故選：ABC.
20．（2022·江蘇·蘇州中學(xué)高三開學(xué)考試）在數(shù)列中，，前n項(xiàng)的和為Sn，則（ ）
A．的最大值為1 B．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列
C．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列 D．
【答案】ABD
【解析】
【分析】
對(duì)于A：當(dāng)n=2時(shí)，有，對(duì)分正負(fù)進(jìn)行討論，利用基本不等式求出的最大值；
對(duì)于B、C：利用等差數(shù)列的定義進(jìn)行判斷；
對(duì)于D：利用分組求和法直接求出，即可判斷.
【詳解】
對(duì)于A：當(dāng)n=2時(shí)，有，若時(shí)，由基本不等式可得：（時(shí)取等號(hào)），所以；若中有一個(gè)為0或負(fù)值時(shí)，；若時(shí)，不可能成立；故的最大值為1.故A正確；
對(duì)于B：數(shù)列中，，
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，有，所以數(shù)列是等差數(shù)列，故B正確；
對(duì)于C：當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，有，只有時(shí)，數(shù)列是等差數(shù)列，否則數(shù)列不是等差數(shù)列，故C不正確；
對(duì)于D：.
故D正確.
故選：ABD
21．（江蘇省宿遷市2021-2022學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）設(shè)等差數(shù)列前n項(xiàng)和為，公差，若，則下列結(jié)論中正確的有（ ）
A． B．當(dāng)時(shí)，取得最小值
C． D．當(dāng)時(shí)，n的最小值為29
【答案】BC
【解析】
【分析】
根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，結(jié)合該數(shù)列的單調(diào)性逐一判斷即可.
【詳解】
由.
A：因?yàn)椋?br/>所以有，因此本選項(xiàng)說法不正確；
B：因?yàn)椋栽摰炔顢?shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，因?yàn)椋援?dāng)，或時(shí)，取得最小值，故本選項(xiàng)說法正確；
C：因?yàn)椋栽摰炔顢?shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，因?yàn)椋?br/>所以，因此本選項(xiàng)說法正確；
D：因?yàn)椋?br/>所以由，
可得：，因此n的最小值為，所以本選項(xiàng)說法不正確，
故選：BC
三、雙空題
22．（2022·湖北襄陽·高三期末）如圖，是一塊半徑為的半圓形紙板，在的左下端剪去一個(gè)半徑為的半圓后得到圖形，然后依次剪去一個(gè)更小的半圓（其直徑為前一個(gè)被剪掉半圓的半徑）得圖形，，…，，…，記第塊紙板的面積為，則
（1）______，
（2）如果，使得成立，那么的取值范圍是______．
【答案】
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)題意可知，每次剪去的半圓的面積構(gòu)成了一個(gè)等比數(shù)列，由此先求得，從而可求得答案；
（2）根據(jù)題意只要使得，即可保證，使得成立，因此解不等式即可得答案.
【詳解】
由題意可知，依次剪去一個(gè)更小的半圓，其半徑為前一個(gè)半圓半徑的一半，
故每次剪去的半圓的面積組成了首項(xiàng)為 ，公比為 的等比數(shù)列，
第塊紙板是剪了n-1次后得到的，
故 ，
故（1） ；
（2），使得成立，
故只需 ，解得 ，而 ，
所以，
故答案為：；
四、填空題
23．（2022·湖南·長沙一中高三階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，其前n項(xiàng)和為，且，則的最大值為________．
【答案】##
【解析】
【分析】
利用并項(xiàng)求和法求得，由此求得的關(guān)系式，結(jié)合基本不等式求得的最大值.
【詳解】
當(dāng)，由已知條件可得，
所以
，
則，所以，，
∴，由基本不等式可得，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)取得最大值．
故答案為：
24．（2022·河南·高三階段練習(xí)（理））已知為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，，（c為實(shí)數(shù)）．若，則當(dāng)取最小值時(shí)，n＝______．
【答案】11
【解析】
【分析】
根據(jù)遞推關(guān)系，多遞推一項(xiàng)再相減，得，進(jìn)而求出的通項(xiàng)公式，研究數(shù)列的單調(diào)性，得到前項(xiàng)和的最小值。
【詳解】
由題意，，兩式相減得，則．設(shè)等比數(shù)列的公比為q，故，故，則，故，令，可得，則，即，故當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)取最小值時(shí)，．
故答案為：11
25．（2022·廣東·模擬預(yù)測）已知表示不小于x的最小整數(shù)，表示不大于x的最大整數(shù)，如，，數(shù)列滿足，且對(duì)，有，若為遞增數(shù)列，則整數(shù)b的最小值為______．
【答案】0
【解析】
【分析】
根據(jù)題意得，，有，進(jìn)而得，故，再根據(jù)分和討論求解得，進(jìn)而得答案.
【詳解】
解：∵數(shù)列滿足，且對(duì)，有，
∴，
∵可得，
∴，有，
∴當(dāng)時(shí)，，即，，
∴，
∴，
∵為遞增數(shù)列，則，
當(dāng)時(shí)，，解得，
當(dāng)時(shí)，，即，解得：，∴，
又，則，∴整數(shù)b的最小值為0．
故答案為：
26．（2022·湖北·黃石市有色第一中學(xué)高三期末）在等差數(shù)列中，，當(dāng)取得最小值時(shí)，______.
【答案】7
【解析】
【分析】
根據(jù)等差中項(xiàng)的性質(zhì)得到，把化為關(guān)于公差的關(guān)系式，進(jìn)而得到時(shí)取得最小值，進(jìn)而求出答案.
【詳解】
由題意得：，則；，
所以：當(dāng)時(shí)，取得最小值.此時(shí)
故答案為：7
27．（2022·安徽黃山·一模（文））已知數(shù)列滿足，，數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，且，，則實(shí)數(shù)的取值范圍為___________.
【答案】
【解析】
【分析】
首先利用遞推關(guān)系式求出數(shù)列和的通項(xiàng)公式，再利用數(shù)列的單調(diào)性建立不等關(guān)系，進(jìn)一步求出參數(shù)的范圍．
【詳解】
因?yàn)椋?br/>所以，所以，
所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，
所以，
又
所以，
所以，
又是單調(diào)遞增數(shù)列，
所以當(dāng)時(shí)，恒成立，
所以當(dāng)時(shí)，恒成立，即當(dāng)時(shí)，恒成立，
所以；
又，即，所以．
綜上，．
故答案為：．
28．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)，為實(shí)數(shù)，首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，則的取值范圍為__．
【答案】或
【解析】
【分析】
利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式將轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程，，即可求得的取值范圍.
【詳解】
，由等差數(shù)列的求和公式可得
，整理得，
由于方程可看作關(guān)于的一元二次方程，
方程一定有根，故，
整理得，解得，或
故答案為：或.
29．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)，為實(shí)數(shù)，首項(xiàng)為，且，公差為的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，則的取值范圍是_______
【答案】，
【解析】
【分析】
把已知等式用表示，關(guān)于公差的二次方程有實(shí)數(shù)解，由判別式不小于0可得的范圍．
【詳解】
解：，可得，
化為：，
△，，
．
解得．
的取值范圍是，．
故答案為：，．
30．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則的取值范圍為__．
【答案】
【解析】
【分析】
化簡，根據(jù)已知即得解.
【詳解】
解：，
又，，
．
故答案為：．第22講 數(shù)列中的范圍與最值問題
方法總結(jié)：
1、在數(shù)列中涉及到的不等關(guān)系通常與數(shù)列的最值有關(guān)，而要求的數(shù)列中的最值項(xiàng)，要依靠數(shù)列的單調(diào)性，所以判斷數(shù)列的單調(diào)性往往是此類問題的入手點(diǎn)，判斷數(shù)列的單調(diào)性的方法：
（1）函數(shù)角度：從通項(xiàng)公式入手，將其視為關(guān)于的函數(shù)，然后通過函數(shù)的單調(diào)性來判斷數(shù)列的單調(diào)性。由于 ，所以如果需要用到導(dǎo)數(shù)，首先要構(gòu)造一個(gè)與通項(xiàng)公式形式相同，但定義域?yàn)?的函數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)性后再結(jié)合得到數(shù)列的單調(diào)性
（2）相鄰項(xiàng)比較：在通項(xiàng)公式不便于直接分析單調(diào)性時(shí)，可考慮進(jìn)行相鄰項(xiàng)的比較得出數(shù)列的單調(diào)性，通常的手段就是作差（與0比較，從而轉(zhuǎn)化為判斷符號(hào)問題）或作商（與1比較，但要求是正項(xiàng)數(shù)列）
典型例題：
例1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，若對(duì)任意的，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__．
例2．（2022·江蘇南通·一模）設(shè)是等比數(shù)列的前項(xiàng)和，，且、、成等差數(shù)列.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)求使成立的的最大值.
例3．（2022·浙江溫州·高三開學(xué)考試）已知數(shù)列和滿足，，.
(1)求與；
(2)設(shè)的前n項(xiàng)和為，若不等式，對(duì)一切都成立，求實(shí)數(shù)的最小值.
例4．（2022·江西景德鎮(zhèn)·模擬預(yù)測（理））已知數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，，且成等比數(shù)列.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求使得恒成立的m的最小值.
例5．（2022·河南南樂·高三階段練習(xí)（文））已知是等差數(shù)列，滿足，，數(shù)列滿足．
(1)求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，令，求的最小值．
例6．（2022·浙江·鎮(zhèn)海中學(xué)高三期末）已知公差不為0的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為， 且
(1)求數(shù)列的前項(xiàng)和；
(2)在數(shù)列中， ， 且 若對(duì)任意的正整數(shù)， 不等式 恒成立， 求實(shí)數(shù)的取值范圍．
例7．（2022·浙江·溫州中學(xué)高三期末）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列滿足，
(1)求數(shù)列與的通項(xiàng)公式；
(2)若，對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
例8．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)；
(2)設(shè)數(shù)列滿足，記的前項(xiàng)和為．
①求；
②若對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
過關(guān)練習(xí)：
一、單選題
1．（2022·湖北·荊州中學(xué)高三開學(xué)考試）已知等差數(shù)列的公差不等于0．其前為項(xiàng)和為．若，則的最大值為（ ）
A．18 B．20
C．22 D．24
2．（2022·山西臨汾·一模（文））已知{}為等比數(shù)列，，公比.若是數(shù)列{}的前n項(xiàng)積，則取最大值時(shí)n為（　　）
A．3 B．4 C．3或4 D．4或5
3．（江蘇省淮安市2021-2022學(xué)年高二上學(xué)期期末調(diào)研測試數(shù)學(xué)試題）已知數(shù)列滿足，（且），若恒成立，則M的最小值是（ ）
A．2 B． C． D．3
4．（四川省2022屆高三診斷性測試數(shù)學(xué)（理）試題）設(shè)為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，且．則使的n的最小值為（ ）．
A．30 B．31 C．32 D．33
5．（2022·全國·模擬預(yù)測）設(shè)正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，記表示不超過的最大整數(shù)，．若數(shù)列的前項(xiàng)和為，則使得成立的的最小值為( )
A．1180 B．1179 C．2020 D．2021
6．（2022·黑龍江·雙鴨山一中高三期末（理））已知數(shù)列滿足，且取最小值時(shí)為（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·浙江·模擬預(yù)測）設(shè)數(shù)列滿足，則下列結(jié)論中不可能的是（ ）
注：和分別表示，，…中的最小值和最大值．
A．?dāng)?shù)列從某一項(xiàng)起，均有
B．?dāng)?shù)列從某一項(xiàng)起，均有
C．?dāng)?shù)列從某一項(xiàng)起，均有
D．?dāng)?shù)列從某一項(xiàng)起，均有
8．（2022·河南駐馬店·高三期末（理））已知等差數(shù)列滿足，，數(shù)列滿足，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則當(dāng)取得最小值時(shí)，的值為（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
9．（2022·江西宜春·高三期末（理））在正項(xiàng)等比數(shù)列}中，存在兩項(xiàng)且 ，使得，且，則的最小值是（ ）
A． B． C． D．
10．（2022·浙江·高三期末）已知數(shù)列滿足，對(duì)任意中存在一項(xiàng)是另外兩項(xiàng)之和，且，記數(shù)列的則前項(xiàng)和為，則的最小值為（ ）
A．1361 B．1481 C．1681 D．2021
11．（2022·浙江省浦江中學(xué)高三期末）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，其前n項(xiàng)和為，且，，則使得的正整數(shù)n的最小值為（ ）
A．16 B．17 C．18 D．19
12．（2022·安徽亳州·高三期末（理））設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則滿足的的最小值為（ ）
A．12 B．7 C．6 D．1
13．（2022·江蘇揚(yáng)州·高三期末）在正項(xiàng)等比數(shù)列中，，，記數(shù)列的前n項(xiàng)積為，，則n的最小值為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
14．（2022·吉林·東北師大附中模擬預(yù)測（理））已知數(shù)列的首項(xiàng)是，前項(xiàng)和為，且，設(shè)，若存在常數(shù)，使不等式恒成立，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
15．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)，為實(shí)數(shù)，首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列的前項(xiàng)的和為，滿足，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
16．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，前項(xiàng)和為，若實(shí)數(shù)滿足對(duì)任意正整數(shù)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
17．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列，數(shù)列滿足．若對(duì)任意的，都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．， B． C．， D．
二、多選題
18．（2022·福建三明·高三期末）已知等差數(shù)列{}中，，公差，則使其前n項(xiàng)和取得最大值的自然數(shù)n是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
19．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差為.已知，，，則（ ）
A．?dāng)?shù)列的最小項(xiàng)為第項(xiàng) B．
C． D．時(shí)，的最大值為
20．（2022·江蘇·蘇州中學(xué)高三開學(xué)考試）在數(shù)列中，，前n項(xiàng)的和為Sn，則（ ）
A．的最大值為1 B．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列
C．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列 D．
21．（江蘇省宿遷市2021-2022學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）設(shè)等差數(shù)列前n項(xiàng)和為，公差，若，則下列結(jié)論中正確的有（ ）
A． B．當(dāng)時(shí)，取得最小值
C． D．當(dāng)時(shí)，n的最小值為29
三、雙空題
22．（2022·湖北襄陽·高三期末）如圖，是一塊半徑為的半圓形紙板，在的左下端剪去一個(gè)半徑為的半圓后得到圖形，然后依次剪去一個(gè)更小的半圓（其直徑為前一個(gè)被剪掉半圓的半徑）得圖形，，…，，…，記第塊紙板的面積為，則
（1）______，
（2）如果，使得成立，那么的取值范圍是______．
四、填空題
23．（2022·湖南·長沙一中高三階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，其前n項(xiàng)和為，且，則的最大值為________．
24．（2022·河南·高三階段練習(xí)（理））已知為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，，（c為實(shí)數(shù)）．若，則當(dāng)取最小值時(shí)，n＝______．
25．（2022·廣東·模擬預(yù)測）已知表示不小于x的最小整數(shù)，表示不大于x的最大整數(shù)，如，，數(shù)列滿足，且對(duì)，有，若為遞增數(shù)列，則整數(shù)b的最小值為______．
26．（2022·湖北·黃石市有色第一中學(xué)高三期末）在等差數(shù)列中，，當(dāng)取得最小值時(shí)，______.
27．（2022·安徽黃山·一模（文））已知數(shù)列滿足，，數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，且，，則實(shí)數(shù)的取值范圍為___________.
28．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)，為實(shí)數(shù)，首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，則的取值范圍為__．
29．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)，為實(shí)數(shù)，首項(xiàng)為，且，公差為的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，則的取值范圍是_______
30．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則的取值范圍為__．第23講 數(shù)列中的整數(shù)問題與不定方程
方法總結(jié)：
1.整數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用：
（1）若變量屬于整數(shù)，則利用方程與不等式均可求出變量的值：在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，若要求得變量的值，通常要依賴方程，而不等式只能解得變量的范圍。
（2）整除問題：若表達(dá)式形式較為簡單，可通過對(duì)常數(shù)進(jìn)行因數(shù)分解，進(jìn)而確定變量的取值；若表達(dá)式次數(shù)較高，則可以先利用二項(xiàng)式定理去掉高次的項(xiàng)，再進(jìn)行處理。
（3）多元整數(shù)不定方程：當(dāng)變量的值為整數(shù)時(shí)，不定方程的解可能有有限多組解。通常的處理方式有兩個(gè)：
① 通過對(duì)表達(dá)式進(jìn)行因式分解，對(duì)另一側(cè)的常數(shù)進(jìn)行因數(shù)分解，進(jìn)而將不定方程拆成多個(gè)方程的方程組，進(jìn)而解出變量
② 將一個(gè)字母視為變量（其余視為參數(shù)）并進(jìn)行參變分離，求出含變量函數(shù)的值域，進(jìn)而將參數(shù)置于一個(gè)范圍內(nèi)，再利用整數(shù)離散性求得參數(shù)的值
（4）反證法：運(yùn)用反證法處理整數(shù)問題時(shí)，常見的矛盾有以下幾點(diǎn)：
① 所解得變量非整數(shù)，或不符合已知范圍
② 等式兩側(cè)為一奇一偶
典型例題：
例1．已知數(shù)列中，，，為數(shù)列的前項(xiàng)和．?dāng)?shù)列滿足．
（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為問是否存在正整數(shù)，，使得，，成等差數(shù)列？若存在，求出，的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【解答】解：（1）證明：由可得：，
，
，
，
，
，
將以上式子相加可得：，
，，
又也適合上式，
，
，
數(shù)列是首項(xiàng)、公差均為1的等差數(shù)列，；
（2）解：由（1）可得，
，
假設(shè)存在正整數(shù)，，使得，，成等差數(shù)列，
則，即，
又，可解得：或，
故存在或，使得，，成等差數(shù)列．
例2．已知數(shù)列滿足條件，，令
（Ⅰ）寫出數(shù)列的前四項(xiàng)；
（Ⅱ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式，并給出證明；
（Ⅲ）是否存在非零常數(shù)，，使得數(shù)列成等差數(shù)列？若存在，求出，滿足的關(guān)系式；若不存在，說明理由．
【解答】解：（Ⅰ）在，中，
由，．；
，，，
（Ⅱ）由（1）知，，，
．由此猜測．
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①當(dāng)時(shí)猜想顯然成立；
②假設(shè)猜想成立，即，則有，
根據(jù)題意，得，解出，
于是，
，即當(dāng)時(shí)猜想也成立．
綜合①②得對(duì)于所有都有
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，，
假設(shè)存在非零常數(shù)，，使得數(shù)列成等差數(shù)列，設(shè)其公差為，
令，則有，
從而，
化簡得：．
所以有，
故存在滿足關(guān)系的非零常數(shù)，，使得數(shù)列成等差數(shù)列
例3．已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，數(shù)列的前項(xiàng)和滿足且．
（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和；
（3）數(shù)列中是否存在不同的三項(xiàng)，，，使這三項(xiàng)恰好構(gòu)成等差數(shù)列？若存在，求出，，的關(guān)系；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【解答】解：（1），
當(dāng)時(shí)，，
．
當(dāng)時(shí)，，
．
是以3為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列．
．
，
，
是以1為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列，
．即．
當(dāng)時(shí)，．
當(dāng)時(shí)，上式仍成立，
．
（2）由（1）知．
．①
．②
①②得：．
．
（3）由（1）知是以3為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列，
．
假設(shè)數(shù)列中存在不同的三項(xiàng)，，，使這三項(xiàng)恰好構(gòu)成等差數(shù)列，
．即．
．即．
，
，，互不相同，不妨設(shè)，
則，
，與矛盾，
數(shù)列中不存在不同的三項(xiàng)，，，使這三項(xiàng)恰好構(gòu)成等差數(shù)列．
例4．在數(shù)列中，，．
（1）設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）中是否存在不同的三項(xiàng)，，，，恰好成等差數(shù)列？若存在，求出，，的關(guān)系；若不存在，說明理由．
【解答】解：（1），（2分）
又，
所以，數(shù)列是首項(xiàng)為2、公比為2的等比數(shù)列，（4分）
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為．（6分）
（2）由（1）得．（7分）
假設(shè)中是否存在不同的三項(xiàng)，，，，恰好成等差數(shù)列，
不妨設(shè)，則，（10分）
于是，所以．（12分）
因，，，且，所以是奇數(shù)，是偶數(shù)，（14分）
不可能成立，
所以不存在不同的三項(xiàng)，，成等差數(shù)列．（16分）
例5．已知數(shù)列滿足，．
（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和；
（3）是否存在正整數(shù)，，使成立？若存在，求出，的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【解答】解：（1）在兩邊減去4，得，所以數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列；
（2）數(shù)列首項(xiàng)為，數(shù)列的通項(xiàng)公式為，
，
．
（3），即為
由②知，時(shí)，，，代入①不成立，，代入①成立．
所以存在正整數(shù)，，使成立，此時(shí)，．
過關(guān)練習(xí)：
1．已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，其中，都是大于1的正整數(shù)，且，，對(duì)于任意的，總存在，使得成立，則　2　，　　．
【解答】解：，，
以及
，
，
，都是大于1的正整數(shù)，
．
又因?yàn)椋?br/>又，，則．
又，由數(shù)的整除性，得是5的約數(shù)．
故，，
．
故答案為：2；．
2．已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，其中，都是大于1的正整數(shù)，且，，若對(duì)于任意的，總存在，使得成立，則　　．
【解答】解：，，
以及，
，
，
可取，
又因?yàn)椋?br/>又，，則．
又，由數(shù)的整除性，得是7的約數(shù)．
故，，
．
故答案為：．
二．解答題（共19小題）
3．設(shè)公比為正數(shù)的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，，數(shù)列滿足．
（Ⅰ）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求正整數(shù)的值，使得是數(shù)列中的項(xiàng)．
【解答】解：（Ⅰ）設(shè)的公比為，則有，解得，或（舍．
則，，（4分）
．（6分）
即數(shù)列和的通項(xiàng)公式為，．
（Ⅱ），令，
所以，（10分）
如果是數(shù)列中的項(xiàng)，設(shè)為第項(xiàng)，則有，
那么為小于等于5的整數(shù)，
所以，，1，．當(dāng)或時(shí)，，不合題意；
當(dāng)或時(shí)，，符合題意．
所以，當(dāng)或時(shí)，即或時(shí)，是數(shù)列中的項(xiàng)．（14分）
4．已知等差數(shù)列的公差，設(shè)的前項(xiàng)和為，，．
（Ⅰ）求及；
（Ⅱ）求，的值，使得．
【解答】解：（Ⅰ）由，得，
，
即，化為，
解得或，
又公差，則，
所以．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，
由得，，
即，
又，，則，或，
下面分類求解：
當(dāng)時(shí)，，解得，；
當(dāng)時(shí)，，解得，，故舍去；
當(dāng)時(shí)，，解得，故舍去；
當(dāng)時(shí)，，解得，，故舍去；
綜上得，，．
5．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．?dāng)?shù)列滿足，且，前9項(xiàng)和為153．
（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求及使不等式對(duì)一切都成立的最小正整數(shù)的值；
（3）設(shè)問是否存在，使得成立？若存在，求出的值； 若不存在，請(qǐng)說明理由．
【解答】解：（1）由．
故當(dāng)時(shí)，．
時(shí)，，而當(dāng)時(shí)，，
，
又，即，
為等差數(shù)列，于是．
而，故，，
因此，，即；
（2）
．
．
易知單調(diào)遞增，由，得，而，故，；
（3），
①當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，為偶數(shù)．
此時(shí)，，
，．
②當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，為奇數(shù)．
此時(shí)，．
，
（舍去）．
綜上，存在唯一正整數(shù)，使得成立．
6．已知各項(xiàng)均為整數(shù)的數(shù)列滿足，，前6項(xiàng)依次成等差數(shù)列，從第五項(xiàng)起依次成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）求出所有的正整數(shù)，使得．
【解答】解：（1）設(shè)前6項(xiàng)的公差為，為整數(shù)，
則，，
因?yàn)椋傻缺葦?shù)列，所以，
可得，解得或（舍去），
所以時(shí)，，
所以，，則，
所以時(shí)，，
所以（或或．
（2）由（1）可得，，，0，1，2，4，8，，
則當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，，，
假設(shè)存在正整數(shù)，使得．
則有，即，可得，顯然該方程無解，
所以當(dāng)時(shí)，不存在這樣的，使得．
綜上可得，或．
7．已知各項(xiàng)均為整數(shù)的數(shù)列滿足：，，且前12項(xiàng)依次成等差數(shù)列，從第11項(xiàng)起依次成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）若存在正整數(shù)、使得：，請(qǐng)找出所有的有序數(shù)對(duì)，并證明你的結(jié)論．
【解答】解：（1）設(shè)由前12項(xiàng)構(gòu)成的等差數(shù)列的公差為，從第11項(xiàng)起構(gòu)成的等比數(shù)列的公比為，
由，可得，或．
又?jǐn)?shù)列各項(xiàng)均為整數(shù)，故； 所以，．
（2）數(shù)列為：，，，，，，，，，0，1，2，4，8，16，
當(dāng)，，，均為負(fù)數(shù)時(shí)，
顯然，所以，即，，，共有奇數(shù)項(xiàng)，即為偶數(shù)；
又最多有9個(gè)負(fù)數(shù)項(xiàng)，所以，時(shí)，經(jīng)驗(yàn)算只有符合，
此時(shí)；，6，8時(shí)，經(jīng)驗(yàn)算沒有一個(gè)符合；
故當(dāng)，，，均為負(fù)數(shù)時(shí)，存在有序數(shù)對(duì)符合要求．
當(dāng)，，，均為正數(shù)時(shí)，且，
因?yàn)槭潜?大的奇數(shù)，所以能被某個(gè)大于1的奇數(shù)整除，
而不存在大于1的奇約數(shù)，故；
故當(dāng)，，，均為正數(shù)時(shí)，不存在符合要求有序數(shù)對(duì)；
當(dāng)，，，中既有正數(shù)又有負(fù)數(shù)，即，，，中含有0時(shí)，
有，所以，
因?yàn)樨?fù)數(shù)項(xiàng)只有九項(xiàng)，我們按負(fù)數(shù)項(xiàng)分類：
含1個(gè)負(fù)數(shù)項(xiàng)時(shí)，，0，1，符合，此時(shí)，；
含2個(gè)負(fù)數(shù)項(xiàng)時(shí)，，，0，1，2，符合，此時(shí)，；
含3個(gè)或4個(gè)負(fù)數(shù)項(xiàng)時(shí)，經(jīng)驗(yàn)算不存在符合要求的；
含5個(gè)負(fù)數(shù)項(xiàng)時(shí)，，，，，0，1，2，4，8，符合，此時(shí)，；
含6個(gè)及6個(gè)以上負(fù)數(shù)項(xiàng)時(shí)，經(jīng)驗(yàn)算不存在符合要求的；
故當(dāng)，，，中既有正數(shù)又有負(fù)數(shù)時(shí)，存在三組有序數(shù)對(duì)，，符合要求；
綜上，存在四組有序數(shù)對(duì)，，，符合要求．
8．已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，且，數(shù)列滿足，，其前9項(xiàng)和為36．
（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，且對(duì)于給定的正整數(shù)，存在正整數(shù)，，使得，，成等差數(shù)列（其中，分別計(jì)算，3時(shí)滿足條件的整數(shù)，的一組通解（答案用表示，需要相應(yīng)的推理過程）；
（3）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，放在前面一項(xiàng)的位置上；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，將放在前面一項(xiàng)位置上，可以得到一個(gè)新的數(shù)列：，，，，，，，，，，，該數(shù)列的前項(xiàng)和記為，是否存在正整數(shù)，，使得成立？若存在求出所有滿足條件的，，若不存在，則說明理由．
【解答】解：（1）因?yàn)椋?br/>于是數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為的等差數(shù)列，
所以，即，
當(dāng)時(shí)，，
又因?yàn)椋裕?br/>又因?yàn)椋谑菙?shù)列是等差數(shù)列，設(shè)公差為，
設(shè)的前項(xiàng)和為，由于，
即，又，，
所以；
（2）由（1）可知，，
若對(duì)于任何給定的正整數(shù)，存在正整數(shù)，，
使得，，成等差數(shù)列，則，即，
于是，
所以，且
則對(duì)任意的，能整除─，且──．
由于當(dāng)時(shí)，─1中存在多個(gè)質(zhì)數(shù)，
所以──1只能取1或─1或─，
若，則，，于是，符合；
若，則，矛盾，舍去；
若，則，于是，矛盾．
綜上，當(dāng)時(shí)，存在正整數(shù)，，滿足，且使得，，成等差數(shù)列．
（3）由（1）知，，則，，，，，，，，，，，
構(gòu)造的新數(shù)列，0，1，2，3，2，3，4，5，4，5，6，7，，，，，，，顯然，
所以，
，
假設(shè)，
即有，當(dāng)，，，
因?yàn)椋荒艿玫酵耆椒剑?br/>故這樣的，不存在．
9．已知數(shù)列是各項(xiàng)均不為0的等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和，且滿足．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）求證：；
（3）設(shè)，是否存在正整數(shù)，，使得，，依次成等比數(shù)列？若存在，求出所有的，的值，若不存在，請(qǐng)說明理由．
【解答】解：（1）數(shù)列是各項(xiàng)均不為0的等差數(shù)列，
由，
又，．
證明：（2）
，
．
解：（3），
，，，
若，，依次成等比數(shù)列，則，
．
由，得，
，
解得，又，且，
，此時(shí)．
故可知：當(dāng)且僅當(dāng)，使數(shù)列中的，，成等比數(shù)列．
10．已知數(shù)列是各項(xiàng)均不為0的等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和，且滿足，．
（1）求數(shù)列、的通項(xiàng)公式及其前項(xiàng)和；
（2）在數(shù)列中，是否存在正整數(shù)，，使得，，依次成等比數(shù)列？若存在，求出所有的，的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【解答】解：（1）：時(shí)，，解得．
時(shí)，，，解得或．
時(shí)，，舍去．
．
，
由，
（2）由（1）知，，
，，
若，，依次成等比數(shù)列，
則，
整理可得
，
解得，
又，且，
所以，此時(shí)．
故可知：當(dāng)且僅當(dāng)，使數(shù)列中的，，成等比數(shù)列．
11．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列滿足：，且，．
（1）設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，，求，并確定最小正整數(shù)，使為整數(shù)．
【解答】解：（1）由題意知，
，
，
數(shù)列是公比為2，首項(xiàng)為的等比數(shù)列，其通項(xiàng)公式為．
（2）由（1）有
，，
為使，，當(dāng)且僅當(dāng)為整數(shù)．
當(dāng)，2時(shí)，不為整數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，
只需為整數(shù)，
與3互質(zhì)，為9的整數(shù)倍，
當(dāng)時(shí)，為整數(shù)，
故的最小值為9．
12．已知數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列，且對(duì)任意的，都有．
（Ⅰ）若的首項(xiàng)為4，公比為2，求數(shù)列的前項(xiàng)和；
（Ⅱ）若，試探究：數(shù)列中是否存在某一項(xiàng)，它可以表示為該數(shù)列中其它項(xiàng)的和？若存在，請(qǐng)求出該項(xiàng)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【解答】解：（Ⅰ）因?yàn)椋?br/>所以當(dāng)時(shí)，，
兩式相減，得，
而當(dāng)時(shí)，，適合上式，從而，（3分）
又因?yàn)槭鞘醉?xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列，即，
所以，（4分）
從而數(shù)列的前項(xiàng)和；（6分）
（Ⅱ）因?yàn)椋裕?分）
假設(shè)數(shù)列中第項(xiàng)可以表示為該數(shù)列中其它，，項(xiàng)，，，的和，
即，從而，易知，（9分）
又，
所以，此與矛盾，從而這樣的項(xiàng)不存在．（12分）
13．已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，其中，都是大于1的正整數(shù)，且，．
（1）求的值；
（2）若對(duì)于任意的，總存在，使得成立，求的值；
（3）令，問數(shù)列中是否存在連續(xù)三項(xiàng)成等比數(shù)列？若存在，求出所有成等比數(shù)列的連續(xù)三項(xiàng)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【解答】解：（1）由已知，得，．由，，得，．
因，都為大于1的正整數(shù)，故．又，故．
再由，得．
由，故，即．
由，故，解得．
于是，根據(jù)，可得．
（2）由，對(duì)于任意的，均存在，使得，則．
又，由數(shù)的整除性，得是5的約數(shù)．
故，．
所以時(shí)，存在正自然數(shù)滿足題意．
（3）設(shè)數(shù)列中，，，成等比數(shù)列，由，，得．
化簡，得．（※）
當(dāng)時(shí)，時(shí)，等式（※）成立，而，不成立．
當(dāng)時(shí)，時(shí)，等式（※）成立．
當(dāng)時(shí)，，這與矛盾．
這時(shí)等式（※）不成立．
綜上所述，當(dāng)時(shí)，不存在連續(xù)三項(xiàng)成等比數(shù)列；當(dāng)時(shí)，數(shù)列中的第二、三、四項(xiàng)成等比數(shù)列，這三項(xiàng)依次是18，30，50．
14．用部分自然數(shù)構(gòu)造如圖的數(shù)表：用表示第行第個(gè)數(shù)，使得，每行中的其他各數(shù)分別等于其“肩膀”上的兩個(gè)數(shù)之和，設(shè)第行中的各數(shù)之和為．
（1）已知，求，，，的值；
（2）令，證明：是等比數(shù)列，并求出的通項(xiàng)公式；
（3）數(shù)列中是否存在不同的三項(xiàng)，，，，恰好成等差數(shù)列？若存在，求出，，的關(guān)系，若不存在，說明理由．
【解答】解：（1），，由題意可知，所以．
（2）證明：（常數(shù)），
又，
是以3為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．
故，
．
（3）不妨設(shè)數(shù)列中存在不同的三項(xiàng)恰好成等差數(shù)列．即，
，
化簡得：（其中，，
顯然上式左邊為偶數(shù)，右邊為奇數(shù)，方程不成立．
故數(shù)列中不存在不同的三項(xiàng)恰好成等差數(shù)列．
15．已知數(shù)列滿足：．
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）是否存在正整數(shù)，， ，使，，成等差數(shù)列，若存在，求出，，的值；若不存在，說明理由．
【解答】解：（1）當(dāng)時(shí)，，
，，
兩式相減得：．
當(dāng)，，，
當(dāng)時(shí)，，
兩式相減得：，
．
（2）當(dāng)時(shí)，，，，
，
不存在正整數(shù)，， ，使，，成等差數(shù)列；
當(dāng)時(shí)，， ，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
當(dāng)，，時(shí)，， ，
不存在正整數(shù)，， ，使，，成等差數(shù)列，
綜上，存在正整數(shù)，， ，使，，成等差數(shù)列，
此時(shí)，．
16．在數(shù)列中，已知，，，設(shè)為的前項(xiàng)和．
（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；
（2）求；
（3）是否存在正整數(shù)，，，使，，成等差數(shù)列？若存在，求出，，的值；若不存在，說明理由．
【解答】（1）證明：由，，
得到，
則．
又，
，
數(shù)列是以1為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列；
（2）由（1）可以推知：，
所以，，
所以，①
，②
①②，得
，
，
，
所以．
（3）假設(shè)存在正整數(shù)，，，使，，成等差數(shù)列．
則，
即．
由于當(dāng)時(shí)，，
所以數(shù)列單調(diào)遞減．
又，
所以且至少為2，
所以，．
①當(dāng)時(shí)，，
又，
所以，等式不成立．
②當(dāng)時(shí)，，
所以．
所以，
所以，（數(shù)列單調(diào)遞減，解唯一確定）．
綜上可知，，，的值分別是1，2，3．第23講 數(shù)列中的整數(shù)問題與不定方程
方法總結(jié)：
1.整數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用：
（1）若變量屬于整數(shù)，則利用方程與不等式均可求出變量的值：在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，若要求得變量的值，通常要依賴方程，而不等式只能解得變量的范圍。
（2）整除問題：若表達(dá)式形式較為簡單，可通過對(duì)常數(shù)進(jìn)行因數(shù)分解，進(jìn)而確定變量的取值；若表達(dá)式次數(shù)較高，則可以先利用二項(xiàng)式定理去掉高次的項(xiàng)，再進(jìn)行處理。
（3）多元整數(shù)不定方程：當(dāng)變量的值為整數(shù)時(shí)，不定方程的解可能有有限多組解。通常的處理方式有兩個(gè)：
① 通過對(duì)表達(dá)式進(jìn)行因式分解，對(duì)另一側(cè)的常數(shù)進(jìn)行因數(shù)分解，進(jìn)而將不定方程拆成多個(gè)方程的方程組，進(jìn)而解出變量
② 將一個(gè)字母視為變量（其余視為參數(shù)）并進(jìn)行參變分離，求出含變量函數(shù)的值域，進(jìn)而將參數(shù)置于一個(gè)范圍內(nèi)，再利用整數(shù)離散性求得參數(shù)的值
（4）反證法：運(yùn)用反證法處理整數(shù)問題時(shí)，常見的矛盾有以下幾點(diǎn)：
① 所解得變量非整數(shù)，或不符合已知范圍
② 等式兩側(cè)為一奇一偶
典型例題：
例1．已知數(shù)列中，，，為數(shù)列的前項(xiàng)和．?dāng)?shù)列滿足．
（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為問是否存在正整數(shù)，，使得，，成等差數(shù)列？若存在，求出，的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
例2．已知數(shù)列滿足條件，，令
（Ⅰ）寫出數(shù)列的前四項(xiàng)；
（Ⅱ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式，并給出證明；
（Ⅲ）是否存在非零常數(shù)，，使得數(shù)列成等差數(shù)列？若存在，求出，滿足的關(guān)系式；若不存在，說明理由．
例3．已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，數(shù)列的前項(xiàng)和滿足且．
（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和；
（3）數(shù)列中是否存在不同的三項(xiàng)，，，使這三項(xiàng)恰好構(gòu)成等差數(shù)列？若存在，求出，，的關(guān)系；若不存在，請(qǐng)說明理由．
例4．在數(shù)列中，，．
（1）設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）中是否存在不同的三項(xiàng)，，，，恰好成等差數(shù)列？若存在，求出，，的關(guān)系；若不存在，說明理由．
例5．已知數(shù)列滿足，．
（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和；
（3）是否存在正整數(shù)，，使成立？若存在，求出，的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
過關(guān)練習(xí)：
1．已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，其中，都是大于1的正整數(shù)，且，，對(duì)于任意的，總存在，使得成立，則　2　，　　．
2．已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，其中，都是大于1的正整數(shù)，且，，若對(duì)于任意的，總存在，使得成立，則　　．
二．解答題（共19小題）
3．設(shè)公比為正數(shù)的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，，數(shù)列滿足．
（Ⅰ）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求正整數(shù)的值，使得是數(shù)列中的項(xiàng)．
4．已知等差數(shù)列的公差，設(shè)的前項(xiàng)和為，，．
（Ⅰ）求及；
（Ⅱ）求，的值，使得．
5．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．?dāng)?shù)列滿足，且，前9項(xiàng)和為153．
（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求及使不等式對(duì)一切都成立的最小正整數(shù)的值；
（3）設(shè)問是否存在，使得成立？若存在，求出的值； 若不存在，請(qǐng)說明理由．
6．已知各項(xiàng)均為整數(shù)的數(shù)列滿足，，前6項(xiàng)依次成等差數(shù)列，從第五項(xiàng)起依次成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）求出所有的正整數(shù)，使得．
7．已知各項(xiàng)均為整數(shù)的數(shù)列滿足：，，且前12項(xiàng)依次成等差數(shù)列，從第11項(xiàng)起依次成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）若存在正整數(shù)、使得：，請(qǐng)找出所有的有序數(shù)對(duì)，并證明你的結(jié)論．
8．已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，且，數(shù)列滿足，，其前9項(xiàng)和為36．
（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，且對(duì)于給定的正整數(shù)，存在正整數(shù)，，使得，，成等差數(shù)列（其中，分別計(jì)算，3時(shí)滿足條件的整數(shù)，的一組通解（答案用表示，需要相應(yīng)的推理過程）；
（3）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，放在前面一項(xiàng)的位置上；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，將放在前面一項(xiàng)位置上，可以得到一個(gè)新的數(shù)列：，，，，，，，，，，，該數(shù)列的前項(xiàng)和記為，是否存在正整數(shù)，，使得成立？若存在求出所有滿足條件的，，若不存在，則說明理由．
9．已知數(shù)列是各項(xiàng)均不為0的等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和，且滿足．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）求證：；
（3）設(shè)，是否存在正整數(shù)，，使得，，依次成等比數(shù)列？若存在，求出所有的，的值，若不存在，請(qǐng)說明理由．
10．已知數(shù)列是各項(xiàng)均不為0的等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和，且滿足，．
（1）求數(shù)列、的通項(xiàng)公式及其前項(xiàng)和；
（2）在數(shù)列中，是否存在正整數(shù)，，使得，，依次成等比數(shù)列？若存在，求出所有的，的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
11．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列滿足：，且，．
（1）設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，，求，并確定最小正整數(shù)，使為整數(shù)．
12．已知數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列，且對(duì)任意的，都有．
（Ⅰ）若的首項(xiàng)為4，公比為2，求數(shù)列的前項(xiàng)和；
（Ⅱ）若，試探究：數(shù)列中是否存在某一項(xiàng)，它可以表示為該數(shù)列中其它項(xiàng)的和？若存在，請(qǐng)求出該項(xiàng)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
13．已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，其中，都是大于1的正整數(shù)，且，．
（1）求的值；
（2）若對(duì)于任意的，總存在，使得成立，求的值；
（3）令，問數(shù)列中是否存在連續(xù)三項(xiàng)成等比數(shù)列？若存在，求出所有成等比數(shù)列的連續(xù)三項(xiàng)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
14．用部分自然數(shù)構(gòu)造如圖的數(shù)表：用表示第行第個(gè)數(shù)，使得，每行中的其他各數(shù)分別等于其“肩膀”上的兩個(gè)數(shù)之和，設(shè)第行中的各數(shù)之和為．
（1）已知，求，，，的值；
（2）令，證明：是等比數(shù)列，并求出的通項(xiàng)公式；
（3）數(shù)列中是否存在不同的三項(xiàng)，，，，恰好成等差數(shù)列？若存在，求出，，的關(guān)系，若不存在，說明理由．
15．已知數(shù)列滿足：．
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）是否存在正整數(shù)，， ，使，，成等差數(shù)列，若存在，求出，，的值；若不存在，說明理由．
16．在數(shù)列中，已知，，，設(shè)為的前項(xiàng)和．
（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；
（2）求；
（3）是否存在正整數(shù)，，，使，，成等差數(shù)列？若存在，求出，，的值；若不存在，說明理由．第24講 新信息背景下的數(shù)列問題
方法總結(jié)：
解決此類問題的一些技巧：
（1）此類問題在設(shè)立問題中通常具有“環(huán)環(huán)相扣，層層遞進(jìn)”的特點(diǎn)，第（1）問讓你熟悉所創(chuàng)設(shè)的定義與背景，第（2），（3）問便進(jìn)行進(jìn)一步的應(yīng)用，那么在解題的過程中要注意解決前面一問中的過程與結(jié)論，因?yàn)檫@本身就是對(duì)“新信息”的詮釋與應(yīng)用。
（2）盡管此類題目與傳統(tǒng)的數(shù)列“求通項(xiàng)，求和”的風(fēng)格不同，但其根基也是我們所學(xué)的一些基礎(chǔ)知識(shí)與方法。
（3）在分類討論時(shí)要遵循“先易后難”的原則，以相對(duì)簡單的情況入手，可能在解決的過程中會(huì)發(fā)現(xiàn)復(fù)雜情況與該情況的聯(lián)系，或者發(fā)現(xiàn)一些通用的做法與思路，使得復(fù)雜情況也有章可循。
典型例題：
例1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）對(duì)于數(shù)列，規(guī)定數(shù)列△為數(shù)列的一階差分?jǐn)?shù)列，其中△；一般地，規(guī)定△為的階差分?jǐn)?shù)列，其中△△△，且，．
(1)已知數(shù)列的通項(xiàng)公式．試證明△是等差數(shù)列；
(2)若數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足△△，，求數(shù)列及的通項(xiàng)公式；
(3)在（2）的條件下，判斷是否存在最小值，若存在求出其最小值，若不存在說明理由．
【答案】(1)證明見解析
(2)，
(3)存在，-28
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)定義可得，然后可證明；
（2）由條件可得，然后可得，然后利用累加法可求出，然后可得答案；
（3）令，然后利用函數(shù)的單調(diào)性可得答案.
(1)
證明：依題意，△，
，
△△，
△，
△是首項(xiàng)為1，公差為5的等差數(shù)列．
(2)
△△，，
△△△，
△，，
，，
當(dāng)時(shí)，
，
，
當(dāng)時(shí)，也滿足上式，
．
(3)
，，
令，則，
則當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，
而，
，即時(shí)，存在最小值，其最小值為．
例2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的首項(xiàng)，前項(xiàng)和為．設(shè)與是常數(shù)，若對(duì)一切正整數(shù)，均有成立，則稱此數(shù)列為“”數(shù)列．
(1)若等差數(shù)列是“”數(shù)列，求的值；
(2)若數(shù)列是“”數(shù)列，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)定義得，化簡得，進(jìn)而得出對(duì)一切正整數(shù)均成立，從而可求出的值；
（2）由題可知，根據(jù)定義得，根據(jù)平方差公式化簡得，求得，最后根據(jù)，即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.
(1)
解：因?yàn)榈炔顢?shù)列是“”數(shù)列，則，即，
也即，此式對(duì)一切正整數(shù)均成立，
若，則恒成立，故，而，這與是等差數(shù)列矛盾，
所以．（此時(shí)，任意首項(xiàng)為1的等差數(shù)列都是“1～1”數(shù)列）
(2)
解：因?yàn)閿?shù)列是“”數(shù)列，則，
所以，而，
，
，
，
，
，，
，
.
例3．（2022·北京海淀·高三期末）已知行列的數(shù)表中，對(duì)任意的，，都有.若當(dāng)時(shí)，總有，則稱數(shù)表A為典型表，此時(shí)記.
(1)若數(shù)表，，請(qǐng)直接寫出B，C是否是典型表；
(2)當(dāng)時(shí)，是否存在典型表A使得，若存在，請(qǐng)寫出一個(gè)A；若不存在，請(qǐng)說明理由；
(3)求的最小值.
【答案】(1)B不是典型表，C是典型表；
(2)不存在；
(3)為偶數(shù)時(shí) ，為奇數(shù)時(shí).
【解析】
【分析】
（1）由題設(shè)典型表的定義，結(jié)合給定的數(shù)表判斷即可.
（2）根據(jù)題設(shè)分析知：數(shù)值分配時(shí)有即可，結(jié)合典型表的定義及數(shù)表的對(duì)稱性確定最小時(shí)在數(shù)表上的分布情況，即可判斷是否存在.
（3）結(jié)合（2）的分析，討論為偶數(shù)、奇數(shù)情況下的最小值.
(1)
對(duì)于數(shù)表B有，而不成立，故數(shù)表B不是典型表；
對(duì)于數(shù)表C，當(dāng)時(shí)總有成立，故數(shù)表C是典型表.
(2)
由題設(shè)知：當(dāng)要存在典型表A使得，則需.
∵要使最小，即典型表A中的“1”最少，又時(shí)總有，
∴讓盡量多的橫列和，故將表分成4個(gè)數(shù)表，對(duì)角的兩個(gè)數(shù)表數(shù)值相同，但上下、左右對(duì)稱的數(shù)表數(shù)值不同，此時(shí)可保證最小.
∴如典型表，有.
∴不存在典型表A使得.
(3)
要使最小，需讓盡量多的橫列和或典型表中“1”盡量少，
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，由（2）知：；
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，在偶數(shù)的數(shù)表中間加一行一列，并在新增行列中添加個(gè)“1”，即可滿足典型數(shù)列，此時(shí)；
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問，通過，結(jié)合數(shù)表的對(duì)稱性確定最小時(shí)的數(shù)值分布情況，即可判斷存在性，第三問，由第二問情況歸納為偶數(shù)時(shí)，進(jìn)而推廣到為奇數(shù)時(shí).
例4．（2022·北京房山·高三期末）若數(shù)列 滿足，則稱為數(shù)列．記 ．
(1)寫出一個(gè)滿足，且的數(shù)列；
(2)若，證明數(shù)列是遞減數(shù)列的充要條件是；
(3)對(duì)任意給定的整數(shù)，是否存在首項(xiàng)為的數(shù)列，使得？如果存在，寫出一個(gè)滿足條件的數(shù)列；如果不存在，說明理由.
【答案】(1)（或 ）
(2)證明見解析
(3)不存在，理由見解析
【解析】
【分析】
(1)根據(jù)與和可考慮寫出交替的數(shù)列.
(2)先證必要性，根據(jù)數(shù)列是遞減數(shù)列，可得，進(jìn)而求得.再證明充分性，因?yàn)椋剩倮奂涌傻米C明即可.
(3)設(shè),則，再累加求得，再分析的奇偶，根據(jù)整除的性質(zhì)，先假設(shè)存在再證明矛盾即可.
(1)
（或 ）
(2)
必要性：因?yàn)閿?shù)列是遞減數(shù)列，
所以 ，
所以是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，
所以；
充分性：由于，，…，，
所以，即，
因?yàn)椋裕?br/>所以數(shù)列是遞減數(shù)列.
綜上，結(jié)論得證．
(3)
令，
則．
因?yàn)椋?，
所以
因?yàn)椋詾榕紨?shù)，
所以為偶數(shù)．
所以要使，必須使為偶數(shù)，即整除，
亦即或．
當(dāng)時(shí)，
數(shù)列的項(xiàng)滿足，，時(shí)，
有，；
當(dāng)時(shí)，
數(shù)列的項(xiàng)滿足，，，時(shí)，
有，．
當(dāng)，時(shí)，不能被整除，
所以對(duì)任意給定的整數(shù),不存在數(shù)列使得，．
【點(diǎn)睛】
在解數(shù)列新定義的問題,需要根據(jù)題意去絕對(duì)值分析,并根據(jù)整除的性質(zhì)推理證明.
例5．（2022·北京東城·高三期末）對(duì)于給定的正整數(shù)和實(shí)數(shù)，若數(shù)列滿足如下兩個(gè)性質(zhì)：①；②對(duì)，，則稱數(shù)列具有性質(zhì).
(1)若數(shù)列具有性質(zhì)，求數(shù)列的前項(xiàng)和；
(2)對(duì)于給定的正奇數(shù)，若數(shù)列同時(shí)具有性質(zhì)和，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(3)若數(shù)列具有性質(zhì)，求證：存在自然數(shù)，對(duì)任意的正整數(shù)，不等式均成立.
【答案】(1)5
(2)
(3)證明見解析
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)題意得到當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，從而；（2）根據(jù)題干條件得到，故為常數(shù)列，結(jié)合求出；（3）對(duì)要證明的不等式變形，構(gòu)造，研究其性質(zhì)，證明出結(jié)論.
(1)
由題意得：，，則當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，所以數(shù)列的前項(xiàng)和；
(2)
由題意得：，，對(duì)于給定的正奇數(shù)，，對(duì)，，則令，，得：，，綜上：為常數(shù)列，由可得：
(3)
要證，只需證，即證，令數(shù)列，由于具有性質(zhì)，即，對(duì)，，則，對(duì)，，所以具有性質(zhì)，令，設(shè)的最小值為，對(duì)，令，，由于具有性質(zhì)，則有，所以，
所以，所以成立
【點(diǎn)睛】
本題數(shù)列不等式證明題目，要根據(jù)題干中條件對(duì)數(shù)列進(jìn)行變形，用到了構(gòu)造新數(shù)列，數(shù)論的基礎(chǔ)知識(shí)，對(duì)學(xué)生的邏輯思維能力要求較高.
例6．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為.若對(duì)任意正整數(shù)，總存在正整數(shù)，使得，則稱是“數(shù)列”.
(1)若數(shù)列的前n項(xiàng)和，證明：是“數(shù)列”；
(2)設(shè)是等差數(shù)列，其首項(xiàng)，公差.若是“數(shù)列”，求的值；
【答案】(1)證明見解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）由，再根據(jù)數(shù)列是“數(shù)列”的概念即可證明結(jié)果．
（2）依題意，，根據(jù)是“數(shù)列”，可知?jiǎng)t，可得，由此能求出的值，再進(jìn)行檢驗(yàn)，即可求出結(jié)果．
(1)
解：因?yàn)椋?br/>當(dāng)時(shí)，，顯然滿足題意，
當(dāng)時(shí)， ，（且）
若，，所以，滿足題意，
綜上，則為“H數(shù)列”；
(2)
解：由題意，，所以，所以
又，
若是“H數(shù)列”，則由得
所以，
因，則對(duì)任意的n為整數(shù)，，則或，
驗(yàn)證：時(shí)，，
因恒為偶數(shù)，所以m恒為整數(shù)，成立.
時(shí)，，不恒為整數(shù)，
不成立.
綜上所述，.
例7．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若實(shí)數(shù)數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為“P數(shù)列”．
(1)若數(shù)列是P數(shù)列，且，，求，的值；
(2)求證：若數(shù)列是P數(shù)列，則的項(xiàng)不可能全是正數(shù)，也不可能全是負(fù)數(shù)；
(3)若數(shù)列是P數(shù)列，且中不含值為零的項(xiàng)，記的前2025項(xiàng)中值為負(fù)數(shù)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)為m，求m的所有可能取值．
【答案】(1)
(2)見解析
(3)
【解析】
【分析】
（1）推導(dǎo)出，，由此能求出，的值；
（2）假設(shè)數(shù)列的項(xiàng)都是正數(shù)，則，，與假設(shè)矛盾；假設(shè)數(shù)列的項(xiàng)都是負(fù)數(shù)，則，與假設(shè)矛盾，由此能證明的項(xiàng)不可能全是正數(shù)，也不可能全是負(fù)數(shù)；
（3）存在最小的正整數(shù)滿足，，數(shù)列是周期為9的數(shù)列，由此能求出結(jié)果．
(1)
解：因?yàn)槭菙?shù)列，且，
所以，
所以，
所以，解得，
所以；
(2)
證明：假設(shè)數(shù)列的項(xiàng)都是正數(shù)，即，，，
所以，，與假設(shè)矛盾，
故數(shù)列的項(xiàng)不可能全是正數(shù)，
假設(shè)數(shù)列的項(xiàng)都是負(fù)數(shù)，
則，而，與假設(shè)矛盾，
故數(shù)列的項(xiàng)不可能全是負(fù)數(shù)，
所以的項(xiàng)不可能全是正數(shù)，也不可能全是負(fù)數(shù)；
(3)
解：由（2）可知數(shù)列中項(xiàng)既有負(fù)數(shù)也有正數(shù)，
且最多連續(xù)兩項(xiàng)都是負(fù)數(shù)，最多連續(xù)三項(xiàng)都是正數(shù)．
因此存在最小的正整數(shù)滿足，．
設(shè)，，
則，，，．，，，，，
故有，即數(shù)列是周期為9的數(shù)列，
由上可知，，，這9項(xiàng)中，
，為負(fù)數(shù)，，這兩項(xiàng)中一個(gè)為正數(shù)，另一個(gè)為負(fù)數(shù)，其余項(xiàng)都是正數(shù)，
因?yàn)椋?br/>所以當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，，，這項(xiàng)中至多有一項(xiàng)為負(fù)數(shù)，而且負(fù)數(shù)項(xiàng)只能是，
記，，，這項(xiàng)中負(fù)數(shù)項(xiàng)的個(gè)數(shù)為，
當(dāng)，3，4時(shí)，若，則，故為負(fù)數(shù)，
此時(shí)，；
若，則，故為負(fù)數(shù)．
此時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，必須為負(fù)數(shù)，，，
綜上可知的取值集合為．
【點(diǎn)睛】
本題考查了利用數(shù)列的遞推公式求數(shù)列中的項(xiàng)，考查數(shù)列中的項(xiàng)不可能全是正數(shù)，也不可能全是負(fù)數(shù)的證明，考查實(shí)數(shù)的集合的求法，難度較大，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意數(shù)列性質(zhì)的合理運(yùn)用．
過關(guān)練習(xí)：
一、單選題
1．（2022·山西運(yùn)城·高三期末（理））在正整數(shù)數(shù)列中，由1開始依次按如下規(guī)則取該數(shù)列的項(xiàng)：第一次取1；第二次取2個(gè)連續(xù)的偶數(shù)2，4；第三次取3個(gè)連續(xù)奇數(shù)5，7，9；第四次取4個(gè)連續(xù)的偶數(shù)10，12，14，16；第五次取5個(gè)連續(xù)的奇數(shù)17，19，21，23，25；按此規(guī)律取下去，得到一個(gè)數(shù)列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，19…，則這個(gè)數(shù)列中第2022個(gè)數(shù)是（ ）
A．3974 B．3976 C．3978 D．3980
【答案】D
【解析】
【分析】
由題意可得，找出取數(shù)的規(guī)律為：奇數(shù)次取奇數(shù)個(gè)奇數(shù)，偶數(shù)次取偶數(shù)個(gè)偶數(shù)，前次總共取的數(shù)各數(shù)量可以通過等差數(shù)列求和得到，且第次的最后一個(gè)數(shù)為，據(jù)此即可求解.
【詳解】
由題意可得，奇數(shù)次取奇數(shù)個(gè)奇數(shù)，偶數(shù)次取偶數(shù)個(gè)偶數(shù)，
前次共取了個(gè)數(shù)，且第次的最后一個(gè)數(shù)為，
當(dāng)時(shí)，，故到第63次取時(shí)取了63個(gè)奇數(shù)，且前63次共取了2016個(gè)數(shù)，即第2016個(gè)數(shù)為，
∴時(shí)，依次為3970，3972，3974，3976，3978，3980，...，
∴第2022個(gè)數(shù)為3980.
故選：D.
2．（2022·河南駐馬店·高三期末（文））對(duì)于正整數(shù)，設(shè)最接近的正整數(shù)為（如，），記，從全體正整數(shù)中除去所有，余下的正整數(shù)按從小到大的順序排列得到數(shù)列，則數(shù)列的前5項(xiàng)和為（ ）
A．55 B．65 C．70 D．75
【答案】A
【解析】
【分析】
依題意對(duì)于給定的，存在唯一確定的，使得．再對(duì)與分類討論，即可得到，從得到求出數(shù)列的前5項(xiàng)和；
【詳解】
解：對(duì)于給定的，存在唯一確定的，使得．
①當(dāng)時(shí)，即，記，，
此時(shí)，即，；
②當(dāng)時(shí)，即，記，，
此時(shí)，即，．
所以，
恰好跳過，即，故數(shù)列的前5項(xiàng)和為．
故選：A
3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中，提出了一些新的垛積公式，所討論的高階等差數(shù)到與一般的等差數(shù)列不同，前后兩項(xiàng)之差并不相等，但是逐項(xiàng)差數(shù)之差或者高次差成等差數(shù)列．如數(shù)列1，3，6，10，前后兩項(xiàng)之差組成新數(shù)列2，3，4，新數(shù)列2，3，4為等差數(shù)列、這樣的數(shù)列稱為二階等差數(shù)列．現(xiàn)有二階等差數(shù)列，其前7項(xiàng)分別為2，3，5，8，12，17，23則該數(shù)列的第100項(xiàng)為（ ）
A．4862 B．4962 C．4852 D．4952
【答案】D
【解析】
【分析】
根據(jù)題意可得數(shù)列2，3，5，8，12，17，23，，滿足：，，從而利用累加法即可求出，進(jìn)一步即可得到的值．
【詳解】
2，3，5，8，12，17，23，后項(xiàng)減前項(xiàng)可得1，2，3，4，5，6，
所以，
所以
.
所以.
故選：D
4．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子的繁殖問題時(shí)，發(fā)現(xiàn)有這樣的一列數(shù)：1，1，2，3，5，8，…，該數(shù)列的特點(diǎn)是前兩個(gè)數(shù)均為1，從第三個(gè)數(shù)起，每一個(gè)數(shù)都等于它前面兩個(gè)數(shù)的和.人們把這樣的一列數(shù)所組成的數(shù)列稱為“斐波那契數(shù)列”，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用“斐波那契數(shù)列”的定義及數(shù)列的性質(zhì)對(duì)選項(xiàng)A、B、C、D逐一分析即可得答案．
【詳解】
解： 對(duì)A：，故選項(xiàng)A正確；
對(duì)B：由“斐波那契數(shù)列”的定義有，
因?yàn)椋?br/>所以，故選項(xiàng)B正確；
對(duì)C：由“斐波那契數(shù)列”的定義有，
因?yàn)椋?br/>所以，故選項(xiàng)C正確；
對(duì)D：，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．
故選：D．
5．（2022·浙江杭州·高三期末）若數(shù)列滿足，則下列說法錯(cuò)誤的是（ ）
A．存在數(shù)列使得對(duì)任意正整數(shù)p，q都滿足
B．存在數(shù)列使得對(duì)任意正整數(shù)p，q都滿足
C．存在數(shù)列使得對(duì)任意正整數(shù)p，q都滿足
D．存在數(shù)列使得對(duì)任意正整數(shù)p，q部滿足
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)題意，找到合適的數(shù)列滿足遞推關(guān)系，或舉反例否定. 對(duì)選項(xiàng)，找到，且滿足題意；對(duì)選項(xiàng)，找到，且滿足題意；對(duì)選項(xiàng)，找到與題設(shè)矛盾；對(duì)選項(xiàng)，找到滿足題意；
【詳解】
對(duì)選項(xiàng)，令，且，則有：，故選項(xiàng)正確；
對(duì)選項(xiàng)，由，得：
令，則當(dāng)時(shí)，數(shù)列滿足題設(shè)，所以B正確；
對(duì)選項(xiàng)，由，
令，得，，，，
令，得，，，
則，，從而，與矛盾，所以錯(cuò)誤；
對(duì)選項(xiàng)，存在數(shù)列，比如，則有：，故選項(xiàng)正確；
故選：
【點(diǎn)睛】
需要熟悉常見函數(shù)的運(yùn)算規(guī)則，比如對(duì)數(shù)運(yùn)算、指數(shù)運(yùn)算等，注意類比常見函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，尋找恰當(dāng)?shù)臄?shù)列；否定命題，賦值舉反例，發(fā)現(xiàn)矛盾.
6．（2022·浙江·高三學(xué)業(yè)考試）通過以下操作得到一系列數(shù)列：第1次，在2，3之間插入2與3的積6，得到數(shù)列2，6，3；第2次，在2，6，3每兩個(gè)相鄰數(shù)之間插入它們的積，得到數(shù)列2，12，6，18，3；類似地，第3次操作后，得到數(shù)列：2，24，12，72，6，108，18，54，3.按上述這樣操作11次后，得到的數(shù)列記為，則的值是（ ）
A．6 B．12 C．18 D．108
【答案】A
【解析】
【分析】
設(shè)數(shù)列經(jīng)過第次拓展后的項(xiàng)數(shù)為，因?yàn)閿?shù)列每一次拓展是在原數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)中增加一項(xiàng)，則經(jīng)過第次拓展后增加的項(xiàng)數(shù)為，從而可得，從而可求出，從而可知經(jīng)過11次拓展后在與6之間增加的數(shù)為，由此可得出經(jīng)過11次拓展后6所在的位置，即可得出答案.
【詳解】
解：設(shè)數(shù)列經(jīng)過第次拓展后的項(xiàng)數(shù)為，因?yàn)閿?shù)列每一次拓展是在原數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)中增加一項(xiàng)，則經(jīng)過第次拓展后增加的項(xiàng)數(shù)為，
所以，
即，即，
所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
是以，所以，
則經(jīng)過11次拓展后在與6之間增加的數(shù)為，
所以經(jīng)過11次拓展后6所在的位置為第，
所以.
故選：A.
7．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））對(duì)于數(shù)列{an}，若存在正整數(shù)k(k≥2)，使得，，則稱是數(shù)列{an}的“谷值”，k是數(shù)列{an}的“谷值點(diǎn)”.在數(shù)列{an}中，若an＝，則數(shù)列{an}的“谷值點(diǎn)”為（ ）
A．2 B．7 C．2，7 D．2，3，7
【答案】C
【解析】
【分析】
由數(shù)列通項(xiàng)公式寫出前n項(xiàng)，結(jié)合數(shù)列 “谷值點(diǎn)”的定義判斷{an}的“谷值點(diǎn)”.
【詳解】
由an＝，則，，，
當(dāng)n≥7，n∈N*時(shí)恒有> 0，
∴an＝＝，此時(shí)數(shù)列{an}遞增，
綜上，a2∴數(shù)列{an}的“谷值點(diǎn)”為2，7.
故選：C.
8．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，若，則稱項(xiàng)為“和諧項(xiàng)"，則數(shù)列的所有“和諧項(xiàng)”的平方和為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根據(jù)，得到，兩式相減得到，從而得到數(shù)列的通項(xiàng)公式，根據(jù)“和諧項(xiàng)"的定義可得，再利用等比數(shù)列的前項(xiàng)和可得答案.
【詳解】
①，②，①-②得，即，，，故，，所以數(shù)列的所有“和諧項(xiàng)”的平方和為.
故選：D.
二、多選題
9．（2022·全國·模擬預(yù)測）觀察下面一組等式：
記表示第i個(gè)等式中等號(hào)右邊第j個(gè)數(shù)，如，，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】
【分析】
根據(jù)所給數(shù)據(jù)，歸納總結(jié)可得第n行，規(guī)律為，逐一分析各個(gè)選項(xiàng)，結(jié)合裂項(xiàng)相消求和法，即可得答案.
【詳解】
根據(jù)所給數(shù)據(jù)，歸納總結(jié)可得第n行，等號(hào)右邊每一個(gè)式子，第一項(xiàng)為，最后一項(xiàng)均為，故B錯(cuò)誤；
所以
對(duì)于A：當(dāng)時(shí)，等號(hào)右邊第一個(gè)數(shù)為1981，最后一個(gè)數(shù)為2069，
所以2021在第45行內(nèi)，故A正確；
對(duì)于C：第n行，右邊第二項(xiàng)為，
所以，
所以，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D：因?yàn)椋遥?br/>所以或或或，
又，，，，
所以，故D正確.
故選：AD
【點(diǎn)睛】
解題的關(guān)鍵是根據(jù)所給圖示，歸納總結(jié)出第n行的規(guī)律，并結(jié)合不等式的性質(zhì)，裂項(xiàng)相消求和法進(jìn)行計(jì)算，考查分析理解，計(jì)算求值的能力，屬中檔題.
10．（2022·山東青島·高三期末）在數(shù)列中，若，(為常數(shù))，則稱為“等方差數(shù)列”，p稱為“公方差”，下列對(duì)“等方差數(shù)列”的判斷正確的是（ ）
A．是等方差數(shù)列
B．若數(shù)列既是等方差數(shù)列，又是等差數(shù)列，該數(shù)列必為常數(shù)列
C．正項(xiàng)等方差數(shù)列的首項(xiàng)，且是等比數(shù)列，則
D．若等方差數(shù)列的首項(xiàng)為2，公方差為2，若將，…這種順序排列的10個(gè)數(shù)作為某種密碼，則可以表示512種不同密碼
【答案】ABD
【解析】
【分析】
選項(xiàng)A. 由題意可判斷；選項(xiàng)B. 由題意有，分和兩種情況可判斷；選項(xiàng)C. 當(dāng)時(shí)可判斷；選項(xiàng)D. 由題意，，從而可判斷.
【詳解】
選項(xiàng)A. 若，則，則，所以是等方差數(shù)列，故正確.
選項(xiàng)B. 由數(shù)列是等差數(shù)列，則
由數(shù)列既是等方差數(shù)列,則，則
即
當(dāng)時(shí)，數(shù)列為常數(shù)列
當(dāng)時(shí)，，結(jié)合，可得，所以數(shù)列為常數(shù)列
故數(shù)列為常數(shù)列，所以選項(xiàng)B正確.
選項(xiàng)C. 由題意，則，
由等比數(shù)列，則，即，解得或
當(dāng)時(shí)，，滿足題意，故選項(xiàng)C不正確.
選項(xiàng)D. 數(shù)列是首項(xiàng)為2，公方差為2的等方差數(shù)列，則
由題意，
所以中的每一項(xiàng)，可能取正或負(fù)，有2種取法.
所以，…有種不同的排法結(jié)果；所以選項(xiàng)D正確
故選：ABD
11．（2022·全國·高三專題練習(xí)）（多選題）對(duì)于數(shù)列，若存在正整數(shù)，使得，，則稱是數(shù)列的“谷值”，是數(shù)列的“谷值點(diǎn)”.在數(shù)列中，若，則數(shù)列的“谷值點(diǎn)”為（ ）
A．2 B．7 C．3 D．8
【答案】AB
【解析】
【分析】
結(jié)合“谷值”和“谷值點(diǎn)”定義，可依次求出前8項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，結(jié)合對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)可判斷，進(jìn)而判斷出“谷值點(diǎn)”.
【詳解】
因?yàn)椋裕?dāng)，，，∴，此時(shí)數(shù)列單調(diào)遞增，，，，，所以數(shù)列的“谷值點(diǎn)”為2，7.
故選：AB
12．（2022·全國·模擬預(yù)測）記數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列為，….其構(gòu)造方法是:首先給出，接著復(fù)制該項(xiàng)后，再添加其后繼數(shù)，于是，得;然后再復(fù)制前面所有的項(xiàng)，再添加的后繼數(shù)于是，得;接下來再復(fù)制前面所有的項(xiàng)，再添加的后繼數(shù)于是，得前項(xiàng)為.如此繼續(xù)下去，則使不等式成立的的值不可能為（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【解析】
【分析】
根據(jù)題意可得，然后采用錯(cuò)位相減法求得，進(jìn)而求得答案.
【詳解】
由的構(gòu)造方法﹐易知，，…，一般地﹐有，即數(shù)首次出現(xiàn)于第項(xiàng)﹐由的構(gòu)造方法知，數(shù)列的前各項(xiàng)中，恰有個(gè)個(gè)個(gè)，…， 個(gè)，… ，個(gè).所以，，①
故，②
根據(jù)式①②得，
因?yàn)樗缘淖钚〉闹禐?
故選：AB.
13．（2022·全國·高三專題練習(xí)）對(duì)于首項(xiàng)為負(fù)數(shù)的無窮等比數(shù)列，若對(duì)任意的n，，，則稱為“M數(shù)列”；若對(duì)任意的，存在，使得，則稱為“L數(shù)列”.若數(shù)列的公比為q，則（ ）
A．當(dāng)q<0時(shí)，是“M數(shù)列”
B．當(dāng)q<0時(shí)，不是“L數(shù)列”
C．當(dāng)q>0時(shí)，為“L數(shù)列”，則一定為“M數(shù)列”
D．當(dāng)q>0時(shí)，為“M數(shù)列”，則一定為“L數(shù)列”
【答案】BC
【解析】
【分析】
根據(jù)“M數(shù)列”和“L數(shù)列”的定義逐一對(duì)各選項(xiàng)分析判斷即可.
【詳解】
選項(xiàng)A，當(dāng)時(shí)，取，則，不成立，
這與對(duì)任意的n，，，相矛盾，故不是“M數(shù)列”，故A不正確；
選項(xiàng)B，假設(shè)為“L數(shù)列”，則對(duì)任意的，存在，使得，
由，得，所以，即，所以，
但此時(shí)，與對(duì)任意的，存在，使得相矛盾，
所以假設(shè)不成立，所以當(dāng)q<0時(shí)，不是“L數(shù)列”，故B正確；
選項(xiàng)C，當(dāng)時(shí)，為“L數(shù)列”，則對(duì)任意的，存在，
使得，即，又，所以，所以，所以，
而對(duì)任意的n，，，
因?yàn)椋裕裕?br/>即對(duì)任意的n，，，所以為“M數(shù)列”，故C正確；
選項(xiàng)D，當(dāng)q>0時(shí)，為“M數(shù)列”，取，則不存在，使得成立，故不為“L數(shù)列”，故D不正確.
故選：BC
14．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)數(shù)列滿足，其中為實(shí)數(shù)，數(shù)列的前n項(xiàng)和是，下列說法不正確的是（ ）
A．當(dāng)時(shí)，一定是遞減數(shù)列
B．當(dāng)時(shí)，不存在使是周期數(shù)列
C．當(dāng)時(shí)，
D．當(dāng)時(shí)，
【答案】ACD
【解析】
【分析】
當(dāng)時(shí)，設(shè)單調(diào)遞增，由可得依次遞推可得可判斷A；求出，，因?yàn)椋舸嬖趯?shí)數(shù)使得則可判斷B，利用數(shù)學(xué)歸納法證明可判斷C和D；
【詳解】
對(duì)于A：當(dāng)時(shí)，設(shè)單調(diào)遞增，
因?yàn)椋裕?br/>，，依次類推可得，
所以當(dāng)時(shí)，一定是遞減數(shù)列，故選項(xiàng)A正確；
對(duì)于B：當(dāng)時(shí)，，，
，
由可得，設(shè)，
因?yàn)椋闪泓c(diǎn)存在性定理可知存在常數(shù)使，則可得，，存在使是周期數(shù)列，故選項(xiàng)B不正確；
對(duì)于C：當(dāng)，，，
假設(shè)當(dāng)時(shí)，，
則當(dāng)時(shí)，，
所以當(dāng)時(shí)，成立，故選項(xiàng)C正確；
對(duì)于D：
①首先證明,時(shí)，,：
設(shè),，對(duì)用數(shù)學(xué)歸納法證明,，
當(dāng)時(shí)，,．
假設(shè),，
則，且，
,．
由數(shù)學(xué)歸納法知,對(duì)所有成立．
∴當(dāng)c＝時(shí)，,，
②再證明：≥1－：
，當(dāng)c＝時(shí)，
由得，
∵,，∴，
∴≤，
∴≤≤≤…≤＝，
∴≥1－，
③最后證明：，
當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立，
當(dāng)時(shí)，∵，
，
，
又∵，∴．故D正確.
故選：ACD.
【點(diǎn)睛】
本題考查對(duì)數(shù)列和函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，考查數(shù)學(xué)歸納法的使用，解題的過程中還需對(duì)式子進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s，屬于難題.
15．（2022·全國·高三專題練習(xí)）Look—and—say數(shù)列是數(shù)學(xué)中的一種數(shù)列，它的名字就是它的推導(dǎo)方式：給定第一項(xiàng)之后，后一項(xiàng)是前一項(xiàng)的發(fā)音，例如第一項(xiàng)為3，第二項(xiàng)是讀前一個(gè)數(shù)“1個(gè)3”，記作13，第三項(xiàng)是讀前一個(gè)數(shù)“1個(gè)1，1個(gè)3”，記作1113，按此方法，第四項(xiàng)為3113，第五項(xiàng)為132113，….若Look—and—say數(shù)列第一項(xiàng)為11，依次取每一項(xiàng)的最右端兩個(gè)數(shù)組成新數(shù)列，則下列說法正確的是（ ）
A．?dāng)?shù)列的第四項(xiàng)為111221
B．?dāng)?shù)列中每項(xiàng)個(gè)位上的數(shù)字不都是1
C．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列
D．?dāng)?shù)列前10項(xiàng)的和為160
【答案】AD
【解析】
【分析】
A.列舉前四項(xiàng)可得答案；B. 根據(jù)數(shù)列中最后讀的數(shù)字是1可得答案；C.列舉前四項(xiàng)可得答案；D.列舉可得數(shù)列中數(shù)的規(guī)律，進(jìn)而可求和.
【詳解】
，，，，A正確；
數(shù)列中最后讀的數(shù)字總是1，故數(shù)列中每項(xiàng)個(gè)位上的數(shù)字都是1，B錯(cuò)誤；
數(shù)列：11，21，11，21，…，不是等差數(shù)列，C錯(cuò)誤；
通過列舉發(fā)現(xiàn)數(shù)列的第一，三，五，七，九項(xiàng)都為11，第二，四，六，八，十項(xiàng)為21，
故前10項(xiàng)的和為，D正確．
故選：AD．
三、雙空題
16．（2022·福建泉州·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式是，記為在區(qū)間內(nèi)項(xiàng)的個(gè)數(shù)，則___________，不等式成立的的最小值為___________.
【答案】 12
【解析】
【分析】
①根據(jù)，得，代入即可得解；
②根據(jù)，得，對(duì)分奇偶討論即可得解.
【詳解】
令，得，
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，
所以.
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，
即，因?yàn)椋裕矗?br/>因?yàn)闉槠鏀?shù)，所以的最小值為13；
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，
因?yàn)椋裕缘淖钚≈禐?2.
綜上所述，的最小值為12.
故答案為： ；12
四、填空題
17．（2022·廣東·模擬預(yù)測）已知表示不小于x的最小整數(shù)，表示不大于x的最大整數(shù)，如，，數(shù)列滿足，且對(duì)，有，若為遞增數(shù)列，則整數(shù)b的最小值為______．
【答案】0
【解析】
【分析】
根據(jù)題意得，，有，進(jìn)而得，故，再根據(jù)分和討論求解得，進(jìn)而得答案.
【詳解】
解：∵數(shù)列滿足，且對(duì)，有，
∴，
∵可得，
∴，有，
∴當(dāng)時(shí)，，即，，
∴，
∴，
∵為遞增數(shù)列，則，
當(dāng)時(shí)，，解得，
當(dāng)時(shí)，，即，解得：，∴，
又，則，∴整數(shù)b的最小值為0．
故答案為：
18．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，函數(shù)在有極值，設(shè)，其中為不大于的最大整數(shù)，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則___________.
【答案】615
【解析】
【分析】
根據(jù)給定條件探求出，再借助的意義分析的前100項(xiàng)的各個(gè)值，再求和作答.
【詳解】
函數(shù)，求導(dǎo)得：，
因，函數(shù)在有極值，則存在，有，解得，
于是得，即，而，
因此，數(shù)列的前100項(xiàng)中有1個(gè)0，3個(gè)1，5個(gè)2，7個(gè)3，9個(gè)4，11個(gè)5，13個(gè)6，15個(gè)7，17個(gè)8，19個(gè)9，
而，
所以.
故答案為：615
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)睛：涉及數(shù)列新定義問題，關(guān)鍵是正確理解給出的定義，由給定的數(shù)列結(jié)合新定義探求數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)，并進(jìn)行合理的計(jì)算、分析、推理等方法綜合解決.
19．（2022·江蘇海門·高三期末）數(shù)列：1，1，2，3，5，8，…，稱為斐波那契數(shù)列，該數(shù)列是由意大利數(shù)學(xué)家菜昂納多·斐波那契(Leonardo Fibonacci)從觀察兔子繁殖而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”．?dāng)?shù)學(xué)上，該數(shù)列可表述為，．對(duì)此數(shù)列有很多研究成果，如：該數(shù)列項(xiàng)的個(gè)位數(shù)是以60為周期變化的，通項(xiàng)公式等．借助數(shù)學(xué)家對(duì)人類的此項(xiàng)貢獻(xiàn)，我們不難得到，從而易得＋＋＋…＋值的個(gè)位數(shù)為__________．
【答案】4
【解析】
【分析】
先根據(jù)將式子化簡，進(jìn)而根據(jù)該數(shù)列項(xiàng)的個(gè)位數(shù)是以60為周期變化求得答案.
【詳解】
因?yàn)椋?br/>.
又該數(shù)列項(xiàng)的個(gè)位數(shù)是以60為周期變化，所以的個(gè)位數(shù)字相同，的個(gè)位數(shù)字相同，易知，則，所以的個(gè)位數(shù)字為4.
故答案為：4.
20．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在數(shù)列中，，若（為常數(shù)），則稱為“等差比數(shù)列”，下列是對(duì)“等差比數(shù)列”的判斷：
①不可能為0；
②等差數(shù)列一定是“等差比數(shù)列”；
③等比數(shù)列一定是“等差比數(shù)列”；
④“等差比數(shù)列”中可以有無數(shù)項(xiàng)為0.
其中所有正確的序號(hào)是________．
【答案】①④
【解析】
【分析】
根據(jù)得到k不為0，① 正確，考慮常數(shù)列得到② ③錯(cuò)誤，數(shù)列0，1，0，1，…是等差比數(shù)列，得到④正確，得到答案.
【詳解】
由等差比數(shù)列的定義可知，，故，故k不為0，所以① 正確；
當(dāng)?shù)炔顢?shù)列的公差為0，即等差數(shù)列為常數(shù)列時(shí)，等差數(shù)列不是等差比數(shù)列，所以②錯(cuò)誤；
當(dāng)是等比數(shù)列，且公比q＝1時(shí)，不是等差比數(shù)列，所以③錯(cuò)誤；
數(shù)列0，1，0，1，…是等差比數(shù)列，該數(shù)列中有無數(shù)多個(gè)0，所以④正確．
故答案為：①④.
21．（2022·全國·高三專題練習(xí)）對(duì)任一實(shí)數(shù)序列A＝(a1，a2，a3，…)，定義新序列ΔA＝(a2－a1，a3－a2，a4－a3，…)，它的第n項(xiàng)為an＋1－an.假定序列Δ(ΔA)的所有項(xiàng)都是1，且a12＝a22＝0，則a2＝________．
【答案】100
【解析】
【分析】
結(jié)合新定義，令bn＝an＋1－an，由題可知{bn}為公差為1的等差數(shù)列，求得，列式得a1＝a1，a2－a1＝b1，…，an－an－1＝bn－1，疊加得an＝a1＋b1＋…＋bn－1，結(jié)合等差數(shù)列前項(xiàng)和公式化簡可得an＝(n－1)a2－(n－2)a1＋，令n＝12，n＝22解方程可求.
【詳解】
令bn＝an＋1－an，依題意知數(shù)列{bn}為等差數(shù)列，且公差為1，所以bn＝b1＋(n－1)×1，
a1＝a1，
a2－a1＝b1，
a3－a2＝b2，
…
an－an－1＝bn－1，
累加得an＝a1＋b1＋…＋bn－1＝a1＋(n－1)b1＋，
＝(n－1)a2－(n－2)a1＋，
分別令n＝12，n＝22，
得
解得a1＝，a2＝100.
故答案為：100
五、解答題
22．（2022·福建三明·高三期末）定義為數(shù)列的“勻稱值”，若數(shù)列的“勻稱值”為.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，的前項(xiàng)和為，求．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由已知可得出，由可求得的值，由，可得出，兩式作差可得出的表達(dá)式，然后就是否滿足在時(shí)的表達(dá)式進(jìn)行檢驗(yàn)，綜合可得出數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用分組求和法結(jié)合裂項(xiàng)相消法可求得的值.
(1)
解：因?yàn)椋?
當(dāng)時(shí)，．
當(dāng)時(shí)，由得．
上述兩個(gè)等式作差得，即，
又因?yàn)闈M足，所以.
(2)
解：因?yàn)椋?
所以，
所以．
所以，即．
23．（2022·北京通州·高三期末）已知數(shù)列滿足以下條件：①，且；②共有100項(xiàng)，且各項(xiàng)互不相等．定義數(shù)列為數(shù)列的一個(gè)“10階連續(xù)子列”．
(1)若的通項(xiàng)公式為，寫出的一個(gè)“10階連續(xù)子列”，并求其各項(xiàng)和；
(2)求證：對(duì)于每個(gè)，都至少有一個(gè)10階連續(xù)子列的各項(xiàng)和不小于505；
(3)若對(duì)于每個(gè)，都至少有一個(gè)10階連續(xù)子列的各項(xiàng)和不小于正整數(shù)，求的最大值．
【答案】(1)，其和為55（答案不唯一）
(2)證明過程見解析
(3)505
【解析】
【分析】
（1）列舉出一個(gè)即可；（2）根據(jù)數(shù)列的總和為5050進(jìn)行證明；（3）反證法進(jìn)行證明，結(jié)合第二問結(jié)論進(jìn)行求解.
(1)
，各項(xiàng)和為（答案不唯一）；
(2)
令，取，則，即，所以對(duì)于每個(gè)，都至少有一個(gè)10階連續(xù)子列的各項(xiàng)和不小于505；
(3)
假設(shè)，即對(duì)于任意的，存在，使得，考察數(shù)列：，其中各項(xiàng)滿足，，，于是有：，，
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，
即存在，，使得，這與假設(shè)矛盾，所以，結(jié)合第二問結(jié)論可知：的最大值為505.
【點(diǎn)睛】
針對(duì)于定義新數(shù)列的題目，要結(jié)合題干中信息，選擇合適的方法進(jìn)行求解，常用到列舉法，反證法等方法.
24．（2022·山東青島·高三期末）給定數(shù)列，若滿足，對(duì)于任意的，都有，則稱為“指數(shù)型數(shù)列”.
(1)已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，證明：為“指數(shù)型數(shù)列”；
(2)若數(shù)列滿足：；
（I）判斷是否為“指數(shù)型數(shù)列”，若是給出證明，若不是說明理由；
(Ⅱ)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】(1)證明見解析
(2)（I）是，證明見解析；（Ⅱ）.
【解析】
【分析】
（1）由新定義直接驗(yàn)證即可證明
（2）（I）由題意可得，先求出的通項(xiàng)公式，再由新定義直接驗(yàn)證即可.
(Ⅱ)由題意可得，由分組求和即可得出答案.
(1)
為“指數(shù)型數(shù)列”
(2)
（I）將 兩邊同除
得：，
是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列
是“指數(shù)型數(shù)列”
（Ⅱ）因?yàn)椋瑒t
25．（2022·重慶·一模）學(xué)習(xí)資料：有一正項(xiàng)數(shù)列，若作商，則當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，.這是一種數(shù)列放縮的方法.現(xiàn)有一等差數(shù)列的前項(xiàng)和為的前項(xiàng)和為.
(1)求；
(2)求證：.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【解析】
【分析】
（1）設(shè)公差，根據(jù)可得首項(xiàng)和公差，利用等差數(shù)列前n項(xiàng)公式可得答案；
（2）求出，計(jì)算出，根據(jù)單調(diào)性再計(jì)算出當(dāng)時(shí)，
可得，利用等比數(shù)列求和公式可得答案.
(1)
設(shè)公差，，
解得，，
.
(2)
（隨遞減），
當(dāng)時(shí)，，即（，僅時(shí)相等），
（從開始放縮），
.
26．（2022·江蘇蘇州·高三期末）若數(shù)列滿足（，是不等于的常數(shù)）對(duì)任意恒成立，則稱是周期為，周期公差為的“類周期等差數(shù)列”．已知在數(shù)列中，，．
(1)求證：是周期為的“類周期等差數(shù)列”，并求的值；
(2)若數(shù)列滿足，求的前項(xiàng)和．
【答案】(1)證明見解析；；
(2)
【解析】
【分析】
（1）由，，相減得，即可得到答案；
（2）對(duì)當(dāng)分為偶數(shù)和奇數(shù)進(jìn)行討論，進(jìn)行并求和，即可得到答案；
(1)
由，，相減得，
所以周期為，周期公差為的“類周期等差數(shù)列”，
由，，得，
所以．
(2)
由，，得，
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，．
綜上所述，
27．（2022·北京豐臺(tái)·高三期末）若有窮數(shù)列且滿足，則稱為M數(shù)列．
(1)判斷下列數(shù)列是否為M數(shù)列，并說明理由；
① 1，2，4，3．
② 4，2，8，1．
(2)已知M數(shù)列中各項(xiàng)互不相同． 令，求證：數(shù)列是等差數(shù)列的充分必要條件是數(shù)列是常數(shù)列；
(3)已知M數(shù)列是且個(gè)連續(xù)正整數(shù)的一個(gè)排列．若，求的所有取值．
【答案】(1)①數(shù)列不是M數(shù)列；②數(shù)列是M數(shù)列；理由見解析
(2)證明見解析
(3)的所有取值為4或5
【解析】
【分析】
（1）直接根據(jù)條件檢驗(yàn)即可；
（2）先判斷必要性，若數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)公差為，可得數(shù)列是常數(shù)列．再判斷充分性，若數(shù)列是常數(shù)列，可得，進(jìn)而可得是等差數(shù)列；
（3）先判斷不符合題意，，符合題意，進(jìn)而證明不符合題意，令，可得有三種可能：①； ②；③．
當(dāng)，根據(jù)（2）的結(jié)論排除這3種可能性，則可得答案.
(1)
①因?yàn)椋栽摂?shù)列不是M數(shù)列；
②因?yàn)椋栽摂?shù)列是M數(shù)列．
(2)
必要性：
若數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)公差為，
則．
所以數(shù)列是常數(shù)列．
充分性：
若數(shù)列是常數(shù)列，
則，即．
所以或．
因?yàn)閿?shù)列的各項(xiàng)互不相同，
所以．
所以數(shù)列是等差數(shù)列．
(3)
當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋裕环项}意；
當(dāng)時(shí)，數(shù)列為．此時(shí)，符合題意；
當(dāng)時(shí)，數(shù)列為．此時(shí)，符合題意；
下證當(dāng)時(shí)，不存在滿足題意．
令，
則，且，
所以有以下三種可能：
①；
②；
③．
當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?br/>由（2）知：是公差為1（或 1）的等差數(shù)列．
當(dāng)公差為1時(shí)，由得或，
所以或，與已知矛盾．
當(dāng)公差為 1時(shí)，同理得出與已知矛盾．
所以當(dāng)時(shí)，不存在滿足題意．
其它情況同理可得．
綜上可知，的所有取值為4或5．
【點(diǎn)睛】
方法點(diǎn)睛：1、對(duì)于數(shù)列種的新定義問題，一定要理解新數(shù)列的性質(zhì)后才能解題，充分利用新數(shù)列的定義去解答問題.2、對(duì)于第三問，可能的取值必然不多，那么可以通過嘗試取值，然后找到規(guī)律和方法來解決問題.
28．（2022·北京·高三期末）已知數(shù)列，其中，且.若數(shù)列滿足，，當(dāng)時(shí)，或，則稱為數(shù)列A的“緊數(shù)列”.例如，數(shù)列A：2，4，6，8的所有“緊數(shù)列”為2，3，5，8；2，3，7，8；2，5，5，8；2，5，7，8.
(1)直接寫出數(shù)列A：1，3，6，7，8的所有“緊數(shù)列”；
(2)已知數(shù)列A滿足：，，若數(shù)列A的所有“緊數(shù)列”均為遞增數(shù)列，求證：所有符合條件的數(shù)列A的個(gè)數(shù)為；
(3)已知數(shù)列A滿足：，，對(duì)于數(shù)列A的一個(gè)“緊數(shù)列”，定義集合，如果對(duì)任意，都有，那么稱為數(shù)列A的“強(qiáng)緊數(shù)列”.若數(shù)列A存在“強(qiáng)緊數(shù)列”，求的最小值.（用關(guān)于N的代數(shù)式表示）
【答案】(1)；；；
(2)證明見解析
(3)
【解析】
【分析】
（1）利用“緊數(shù)列”的定義求解；
（2）由均為遞增數(shù)列，得到，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為證明：①，②，③，④即可；
（3）記，且根據(jù)“強(qiáng)緊數(shù)列”的定義求解.
(1)
解：；；；.
(2)
依題意，對(duì)任意，有或，或，
因?yàn)榫鶠檫f增數(shù)列，所以有，即同時(shí)滿足：
①，②，③，④.
因?yàn)闉檫f增數(shù)列，因此①和②恒成立.
又因?yàn)闉檎麛?shù)數(shù)列，對(duì)于③，也恒成立.
對(duì)于④，一方面，由，得，即.
另一方面，，
所以，
即從第項(xiàng)到第項(xiàng)是連續(xù)的正整數(shù)，
所以，，
因此，
故共有種不同取值，即所有符合條件的數(shù)列共有個(gè).
(3)
記，依題意，
對(duì)任意，有或，
注意到，即對(duì)任意，有，
若，則，即；
若，則，即，
即對(duì)任意，或者，或者.
所以，所以不能成立.
記，
，
則，且.
注意到：若存在且，即，則.
否則，若，則，不合題意.
因此集合有以下三種情形：
①，.
對(duì)任意，有，則
，
當(dāng)且僅當(dāng)：，，
即時(shí)，等號(hào)成立，
此時(shí)存在“強(qiáng)緊數(shù)列”，
故此情形下，的最小值為；
②，，其中.
對(duì)任意，有，對(duì)任意，有.
.
故此情形下，的最小值不小于；
③，.
對(duì)任意，有，
.
故此情形下，的最小值不小于.
綜上，的最小值為.
29．（2022·北京石景山·高三期末）記實(shí)數(shù)，中的較大者為，例如，，對(duì)于無窮數(shù)列，記，若對(duì)于任意的，均有，則稱數(shù)列為“趨勢(shì)遞減數(shù)列”.
(1)已知數(shù)列的通項(xiàng)公式分別為，，判斷數(shù)列是否為“趨勢(shì)遞減數(shù)列”，并說明理由；
(2)已知首項(xiàng)為公比為的等比數(shù)列是“趨勢(shì)遞減數(shù)列”，求的取值范圍；
(3)若數(shù)列滿足，為正實(shí)數(shù)，且，求證：為“趨勢(shì)遞減數(shù)列”的充要條件為的項(xiàng)中沒有.
【答案】(1)、為“趨勢(shì)遞減數(shù)列”，理由見解析；
(2)；
(3)證明見解析.
【解析】
【分析】
（1）由的通項(xiàng)公式知：是單調(diào)遞減且，結(jié)合“趨勢(shì)遞減數(shù)列”的定義判斷并說明是否為“趨勢(shì)遞減數(shù)列”.
（2）討論公比的范圍，結(jié)合“趨勢(shì)遞減數(shù)列”的性質(zhì)判斷不同的取值下是否滿足要求，即可確定范圍.
（3）應(yīng)用充要條件的定義，由反證法結(jié)合“趨勢(shì)遞減數(shù)列”的性質(zhì)證明的項(xiàng)中沒有，再證的項(xiàng)中沒有時(shí)是否為“趨勢(shì)遞減數(shù)列”，即可證結(jié)論.
(1)
數(shù)列是“趨勢(shì)遞減數(shù)列”.
由通項(xiàng)公式知：公差為，故是單調(diào)遞減數(shù)列，
∴，且，故數(shù)列是“趨勢(shì)遞減數(shù)列”.
數(shù)列是“趨勢(shì)遞減數(shù)列”.
由為奇數(shù)，為偶數(shù)，則，
∴，且，故數(shù)列是“趨勢(shì)遞減數(shù)列”.
(2)
當(dāng)時(shí)，數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，此時(shí)，且不滿足題意；
當(dāng)時(shí)，數(shù)列為常數(shù)列，不滿足題意；
當(dāng)時(shí)，數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，此時(shí)，且，滿足題意；
當(dāng)時(shí)，此時(shí)，且，滿足題意；
當(dāng)時(shí)，此時(shí)，且，不滿足題意；
綜上，的取值范圍為.
(3)
先證必要性：
假設(shè)存在正整數(shù)≥使得，令.
因?yàn)椋瑸檎龑?shí)數(shù)，且，
∴≥，故≥，則數(shù)列從開始以后的各項(xiàng)為，
當(dāng)≥時(shí)，，與為“趨勢(shì)遞減數(shù)列”矛盾，故假設(shè)不成立，的項(xiàng)中沒有.
再證明充分性：
得：，
由的項(xiàng)中沒有，故對(duì)于任意正整數(shù)，，
∴，即.
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
∴為“趨勢(shì)遞減數(shù)列”.
綜上：為“趨勢(shì)遞減數(shù)列”的充要條件為的項(xiàng)中沒有.
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第三問，分別從充分性、必要性兩個(gè)方面證明結(jié)論，注意反證法的應(yīng)用：假設(shè)為“趨勢(shì)遞減數(shù)列”存在推出矛盾.
30．（2022·北京昌平·高三期末）已知等差數(shù)列，若存在有窮等比數(shù)列，其中，公比為，滿足，其中，則稱數(shù)列為數(shù)列的長度為的“等比伴隨數(shù)列”．
(1)數(shù)列的通項(xiàng)公式為，寫出數(shù)列的一個(gè)長度為的“等比伴隨數(shù)列”；
(2)等差數(shù)列的公差為，若存在長度為的“等比伴隨數(shù)列”，其中，求的最大值；
(3)數(shù)列的通項(xiàng)公式為，數(shù)列為數(shù)列的長度為的“等比伴隨數(shù)列”，求的最大值．
【答案】(1)（答案不唯一）
(2)
(3)
【解析】
【分析】
(1)根據(jù)新定義的理解即可得出結(jié)果；
(2)根據(jù)和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式列出不等式組，即可解得公差的范圍；
(3)設(shè)長度為的“等比伴隨數(shù)列”的公比為，將問題轉(zhuǎn)化為對(duì)恒成立，對(duì)k的取值分類討論，當(dāng)時(shí)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明即可.
(1)
數(shù)列的一個(gè)長度為4的“等比伴隨數(shù)列”為1,4，16,64（答案不唯一）.
(2)
由題意，，
即 ，則.
又?jǐn)?shù)列符合題意，所以的最大值為3.
(3)
設(shè)長度為的“等比伴隨數(shù)列”的公比為，
則對(duì)任意正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，都有成立，
即對(duì)恒成立.
當(dāng)時(shí)，有；
當(dāng)時(shí)，，即；
當(dāng)時(shí)，有恒成立，
即當(dāng)時(shí)，.
令當(dāng)時(shí)，，
所以在單調(diào)遞減，所以當(dāng)4時(shí)，.
同理，令，則在上單調(diào)遞減，
即4時(shí)，.
則，即.
令，當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞減.
又由于，
所以，存在(6，7)，使得，
所以的最大值為6．
【點(diǎn)睛】
對(duì)新定義的數(shù)列，要充分理解新定義的性質(zhì)，結(jié)合等差、等比數(shù)列的相關(guān)知識(shí)找到題干中的等量關(guān)系，構(gòu)造新函數(shù)，學(xué)會(huì)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值，將未知的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的知識(shí)點(diǎn)，在平時(shí)的練習(xí)中，要注重培養(yǎng)函數(shù)思想、轉(zhuǎn)化思想等.第24講 新信息背景下的數(shù)列問題
方法總結(jié)：
解決此類問題的一些技巧：
（1）此類問題在設(shè)立問題中通常具有“環(huán)環(huán)相扣，層層遞進(jìn)”的特點(diǎn)，第（1）問讓你熟悉所創(chuàng)設(shè)的定義與背景，第（2），（3）問便進(jìn)行進(jìn)一步的應(yīng)用，那么在解題的過程中要注意解決前面一問中的過程與結(jié)論，因?yàn)檫@本身就是對(duì)“新信息”的詮釋與應(yīng)用。
（2）盡管此類題目與傳統(tǒng)的數(shù)列“求通項(xiàng)，求和”的風(fēng)格不同，但其根基也是我們所學(xué)的一些基礎(chǔ)知識(shí)與方法。
（3）在分類討論時(shí)要遵循“先易后難”的原則，以相對(duì)簡單的情況入手，可能在解決的過程中會(huì)發(fā)現(xiàn)復(fù)雜情況與該情況的聯(lián)系，或者發(fā)現(xiàn)一些通用的做法與思路，使得復(fù)雜情況也有章可循。
典型例題：
例1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）對(duì)于數(shù)列，規(guī)定數(shù)列△為數(shù)列的一階差分?jǐn)?shù)列，其中△；一般地，規(guī)定△為的階差分?jǐn)?shù)列，其中△△△，且，．
(1)已知數(shù)列的通項(xiàng)公式．試證明△是等差數(shù)列；
(2)若數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足△△，，求數(shù)列及的通項(xiàng)公式；
(3)在（2）的條件下，判斷是否存在最小值，若存在求出其最小值，若不存在說明理由．
例2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的首項(xiàng)，前項(xiàng)和為．設(shè)與是常數(shù)，若對(duì)一切正整數(shù)，均有成立，則稱此數(shù)列為“”數(shù)列．
(1)若等差數(shù)列是“”數(shù)列，求的值；
(2)若數(shù)列是“”數(shù)列，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．
例3．（2022·北京海淀·高三期末）已知行列的數(shù)表中，對(duì)任意的，，都有.若當(dāng)時(shí)，總有，則稱數(shù)表A為典型表，此時(shí)記.
(1)若數(shù)表，，請(qǐng)直接寫出B，C是否是典型表；
(2)當(dāng)時(shí)，是否存在典型表A使得，若存在，請(qǐng)寫出一個(gè)A；若不存在，請(qǐng)說明理由；
(3)求的最小值.
例4．（2022·北京房山·高三期末）若數(shù)列 滿足，則稱為數(shù)列．記 ．
(1)寫出一個(gè)滿足，且的數(shù)列；
(2)若，證明數(shù)列是遞減數(shù)列的充要條件是；
(3)對(duì)任意給定的整數(shù)，是否存在首項(xiàng)為的數(shù)列，使得？如果存在，寫出一個(gè)滿足條件的數(shù)列；如果不存在，說明理由.
例5．（2022·北京東城·高三期末）對(duì)于給定的正整數(shù)和實(shí)數(shù)，若數(shù)列滿足如下兩個(gè)性質(zhì)：①；②對(duì)，，則稱數(shù)列具有性質(zhì).
(1)若數(shù)列具有性質(zhì)，求數(shù)列的前項(xiàng)和；
(2)對(duì)于給定的正奇數(shù)，若數(shù)列同時(shí)具有性質(zhì)和，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(3)若數(shù)列具有性質(zhì)，求證：存在自然數(shù)，對(duì)任意的正整數(shù)，不等式均成立.
例6．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為.若對(duì)任意正整數(shù)，總存在正整數(shù)，使得，則稱是“數(shù)列”.
(1)若數(shù)列的前n項(xiàng)和，證明：是“數(shù)列”；
(2)設(shè)是等差數(shù)列，其首項(xiàng)，公差.若是“數(shù)列”，求的值；
例7．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若實(shí)數(shù)數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為“P數(shù)列”．
(1)若數(shù)列是P數(shù)列，且，，求，的值；
(2)求證：若數(shù)列是P數(shù)列，則的項(xiàng)不可能全是正數(shù)，也不可能全是負(fù)數(shù)；
(3)若數(shù)列是P數(shù)列，且中不含值為零的項(xiàng)，記的前2025項(xiàng)中值為負(fù)數(shù)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)為m，求m的所有可能取值．
過關(guān)練習(xí)：
一、單選題
1．（2022·山西運(yùn)城·高三期末（理））在正整數(shù)數(shù)列中，由1開始依次按如下規(guī)則取該數(shù)列的項(xiàng)：第一次取1；第二次取2個(gè)連續(xù)的偶數(shù)2，4；第三次取3個(gè)連續(xù)奇數(shù)5，7，9；第四次取4個(gè)連續(xù)的偶數(shù)10，12，14，16；第五次取5個(gè)連續(xù)的奇數(shù)17，19，21，23，25；按此規(guī)律取下去，得到一個(gè)數(shù)列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，19…，則這個(gè)數(shù)列中第2022個(gè)數(shù)是（ ）
A．3974 B．3976 C．3978 D．3980
2．（2022·河南駐馬店·高三期末（文））對(duì)于正整數(shù)，設(shè)最接近的正整數(shù)為（如，），記，從全體正整數(shù)中除去所有，余下的正整數(shù)按從小到大的順序排列得到數(shù)列，則數(shù)列的前5項(xiàng)和為（ ）
A．55 B．65 C．70 D．75
3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中，提出了一些新的垛積公式，所討論的高階等差數(shù)到與一般的等差數(shù)列不同，前后兩項(xiàng)之差并不相等，但是逐項(xiàng)差數(shù)之差或者高次差成等差數(shù)列．如數(shù)列1，3，6，10，前后兩項(xiàng)之差組成新數(shù)列2，3，4，新數(shù)列2，3，4為等差數(shù)列、這樣的數(shù)列稱為二階等差數(shù)列．現(xiàn)有二階等差數(shù)列，其前7項(xiàng)分別為2，3，5，8，12，17，23則該數(shù)列的第100項(xiàng)為（ ）
A．4862 B．4962 C．4852 D．4952
4．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子的繁殖問題時(shí)，發(fā)現(xiàn)有這樣的一列數(shù)：1，1，2，3，5，8，…，該數(shù)列的特點(diǎn)是前兩個(gè)數(shù)均為1，從第三個(gè)數(shù)起，每一個(gè)數(shù)都等于它前面兩個(gè)數(shù)的和.人們把這樣的一列數(shù)所組成的數(shù)列稱為“斐波那契數(shù)列”，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022·浙江杭州·高三期末）若數(shù)列滿足，則下列說法錯(cuò)誤的是（ ）
A．存在數(shù)列使得對(duì)任意正整數(shù)p，q都滿足
B．存在數(shù)列使得對(duì)任意正整數(shù)p，q都滿足
C．存在數(shù)列使得對(duì)任意正整數(shù)p，q都滿足
D．存在數(shù)列使得對(duì)任意正整數(shù)p，q部滿足
6．（2022·浙江·高三學(xué)業(yè)考試）通過以下操作得到一系列數(shù)列：第1次，在2，3之間插入2與3的積6，得到數(shù)列2，6，3；第2次，在2，6，3每兩個(gè)相鄰數(shù)之間插入它們的積，得到數(shù)列2，12，6，18，3；類似地，第3次操作后，得到數(shù)列：2，24，12，72，6，108，18，54，3.按上述這樣操作11次后，得到的數(shù)列記為，則的值是（ ）
A．6 B．12 C．18 D．108
7．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））對(duì)于數(shù)列{an}，若存在正整數(shù)k(k≥2)，使得，，則稱是數(shù)列{an}的“谷值”，k是數(shù)列{an}的“谷值點(diǎn)”.在數(shù)列{an}中，若an＝，則數(shù)列{an}的“谷值點(diǎn)”為（ ）
A．2 B．7 C．2，7 D．2，3，7
8．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，若，則稱項(xiàng)為“和諧項(xiàng)"，則數(shù)列的所有“和諧項(xiàng)”的平方和為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
9．（2022·全國·模擬預(yù)測）觀察下面一組等式：
記表示第i個(gè)等式中等號(hào)右邊第j個(gè)數(shù)，如，，則（ ）
A． B．
C． D．
10．（2022·山東青島·高三期末）在數(shù)列中，若，(為常數(shù))，則稱為“等方差數(shù)列”，p稱為“公方差”，下列對(duì)“等方差數(shù)列”的判斷正確的是（ ）
A．是等方差數(shù)列
B．若數(shù)列既是等方差數(shù)列，又是等差數(shù)列，該數(shù)列必為常數(shù)列
C．正項(xiàng)等方差數(shù)列的首項(xiàng)，且是等比數(shù)列，則
D．若等方差數(shù)列的首項(xiàng)為2，公方差為2，若將，…這種順序排列的10個(gè)數(shù)作為某種密碼，則可以表示512種不同密碼
11．（2022·全國·高三專題練習(xí)）（多選題）對(duì)于數(shù)列，若存在正整數(shù)，使得，，則稱是數(shù)列的“谷值”，是數(shù)列的“谷值點(diǎn)”.在數(shù)列中，若，則數(shù)列的“谷值點(diǎn)”為（ ）
A．2 B．7 C．3 D．8
12．（2022·全國·模擬預(yù)測）記數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列為，….其構(gòu)造方法是:首先給出，接著復(fù)制該項(xiàng)后，再添加其后繼數(shù)，于是，得;然后再復(fù)制前面所有的項(xiàng)，再添加的后繼數(shù)于是，得;接下來再復(fù)制前面所有的項(xiàng)，再添加的后繼數(shù)于是，得前項(xiàng)為.如此繼續(xù)下去，則使不等式成立的的值不可能為（ ）
A． B． C． D．
13．（2022·全國·高三專題練習(xí)）對(duì)于首項(xiàng)為負(fù)數(shù)的無窮等比數(shù)列，若對(duì)任意的n，，，則稱為“M數(shù)列”；若對(duì)任意的，存在，使得，則稱為“L數(shù)列”.若數(shù)列的公比為q，則（ ）
A．當(dāng)q<0時(shí)，是“M數(shù)列”
B．當(dāng)q<0時(shí)，不是“L數(shù)列”
C．當(dāng)q>0時(shí)，為“L數(shù)列”，則一定為“M數(shù)列”
D．當(dāng)q>0時(shí)，為“M數(shù)列”，則一定為“L數(shù)列”
14．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)數(shù)列滿足，其中為實(shí)數(shù)，數(shù)列的前n項(xiàng)和是，下列說法不正確的是（ ）
A．當(dāng)時(shí)，一定是遞減數(shù)列
B．當(dāng)時(shí)，不存在使是周期數(shù)列
C．當(dāng)時(shí)，
D．當(dāng)時(shí)，
15．（2022·全國·高三專題練習(xí)）Look—and—say數(shù)列是數(shù)學(xué)中的一種數(shù)列，它的名字就是它的推導(dǎo)方式：給定第一項(xiàng)之后，后一項(xiàng)是前一項(xiàng)的發(fā)音，例如第一項(xiàng)為3，第二項(xiàng)是讀前一個(gè)數(shù)“1個(gè)3”，記作13，第三項(xiàng)是讀前一個(gè)數(shù)“1個(gè)1，1個(gè)3”，記作1113，按此方法，第四項(xiàng)為3113，第五項(xiàng)為132113，….若Look—and—say數(shù)列第一項(xiàng)為11，依次取每一項(xiàng)的最右端兩個(gè)數(shù)組成新數(shù)列，則下列說法正確的是（ ）
A．?dāng)?shù)列的第四項(xiàng)為111221
B．?dāng)?shù)列中每項(xiàng)個(gè)位上的數(shù)字不都是1
C．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列
D．?dāng)?shù)列前10項(xiàng)的和為160
三、雙空題
16．（2022·福建泉州·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式是，記為在區(qū)間內(nèi)項(xiàng)的個(gè)數(shù)，則___________，不等式成立的的最小值為___________.
四、填空題
17．（2022·廣東·模擬預(yù)測）已知表示不小于x的最小整數(shù)，表示不大于x的最大整數(shù)，如，，數(shù)列滿足，且對(duì)，有，若為遞增數(shù)列，則整數(shù)b的最小值為______．
18．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，函數(shù)在有極值，設(shè)，其中為不大于的最大整數(shù)，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則___________.
19．（2022·江蘇海門·高三期末）數(shù)列：1，1，2，3，5，8，…，稱為斐波那契數(shù)列，該數(shù)列是由意大利數(shù)學(xué)家菜昂納多·斐波那契(Leonardo Fibonacci)從觀察兔子繁殖而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”．?dāng)?shù)學(xué)上，該數(shù)列可表述為，．對(duì)此數(shù)列有很多研究成果，如：該數(shù)列項(xiàng)的個(gè)位數(shù)是以60為周期變化的，通項(xiàng)公式等．借助數(shù)學(xué)家對(duì)人類的此項(xiàng)貢獻(xiàn)，我們不難得到，從而易得＋＋＋…＋值的個(gè)位數(shù)為__________．
20．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在數(shù)列中，，若（為常數(shù)），則稱為“等差比數(shù)列”，下列是對(duì)“等差比數(shù)列”的判斷：
①不可能為0；
②等差數(shù)列一定是“等差比數(shù)列”；
③等比數(shù)列一定是“等差比數(shù)列”；
④“等差比數(shù)列”中可以有無數(shù)項(xiàng)為0.
其中所有正確的序號(hào)是________．
21．（2022·全國·高三專題練習(xí)）對(duì)任一實(shí)數(shù)序列A＝(a1，a2，a3，…)，定義新序列ΔA＝(a2－a1，a3－a2，a4－a3，…)，它的第n項(xiàng)為an＋1－an.假定序列Δ(ΔA)的所有項(xiàng)都是1，且a12＝a22＝0，則a2＝________．
五、解答題
22．（2022·福建三明·高三期末）定義為數(shù)列的“勻稱值”，若數(shù)列的“勻稱值”為.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，的前項(xiàng)和為，求．
23．（2022·北京通州·高三期末）已知數(shù)列滿足以下條件：①，且；②共有100項(xiàng)，且各項(xiàng)互不相等．定義數(shù)列為數(shù)列的一個(gè)“10階連續(xù)子列”．
(1)若的通項(xiàng)公式為，寫出的一個(gè)“10階連續(xù)子列”，并求其各項(xiàng)和；
(2)求證：對(duì)于每個(gè)，都至少有一個(gè)10階連續(xù)子列的各項(xiàng)和不小于505；
(3)若對(duì)于每個(gè)，都至少有一個(gè)10階連續(xù)子列的各項(xiàng)和不小于正整數(shù)，求的最大值．
24．（2022·山東青島·高三期末）給定數(shù)列，若滿足，對(duì)于任意的，都有，則稱為“指數(shù)型數(shù)列”.
(1)已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，證明：為“指數(shù)型數(shù)列”；
(2)若數(shù)列滿足：；
（I）判斷是否為“指數(shù)型數(shù)列”，若是給出證明，若不是說明理由；
(Ⅱ)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
25．（2022·重慶·一模）學(xué)習(xí)資料：有一正項(xiàng)數(shù)列，若作商，則當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，.這是一種數(shù)列放縮的方法.現(xiàn)有一等差數(shù)列的前項(xiàng)和為的前項(xiàng)和為.
(1)求；
(2)求證：.
26．（2022·江蘇蘇州·高三期末）若數(shù)列滿足（，是不等于的常數(shù)）對(duì)任意恒成立，則稱是周期為，周期公差為的“類周期等差數(shù)列”．已知在數(shù)列中，，．
(1)求證：是周期為的“類周期等差數(shù)列”，并求的值；
(2)若數(shù)列滿足，求的前項(xiàng)和．
27．（2022·北京豐臺(tái)·高三期末）若有窮數(shù)列且滿足，則稱為M數(shù)列．
(1)判斷下列數(shù)列是否為M數(shù)列，并說明理由；
① 1，2，4，3．
② 4，2，8，1．
(2)已知M數(shù)列中各項(xiàng)互不相同． 令，求證：數(shù)列是等差數(shù)列的充分必要條件是數(shù)列是常數(shù)列；
(3)已知M數(shù)列是且個(gè)連續(xù)正整數(shù)的一個(gè)排列．若，求的所有取值．
28．（2022·北京·高三期末）已知數(shù)列，其中，且.若數(shù)列滿足，，當(dāng)時(shí)，或，則稱為數(shù)列A的“緊數(shù)列”.例如，數(shù)列A：2，4，6，8的所有“緊數(shù)列”為2，3，5，8；2，3，7，8；2，5，5，8；2，5，7，8.
(1)直接寫出數(shù)列A：1，3，6，7，8的所有“緊數(shù)列”；
(2)已知數(shù)列A滿足：，，若數(shù)列A的所有“緊數(shù)列”均為遞增數(shù)列，求證：所有符合條件的數(shù)列A的個(gè)數(shù)為；
(3)已知數(shù)列A滿足：，，對(duì)于數(shù)列A的一個(gè)“緊數(shù)列”，定義集合，如果對(duì)任意，都有，那么稱為數(shù)列A的“強(qiáng)緊數(shù)列”.若數(shù)列A存在“強(qiáng)緊數(shù)列”，求的最小值.（用關(guān)于N的代數(shù)式表示）
29．（2022·北京石景山·高三期末）記實(shí)數(shù)，中的較大者為，例如，，對(duì)于無窮數(shù)列，記，若對(duì)于任意的，均有，則稱數(shù)列為“趨勢(shì)遞減數(shù)列”.
(1)已知數(shù)列的通項(xiàng)公式分別為，，判斷數(shù)列是否為“趨勢(shì)遞減數(shù)列”，并說明理由；
(2)已知首項(xiàng)為公比為的等比數(shù)列是“趨勢(shì)遞減數(shù)列”，求的取值范圍；
(3)若數(shù)列滿足，為正實(shí)數(shù)，且，求證：為“趨勢(shì)遞減數(shù)列”的充要條件為的項(xiàng)中沒有.
30．（2022·北京昌平·高三期末）已知等差數(shù)列，若存在有窮等比數(shù)列，其中，公比為，滿足，其中，則稱數(shù)列為數(shù)列的長度為的“等比伴隨數(shù)列”．
(1)數(shù)列的通項(xiàng)公式為，寫出數(shù)列的一個(gè)長度為的“等比伴隨數(shù)列”；
(2)等差數(shù)列的公差為，若存在長度為的“等比伴隨數(shù)列”，其中，求的最大值；
(3)數(shù)列的通項(xiàng)公式為，數(shù)列為數(shù)列的長度為的“等比伴隨數(shù)列”，求的最大值．

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